第四章 图形的性质 第21节 解直角三角形
■知识点一：锐角三角函数的定义
1.锐角三角函数 正弦: sinA＝＝
余弦: cosA＝＝
正切: tanA＝＝.
2.特殊角的三角函数值
度数
三角函数
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
■知识点二：解直角三角形
1.解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2.解直角三角形的常用关系
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝.
■知识点三：解直角三角形的应用
1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）
21·cn·jy·com
2.解直角三角形实际应用的一般步骤
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
■考点1. 锐角三角函数的定义
◇典例：
1.（2017. 阿坝）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（ ）
A．msin35° B．mcos35° C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．
解：sin∠A=，
∵AB=m，∠A=35°，
∴BC=msin35°，
故选：A．
2.（2017. 天津）cos60°的值等于（ ）
A． B．1 C． D．
【考点】 特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
解：cos60°=，
故选：D．
◆变式训练
1.（2017. 宜昌）△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是（ ）
A．sinα=cosα B．tanC=2 C．sinβ=cosβ D．tanα=1
2.（2017. 聊城）在Rt△ABC中，cosA=，那么sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
■考点2：解直角三角形
◇典例
（2017.滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
【考点】解直角三角形．
【分析】通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan∠DAC的值．21cnjy.com
解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，
∴AB=2AC，BC==AC．
∵BD=BA，
∴DC=BD+BC=（2+）AC，
∴tan∠DAC===2+．
故选：A．
◆变式训练
（2017·嘉兴）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形 ）靠墙摆放，高 ，宽 ，小强身高 ，下半身 ，洗漱时下半身与地面成 （ ），身体前倾成 （ ），脚与洗漱台距离 （点 ， ， ， 在同一直线上）．www.21-cn-jy.com
(1)此时小强头部 点与地面 相距多少？
(2)小强希望他的头部 恰好在洗漱盆 的中点 的正上方，他应向前或后退多少？
（ ， ， ，结果精确到 ）
■考点3：解直角三角形的应用
◇典例：
1.（2017?长春）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）2·1·c·n·j·y
【考点】 解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】过B作地平面的垂线段BC，垂足为C，构造直角三角形，利用正弦函数的定义，即可求出BC的长．
解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴BC=AB?sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米）．
即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
2.（2017?临沂）如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．www-2-1-cnjy-com
【考点】 解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，在直角三角形ABC中，由题意确定出AB的长，进而确定出EC的长，在直角三角形AED中，由题意求出ED的长，由EC﹣ED求出DC的长即可．2-1-c-n-j-y
解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，
在Rt△AED中，AE=BC=30m，∠EAD=30°，
∴ED=AEtan30°=10m，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=30m，
∴AB=30m，
则CD=EC﹣ED=AB﹣ED=30﹣10=20m．
3.（2017?天水）一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离．（结果保留根号）21*cnjy*com
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
【分析】利用题意得到AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AB=20海里，如图，设BC=x海里，则AC=AB+BC=（20+x）海里．解△PBC，得出PC=BC=x海里，解Rt△APC，得出AC=PC?tan60°=x，根据AC不变列出方程x=20+x，解方程即可．【来源：21cnj*y.co*m】
解：如图，AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AB=20海里，设BC=x海里，则AC=AB+BC=（20+x）海里．21教育名师原创作品
在△PBC中，∵∠BPC=45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴PC=BC=x海里，
在Rt△APC中，∵tan∠APC=，
∴AC=PC?tan60°=x，
∴x=20+x，
解得x=10+10，
则PC=（10+10）海里．
答：轮船航行途中与灯塔P的最短距离是（10+10）海里．
◆变式训练
1.（2017. 宁波）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了 米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）21*cnjy*com
2.（2017?乐山）如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°，∠CAD=60°，在屋顶C处测得∠DCA=90°．若房屋的高BC=6米，求树高DE的长度．【出处：21教育名师】
3.（2017?鞍山）如图，建筑物C在观测点A的北偏东65°方向上，从观测点A出发向南偏东40°方向走了130m到达观测点B，此时测得建筑物C在观测点B的北偏东20°方向上，求观测点B与建筑物C之间的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73）
1.（2017.湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
2.（2017.云南）sin60°的值为（ ）
A． B． C． D．
3.（2017.温州）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα=，
则小车上升的高度是（ ）
A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米
4.（2017. 杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（ ）21教育网
A．x﹣y2=3 B．2x﹣y2=9 C．3x﹣y2=15 D．4x﹣y2=21
5.（2017.德阳）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=米，背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为 米．21·世纪*教育网
6.（2017. 阜新）如图，从楼AB的A处测得对面楼CD的顶部C的仰角为37°，底部D的俯角为45°，两楼的水平距离BD为24m，那么楼CD的高度约为 m．（结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.6；cos37°≈0.8；tan37°≈0.75）
7.（2017. 苏州）如图，在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头 A北偏东60°的方向，在码头 B北偏西45°的方向，AC=4km．游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A、B的游船速度分别为v1、v2，若回到 A、B所用时间相等，则= （结果保留根号）．
8.（2016年浙江省丽水市）数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．
9.（2017年浙江省宁波市七校联考 一模）2017年3月，某海域发生航班失联事件，我海事救援部门用高频海洋探测仪进行海上搜救，分别在A．B两个探测点探测到C处是信号发射点，已知A．B两点相距400m，探测线与海平面的夹角分别是30°和60°，若CD的长是点C到海平面的最短距离．【版权所有：21教育】
（1）问BD与AB有什么数量关系，试说明理由；
（2）求信号发射点的深度．（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）
10.（2017年浙江省丽水市）如图是某小区的一个健身器材，已知BC=0.15m，AB=2.70m，∠BOD=70°，求端点A到地面CD的距离（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
1.（2017年浙江省金华市）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
2.（2017年浙江省温州市一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
3.（2017年浙江宁波市慈溪市第七区域模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，AB=5，则边AC的长是（ ）
A．3 B．4 C． D．
4.（2016年浙江省金华市）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）
A．米2 B．米2 C．（4+）米2 D．（4+4tanθ）米2
5.（2016年浙江省绍兴市）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A．D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
6.（2014年浙江省湖州市）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．2 B． 8 C． 2 D． 4
7.（浙江省嵊州市期末）．在Rt△ABC中，∠C=900,BC=1，AC=2，则tanA的值是 （ ）
A． B．2 C． D．
8.（2016年浙江省杭州市）tan60°= ．
9.（2016年浙江宁波市）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 m（结果保留根号）．
10.（2016年浙江舟山市）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为 ．
12.（2016年浙江省台州市）保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm，图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图2的△ABC，已知BC=30cm，AC=22cm，∠ACB=53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
13.（2016年浙江舟山市）太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95．tan18°≈0.32，sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
14.（2016年浙江省绍兴市）如图1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图2．
（1）求∠CBA的度数．
（2）求出这段河的宽（结果精确到1m，备用数据≈1.41，≈1.73）．
15.（2017年浙江台州市）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由。（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）21世纪教育网版权所有
第四章 图形的性质 第21节 解直角三角形
■知识点一：锐角三角函数的定义
1.锐角三角函数 正弦: sinA＝＝
余弦: cosA＝＝
正切: tanA＝＝.
2.特殊角的三角函数值
度数
三角函数
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
■知识点二：解直角三角形
1.解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2.解直角三角形的常用关系
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝.
■知识点三：解直角三角形的应用
1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）
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2.解直角三角形实际应用的一般步骤
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
■考点1. 锐角三角函数的定义
◇典例：
1.（2017. 阿坝）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（ ）
A．msin35° B．mcos35° C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．
解：sin∠A=，
∵AB=m，∠A=35°，
∴BC=msin35°，
故选：A．
2.（2017. 天津）cos60°的值等于（ ）
A． B．1 C． D．
【考点】 特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
解：cos60°=，
故选：D．
◆变式训练
1.（2017. 宜昌）△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是（ ）
A．sinα=cosα B．tanC=2 C．sinβ=cosβ D．tanα=1
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】观察图形可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2，AD=2，CD=1，AC=，利用锐角三角函数一一计算即可判断．21·世纪*教育网
解：观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2，AD=2，CD=1，AC=，
∴sinα=cosα=，故A正确，
tanC==2，故B正确，
tanα=1，故D正确，
∵sinβ==，cosβ=，
∴sinβ≠cosβ，故C错误．
故选C．
2.（2017. 聊城）在Rt△ABC中，cosA=，那么sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数的关系；特殊角的三角函数值．
【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值即可．
解：∵Rt△ABC中，cosA=，
∴sinA==，
故选B
■考点2：解直角三角形
◇典例
（2017.滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
【考点】解直角三角形．
【分析】通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan∠DAC的值．2-1-c-n-j-y
解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，
∴AB=2AC，BC==AC．
∵BD=BA，
∴DC=BD+BC=（2+）AC，
∴tan∠DAC===2+．
故选：A．
◆变式训练
（2017·嘉兴）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形 ）靠墙摆放，高 ，宽 ，小强身高 ，下半身 ，洗漱时下半身与地面成 （ ），身体前倾成 （ ），脚与洗漱台距离 （点 ， ， ， 在同一直线上）．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)此时小强头部 点与地面 相距多少？
(2)小强希望他的头部 恰好在洗漱盆 的中点 的正上方，他应向前或后退多少？
（ ， ， ，结果精确到 ）
【考点】 解直角三角形
【分析】（1）过点F作FN⊥DK于点N，过点E作EM⊥FN于点M，他头部E点与地面DK的距离即为MN，由EF+FG=166，FG=100，则EF=66，由角的正弦值和余弦值即可解答；
（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于点H，即求OP=OH-PH，而PH=EM，OH=OB+BH=OB+CG+GN，在Rt△EMF求出EM，在Rt△FGN求出GN即可.
（1）解：过点F作FN⊥DK于点N，过点E作EM⊥FN于点M，
∵EF+FG=166，FG=100，∴EF=66，
∵∠FGK=80°，∴FN=100sin80°≈98，
又∵∠EFG=125°，∴∠EFM=180°-125°-10°=45°，
∴FM=66cos45°=33≈46.53，
∴MN=FN+FM≈144.5.
∴他头部E点与地面DK相距约144.5cm。
?
（2）解：过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于点H。
∵AB=48，O为AB的中点，
∴AO=BO=24，
∵EM=66sin45°≈46.53，即PH≈46.53
GN=100cos80°≈1,8，CG=15，
∴OH=24+15+18==57
OP=OH-PH=57-46.53=10.47≈10.5，
∴他应向前10.5cm。
■考点3：解直角三角形的应用
◇典例：
1.（2017?长春）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）www.21-cn-jy.com
【考点】 解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】过B作地平面的垂线段BC，垂足为C，构造直角三角形，利用正弦函数的定义，即可求出BC的长．
解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴BC=AB?sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米）．
即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
2.（2017?临沂）如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．
【考点】 解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，在直角三角形ABC中，由题意确定出AB的长，进而确定出EC的长，在直角三角形AED中，由题意求出ED的长，由EC﹣ED求出DC的长即可．21·cn·jy·com
解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，
在Rt△AED中，AE=BC=30m，∠EAD=30°，
∴ED=AEtan30°=10m，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=30m，
∴AB=30m，
则CD=EC﹣ED=AB﹣ED=30﹣10=20m．
3.（2017?天水）一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
【分析】利用题意得到AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AB=20海里，如图，设BC=x海里，则AC=AB+BC=（20+x）海里．解△PBC，得出PC=BC=x海里，解Rt△APC，得出AC=PC?tan60°=x，根据AC不变列出方程x=20+x，解方程即可．
解：如图，AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AB=20海里，设BC=x海里，则AC=AB+BC=（20+x）海里．
在△PBC中，∵∠BPC=45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴PC=BC=x海里，
在Rt△APC中，∵tan∠APC=，
∴AC=PC?tan60°=x，
∴x=20+x，
解得x=10+10，
则PC=（10+10）海里．
答：轮船航行途中与灯塔P的最短距离是（10+10）海里．
◆变式训练
1.（2017. 宁波）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了 米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】如图在Rt△ABC中，AC=AB?sin34°=500×0.56≈280m，可知这名滑雪运动员的高度下降了280m．
解：如图在Rt△ABC中，
AC=AB?sin34°=500×0.56≈280m，
∴这名滑雪运动员的高度下降了280m．
故答案为280
2.（2017?乐山）如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°，∠CAD=60°，在屋顶C处测得∠DCA=90°．若房屋的高BC=6米，求树高DE的长度．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】首先解直角三角形求得表示出AC，AD的长，进而利用直角三角函数，求出答案．
解：如图，在Rt△ABC中，∠CAB=45°，BC=6m，
∴（m）；
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，
∴（m）；
在Rt△DEA中，∠EAD=60°，，
答：树DE的高为米．
3.（2017?鞍山）如图，建筑物C在观测点A的北偏东65°方向上，从观测点A出发向南偏东40°方向走了130m到达观测点B，此时测得建筑物C在观测点B的北偏东20°方向上，求观测点B与建筑物C之间的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】过A作AD⊥BC于D．解Rt△ADB，求出DB=AB=65m，AD=BD=65m．再解Rt△ADC，得出CD=AD=65m，根据BC=BD+CD即可求解．
解：如图，过A作AD⊥BC于D．
根据题意，得∠ABC=40°+20°=60°，AB=130m．
在Rt△ADB中，∵∠DAB=30°，
∴DB=AB=×130=65m，AD=BD=65m．
∵∠BAC=180°﹣65°﹣40°=75°，
∴∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣60°﹣75°=45°．
在Rt△ADC中，∵tanC==1，
∴CD=AD=65m，
∴BC=BD+CD=65+65≈177.5m．
故观测点B与建筑物C之间的距离约为177.5m．
1.（2017.湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】 锐角三角函数的定义．
【分析】根据余弦的定义解答即可．
解：在Rt△ABC中，BC=3，AB=5，
∴cosB==，
故选：A．
2.（2017.云南）sin60°的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】 特殊角的三角函数值．
【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
解：sin60°=．
故选B．
3.（2017.温州）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα=，
则小车上升的高度是（ ）
A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．
解：如图AC=13，作CB⊥AB，
∵cosα==，
∴AB=12，
∴BC===5，
∴小车上升的高度是5m．
故选A．
4.（2017. 杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．x﹣y2=3 B．2x﹣y2=9 C．3x﹣y2=15 D．4x﹣y2=21
【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BD=DC=6，求出CM=DM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理求出即可．www-2-1-cnjy-com
解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，
∴BD=DE=x，
∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，
∴==y，BQ=CQ=6，
∴AQ=6y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQ∥EM，
∵E为AC中点，
∴CM=QM=CQ=3，
∴EM=3y，
∴DM=12﹣3﹣x=9﹣x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（3y）2+（9﹣x）2，
即2x﹣y2=9，
故选B．
5.（2017.德阳）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=米，背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为 米．21*cnjy*com
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】由题意可得四边形AEFD是矩形，由AB的坡角α=45°，得出AE的长，利用背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值）得出∠C的度数，即可求解．
解：∵迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=米，
∴AE=6×sin45°=6（m），
∵背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），
∴tan∠C==，
∴∠C=30°，
则DC=2DF=2AE=12m，
故答案为：12．
6.（2017.阜新）如图，从楼AB的A处测得对面楼CD的顶部C的仰角为37°，底部D的俯角为45°，两楼的水平距离BD为24m，那么楼CD的高度约为 m．（结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.6；cos37°≈0.8；tan37°≈0.75）21*cnjy*com
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】在Rt△ACE中，根据正切函数求得EC=AE?tan∠CAE，在Rt△AED中，求得ED=AE，再根据CD=DE+CE，代入数据计算即可．
解：在Rt△ACE中，
∵AE=24，∠CAE=37°，
∴CE=AE?tan37°≈24×0.75=18，
在Rt△AED中，
∵∠EAD=45°，
∴AE=ED=24，
∴DC=CE+DE=18+24≈42．
故楼BC的高度大约为42m．
7.（2017. 苏州）如图，在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头 A北偏东60°的方向，在码头 B北偏西45°的方向，AC=4km．游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A、B的游船速度分别为v1、v2，若回到 A、B所用时间相等，则= （结果保留根号）．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
【分析】作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中利用三角函数求得CD的长，然后在Rt△BCD中求得BC的长，然后根据=求解．
解：作CD⊥AB于点B．
∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°﹣60°=30°，
∴CD=AC?sin∠CAD=4×=2（km），
∵Rt△BCD中，∠CBD=90°，
∴BC=CD=2（km），
∴===．
故答案是：．
8.（2016年浙江省丽水市）数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．
请你运用所学的数学知识解决这个问题．
【考点】 特殊角的三角函数值．
【分析】根据正切的定义求出AC，根据正弦的定义求出CF，计算即可．
解：在Rt△ABC中，BC=2，∠A=30°，
AC==2，
则EF=AC=2，
∵∠E=45°，
∴FC=EF?sinE=，
∴AF=AC﹣FC=2﹣．
9.（2017年浙江省宁波市七校联考 一模）2017年3月，某海域发生航班失联事件，我海事救援部门用高频海洋探测仪进行海上搜救，分别在A．B两个探测点探测到C处是信号发射点，已知A．B两点相距400m，探测线与海平面的夹角分别是30°和60°，若CD的长是点C到海平面的最短距离．【版权所有：21教育】
（1）问BD与AB有什么数量关系，试说明理由；
（2）求信号发射点的深度．（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）
【考点】 解直角三角形的应用．
【分析】（1）易证三角形ABC的是等腰三角形，再根据30°所对直角边是斜边的一半可求出DB的长，
（2）由（1）结合勾股定理即可求出CD的长．
解：（1）由图形可得∠BCA=30°，
∴CB=BA=400米，
∴在Rt△CDB中又含30°角，得DB=CB=200米，
可知，BD=AB，
（2）由勾股定理DC=
=，
=200米，
∴点C的垂直深度CD是346米．
10.（2017年浙江省丽水市）如图是某小区的一个健身器材，已知BC=0.15m，AB=2.70m，∠BOD=70°，求端点A到地面CD的距离（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【考点】 解直角三角形的应用．
【分析】作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，求出AF、EF即可解决问题．
解：作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，
∵OD⊥CD，∠BOD=70°，
∴AE∥OD，
∴∠A=∠BOD=70°，
在Rt△AFB中，∵AB=2.7，
∴AF=2.7×cos70°≈2.7×0.34=0.918，
∴AE=AF+BC≈0.918+0.15=1.068≈1.1m，
答：端点A到地面CD的距离是1.1m．
1.（2017年浙江省金华市 ）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】 锐角三角函数的定义．
【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据正切函数的定义，可得答案．
解：由勾股定理，得
AC==4，
由正切函数的定义，得
tanA==，
故选：A．
2.（2017年浙江省温州市一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
【考点】 锐角三角函数的定义．
【分析】根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可．
解：∵AB=5，BC=3，
∴AC=4，
∴cosA==．
故选D．
3.（2017年浙江宁波市慈溪市第七区域模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，AB=5，则边AC的长是（ ）2·1·c·n·j·y
A．3 B．4 C． D．
【考点】 解直角三角形．
【分析】根据题意，利用锐角三角函数可以求得BC的长，然后根据勾股定理即可求得AC的长．
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∴sinA=，
∵AB=5，
∴BC=，
∴AC=，
故选D．
4.（2016年浙江省金华市 ）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）
A．米2 B．米2 C．（4+）米2 D．（4+4tanθ）米2
【考点】 解直角三角形的应用．
【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．
解：在Rt△ABC中，BC=AC?tanθ=4tanθ（米），
∴AC+BC=4+4tanθ（米），
∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+4tanθ（米2）；
故选：D．
5.（2016年浙江省绍兴市）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A．D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】 解直角三角形．
【分析】设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB=BC=x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM=AD=x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果．
解：如图所示：设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，
根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，
作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD===；
故选：B．
6.（2014年浙江省湖州市）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（ ）
A．2 B． 8 C． 2 D． 4
【考点】解直角三角形
【分析】直接根据锐角三角函数定义得出,代入求出即可
解：∵tanA==，AC=4，
∴BC=2，
故选A．
7.（浙江省嵊州市期末）．在Rt△ABC中，∠C=900,BC=1，AC=2，则tanA的值是 （ ）
A． B．2 C． D．
【考点】解直角三角形
【分析】直接根据锐角三角函数定义得出,代入求出即可
解：∵tanA=，AC=4，BC=1
∴tanA=
故选A．
8.（2016年浙江省杭州市）tan60°= ．
【考点】 特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可．
解：tan60°的值为．
故答案为：．
9.（2016年浙江宁波市）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 m（结果保留根号）．
【考点】 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】首先过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，然后在Rt△BAE中，∠BAE=60°，然后由三角形函数的知识求得BE的长，继而求得答案．
解：如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，
∵在Rt△BAE中，∠BAE=60°，
∴BE=AE?tan60°=10（m），
∴BC=CE+BE=10+1（m）．
∴旗杆高BC为10+1m．
故答案为：10+1．
10.（2016年浙江舟山市）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为 ．【出处：21教育名师】
【考点】 解直角三角形．
【分析】首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时，点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由Q向左运动，路程为QQ′；④点P从A→O时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．
解：在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，
∴AB=2，BO==，
①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，
②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ=90°
∵∠ABO=30°
∴∠BAO=60°
∴∠OQD=90°﹣60°=30°
∴cos30°=
∴AQ==2
∴OQ=2﹣1=1
则点Q运动的路程为QO=1，
③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2﹣，
④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，
∴点Q运动的总路程为： +1+2﹣+1=4
故答案为：4
12.（2016年浙江省台州市）保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm，图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图2的△ABC，已知BC=30cm，AC=22cm，∠ACB=53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）21教育名师原创作品
【考点】 解直角三角形的应用．
【分析】根据锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而结合勾股定理得出答案．
解：他的这种坐姿不符合保护视力的要求，
理由：如图2所示：过点B作BD⊥AC于点D，
∵BC=30cm，∠ACB=53°，
∴sin53°==≈0.8，
解得：BD=24，
cos53°=≈0.6，
解得：DC=18，
∴AD=22﹣18=4（cm），
∴AB===＜，
∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求．
13.（2016年浙江舟山市）太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95．tan18°≈0.32，sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
【考点】 解直角三角形的应用．
【分析】在直角三角形BCD中，由BC与sinB的值，利用锐角三角函数定义求出CD的长，在直角三角形ACD中，由∠ACD度数，以及CD的长，利用锐角三角函数定义求出AD的长即可．
解：∵∠BDC=90°，BC=10，sinB=，
∴CD=BC?sinB=10×0.59=5.9，
∵在Rt△BCD中，∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣36°=54°，
∴∠ACD=∠BCD﹣∠ACB=54°﹣36°=18°，
∴在Rt△ACD中，tan∠ACD=，
∴AD=CD?tan∠ACD=5.9×0.32=1.888≈1.9（米），
则改建后南屋面边沿增加部分AD的长约为1.9米．
14.（2016年浙江省绍兴市）如图1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图2．
（1）求∠CBA的度数．
（2）求出这段河的宽（结果精确到1m，备用数据≈1.41，≈1.73）．
【考点】 解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】（1）根据三角形的外角的性质、结合题意计算即可；
（2）作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD=xm，根据正切的定义用x表示出CD、AD，根据题意列出方程，解方程即可．21教育网
解：（1）由题意得，∠BAD=45°，∠BCA=30°，
∴∠CBA=∠BAD﹣∠BCA=15°；
（2）作BD⊥CA交CA的延长线于D，
设BD=xm，
∵∠BCA=30°，
∴CD==x，
∵∠BAD=45°，
∴AD=BD=x，
则x﹣x=60，
解得x=≈82，
答：这段河的宽约为82m．
15.（2017年浙江台州市）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由。（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【考点】 解直角三角形的应用
【分析】过A作AC⊥OB于点C，在Rt△AOC中，∠AOC=40°,AO=1.2,根据sin40°=,得出AC的长度，再与0.8比较大小即可得出判断.
解：过A作AC⊥OB于点C，
在Rt△AOC中，∠AOC=40°,
∴sin40°=,
又∵AO=1.2,
∴AC=OAsin40°=1.2×0.64=0.768（米）,
∵AC=0.768＜0.8,
∴车门不会碰到墙.
