第十课时 §1.3.2 三角函数的图象与性质（1）
【教学目标】
一、知识与技能：
1.会用五点法画正弦、余弦函数的图象；
2.记住正弦、余弦函数的特征；
3.弄清正弦、余弦函数的图象之间的关系
二、过程与方法
通过作图来认识三角函数性质，充分发挥图象在认识和研究函数性质中的作用，渗透“数形结合”思想。
三、情感态度价值观：
通过正余弦函数图象的理解，使学生从感性到理性的进步，体会从图形概括抽象，使学生理解动与静的辨证关系
教学重点难点：几何法作正弦曲线
【教学过程】
一、新课讲解
1．利用单位圆中正弦线作正弦函数图象
作法：（几何作法）
（1）在直角坐标系的轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从⊙与轴的交点起，把⊙分成等份，过⊙上各点作轴的垂线，可得对应于等角的正弦线；
（2）把轴上这一段分成等份，把角的正弦线向右平行移动，使正弦线的起点与轴上的点重合；
（3）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数，的图象。
因为终边相同的角的函数值相同，所以，函数，（）且的图象与函数，的图象的形状完全相同，只是位置不同，于是只要将函数，的图象向左、右平移，就可得到函数，的图象。
2．余弦函数的图象
由于，所以余弦函数，
与函数,是同一个函数；这样，余弦函数的图象可由：
正弦曲线向左平移个单位得到，即：
3．五点法作图：找出关键五点：平衡点、最高（低）点
，；
自变量
函数值
y
0
1
0
－1
0
注意：（1）y=cosx, x?R与函数y=sin(x+) x?R的图象相同
（2）将y=sinx的图象向左平移即得y=cosx的图象
（3）也同样可用五点法作图：y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是：
(0,1) (,0) (?,-1) (,0) (2?,1)
4、正弦、余弦函数的定义域
函 数
定义域
正、余弦函数的值域
函 数
值 域
二、例题分析
例1、 作下列函数的简图
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]，
(2)y=－cosx，x∈[0，2π]，
例2、利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：
例3、求下列函数的定义域：
（1）； （2）；
（3）
例4、求使下列函数取得最大值的自变量的集合，并说出最大值是什么？
（1），； （2），．
三、课堂小结：1．正弦、余弦函数的图象的几何作法；2．“五点法”作图3.运用函数图象求解函数定义域.21世纪教育网版权所有
四、作业：
1．用五点法作图：
（1）y=1-sinx ， x∈ [0，2π] （2）y=3cosx，x∈[0，2π]
（3）y=2sinx-1，x∈[0，2π] （4）y=sin|x|，x∈[-2π，2π]21教育网
2．求函数定义域
(1) (2) (3) (4) +
3．求函数最值域并求出此时自变量的集合
（1）； （2）（3）
第十一课时 §1.3.2 三角函数的图象与性质（2）
【教学目标】
一、知识与技能：
1.能指出正弦、余弦函数的定义域，并用集合符号来表示；
2.能说出函数，和，的值域、最大值、最小值，以及使函数取得这些值的的集合。
3．理解三角函数的有关性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称性等
二、过程与方法
通过作图来认识三角函数性质，充分发挥图象在认识和研究函数性质中的作用，渗透“数形结合”思想。
三、情感态度价值观：
通过正余弦函数图象的理解，使学生从感性到理性的进步，体会从图形概括抽象，使学生理解
动与静的辨证关系
教学重点难点：与正、余弦函数相关的函数的定义域和值域的求法
【教学过程】
一．新课讲解：
函数性质：
1．定义域
函 数
定义域
2．值域
函 数
值 域
因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1
也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］
其中正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当x＝ ，k∈Z时，取得最大值1
②当且仅当x＝ ，k∈Z时，取得最小值－1
而余弦函数y＝cosx，x∈R
①当且仅当x＝ ，k∈Z时，取得最大值1
②当且仅当x＝ ，k∈Z时，取得最小值－1
3．周期性
正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π
4．奇偶性
由sin(－x)＝－sinx cos(－x)＝cosx
可知：y＝sinx为奇函数 y＝cosx为偶函数
∴正弦曲线关于 对称,余弦曲线关于 对称21世纪教育网版权所有
5．单调性
从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出：
当x∈［－，］时，曲线逐渐 ，sinx的值由_____增大到_____.21教育网
当x∈［，］时，曲线逐渐 ，sinx的值由____减小到_____
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间 (k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间 (k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1
余弦函数在每一个闭区间 (k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间 (k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1
6．对称性
y＝sinx，x∈R
对称中心坐标_____________________
对称轴方程_______________________
y＝cosx，x∈R
对称中心坐标_____________________
对称轴方程_______________________
二、例题分析:
例1、求下列函数最值并求取得最值时的x取值集合
（1） y=sin(3x+)-1 （2）y=sin2x-4sinx+5 （3） y=
（4）； （5）；
例2、求下列函数的定义域和值域并判断函数的奇偶性：
（1）； （2）
（3）（其中为常数且） （4）y=
例3、指出下列函数的周期、单调区间和对称轴以及取得最值时的x的取值集合：
（1）y=1+sinx，x∈R （2）y=-cosx，x∈R
（3）y＝sin(x＋) x∈R （4） y=sin（-2x），x∈R
（5)y＝3cos(－x) x∈R
课堂小结：掌握三角函数的有关性质并能熟练应用
第十二课时 §1.3.2 三角函数的图象与性质（3）
【教学目标】
一、知识与技能：
理解并掌握作正切函数图象的方法；通过观察图象，理解并掌握正切函数的性质；
能够应用正切函数性质解决一些相关问题。
二、过程与方法
通过作图来认识三角函数性质，充分发挥图象在认识和研究函数性质中的作用，渗透“数形结合”思想。
三、情感态度价值观：
会用联系的观点看问题，使学生理解动与静的辨证关系
教学重点难点：正切函数的图象及其性质的应用
【教学过程】
一．复习：
1、正弦、余弦函数的图象及性质及正弦曲线是怎样画的
2、下列各角的正切线：正切线是AT
3．正切函数的定义域是什么？
二．新课讲解
1. 作，的图象（原理：与正弦曲线一样通过正切线来作图）
说明： （1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
，且的图象，称“正切曲线”。
（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。
2．正切函数的性质
（1）定义域：；
（2）值域：R
观察： 当从小于，时，
当从大于，时，。
（3）周期性：；
（4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数；
（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。
三、例题分析
例1、比较与的大小
例2、求函数的定义域
例3、观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：
(1) (2)
例4、讨论函数的性质
四、课堂小结：1．作图的方法和图象特征；2．正切函数的性质；
五、作业：
第十三课时 §1.3.3 函数y＝Asin (ωx＋)的图象（1）
【教学目标】
一、知识与技能：
(1) 理解振幅的定义及振幅变换和周期变换的规律,会画出y=Asinx和y=Asinωx的图象；
(2) 理解相位变换中的有关概念；会用相位变换画出函数的图象。
二、过程与方法
在研究函数y＝Asin (ωx＋) 的图象的过程中渗透从简单到复杂，从特殊到一般，从具体到抽象的研究方法。21·世纪*教育网
三、情感态度价值观：会用联系的观点看问题，了解各个量之间内在的联系。
教学重点难点：（1）函数y＝Asin (ωx＋) 的图象以及参数A、ω、对函数图像变化的影响；
（2）函数y＝Asin (ωx＋) 的图象与正弦曲线的关系。
【教学过程】
一、新课讲解：
例1、画出函数y=2sinx x?R；y=sinx x?R的图象（简图）
解：用“五点法”画简图
∵这两个函数都是周期函数，且周期为2π
∴我们先画它们在［0，2π］上的简图列表：
x
0
?
2?
sinx
0
1
0
-1
0
2sinx
sinx
描点作图：
(1)y＝2sinx，x ∈R的值域是 ;
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标伸长到原来的 倍而得(横坐标不变)
(2)y＝sinx，x ∈R的值域是 ;
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍而得(横坐标不变)
结论（一）：与y=sinx的图象作比较：
1．y=Asinx，x?R(A>0且A?1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0
2．它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A
3．若A<0 可先作y=-Asinx的图象 ，再以x轴为对称轴翻折
A称为振幅，这一变换称为振幅变换
例2、画出函数y=sin2x x?R；y=sinx x?R的图象（简图）
解：函数y＝sin2x，x∈R的周期T＝＝π
我们先画在［0，π］上的简图,在[0, ?]上作图,列表：
2x
0
?
2?
x
y=sin2x
描点作图：
函数y＝sinx，x∈R的周期T＝＝4π
我们画［0，4π］上的简图，列表：
0
?
2?
x
sin
描点作图：
(1)函数y＝sin2x，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的21教育网
(2)函数y＝sin，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变)而得到www.21-cn-jy.com
结论（二）：与y=sinx的图象作比较，
1．函数y=sinωx, x?R (ω>0且ω?1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）
2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图
ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换
例3、 画出函数y＝sin(x＋)，x ∈R y＝sin(x－)，x ∈R的简图
解：列表
x
x+
sin(x+)
描点画图:
x
x－
sin(x–)
描点画图:
结论（三）：与y=sinx的图象作比较，
(1)函数y＝sin(x＋)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向 平行移动个单位长度而得到21cnjy.com
(2)函数y＝sin(x－)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向 平行移动个单位长度而得到21·cn·jy·com
一般地，函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0)时平行移动｜｜个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)2·1·c·n·j·y
y＝sin(x＋)与y＝sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换【来源：21·世纪·教育·网】
二、课堂小结：
1．型函数的图象；
2．型函数的图象；
3．型函数的图象。
第十四课时 §1.3.3 函数的图象（2）
【教学目标】
一、知识与技能：
(1) 会用“五点法”画y＝Asin(ωx＋)的图象；
(2) 会用图象变换的方法画y＝Asin(ωx＋)的图象；
(3) 会求一些函数的振幅、周期、最值等。
二、过程与方法
在研究函数y＝Asin (ωx＋) 的图象的过程中进一步体会化归的数学思想，自觉运用数形结合思想解决问题。21cnjy.com
三、情感态度价值观：会用联系的观点看问题，了解各个量之间内在的联系。
教学重点难点：函数图象的伸缩、平移变换。
【教学过程】
一．复习回顾
1．型函数的图象-----振幅变换:
2．型函数的图象-----周期变换
3．型函数的图象-----相位变换
二．新课讲解
问题： 函数y＝Asin (ωx＋)（A >0,ω>0）的图象可以由正弦曲线经过哪些图象变换而得到？21·cn·jy·com
引例 画出函数y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图
解：(五点法)由T＝，得T＝π
列表：
描点画图：
这种曲线也可由图象变换得到：
方法一：
即：y＝sinx y＝sin(x＋)
y＝sin(2x＋) y＝3sin(2x＋)
一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：21教育网
先把正弦曲线上所有的点向左(当_______时)或向右(当______时平行移动｜｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当______时)或伸长(当________时)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当________时)或缩短(当________时)到原来的A倍(横坐标不变) www.21-cn-jy.com
问题：以上步骤能否变换次序？
方法二：
另外，注意一些物理量的概念:
A ：称为振幅；T＝：称为周期；f＝：称为频率；
ωx＋：称为相位x＝0时的相位称为初相
三、例题分析：
例1、已知函数x（）的图象一个最高点为A（2，），由点A到相邻最低点的图象交x轴于（6， 0），求此函数的解析式。
例2、已知如图是函数y＝Asin(ωx＋)（其中A>0,ω>0,｜｜＜）的图象，求函数解析式。2·1·c·n·j·y
例3、已知函数
求（1）振幅、周期、相位、初相
（2）简要说明是由y＝sinx通过那些步骤变化得来；
（3）周期、单调区间；
（4）对称轴方程，以及在上有几个对称中心；
三、课堂小结：
函数y＝A sin (ωx＋)（A >0,ω>0）的图象可以由y＝sin x经过哪些图象变换而得到？
平移法过程：
两种方法殊途同归
（1）y=sinx相位变换 y=sin(x+φ) 周期变换 y=sin(ωx+φ)振幅变换
（2）y=sinx周期变换 y=sinωx 相位变换 y=sin(ωx+φ)振幅变换 21世纪教育网版权所有
第十五课时 §1.3.4 三角函数的应用（1）
【教学目标】
一、知识与技能：
会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题；体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型
二、过程与方法
从实际的应用中体会数学与生活是相关的，不是完全脱离现实的，同时理解三角函数在描述周期性现象时的重要作用21世纪教育网版权所有
三、情感态度价值观：
培养学生应用数学的能力，让学生体会到数学在实际生活中的应用，意识到只要认真观察思考，会发现数学来源于生活
教学重点难点：建立三角函数的模型
【教学过程】
一．复习回顾
回顾课本 “三角函数的周期性”
求函数的解析式
3、查阅物理中“单摆运动”
二．新课讲解：
一定条件下，单摆运动是一种周期性的运动，从而引出对具有周期性现象的问题的研究，可用具有周期性规律的三角函数来描述。实际上，三角函数能够描述、模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用。21cnjy.com
三、例题分析：
例1、 （教材P42例1）
点评：本题是简谐运动的问题，在利用三角函数描述问题时，首先分析此现象具有周期性，其次结合题意作出函数草图，然后根据图象用“待定系数法”求出。
例2、 （教材P43例2）
点评：①本题是圆周运动的问题；②寻找变量间的关系是关键，结合图形建立恰当的直角坐标系，将几何问题代数化21·cn·jy·com
已知函数（，）一个周期内的函数图象，如下图
例3、如图所示，求函数的一个解析式。
例4、已知函数（，，）的最小值是，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点，求这个函数的解析式。
例5、已知函数（，，）的最大值为，最小值为，周期为，且图象过点，求这个函数的解析式
四、课堂小结：本课所学内容，重点应用了三角函数的什么性质？以后研究哪类问
题可以借助于三角函数模拟呢？
五、作业：（补充）
1．已知函数（，，）的周期是，最小值是，且图象过点，求这个函数的解析式；
2．函数（，，）的最小值是，其图象相邻的最高点和最低点的横坐标的差是，又图象经过点，求这个函数的解析式21教育网
3．如图为函数（，）的图象中的一段，根据图象求它的解析式。
第十六课时 §1.3.4 三角函数的应用（2）
【教学目标】
一、知识与技能：
会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题；体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型
二、过程与方法
从实际的应用中体会数学与生活是相关的，不是完全脱离现实的，同时理解三角函数在描述周期性现象时的重要作用21cnjy.com
三、情感态度价值观：
培养学生应用数学的能力，让学生体会到数学在实际生活中的应用，意识到只要认真观察思考，会发现数学来源于生活
教学重点难点：建立三角函数的模型
【教学过程】
一．复习回顾
回顾课本 “三角函数的周期性”
求函数的解析式
二、例题分析：
例1、（教材P46的11）
点评：本题和例2类似分析，合理建系找关系，从而得出三角函数解析式解决问题。
例2、 (教材P44例3)
点评：本题是一个与潮汐运动有关的港口水深问题，首先分析此现象具有周期性，其次结合题意作出函数草图，然后根据图象确定的解析式即可。
三、课堂小结：
通过这两节课的学习,利用三角函数描述具有周期性现象的问题时,你总结出了怎样
的好的解决办法?
四、课后思考：
1、下表是某城市1973－2002年月平均气温（华氏 ）
月 份
1
2
3
4
5
6
平均气温
月 份
7
8
9
10
11
12
平均气温
若用表示月份，表示平均气温，则下面四个函数模型中最合适的是（ ）
A． B．
C． D．
2、某港口水的深度y（米）是时间t（0t24，单位：时）的函数，记作y=f（t），下面是某日水深的数据：21世纪教育网版权所有
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
10.1
13.0
9.9
7.0
9.9
13.0
10.1
7.0
10.0
经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数的图象.
（1）试根据以上数据，画出函数的草图，并求其近似表达式；
（2）试说明的图象可由的图象经过怎样的变换得到；
（3）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米.如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）21教育网
第1课时 §1.1 任意角
【教学目标】
一、知识与技能
1.推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；象限角、坐标轴上的角的概念；终边相同角的表示方法．
2.理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解任意角的概念，掌握所有与角终边相同的角(包括角)的表示方法．21教育网
二、过程与方法：渗透数形结合的数学思想，考虑问题要细致，说理要明确
三、情感、态度与价值观：体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。
【教学重点难点】：（1）正角、负角、零角的定义；（2）终边相同的角的表示方法
【教学过程】
【问题情境】通过周期运动的实例引人三角函数．让学生对本章有一个初步印象．
【学生活动】初中我们已给角下了定义．我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置的图形(先后用教具和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)．21·cn·jy·com
讲解新课：
1．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线OA绕着______________________，就形成角α．____ _叫做角α的始边，______叫做角α的终边，_____叫做角α的顶点．www.21-cn-jy.com
⑵．“正角”与 “负角”“0角”
我们把_______________________叫做正角，把_______________________叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°， 21·世纪*教育网
特别地，当一条射线______________时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角. 2·1·c·n·j·y
⑶意义
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
1? 角有正负之分 2? 角可以任意大 3? 可以为零角
2．“象限角及轴线角”
建立平面直角坐标系,角的顶点重合于___________，角的始边重合于_______，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限,称之为________）21世纪教育网版权所有
3．终边相同的角
(1)在平面直角坐标系中作出30?, 390?，?330?角
⑴观察：390?，?330?角，它们的终边都与________角的终边相同
⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与个周角的和：
390?=______+____360? ?330?=______+_____360?
⑶结论：所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合：
例题分析：
例1、在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角
例2、写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在间的角写出来：（1） （2） （3）。【来源：21·世纪·教育·网】
例3、写出终边在y轴上的角的集合.
引申1：写出所有轴上角的集合
引申2：写出四个象限角平分线上角的集合
例4、用集合的形式表示象限角
第一象限的角表示为______________________________
第二象限的角表示为______________________________
第三象限的角表示为______________________________
第四象限的角表示为______________________________
例5、 已知?是第二象限角，问是第几象限角？2?是第几象限角？分别加以说明。
练习：书P7
例6、 如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）．
区间角的表示：1、逆时针旋转 2、注意从小到大
【小结】
这节课我们将角的概念进行了推广，主要学习了正角、负角、零角、象限角的概念，以及终边相同角的表示方法．判断一个角是第几象限角，只要把角改写成． 的形成，那么0在第几象限，角就是第几象限角．特殊位置及给定区域内的角的表示方法，角的集合的交、并运算，等分角所在象限问题．确定等分角所在象限，关键是看后面部分是否为360°的整数倍．若不是，则需对k是进行讨论，想办法把它变为360°的整数倍．21cnjy.com
作业：书P10
第2课时 §1.2 弧度制
【教学目标】
一、知识与技能
（1）理解1弧度的角、弧度制的定义；
（2）掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算；
（3）熟记特殊角的弧度数。
（4）掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式。
二、过程与方法：
（1）通过比较引入“弧度制”的概念；
（2）通过小组活动，熟练进行角度和弧度的换算。
（3）培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力
三、情感、态度与价值观：进一步加强对辩证统一思想的理解。
【教学重点】弧度的意义
【教学难点】弧度与角度的换算
【教学过程】
一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。
二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制
定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
它的单位是rad 读作弧度
如图：?AOB=1 rad
?AOC=2 rad
周角=2? rad
平角=? rad
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
角?的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
三、角度制与弧度制的换算
注意：360?=2?rad 180?=? rad
1?=
例1、 （1）把化成弧度 （2）把化成度
注意： 1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad
sin?表示? rad角的正弦
2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见下表）
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
0
π
角度
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
2π
3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。21世纪教育网版权所有
任意角的集合 实数集R
例2、 用弧度制表示：
终边在轴上的角的集合；终边在轴上的角的集合；终边在坐标轴上的角的集合
例3、 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴ ⑵
例4、利用弧度制证明扇形面积公式其中是扇形弧长，是圆的半径。
例5、如图，已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
例6、已知一扇形的周长为C(C>0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值。
小结：
通过本节课的学习，你能够运用弧度制来表示任意角吗？你还掌握了哪些新的公式？
作业：
第3课时 §1.1 任意角的三角函数（1）
【教学目标】
一、知识与技能
1、掌握任意角的三角函数的定义，理解?角与?=2k?+?(k?Z)的同名三角函数值相等。
2、掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
3、通过启发根据三角函数的定义，确定三角函数在各象限的符号，并熟练地处理一些问题。
二、过程与方法
三、情感态度价值观
教学重点难点：三角函数值的符号判断
【教学过程】
一、任意角的三角函数
1．设?是一个任意角，在?的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）
则P与原点的距离
2．比值叫做?的正弦 记作：; 比值叫做?的余弦 记作：
比值叫做?的正切 记作：; 比值叫做?的余切 记作：
比值叫做?的正割 记作：; 比值叫做?的余割 记作：
注意几个问题：
角是“任意角”，当?=2k?+?(k?Z)时，?与?的同名三角函数值应该是相
等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。
实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。
③三角函数是以“比值”为函数值的函数
④，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限
确定
⑤定义域：
已知?的终边经过点P(2,?3)，（1）求?的六个三角函数值
（2）求2sin?+cos?的值
若点P为(2a,?3a)(a?0)呢？
例2、 求下列各角的六个三角函数值
（1） 0 （2） ? （3） （4）
二、三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；
②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；
③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．
y y y
+ + - + - +
x x x
- - - + + -
sin csc cos sec tan cot
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
例3、确定下列三角函数值的符号?
(1)cos250° （2） （3）tan（－672°） (4)
例4、求下列三角函数的值
(1)sin750° (2) （3）.?
例5、 若
课堂小结：你能否熟练的说出各种三角函数在各象限内的符号?
第4课时 §1.1 任意角的三角函数（2）
【教学目标】
一、知识与技能
1、掌握任意角的三角函数的定义，理解?角与?=2k?+?(k?Z)的同名三角函数值相等。
2、掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
3、通过启发根据三角函数的定义，确定三角函数在各象限的符号，并熟练地处理一些问题。
二、过程与方法
三、情感态度价值观
教学重点难点：三角函数线的作法与表示
【教学过程】
一、复习回顾
（1）六个三角函数定义，定义域
（2）六个三角函数值在各象限内的符号
二、新课
当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．单位圆：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2．有向线段：既有大小又有方向的线段（矢量）
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
3．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与
点P，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角
的终边或其反向延长线交与点.
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
， ，
．
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦
线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。
③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。
④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
三、例题分析：
例1、在单位圆中运用三角函数线作出符合下列条件的角的终边
（1） （2） （3）
例2、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1）； （2）； （3）； （4）．
例3、 利用单位圆写出符合下列条件的角的范围。
（1）； （2）；
（3）且；
（4）； （5）且．
例4、求函数的定义域
例5、利用单位圆证明若，则有
课堂小结： 1．三角函数线的定义；2．会画任意角的三角函数线
3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围
第5课时 §1.2.2 同角三角函数关系（1）
【教学目标】
一、知识与技能
1.掌握同角三角函数的基本关系，已知某角的一个三角函数值，会求其余的各三角函数值。
2.理解并掌握同角三角函数的基本关系及简单变形，并能应用它解决一类三角函数的求值问题，提高学生分析和解决问题的能力。21教育网
3.通过学习，认识事物间存在的内在联系，使学生面对问题养成勤于思考的习惯。
二、过程与方法
三、情感态度价值观
教学重难点：正弦、余弦、正切线的概念及利用
【教学过程】
一、复习引入
任意角的三角函数定义：
设角是一个任意角，终边上任意一点，
它与原点的距离为，那么：
，，，，，．
注意：的取值范围
二、新课：
根据这六个三角函数的定义，你能不能通过一些初等运算（加、减、乘、除、乘方等），找出一些同角三角函数之间的关系？ 21cnjy.com
2. 公式推导：
（1）倒数关系：，，．
（2）商数关系：，．
（3）平方关系：，，．
说明：
①注意 “同角”，至于角的形式无关重要，如等；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
；
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
， ， 等。
三、例题分析：
例1、已知，并且是第二象限角，求的值。
例2、 已知，求的值。
例3、（1）化简． （2）化简
例4、已知为非零实数，用表示
例5．已知，求的值
四、课堂小结：
三角函数这一章最大的特点就是：公式多。随着学习的深入，我们还要学习很多公式，到一定熟练程度以后，对同一个题目可能用许多公式都能解决，但如何选择公式简化运算过程是一个非常重要的问题。 解决这个问题的关键是多做这方面的训练，并且在做完一个题目时要学会反思：还有没有其他解法，更简单的解法？（一题多解）21世纪教育网版权所有
第六课时 §1.2.2 同角三角函数关系（2）
【教学目标】
一、知识与技能
1.掌握同角三角函数的基本关系，已知某角的一个三角函数值，会求其余的各三角函数值。
2.理解并掌握同角三角函数的基本关系及简单变形，并能应用它解决一类三角函数的求值问题，提高学生分析和解决问题的能力。21教育网
3.通过学习，认识事物间存在的内在联系，使学生面对问题养成勤于思考的习惯。
二、过程与方法
三、情感态度价值观
教学重难点：正弦、余弦、正切线的概念及利用
【教学过程】
一、复习引入
同角三角函数的基本关系式
（1）倒数关系：，，．
（2）商数关系：，．
（3）平方关系：，，
二、例题分析：
例1、已知（），求
例2、化简
例3、已知 ，
求的值。
例4．已知sinα+cosα=a，求（1）sinαcosα；（2）sin3α+cos3α的值。
例5．证明（1） （2）
例6、求证：．
小结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边；21世纪教育网版权所有
（2）证明左右两边同等于同一个式子；
（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。
三、课堂小结：
1．运用同角三角函数关系式化简、证明。
2．常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等
第七课时 §1.2.3 三角函数的诱导公式（1）
【教学目标】
一、知识与技能：
(1)通过本节内容的教学，使学生掌握180o+，-，180o-角的正弦、余弦、正切的诱导公式及其探求思路；21世纪教育网版权所有
(2) 能熟练掌握诱导公式一至四，并运用求任意角的三角函数值，进行
简单的三角函数式的化简及论证过程目标：
二、过程与方法
通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。
三、情感态度价值观：
通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径。
教学重点难点： 理解并掌握诱导公式。
【教学过程】
一、复习引入
利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值；
二、新课讲解：
1、引入:由三角函数的定义可以得到这样的结论：终边相同角的三角函数值____________,故有
公式一:
公式（一）的作用：可以把任意角的正弦、余弦、正切化为________之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在________内找出与角终边相同的角，再把它写成公式（一）的形式，然后得出结果21教育网
注意:诱导公式一及其用途：
．
由公式一把任意角转化为内的角后，我们对范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把内的角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，则问题将得到解决，这就是数学化归思想.21cnjy.com
2、如图，与-的终边位置关系是___________________
若设的终边与单位圆交于点P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为__________
（如图4-5-2）．由三角函数的定义，即可得
sin=， cos=, tan=
sin(-)=______,
cos(-)=_________
tan(-)=________
根据三角函数定义有
公式二：
思考：的终边与的终边位置关系如何？
根据公式二得公式二‘：
3、与终边的位置关系是________________________
根据三角函数定义有
公式三：
4、与终边的位置关系是________________________
根据三角函数定义有
公式四：
说明：（1）四组公式的记忆，的三角函数值，等于的
同名函数值前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．
(2)你能用公式二、三、四中的任意两组证另一组吗？
三、例题分析：
例1、求值： （1）sin；(2)cos ；（3）sin(－)；(4)tan (-15600)
例2．判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)=1-cosx; (2)g(x)=x-sin3x
例3、化简
例4、化简
例5、化简：
三、课堂小结：
（1）诱导公式的推导和记忆（2）数学的化归思想
第八课时 §1.2.3 三角函数的诱导公式（2）
【教学目标】
一、知识与技能：
(1) 理解并掌握诱导公式五、六；
(2) 能熟练掌握诱导公式，并能进行简单的三角函数式的求值、化简及论证
二、过程与方法
通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。
三、情感态度价值观：
通过诱导公式的应用，使学生认识到事物之间的相互联系关系。
教学重点难点： 理解并掌握诱导公式。
【教学过程】
一、复习引入
1、回顾四组诱导公式
2、课前练习：
（1）已知：，求的值。
（2）已知，且是第四象限角，求的值
（3）化简,其中角在第二象限
二、新课讲解：
1、问题：角的终边有怎样的位置关系？
由三角函数的定义可以得到
公式五 公式六
说明：（1）公式的记忆原则是__________________________________
(2)你能猜想角的诱导公式吗？
归纳诱导公式总口诀：________________________
步骤：
用公式二或一 用公式一
用公式
三或四
三、例题分析：
例1、已知：
例2、
例3、
例4、化简
例5、已知函数,求值：
（1）；（2）
三、课堂小结：
1．熟练运用公式化简、求值、证明；
2．运用化归思想和分类讨论的思想分析解决问题。
第九课时 §1.3.1 三角函数的周期性
【教学目标】
一、知识与技能：
1.理解周期函数、最小正周期的定义；
2.会求正、余弦函数的最小正周期。
二、过程与方法
通过对周期的定义的理解，对熟悉正余弦函数的有关图象与性质有着重要作用
三、情感态度价值观：
通过周期定义的理解，使学生认识到事物之间的相互联系关系。
教学重点难点：函数的周期性、最小正周期的定义
【教学过程】
一、创设情景，提出问题
1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？
2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：
自变量
函数值
正弦函数性质如下：
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
符号语言：当增加（）时，总有．
也即：（1）当自变量增加时，正弦函数的值又重复出现；
（2）对于定义域内的任意，恒成立。
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。
二、新课讲解：
1．周期函数的定义：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。21世纪教育网版权所有
说明：（1）必须是常数，且不为零；
（2）对周期函数来说必须对定义域内的任意都成立。
【思考】
（1）对于函数，有，能否说是它的周期？
（2） 正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？（，且）
（3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？
（是，其原因为：）
2．最小正周期的定义：
对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期。21教育网
说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；
（2）从图象上可以看出，；，的最小正周期为；
（3）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （没有最小正周期）
三、例题分析：
例1：求下列函数周期：
（1），；
（2），；
（3），．
说明：（1）一般结论：函数及函数，（其中 为常数，且，）的周期；
（2）若，例如：①，；
②，；
③，．
则这三个函数的周期又是什么？
一般结论：函数及函数，的周期．
例2、求下列函数的周期：
（1）； （2），； （3），；
（4），；（5），； （6），．
（7），；（8）+1
例3、求下列函数的周期
（1）， （2），
（3）， （4），
四、课堂小结：1.周期函数、最小正周期的定义 2. 型函数的周期的求法
五、作业： 课课练 作业本相关作业
第1课时 §3.1.1 两角和与差的余弦
【教学目标】
一、知识与技能：
1．掌握两点间的距离公式及其推导；
2．掌握两角和的余弦公式的推导；
3．能初步运用公式来解决一些有关的简单的问题
二、过程与方法
经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系； 21世纪教育网版权所有
三、情感态度价值观：
用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用
教学重点难点：两点间的距离公式及两角和的余弦公式的推导
【教学过程】
一．复习回顾
1．数轴两点间的距离公式：．
2．点是终边与单位圆的交点，则．
二、新课讲解：
1．两点间的距离公式及其推导
设是坐标平面内的任意两点，从点分别作轴的垂线，与轴交于点；再从点分别作轴的垂线
，与轴交于点．直线与相交于点，那么
， ．
由勾股定理，可得
∴．
2．两角和的余弦公式的推导
在直角坐标系内作单位圆，并作角与，使角的始边为，交⊙于点，终边交⊙于点；角的始边为，终边交⊙于点；角的始边为，终边交⊙于点，则点的坐标分别是，，
，，
，∴
得：
∴．（）
3．两角差的余弦公式
在公式中用代替，就得到
（）
说明：公式对于任意的都成立。
三、例题分析
例1、求值（1）； （2）； （3）
四、课堂小结：
第2课时 §3.1.2 两角和与差的正弦（1）
【教学目标】
一、知识与技能：
二、过程与方法
从实际的应用中体会数学与生活是相关的，不是完全脱离现实的，同时理解三角函数在描述周期性现象时的重要作用21世纪教育网版权所有
三、情感态度价值观：
培养学生应用数学的能力，让学生体会到数学在实际生活中的应用，意识到只要认真观察思考，会发现数学来源于生活
教学重点难点：建立三角函数的模型
【教学过程】
一．复习回顾
二、例题分析：
三、课堂小结：
四、课后思考：
第3课时 §3.1.2 两角和与差的正弦（2）
【教学目标】
一、知识与技能：
二、过程与方法
从实际的应用中体会数学与生活是相关的，不是完全脱离现实的，同时理解三角函数在描述周期性现象时的重要作用21世纪教育网版权所有
三、情感态度价值观：
培养学生应用数学的能力，让学生体会到数学在实际生活中的应用，意识到只要认真观察思考，会发现数学来源于生活
教学重点难点：建立三角函数的模型
【教学过程】
一．复习回顾
二、例题分析：
三、课堂小结：
四、课后思考：
第4课时 §3.1.3 两角和与差的正切
【教学目标】
一、知识与技能：
二、过程与方法
从实际的应用中体会数学与生活是相关的，不是完全脱离现实的，同时理解三角函数在描述周期性现象时的重要作用21世纪教育网版权所有
三、情感态度价值观：
培养学生应用数学的能力，让学生体会到数学在实际生活中的应用，意识到只要认真观察思考，会发现数学来源于生活
教学重点难点：建立三角函数的模型
【教学过程】
一．复习回顾
二、例题分析：
三、课堂小结：
四、课后思考：
第10课时 §2.4 向量的数量积（3）
【教学目标】
一、知识与技能
掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示.
二、过程与方法
让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律
三、情感、态度与价值观
通过师生互动，自主探究，交流与学习培养学生探求新知识以及合作交流
【教学重点难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
【教学过程】
一、复习：
1．两平面向量垂直条件；
2．两向量共线的坐标表示；
3．轴上单位向量，轴上单位向量，则：，，．
二、新课讲解：
1．向量数量积的坐标表示：设 ，则，
∴.
从而得向量数量积的坐标表示公式：．
2．长度、夹角、垂直的坐标表示：
①长度：? ；
②两点间的距离公式：若，则；
③夹角：；
④垂直的充要条件：∵，即
（注意与向量共线的坐标表示的区别）
三、例题分析：
例1、设，求
例2、已知，求证是直角三角形
例3、如图，以原点和为顶点作等腰直角，使，
求点和向量的坐标。
例4、在中，，，求值
四、课时小结：
两向量数量积的坐标表示：长度、夹角、垂直的坐标表示
五、反馈练习：
已知，，
（1）求证： （2）若与的模相等，且，求的值
第11课时 §2.5 向量的应用
【教学目标】
一、知识与技能
体会向量是一种数学工具,发展学生运算能力和解决实际问题的能力.
二、过程与方法
.经历用向量法解决某些简单的几何问题,力学问题的过程.
三、情感、态度与价值观
使学生通过对问题的分析，转化，从深层次上认识学科之间的内在联系，并深刻认识数学的工具性作用，学会转化矛盾的方法，增强解决矛盾的能力，培养学生的创新精神
【教学重点难点】向量知识的应用
【教学过程】
一、复习：
①向量是既有大小又有方向的量,它既有代数特征,又有几何特征;
②通过向量可以实现代数问题与几何问题的相互转化,所以向量是数型结合的桥梁;
③向量也是解决许多物理问题的有力工具
二、新课讲解：
三、例题分析：
例1、如图所示,无弹性的细绳的一端分别固定在处,同质量的细绳下端系着一个称盘,且使得试分析三根绳子受力的大小,判断哪根绳子受力最大.(物理学中的应用)21世纪教育网版权所有
例2、.已知:,，求证:
思考:你能否画一个几何图形来解释例2
例3、已知直线经过点和,用向量方法求的方程.
四、课时小结：本节课主要内容是应用向量解决某些简单问题.
五、反馈练习：
第1课时 §2.1 向量的概念及表示
【教学目标】
一、知识与技能
1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向），能正确地表示向量；
2．注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）；
3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念。
二、过程与方法
（1）从对不同问题的思考中感受什么是向量。
（2）通过师生互动、交流与学习，培养学生探求新知识的学习品质.
三、情感、态度与价值观
（1）通过向量包含大小和方向，概念的学习感知数学美。
（2）向量的方向包含正反两方面，正反关系的对照培养学生辨证唯物主义思维
【教学重点难点】：1．向量、相等向量、共线向量等概念；
?2．向量的几何表示
【教学过程】
一、问题情境：
问题1、湖面上有3个景点O，A，B，如图所示.一游艇将游客从景点O送至景点A，半小时后，游艇再将游客送至景点B，从景点O到景点A有一个位移，从景点A到景点B也有一个位移.位移与距离这两个量有什么不同？21cnjy.com
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问题2、下列物理量中，那些量分别与位移和距离这两个量类似：
（1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功；
（2）物体所受重力；
（3）物体的质量为a千克；
（4）1月1日的4级偏南风的风速。
问题3、上述的物理量中有什么区别吗？
二、新课讲解：
（一）概念辨析：
（1）向量的定义：
（2）向量的表示：
（3）向量的大小及表示
（4）零向量：
（5）单位向量：
（二）向量的关系：
问题4：在平行四边形ABCD中，向量与，与有什么关系？
（1）平行向量
（2）相等向量
（3）相反向量
说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作；
（2）零向量与零向量相等，记作；
（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。
问题5：1.向量能否平移？
2. 要确定一个向量必须确定什么？要确定一个有向线段必须确定什么？两者有何区别？
二、例题分析：
例1、已知O为正六边形ABCDEF的中心，如图，所标出的向量中：
（1）试找出与FE共线的向量；
（2）确定与FE相等的向量；
（3）OA与BC向量相等么？
例2、判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？
（2）不相等的向量是否一定不平行？
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？
（7）共线向量一定在同一直线上吗？
例3、如图，在4×5的方格纸中有一个向量AB，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB相等的向量有多少个？与AB长度相等的共线向量有多少个？（AB除外）
课时小结：
向量是既有大小又有方向的量，向量有两个要素：方向和长度，称为自由向量；有向线段具有三个要素：起点，方向和长度；21世纪教育网版权所有
数量（标量）与向量的区别与联系：向量不同于数量。数量是只有大小的量，而向量是既有大小又有方向的量；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模可以比较大小；记号“”是没有意义的，而||＞||才有意义。21教育网
第2课时 §2.2 向量的加法
【教学目标】
一、知识与技能
（1）理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和；
（2）掌握两个向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量运算
二、过程与方法
从物体位移变化规律的探知中总结出向量加法规律
三、情感、态度与价值观
感受数学和生活的联系，增强学习数学的兴趣
【教学重点难点】：：1．如何作两向量的和向量；
? 2．向量加法定义的理解。
【教学过程】
一、复习：
1．向量的概念、表示法。
2．平行向量、相等向量的概念。
3．已知点是正六边形的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（ ）
（）、、、 （）、、、
（）、、、 （）、、、
二、创设情景
利用向量的表示，从景点O到景点A的位移为OA，从景点A到景点B的位移为AB，那么经过这两次位移后游艇的合位移是OB，向量OA，AB，OB三者之间有何关系？
O
B
A
三、讲解新课：
1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示： 作法：在平面内任取一点（如图（2）），作，，则 . 21世纪教育网版权所有
（1） （2）
2．向量加法的法则：
（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。 表示：．
（2）平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，为邻边作平行四边形ABCD，则以为起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。
3．向量的运算律：
交换律：．
结合律：．
说明：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行：
例如：；．
四、例题分析：
例1、 如图，一艘船从点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。21教育网
例2、已知矩形中，宽为，长为，，，，
试作出向量，并求出其模的大小。
例3、 一架飞机向北飞行千米后，改变航向向东飞行千米，
则飞行的路程为 400千米；两次位移的和的方向为北偏东，
大小为千米．
例4、在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地度过长江，其航向应如何确定？21cnjy.com
变式：若渡船以25km/h的速度按垂直于河岸的航向航行，那么受水流影响，渡船的实际航向如何？
例5、已知两个力，的夹角是直角，且知它们的合力与的夹角是，
牛，求和的大小
五、课时小结：
1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；
2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则
第3课时 §2.2 向量的减法
【教学目标】
一、知识与技能
1．掌握向量减法及相反向量的的概念；
2．掌握向量减法与加法的逆运算关系，并能正确作出已知两向量的差向量；
3．能用向量运算解决一些具体问题。
二、过程与方法
通过知识发生发展过程教学使学生感受和领悟数学发展的过程及其思想.
三、情感、态度与价值观
（1）在学完向量加法后再学习向量减法指导学生辨证的看待和解决问题。
（2）数学与生活的联系能够引导学生注意用联系的观点看问题
【教学重点】向量减法定义和法则
【教学难点】向量减法法则的应用
【教学过程】
一、复习：
1．向量的加法法则。
2．数的运算：减法是加法的逆运算
二、讲解新课：
1．相反向量：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。
说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。
（2）性质：； ．
2．向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。表示．
3．向量减法的法则：
已知如图有，，求作．
（1）三角形法则：在平面内任取一点，作，，则．
说明：可以表示为从的终点指向的终点的向量（，有共同起点）．
（2）平行四边形：在平面内任取一点，作 ，，
则．
思考：若，怎样作出？
四、例题分析：
例1、如图,是平行四边形的对角线的交点,若,,
试证明..
例2、用向量方法证明：对角线互相平行的四边形是平行四边形
例3、试证：对任意向量，都有．
五、课时小结：
1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；
2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则
第4课时 §2.2 向量的数乘
【教学目标】
一、知识与技能
（1）向量数乘定义。
（2）向量数乘的运算律。
二、过程与方法
在对有关数乘问题的解决中理解数乘概念和实际意义.
三、情感、态度与价值观
联系生活实际学习向量的数乘让学生感受数学美
【教学重点难点】向量的数乘的定义和运算律
一、复习：
已知非零向量，求作和．
如图：，
二、讲解新课：
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反；
当 时，．
2．实数与向量的积的运算律：
（1）（结合律）；
（2）（第一分配律）；
（3）（第二分配律）．
3．向量共线定理：
内容：
三、例题分析：
例1、计算：（1）；
（2）；
（3）
例2、 如图，已知，．试判断与是否共线．
例3、 判断下列各题中的向量是否共线：
（1），；
（2），，且，共线．
（3）当，中至少有一个为零向量时，显然与共线．
例4、设是两个不共线的向量，已知，，，
若，，三点共线，求的值．
五、课时小结：
1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；
3．理解向量共线定理，并会判断两个向量是否共线
第5课时 §2.3.1 平面向量基本定理
【教学目标】
一、知识与技能
1．理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；
2．正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示；
3．掌握两向量的和、差,实数与向量积的坐标表示法。
二、过程与方法
在实际问题中经历和感受平面内任何一个向量都可以由不共线的另外两向量来表示。
三、情感、态度与价值观
通过平面向量基本定理内容的推导让学生不断了解数学，走进数学，增强学生的数学素养。
【教学重点难点】基本定理的得出与证明、基本定理的简单应用、
一、创设情景：
问题1、 ?ABCD的对角线AC和BD交于点M，，
试用向量，表示。
结论：由作图可得
问题2、对于向量，是否是惟一的一组？
二、讲解新课：
平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使21世纪教育网版权所有
注： ①，均非零向量；
②，不唯一（事先给定）；
③，唯一；
④时，与共线；时，与共线；时，
基底：
正交分解：
三、例题分析：
例1、 已知向量，（如图），求作向量．
例2、 如图，、不共线， ，用、表示．
例3、已知梯形中，，，分别是、的中点，若，，用，表示、、．
例4、 已知在四边形中，，，，
求证：是梯形。
例5、设是两个不共线的非零向量，记，，那么当实数t为何值时，A，B，C三点共线
五、课时小结：
1．熟练掌握平面向量基本定理；
2．会应用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、减法及实数与向量的积的几何表示。
第6课时 §2.3.2 向量的坐标表示（1）
【教学目标】
一、知识与技能
掌握平面向量的正交分解及其坐标的意义与运算
二、过程与方法
从数的层面通过坐标来对向量进行考察，体现数学的简捷
三、情感、态度与价值观
数形结合让学生在学习本块知识的同时感受到数学的美，增强数学学习的兴趣
【教学重点难点】坐标的运算、坐标的意义
一、复习
平面向量的基本定理：；
二、创设情景：
问题1 平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数对（它的坐标）惟一表示，对于直角坐标平面内的每一个向量，是否都可以用一对有序实数对（它的坐标）表示惟一表示？21·cn·jy·com
问题2 若向量以原点为起点，则如何用坐标刻画向量？若向量不以原点为起点呢？
三、讲解新课：
1．向量的坐标表示的定义：
分别选取与轴、轴方向相同的单位向量，作为基底，对于任一向量，，（），实数对叫向量的坐标，记作．21cnjy.com
其中叫向量在轴上的坐标，叫向量在轴上的坐标。
说明：（1）对于，有且仅有一对实数与之对应；
（2）相等的向量的坐标也相同；
（3），，；
（4）从原点引出的向量的坐标就是点的坐标。
问题3 的坐标吗？
2.由向量运算的结合律、分配律及数乘的运算律可得：
(1)两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）
(2)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标，
(3)一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标。
3．向量的坐标计算公式：
已知向量，且点，，求的坐标．
．
归纳：（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标；
（2）两个向量相等的等价条件是这二个向量的坐标相等。
四、例题分析：
例1、 如图，用基底，分别表示向量、、、， 并求出它们的坐标。
例2、 已知A（-1，3），B（1，-3），C（4，1），D（3，4），求向量OA，OB，AO，CD的坐标。21教育网
问题4：四边形OCDA是平行四边形吗？
例3、已知，，求，，的坐标．
例4、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C、D的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标？ 21世纪教育网版权所有
例5、（1）已知的方向与轴的正向所成的角为，且，则的坐标为 ． www.21-cn-jy.com
（2）已知，，，且，求，．
五、课时小结：
1．正确理解平面向量的坐标意义；
2．掌握平面向量的坐标运算；
3．能用平面向量的坐标及其运算解决一些实际问题
六、反馈练习
8.如图，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC和BO的交点P的坐标。
第7课时 §2.3.2 向量的坐标表示（2）
【教学目标】
一、知识与技能
理解用坐标表示的平面向量共线的条件，体会数形结合的思想
二、过程与方法
经历知识的探究与交流来感受向量平行的坐标表示
三、情感、态度与价值观
数形结合思想的熏陶培养学生的审美意识
【教学重点难点】平面向量共线的条件简单应用、平面向量共线的条件的证明
一、复习
1．已知，，求，的坐标；
2．已知点，及，，，求点、、的
坐标。
3．向量共线定理：
二、创设情景：
我们知道，对于两个非零向量，如果有一个实数?，使，那么。
问题1 能否向量形式坐标化？即利用坐标关系来刻画向量共线？
三、讲解新课：
向量平行的坐标表示：
设，，（），且，
则，∴.
∴，∴.
归纳：向量平行（共线）的等价条件的两种表达形式：
①；
②且设，（）
四、例题分析：
例1 、已知向量=（4，3），=（6，y），且∥，求实数y的值。
例2、已知A（0，-2），B（2，2），C（3，4），求证：A、B、C三点共线。
例3、已知a=（1，0），b=（2，1），当实数k为何值时，向量ka-b与a+3b平行？并确定此时它们时同向还是反向？21世纪教育网版权所有
例4、已知，，，，则以，为基底，求
例5、已知点，，，，向量与平行吗？直线平
行与直线吗？
五、课时小结：
1．熟悉平面向量共线的两种表达形式；
2．会用平面向量平行的坐标形式证明三点共线和两直线平行；
3．明白判断两直线平行与两向量平行的异同
六、反馈练习
第8课时 §2.4 向量的数量积（1）
【教学目标】
一、知识与技能
（1）掌握向量的数量积及其几何意义；
（2）掌握向量数量积的重要性质及运算律；
（3）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
（4）掌握向量垂直的条件.
二、过程与方法
从问题的探究和解决中感受什么是向量的数量积
三、情感、态度与价值观
通过师生互动，自主探究，交流与学习培养学生探求新知识以及合作交流
【教学重点难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
【教学过程】
一、创设情景：
向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？
二、新课讲解
引入：
物理学中，物体所做的功的计算方法：
（其中是与的夹角）．
1．向量的夹角：
已知两个向量和（如图2），作，，则
（）叫做向量与的夹角。
当时，与同向；
当时，与反向；
当时，与的夹角是，我们说与垂直，记作．
2．向量数量积的定义：
已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即．
说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角
有关；
②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实
数与向量的积是一个向量；
③规定，零向量与任一向量的数量积是．
3、数量积的性质：
设、都是非零向量，是与的夹角，则
①；
②当与同向时，；当与反向时，；
特别地：或；
③；
④；
若是与方向相同的单位向量，则
⑤．
4．数量积的几何意义：
（1）投影的概念：
如图，，，过点作垂直于直线，垂足为，则．
叫做向量在方向上的投影，
当为锐角时，它是正值；
当为钝角时，它是一负值；
当时，它是；
当时，它是；
当时，它是．
（2）的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。
三、例题分析：
例1 、判断正误，并简要说明理由
①； ②； ③＝； ④；
⑤若，则对任一非零,有； ⑥=0，则与至少有一个为；
⑦对任意向量,,都有； ⑧与是两个单位向量，则.
例2、已知向量与向量的夹角为,,,分别在下列条件下求:
(1) ； （2）； （3）∥； (4) .
例3、已知正的边长为，设，，，求
例4、已知，，，且，求
四、课时小结：1．向量数量积的概念；
2．向量数量积的几何意义；
3．向量数量积的性质。
五、反馈练习
第9课时 §2.4 向量的数量积（2）
【教学目标】
一、知识与技能
（1）掌握平面向量数量积运算规律；
（2）能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
（3）掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
二、过程与方法
让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律
三、情感、态度与价值观
通过师生互动，自主探究，交流与学习培养学生探求新知识以及合作交流
【教学重点难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
【教学过程】
一、复习：
(1)两个非零向量夹角的概念；:
(2)平面向量数量积（内积）的定义；
(3)“投影”的概念；
(4)向量的数量积的几何意义；
(5)两个向量的数量积的性质。
二、新课讲解：
1．交换律：
证：设夹角为，则，
∴．
2．
证：若，，
， ，
若，，
，
．
3．．
在平面内取一点，作, ，，
∵（即）在方向上的投影等于
在方向上的投影和，
即：
∴，
∴ 即：．
三、例题分析：
例1、已知、都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角.
例2、 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.
例3、已知，是两个非零向量，且=，求与的夹角
例4、四边形中， ，，，，且，
试问四边形是什么图形?
例5、如图，是的三条高，求证：相交于一点。
例6、已知与的夹角为，且，是否存在满足条件的，使 ？请说明理由。
四、课时小结：1．向量数量积的概念；
2．向量数量积的几何意义；
3．向量数量积的性质；
4、平面向量数量积的运算律
五、反馈练习：
1.已知,,且与垂直，则的夹角是 ；
2．已知,,与之间的夹角为，那么向量的模为 ；
3.已知向量、的夹角为，||=2,||=1,则|+|·|-|=
4.已知||=1,| |=,
(1)若∥,求·；
(2)若、的夹角为，求|+|；?
(3)若-与垂直，求与的夹角.
5.设、是两个单位向量，其夹角为，求向量与的夹角.
6.对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角.
