第四章 图形的性质 第20节 直角三角形
■知识点一：直角三角形的性质
(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；
(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝AB；
斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB.
勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即 a2＋b2＝c2 .
■知识点二：直角三角形的判定
(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；
(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△
(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.
■知识点三：直角三角形的综合应用
（1）直角三角形的面积S=ch=ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.21教育网
（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.
（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.
■考点1.直角三角形的性质
◇典例：
1.（2015?菏泽）将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ）
A．140° B．160° C．170° D．150°
【考点】直角三角形的性质．
【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案．
解：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°， ∴∠COA=90°-20°=70°， ∴∠BOC=90°+70°=160°． 故选：B．21·cn·jy·com
2.（2016·广西百色·3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（ ）
A．6 B．6 C．6 D．12
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解．
解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，
∴BC=12sin30°=12×=6，
故答选A．
3.(2017襄阳中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，
CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为( )21·世纪*教育网
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】直角三角形斜边上的中线
解:连接CD，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8.由作法可知BC＝CD＝4，
CE是线段BD的垂直平分线，
∴CD是斜边AB的中线，
∴BD＝AD＝4，
∴BF＝DF＝2，
∴AF＝AD＋DF＝4＋2＝6.
故选A
4.（2015?桂林）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A． 30，40，50 B． 7，12，13 C． 5，9，12 D． 3，4，6
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．21cnjy.com
解：A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；
B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
故选A．
点评： 本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2-1-c-n-j-y
◆变式训练
1.（2014?黄石）如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．30° B．60° C．90° D．120°
2.（2016·四川南充）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，
AC的中点，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．1+
3.(2017毕节中考)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为( )
A．6 B．4 C．7 D．1221*cnjy*com
■考点2.直角三角形的判定
◇典例
1.若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是_______三角形．
【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形．
解：设三角分别为2x，3x，5x， 依题意得2x+3x+5x=180°， 解得x=18°． 故三角36°，54°，90°． 故填直角．
2.（2015?毕节市）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形
的是（ ）
A．，， B．1，， C．6，7，8 D．2，3，4
【解析】勾股定理的逆定理．.知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【版权所有：21教育】
解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
【点评】 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．【来源：21·世纪·教育·网】
◆变式训练
1.(2017长沙中考)一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是
( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
2.（2016?南京）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（ ）
A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7
■考点3.直角三角形的综合应用
◇典例：
1.（2017?眉山）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四
寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（?? ） 2·1·c·n·j·y
A.1.25尺?? ??B.57.5尺 ? C.6.25尺?? ?D.56.5尺
【考点】勾股定理的应用
【分析】根据题意可知△ABF∽△ADE，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得到井深． 解：依题意有△ABF∽△ADE， ∴AB：AD=BF：DE， 即5：AD=0.4：5， 解得AD=62.5， BD=AD﹣AB=62.5﹣5=57.5尺． 故选：B． 21教育名师原创作品
2.（2017?包头）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE
∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD=3．
(1)求AD的长；
(2)求四边形AEDF的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【考点】平行线的性质，含30度角的直角三角形，菱形的判定与性质 【分析】（1）首先证明∠CAD=30°，易知AD=2CD即可解决问题；（2）首先证明四边形AEDF是菱形，求出ED即可解决问题； 21世纪教育网版权所有
（1）解：∵∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD= ∠CAB=30°， 在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，∠CAD=30°， ∴AD=2CD=6． （2）解：∵DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵∠EAD=∠ADF=∠DAF， ∴AF=DF， ∴四边形AEDF是菱形， ∴AE=DE=DF=AF， 在Rt△CED中，∵∠CDE=∠B=30°， ∴DE= =2， ∴四边形AEDF的周长为8． 21*cnjy*com
◆变式训练
1.（浙江省湖州市模拟）如图，已知△ABC中，∠B=90 o，AB=8cm，BC=6cm，P、Q分别为AB、BC边上的动点，点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发；设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）从出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？
（3）在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两部分？若能够，请求出运动时间；若不能够，请说明理由．
2.（2017?荆门）已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F．
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长
1.（2017?陕西）如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其
中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（?? ） 【来源：21cnj*y.co*m】
A.3 B.6 C.3 D.
2.（2017?荆州）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根
六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（?? ）
?x2﹣6=（10﹣x）2?? B.?x2﹣62=（10﹣x）2??
C.?x2+6=（10﹣x）2?? D.?x2+62=（10﹣x）2
3.（2017?大庆）如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，
∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（?? ）
A.?30°? ???B.?15°??? ??C.?45°?? ??D.?25°
4.（2017?黄石）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE= ，
则∠CDE+∠ACD=（?? ）
A.?60°??????B.?75°???????C.?90°? ? ??D.?105°
5.（2017年浙江省温州市 一模）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC=5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是 ．
6.（2017·衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B
落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（? ? ）
A.???? ??B.????????C.?? ???D.
7.（2017?河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点
E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（?? ）
A.3????? B.4???????C.8?? ????D.9
8. (2016西宁)如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA ，PD⊥OA于点D，PC＝4，则
PD＝ ．
9.（2017?东营）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，
有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
10.（2017年浙江宁波市慈溪市第七区域中考数学模拟）按照有关规定：距高铁轨道 200米以内的区域内不宜临路新建学校、医院、敬老院和集中住宅区等噪声敏感建筑物．
如图是一个小区平面示意图，矩形ABEF为一新建小区，直线MN为高铁轨道，C、D是直线MN上的两点，点C、A．B在一直线上，且DA⊥CA，∠ACD=30°．小王看中了①号楼A单元的一套住宅，与售楼人员的对话如下：
（1）小王心中一算，发现售楼人员的话不可信，请你用所学的数学知识说明理由；
（2）若一列长度为228米的高铁以252千米/小时的速度通过时，则A单元用户受到影响时间有多长？
（温馨提示：≈1.4，≈1.7，≈6.1）
1.（浙江宁波市北仑区 期末）已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的三条边之比为（ ）
A．1：1： B．1：：2 C．1：： D．1：4：1
2.（2017年浙江义乌、绍兴、金华市）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
3.（2016年浙江省台州市 ）如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
4.（浙江省湖州市菱湖一中八年级第一学期期中考试数学卷）直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则此直角三角形斜边上的中线长为（ ）
A．1.5 B．2 C．5 D．2.5
5.（2017年浙江嘉兴市 ）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ．若平移点 到点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（ ??）
2
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B、向左平移 个单位，再向上平移1个单位
C、向右平移 个单位，再向上平移1个单位
D、向右平移1个单位，再向上平移1个单位
6.（2016年浙江省杭州市 含答案解析）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ）
A．m2+2mn+n2=0 B．m2﹣2mn+n2=0 C．m2+2mn﹣n2=0 D．m2﹣2mn﹣n2=0
7.（2015年浙江宁波市慈溪市 一模试卷含答案解析）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ）
A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.5
8.（2017?宁波）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝ ．以BC的中点O为圆
心的圆分别与AB、AC相切于D、E两点，则 的长为 （? ?）
A.?????? B.??? ??C.??? ??D.?
9.（2017年浙江宁波市 模拟试卷（二））如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB=10，则CE= ．
10.（2017年浙江省丽水市 ）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为 ．
11.（2016年浙江省温州市）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图1所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图2所示），则该凸六边形的周长是 cm．
12.（2016年浙江省湖州市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是 ．
13.（2014年浙江省湖州市 ）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
14.（浙江杭州市萧山区南片2015年12月九年级质量检测）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.
(1)求证：CF=BF
(2)若CD=6，CA=8，求AE的长
（2015年浙江省金华市）图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图.
（1）蜘蛛在顶点处①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线和往墙面爬行的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近？
（2）在图3中，半径为10dm的⊙M与相切，圆心M到边的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线。若PQ与⊙M相切，试求PQ的长度的范围.
第四章 图形的性质 第20节 直角三角形
■知识点一：直角三角形的性质
(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；
(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝AB；
斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB.
勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即 a2＋b2＝c2 .
■知识点二：直角三角形的判定
(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；
(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△
(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.
■知识点三：直角三角形的综合应用
（1）直角三角形的面积S=ch=ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.
（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.
（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.
■考点1.直角三角形的性质
◇典例：
1.（2015?菏泽）将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ）
A．140° B．160° C．170° D．150°
【考点】直角三角形的性质．
【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案．
解：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°， ∴∠COA=90°-20°=70°， ∴∠BOC=90°+70°=160°． 故选：B．
2.（2016·广西百色·3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（ ）
A．6 B．6 C．6 D．12
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解．
解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，
∴BC=12sin30°=12×=6，
故答选A．
3.(2017襄阳中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，
CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】直角三角形斜边上的中线
解:连接CD，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8.由作法可知BC＝CD＝4，
CE是线段BD的垂直平分线，
∴CD是斜边AB的中线，
∴BD＝AD＝4，
∴BF＝DF＝2，
∴AF＝AD＋DF＝4＋2＝6.
故选A
4.（2015?桂林）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A． 30，40，50 B． 7，12，13 C． 5，9，12 D． 3，4，6
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
解：A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；
B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
故选A．
点评： 本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
◆变式训练
1.（2014?黄石）如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【考点】直角三角形的性质．
【分析】根据直角三角形两锐角互余解答．
解：由题意得，剩下的三角形是直角三角形， 所以，∠1+∠2=90°． 故选：C．
2.（2016·四川南充）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，
AC的中点，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．1+
【分析】由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC=2．然后根据三角形中位线定理求得DE=AB．
解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=2．
又∵点D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ACB的中位线，
∴DE=0.5 AB=1．
故选：A．
【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
3.(2017毕节中考)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为( )
A．6 B．4 C．7 D．12
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，
∴CD＝AB＝4.5
.∵CF＝CD，
∴DF＝CD＝×4.5＝3.
∵BE∥DC，
∴DF是△ABE的中位线，
∴BE＝2DF＝6.
【答案】A
■考点2.直角三角形的判定
◇典例
1.若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是_______三角形．
【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形．
解：设三角分别为2x，3x，5x， 依题意得2x+3x+5x=180°， 解得x=18°． 故三角36°，54°，90°． 故填直角．
2.（2015?毕节市）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形
的是（ ）
A．，， B．1，， C．6，7，8 D．2，3，4
【解析】勾股定理的逆定理．.知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
【点评】 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
◆变式训练
1.(2017长沙中考)一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是
( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形．
解：设三角分别为x，2x，3x， 依题意得2x+3x+x=180°， 解得x=30°． 故三角30°，60°，90°． 故选B．
2.（2016?南京）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（ ）
A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可．
解：A、因为32+42＞42，所以三条线段能组锐角三角形，不符合题意； B、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，不符合题意； C、因为3+4＞6，且32+42＜62，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意； D、因为3+4=7，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意． 故选：C．
■考点3.直角三角形的综合应用
◇典例：
1.（2017?眉山）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四
寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（?? ）
A.1.25尺?? ??B.57.5尺 ? C.6.25尺?? ?D.56.5尺
【考点】勾股定理的应用
【分析】根据题意可知△ABF∽△ADE，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得到井深． 解：依题意有△ABF∽△ADE， ∴AB：AD=BF：DE， 即5：AD=0.4：5， 解得AD=62.5， BD=AD﹣AB=62.5﹣5=57.5尺． 故选：B．
2.（2017?包头）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE
∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD=3．
(1)求AD的长；
(2)求四边形AEDF的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【考点】平行线的性质，含30度角的直角三角形，菱形的判定与性质 【分析】（1）首先证明∠CAD=30°，易知AD=2CD即可解决问题；（2）首先证明四边形AEDF是菱形，求出ED即可解决问题；
（1）解：∵∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD= ∠CAB=30°， 在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，∠CAD=30°， ∴AD=2CD=6． （2）解：∵DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵∠EAD=∠ADF=∠DAF， ∴AF=DF， ∴四边形AEDF是菱形， ∴AE=DE=DF=AF， 在Rt△CED中，∵∠CDE=∠B=30°， ∴DE= =2 ， ∴四边形AEDF的周长为8 ．
◆变式训练
1.（浙江省湖州市模拟）如图，已知△ABC中，∠B=90 o，AB=8cm，BC=6cm，P、Q分别为AB、BC边上的动点，点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发；设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）从出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？
（3）在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两部分？若能够，请求出运动时间；若不能够，请说明理由．
【考点】勾股定理
【分析】（1）我们求出BP、BQ的长，用勾股定理解决即可． （2）△PQB形成等腰三角形，即BP=BQ，我们可设时间为t，列出方程2t=8-1×t，解方程即得结果． （3）直线PQ把原三角形周长分成相等的两部分，根据勾股定理可知AC=10cm，即三角形的周长为24cm，则有BP+BQ=12，即2t+（8-1×t）=12，解方程即可
解：（1）出发2秒后，BP=6，BQ=4，PQ=；
（2）设时间为t，列方程得
2t=8-1×t，
解得t=；
（3）根据勾股定理可知AC=10cm，即三角形的周长为24cm，则有BP+BQ=12，
设时间为t，列方程得
2t+（8-1×t）=12，
解得t=4，
当t=4时，点Q运动的路程是4×2=8＞6，
所以不能够．
点评：本题重点考查了利用勾股定理解决问题的能力，综合性较强．
2.（2017?荆门）已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F．
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长
【考点】全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线 【分析】（1）先根据点E是CD的中点得出DE=CE，再由AB∥CF可知∠BAF=∠AFC，根据AAS定理可得出△ADE≌△FCE；（2）根据直角三角形的性质可得出AD=CD= AB，再由AB∥CF可知∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，由三角形外角的性质可得出∠DAC=∠ACD= ∠BDC=30°，进而可得出结论．
（1）证明：∵点E是CD的中点， ∴DE=CE． ∵AB∥CF， ∴∠BAF=∠AFC． 在△ADE与△FCE中， ∵ ， ∴△ADE≌△FCE（AAS） （2）解：由（1）得，CD=2DE， ∵DE=2， ∴CD=4． ∵点D为AB的中点，∠ACB=90°， ∴AB=2CD=8，AD=CD= AB． ∵AB∥CF， ∴∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°， ∴∠DAC=∠ACD= ∠BDC= ×60°=30°， ∴BC= AB= ×8=4
1.（2017?陕西）如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其
中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（?? ）
A.3 B.6 C.3 D. 【考点】勾股定理
【分析】由已知条件根据勾股定理得出AB=3 ，∠CAB=45°，再根据全等三角形的性质得出∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=3 ，∠CAB′=90°，再由勾股定理求出B′C=3 . ∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3， ∴AB= =3 ，∠CAB=45°， ∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同， ∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=3 ， ∴∠CAB′=90°， ∴B′C= =3 ， 故答案为：A．
2.（2017?荆州）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根
六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（?? ）
?x2﹣6=（10﹣x）2?? B.?x2﹣62=（10﹣x）2??
C.?x2+6=（10﹣x）2?? D.?x2+62=（10﹣x）2
【考点】勾股定理的应用
【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可． 解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 ， 即x2+62=（10﹣x）2 ． 故选D．
3.（2017?大庆）如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，
∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（?? ）
A.?30°? ???B.?15°??? ??C.?45°?? ??D.?25° 【考点】直角三角形斜边上的中线，等腰直角三角形
【分析】因为E为DC中点，根据直角三角形的性质可得BE=CE，又因为∠BCD=60°，根据等腰三角形性质可求出∠CBE=60°，进而求得∠DBF=30°，再根据△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，可求得∠ABD=45°，即∠ABF=∠DBF+∠ABD=75°，最后根据三角形内角和即可求出∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°. 解：∵∠DBC=90°，E为DC中点， ∴BE=CE= CD， ∵∠BCD=60°， ∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°， ∵△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD=45°， ∴∠ABF=75°， ∴∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°， 故答案为：B．
4.（2017?黄石）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE= ，
则∠CDE+∠ACD=（?? ）
A.?60°??????B.?75°???????C.?90°? ? ??D.?105° 【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理的逆定理
【分析】根据直角三角形的性质得到BC=2CE= ，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据三角函数的定义得到∠A=60°，求得∠ACD=∠B=30°，得到∠DCE=60°，于是得到结论． 解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点， ∴BC=2CE= ， ∵AB=2，AC=1， ∴AC2+BC2=12+（ ）2=4=22=AB2 ， ∴∠ACB=90°， ∵tan∠A= = ， ∴∠A=60°， ∴∠ACD=∠B=30°， ∴∠DCE=60°， ∵DE=CE， ∴∠CDE=60°， ∴∠CDE+∠ACD=90°， 故选C．
5.（2017年浙江省温州市 一模）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC=5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是 ．
【考点】勾股定理的证明．
【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC=y，则
x2=4y2+52，
∵△BCD的周长是30，
∴x+2y+5=30
则x=13，y=6．
∴这个风车的外围周长是：4（x+y）=4×19=76．
故答案是：76．
6.（2017·衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B
落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（? ）
A.???? ??B.????????C.?? ???D.
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理的应用，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【分析】根据折叠前后的图形是全等形，得出EC=BC=6，AE=AB=4，∠BCA=∠FCA，再根据AD∥BC，从而得出∠FAC=∠BCA，∠FAC=∠FCA, AF=CF，DF=FE．在在Rt△CDF中，根据勾股定理得出DF的长度即可。 解：由题意得： ?EC=BC=6，AE=AB=4，∠BCA=∠FCA， ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC,AB=CD, ∴∠FAC=∠BCA,
∴∠FAC=∠FCA, ?∴AF=CF，
∴AD-AF=CE-CF，
即DF=FE． 设DF=FE=x，CF=6-x，
在Rt△CDF中，．
即，
解得：x=, 即DF=. 故选B.
7.（2017?河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点
E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（?? ）
A.3????? B.4???????C.8?? ????D.9
【考点】等边三角形的性质，含30度角的直角三角形
【分析】设BD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论． 解：如图，
设BD=x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB， ∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°， ∴BF=2x， ∴CF=12﹣2x， ∴CE=2CF=24﹣4x， ∴AE=12﹣CE=4x﹣12， ∴AD=2AE=8x﹣24， ∵AD+BD=AB， ∴8x﹣24+x=12， ∴x=4， ∴AD=8x﹣24=32﹣24=8． 故选C． 8. (2016西宁)如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA ，PD⊥OA于点D，PC＝4，则
PD＝ ．
【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形.?
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD.? 解：作PE⊥OA于E，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），? ∵∠BOP=∠AOP=15°，∴∠AOB=30°，∵PC∥OB， ∴∠ACP=∠AOB=30°，? ∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），? ∴PD=PE=2，? ?
9.（2017?东营）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，
有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是________尺． 【考点】勾股定理的应用
【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺， 另一条直角边长5×3=15（尺）， 因此葛藤长为 =25（尺）． 故答案为：25．
10.（2017年浙江宁波市慈溪市第七区域中考数学模拟）按照有关规定：距高铁轨道 200米以内的区域内不宜临路新建学校、医院、敬老院和集中住宅区等噪声敏感建筑物．
如图是一个小区平面示意图，矩形ABEF为一新建小区，直线MN为高铁轨道，C、D是直线MN上的两点，点C、A．B在一直线上，且DA⊥CA，∠ACD=30°．小王看中了①号楼A单元的一套住宅，与售楼人员的对话如下：
（1）小王心中一算，发现售楼人员的话不可信，请你用所学的数学知识说明理由；
（2）若一列长度为228米的高铁以252千米/小时的速度通过时，则A单元用户受到影响时间有多长？
（温馨提示：≈1.4，≈1.7， ≈6.1）
【考点】勾股定理的应用．
【分析】（1）作过点A作AG⊥MN，垂足为G，根据三角函数可求AG的长，再与200米比较大小即可求解；
（2）在MN上找到点S、T，使得AS=AT=200米，根据勾股定理可求GT，根据三角函数可求ST，依此可求速度，进一步得到A单元用户受到影响的时间．
解：（1）作过点A作AG⊥MN，垂足为G，
∵∠ACD=30°，DA⊥CA，
∴∠ADC=60°，
∵AD=220米，
∴AG=ADsin60°=110≈187＜200，
∴A单元用户会受到影响，售楼人员的说法不可信．
（2）在MN上找到点S、T，使得AS=AT=200米
∴GT=GS==10米
∴ST=2GT=20≈122米
又∵速度V==70（米/秒）
∴时间t==5秒，即受影响的时间为5秒．
选择题
1.（浙江宁波市北仑区 期末）已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的三条边之比为（ ）
A．1：1： B．1：：2 C．1：： D．1：4：1
【考点】勾股定理．
【分析】根据给出的条件和三角形的内角和定理计算出三角形的角，再计算出它们的边的比．
解：∵∠A=∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∴c=2a，b=a，
∴三条边的比是1：：2．
故选：B．
2.（2017年浙江义乌、绍兴、金华市）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
【考点】勾股定理的应用．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，
∴AB2=0.72+2.42=6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，
∴BD2+22=6.25，
∴BD2=2.25，
∵BD＞0，
∴BD=1.5米，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．
故选C．
3.（2016年浙江省台州市）如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ ）
A． B． C． D．
【考点】勾股定理；实数与数轴．
【分析】直接利用勾股定理得出OC的长，进而得出答案．
解：如图所示：连接OC，
由题意可得：OB=2，BC=1，
则AC==，
故点M对应的数是：．
故选：B．
4.（浙江省湖州市菱湖一中八年级第一学期期中考试数学卷）直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则此直角三角形斜边上的中线长为（ ）
A．1.5 B．2 C．5 D．2.5
【考点】直角三角形斜边上的中线;勾股定理
【分析】已知直角三角形的两条直角边，根据勾股定理即可求斜边的长度，根据斜边中线长为斜边长的一半即可解题
解：直角三角形的两直角边为3、4， 则斜边长为=5， 故斜边的中线长为×5=2.5． 故选D
5.（2017年浙江嘉兴市 ）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ．若平移点 到点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（ ??）
2
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B、向左平移 个单位，再向上平移1个单位
C、向右平移 个单位，再向上平移1个单位
D、向右平移1个单位，再向上平移1个单位
【考点】勾股定理，菱形的判定，平移的性质，坐标与图形变化-平移
【分析】根据平移的性质可得OB//AC，平移A到C，有两种平移的方法可使O，A，B，C四点构成的四边形是平行四边形；而OA=OB>AB，故当OA，OB为边时O，A，B，C四点构成的四边形是菱形，故点A平移到C的运动与点O平移到B的相同.
解：因为B（1,1）
由勾股定理可得OB=,
所以OA=OB，
而AB故以AB为对角线，OB//AC，
由O（0,0）移到点B（1,1）需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
由平移的性质可得由A（,0）移到点C需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
故选D.
6.（2016年浙江省杭州市 含答案解析）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ）
A．m2+2mn+n2=0 B．m2﹣2mn+n2=0 C．m2+2mn﹣n2=0 D．m2﹣2mn﹣n2=0
【考点】等腰直角三角形；等腰三角形的性质．
【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2=（n﹣m）2，整理即可求解
解：如图，
m2+m2=（n﹣m）2，
2m2=n2﹣2mn+m2，
m2+2mn﹣n2=0．
故选：C．
7.（2015年浙江宁波市慈溪市 一模试卷含答案解析）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ）
A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.5
【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理；三角形的外接圆与外心．
【分析】直角三角形的内切圆半径和其三边有特殊关系：三边中a b为直角边，c为斜边，内切圆半径为r，则r=；外接圆的半径就是斜边的一半．
解：∵AB=5，AC=3，
∴BC==4，
∴外接圆半径==2.5，
∵四边形ODCE是正方形，且⊙O是△ABC的内切圆，
∴内切圆半径==1．
故选C．
【点评】解决此题的关键是熟练掌握直角三角形的三边与外接圆半径，内切圆半径之间的关系．
8.（2017?宁波）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝ ．以BC的中点O为圆
心的圆分别与AB、AC相切于D、E两点，则 的长为 （? ?）
A.?????? B.??? ??C.??? ??D.?
【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理，正方形的判定，切线的性质，弧长的计算
【分析】根据O为BC中点.BC=2.求出OA=OB=OC=；再根据AC、AB是⊙O的切线，得出四边形ODAE为正方形；由勾股定理求出r的值，再根据弧长公式得出弧DE的长度. 解： ∵O为BC中点.BC=2. ∴OA=OB=OC=. 又∵AC、AB是⊙O的切线， ∴OD=OE=r.OE⊥AC,OD⊥AB, ∵∠A＝90°. ∴四边形ODAE为正方形. ∴∠DOE=90°. ∴（2r）2+（2r）2=. ∴r=1. ∴弧DE===. 故答案为B.
9.（2017年浙江宁波市 模拟试卷（二））如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB=10，则CE= ．
考点：直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求，
解：∵Rt△ABC中，E是斜边AB的中点
∴CE=AB
∵AB=10
∴CE=5.
故答案为：5
10.（2017年浙江省丽水市 ）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为 ．
【考点】勾股定理的证明．
【分析】根据正方形面积公式，由面积的和差关系可得8个直角三角形的面积，进一步得到1个直角三角形的面积，再由面积的和差关系可得正方形EFGH的面积，进一步求出正方形EFGH的边长．
解：（14×14﹣2×2）÷8
=（196﹣4）÷8
=192÷8
=24，
24×4+2×2
=96+4
=100，
=10．
答：正方形EFGH的边长为10．
故答案为：10．
11.（2016年浙江省温州市）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图1所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图2所示），则该凸六边形的周长是 cm．
【考点】七巧板．
【分析】由正方形的性质和勾股定理求出各板块的边长，即可求出凸六边形的周长．
解：如图所示：图形1：边长分别是：16，8，8；
图形2：边长分别是：16，8，8；
图形3：边长分别是：8，4，4；
图形4：边长是：4；
图形5：边长分别是：8，4，4；
图形6：边长分别是：4，8；
图形7：边长分别是：8，8，8；
∴凸六边形的周长=8+2×8+8+4×4=32+16（cm）；
故答案为：32+16．
12.（2016年浙江省湖州市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是 ．
【考点】作图—基本作图；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【分析】首先说明AD=DB，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题．
解：由题意EF是线段AB的垂直平分线，
∴AD=DB，
Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，
∴AB===10，
∵AD=DB，∠ACB=90°，
∴CD=AB=5．
故答案为5．
13.（2014年浙江省湖州市 ）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
（1）证明：作OE⊥AB，
∵AE=BE，CE=DE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；
（2）∵由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE=6，
∴CE===2，AE===8，
∴AC=AE﹣CE=8﹣2．
14.（浙江杭州市萧山区南片2015年12月九年级质量检测）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.
(1)求证：CF=BF
(2)若CD=6，CA=8，求AE的长
(1)证明： AB是⊙O的直径
C是的中点
(2) C是弧BD的中点
BC=CD=6
在Rt△ABC中，由勾股定理得
在Rt△ACE中 ,AE=
（2015年浙江省金华市 ）图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图.
（1）蜘蛛在顶点处①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线和往墙面爬行的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近？
（2）在图3中，半径为10dm的⊙M与相切，圆心M到边的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线。若PQ与⊙M相切，试求PQ的长度的范围.
【考点】几何体的展开图；切线的性质；勾股定理
【分析】1）①根据“两点之间，线段最短”可知：线段A′B为最近路线；
②Ⅰ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①，运用勾股定理求出AC长；Ⅱ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②，运用勾股定理求出A′C长，然后将两个长度进行比较，就可解决问题；
（2）过点M作MH⊥AB于H，连接MQ、MP、MA．MB，如图3．由⊙M与D′C′相切于点Q可得MQ⊥PQ，即∠MQP=90°，根据勾股定理可得PQ=．要求PQ的取值范围，只需先求出MP的取值范围，就可解决问题．
解：（1）①如答图1，连结，线段就是所求作的最近路线.
②两种爬行路线如答图2所示，
由题意可得：
在Rt△A'C'C2中， A'HC2= (dm)；
在Rt△A'B'C1中， A'GC1=(dm)
∵＞，∴路线A'GC1更近.
（2）如答图，连接MQ，
∵PQ为⊙M的切线，点Q为切点，
∴MQ⊥PQ.
∴在Rt△PQM中，有PQ2=PM2－QM2= PM2－100，
当MP⊥AB时,MP最短，PQ取得最小值，如答图3,
此时MP=30+20=50，
∴PQ= (dm).
当点P与点A重合时, MP最长，PQ取得最大值，如答图4,
过点M作MN⊥AB，垂足为N，
∵由题意可得 PN=25，MN=50，
∴在Rt△PMN中，.
∴在Rt△PQM中，PQ= (dm).
综上所述， 长度的取值范围是
