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27.2.1 平行线分线段成比例
基础训练
1.如图,△ABC∽△AED,∠ADE=80°,∠A=50°,则∠C等于( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.40° B.60° C.80° D.100°
2.已知△ABC的三边长分别为,,2,△A'B'C'的两边长分别是1和,如果△ABC与△A'B'C'相似,那么△A'B'C'的第三边长应该是( )21·cn·jy·com
A. B. C. D.
3.下列说法正确的是( )
A.相似三角形一定全等
B.不相似的三角形可能全等
C.全等三角形不一定是相似三角形
D.全等三角形一定是相似三角形
4.如图,△ABC∽△DEF,相似比为1∶2.若BC=1,则EF的长是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.若△ABC∽△A'B'C',且AB=1 ( http: / / www.21cnjy.com ),A'B'=,B'C'=,则△ABC与△A'B'C'的相似比为 ,△A'B'C'与△ABC的相似比为 . 2·1·c·n·j·y
6.如图,直线AB∥CD∥EF,若AC=3,CE=4,则的值是( )
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A. B. C. D.
7.如图,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是( )
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A.AD∶DF=BC∶CE B.BC∶CE=DF∶AD
C.CD∶EF=BC∶BE D.CE∶EF=AD∶AF
8.如图,已知AD∥EF∥BC,则下列等式成立的是( )
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A.AE∶AB=DF∶FC B.AE∶EB=CF∶DF
C.EF2=AD·BC D.BA·CF=BE·CD
9.如图,在△ABC中,DE∥BC,DE=1,BD=3,AD=2,则BC的长是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. C. D.
10.如图,已知AB∥CD,AC与BD交于点O,则下列比例式中不成立的是( )
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A.OC∶OD=OA∶OB B.OC∶OD=OB∶OA
C.OC∶AC=OD∶DB D.BD∶AC=OD∶OC
11.如图, ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则EF∶FC等于( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.3∶2 B.3∶1 C.1∶1 D.1∶2
提升训练
12.如图,△ABC中,DE∥BC,以下结论正确的是( )
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A.AE∶AC=AD∶BD B.AE∶AC=BD∶AB
C.AE∶CE=AD∶BD D.AC∶CE=AD∶BD
13.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC ( http: / / www.21cnjy.com )分别交这三条直线于点A,B,C,直线DF分别交这三条直线于点D,E,F,若AB=3,DE=,EF=4,求BC的长.21·世纪*教育网
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14.如图,在△ABC中,DE∥BC,若AD=5,BD=10,AC=9,求CE的长.
( http: / / www.21cnjy.com / )
15.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥CD.求证:AD是AB和AF的比例中项.
( http: / / www.21cnjy.com / )
16.如图,在△ABC中, ( http: / / www.21cnjy.com )D是AB上一点,E是△ABC内一点,DE∥BC,过D作AC的平行线交CE的延长线于F,CF与AB交于P,求证:=.www-2-1-cnjy-com
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17.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B>∠A,点D为边AB的中点,DE∥BC交AC于点E,CF∥AB交DE的延长线于点F.www.21-cn-jy.com
求证:DE=EF.
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18.如图,在△ABC中(BC>AC),∠ACB=90°,点D在AB边上,DE⊥AC于点E.
(1)若=,AE=2,求EC的长.
(2)设点F在线段EC上,点G在射线C ( http: / / www.21cnjy.com )B上,以F,C,G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等,FG交CD于点P,问:线段CP可能是△CFG的高线还是中线 或两者都有可能 请说明理由.
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19.如图,在平行四边形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com ),E为AB的中点,F为AD上一点,EF交AC于点G,AF=2 cm,DF=4 cm,AG=3 cm,求AC的长.2-1-c-n-j-y
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20.如图,△ABC为等边三角形,点E在BA的延长线上,点D在BC边上,且ED=EC.若△ABC的边长为4,AE=2,求BD的长.21*cnjy*com
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参考答案
基础训练
1.C 2.A 3.D 4.B 5.1∶;∶1
6.C 7.A 8.D 9.B 10.B 11.D
提升训练
12.错解:B或D或A
诊断:运用平行线分线段成比例定理时,往往会因为没有找准对应关系而导致错选其他答案.解题时一定要注意.21教育网
正解:C
13.解:∵直线l1∥l2∥l3,
∴根据平行线分线段成比例基本事实可得=.
又∵AB=3,DE=,EF=4,∴BC=·AB=×3=.【来源：21cnj*y.co*m】
14.解:DE∥BC,由平行线分线 ( http: / / www.21cnjy.com )段成比例定理的推论可得=,由AD=5,BD=10,得AB=15,所以=,所以CE=6.【出处：21教育名师】
15.证明:∵EF∥CD,∴=.∵DE∥BC,∴=.【版权所有：21教育】
∴=,∴AD2=AB·AF,
即AD是AB和AF的比例中项.
16.证明:∵DE∥BC,∴=,∴PD·PC=PE·PB.
∵DF∥AC,∴=,∴PD·PC=PF·PA.
∴PE·PB=PF·PA,∴=.
17.证明:∵DE∥BC,∴=.
∵点D为AB的中点,∴AE=EC.
∵CF∥AB,∴=,∴DE=EF.
18.解:(1)∵∠ACB=90°,DE⊥AC,∴DE∥BC,
∴=.
∵=,AE=2,∴=,
解得EC=6.
(2)①如图,若∠CFG1=∠ECD,
( http: / / www.21cnjy.com / )
此时线段CP1为Rt△CFG1的FG1边上的中线.
理由:∵∠CFG1=∠ECD,∴∠CFG1=∠FCP1,
又∵∠CFG1+∠CG1F=90°,∠FCP1+∠P1CG1=90°,
∴∠CG1F=∠P1CG1,∴CP1=G1P1.
∵∠CFG1=∠FCP1,
∴CP1=FP1,
∴CP1=FP1=G1P1,
即线段CP1为Rt△CFG1的FG1边上的中线.
②如图,若∠CFG2=∠EDC,
此时线段CP2为Rt△CFG2的FG2边上的高线.
理由:∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°,
∴∠EDC+∠ECD=90°,又∵∠CFG2=∠EDC,
∴∠ECD+∠CFG2=∠ECD+∠EDC=90°.
∴CP2⊥FG2,
即线段CP2为Rt△CFG2的FG2边上的高线.
③当CD为∠ACB的平分线时,CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线.
19.解:如图,延长CB,FE,交于点H.
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=6 cm,BC∥AD,
∴∠EAF=∠EBH,∠AFE=∠BHE.又 ( http: / / www.21cnjy.com )AE=BE,∴△AFE≌△BHE,∴BH=AF=2 cm.∵BC∥AD,∴=,即=,则CG=12 cm,∴AC=AG+CG=15 cm.21世纪教育网版权所有
20.解:如图,延长BC至F点,使得CF=BD,连接EF.
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∵ED=EC,∴∠EDC=∠ECD,
∴∠EDB=∠ECF.在△ ( http: / / www.21cnjy.com )EBD和△EFC中,DB=CF,∠BDE=∠FCE,DE=CE,∴△EBD≌△EFC(SAS),∴∠B=∠F.又∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠ACB,∴∠ACB=∠F,21cnjy.com
∴AC∥EF,
∴=.又∵BA=BC,∴AE=CF=2,∴BD=CF=2
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27.2.1 平行线分线段成比例
人教版 九年级下
导入新知
1
知识点
相似三角形
知1－导
1. 各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形
叫相似多边形
2. 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三
角形叫相似三角形
相似三角形对应边的比，叫做相似比.
新知讲解
知1－讲
定义:对应角相等，对应边成比例的两个三角形，我
们称为相似三角形.
两个相似三角形用“∽”表示，读做“相似于”.
如△A1B1C1与△ABC相似,
注意：对应顶点写在
在对应位置.
记作“△ A1B1C1 ∽△ABC”
新知讲解
知1－讲
∠A=∠A1、∠B=∠B1、∠C=∠C1
用数学语言表示：（符号）
△ABC∽△A1B1C1
｝
新知讲解
例1 如图所示，△ABC∽△DEF，其中AB＝6，DE＝9，
指出对应边、对应角，
并求出相似比．
导引：用“∽”表示两个图形相似时，表示对应顶点的
字母应该写在对应的位置上．
解：对应边分别是：AB与DE，BC与EF，AC与DF.
对应角分别是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F.
∵AB∶DE＝6∶9＝2∶3，∴相似比为2∶3.
知1－讲
新知讲解
总 结
知1－讲
(1)对应性：表示两三角形相似时，要注意对应性，
即要把对应顶点写在对应位置上．
(2)顺序性：求两相似三角形的相似比，要注意顺序
性．若当△ABC∽△A′B′C′时，
则△A′B′C′∽△ABC时，
新知讲解
例2 如图，在△ABC中，DE∥BC.
(1)求 的值；
(2)△ADE与△ABC相似吗？
为什么？
导引：(1)直接利用线段的长度求它们的比值；
(2)抓住两个条件判断：①三条边成比例；
②三个角分别相等．
知1－讲
新知讲解
解：(1)由图形可知AB＝9，AC＝6.
(2)△ADE与△ABC相似．理由如下：
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB.
由(1)知
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC.
知1－讲
新知讲解
总 结
知1－讲
由于三角形是最简单的多边形，因此判定两个
三角形相似可以根据判定两个多边形相似的方法，
即利用相似三角形的定义证出三个角分别相等，三
条边成比例即可．
巩固提升
1 如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，
∠A＝60°，则∠C等于( )
A．40°
B．60°
C．80°
D．100°
知1－练
C
巩固提升
如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2. 若BC
＝1，则EF的长是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
知1－练
B
新知讲解
2
知识点
平行线分线段成比例的基本事实
知2－导
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，
那么在其他直线上截得的线段也相等.
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l3
l2
符号语言
∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC
∴ A1B1=B1C1
？
？
新知讲解
知2－讲
几何语言
∵ l1//l2//l3
(平行线分线段成比例)
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
结论
D
E
F
A
B
C
l1
l2
l3
l4
l5
∴
新知讲解
知2－讲
例3 如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是( )
A. B.
C. D.
导引：本题中利用平行线分线段成比例的基本事实
的图形主要有“A”型和“X”型，从每种图形
中找出比例线段即可判断．
C
新知讲解
知2－讲
解析：根据AB∥CD∥EF，结合平行线分线段成比
例的基本事实可得解．
∵AB∥CD∥EF，
故选项A，B，D正确．
∵CD∥EF，∴ 故选项C错误．
新知讲解
总 结
知2－讲
在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可
从两个方面得到信息：一是位置角之间的关系(同位
角相等、内错角相等、同旁内角互补)；二是线段之
间的关系，即平行线分线段成比例．
巩固提升
【2016·杭州】如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F. 若 则 等于( )
A.
B．
C.
D. 1
知2－练
1
B
巩固提升
【2016·济宁】如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相
交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么
＝______．
知2－练
2
巩固提升
【中考·扬州】如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4 cm，则线段BC＝________.
知2－练
3
12cm
新知讲解
知3－导
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边
的延长线），所得的对应线段成比例.
数学表达式：
如图，∵DE∥BC，
3
知识点
平行线分线段成比例基本事实的推论
新知讲解
例4 如图，F是 ABCD的边CD上一点，连接BF，并延长BF交AD的延长线于点E.求证：
解析: 先根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥
CD，再根据平行线分线段成比例定理的推论得
出对应边成比例即可得出结论．
知3－讲
新知讲解
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC.
（平行于三角形一边的直线截其他两
边，所得的对应线段成比例）.
同理可得
知3－讲
新知讲解
总 结
知3－讲
本题是证明等积式的典型题.要证明 经
常要把它转化为两个等式： 我们通常
把 叫做中间比.而找中间比的常见的方法就是通过
找到平行线，然后利用平行线分线段成比例定理和它
的推论来构造比例式.
巩固提升
【2016·兰州】如图，在△ABC中，DE∥BC，
若 则 等于( )
A. B. C. D.
知3－练
1
C
巩固提升
如图，在△ABC中，FG∥DE∥BC，已知DF＝3，
AG＝EC＝2，则下列四个等式中一定正确的是( )
A．FG·DE＝6
B．DB·GE＝6
C．FG:DE＝2:3
D．CE:DB＝3:2
知3－练
2
B
巩固提升
如图，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下
列比例式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
知3－练
3
C
巩固提升
【2016·锦州】如图，在△ABC中，点D为AC上一
点，且 过点D作DE∥BC交AB于点E，
连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB＝15，
则EF＝________．
知3－练
4
课堂小结
平行线除了具备造成“三线八角”相等或互补的
功能外，还可以分线段成比例，而利用平行线得线
段成比例的基本思路是：
(1)善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形：
“ 型”或“ 型”，得到相应的比例式；
(2)平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助线，
一般从分点或中点出发作平行线．
1
知识小结
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