2017-2018学年高中数学全一册学案（打包10套）北师大版必修2

第1课时　简单旋转体
[核心必知]
几种简单旋转体
名称
定义
图形表示
相关概念
球
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球
球心：半圆的圆心
球的半径：连接球心和球面上任意一点的线段
球的直径：连接球面上两点并且过球心的线段
圆柱
以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱
圆锥
以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥
高：在旋转轴上这条边的长度
底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面
母线：不垂直于旋转轴的边旋转，无论转到什么位置都叫作侧面的母线
圆台
以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆台
[问题思考]
1．铅球和乒乓球都是球吗？
提示：铅球是球，乒乓球不是球，铅球是实心球，符合球的定义，乒乓球是空心球，不符合球的定义．
2．圆台的母线一定交于一点吗？
提示：圆台可以看作用平行于底面的平面去截圆锥得到的．因此圆台的母线一定交于一点．
3．你能说出圆柱、圆锥、圆台之间的关系吗？
提示：圆柱、圆锥、圆台的形状不同，它们之间既有区别又有联系，并且在一定条件下可以相互转化．当圆台的下底面保持不变，而上底面越来越大时，圆台就越来越接近于圆柱，当上底面增大到与下底面相同时，圆台转化为圆柱，当圆台的上底面越来越小时，圆台就越来越接近于圆锥，当上底面收缩为一个点时，圆台就转化为圆锥了．

?讲一讲
1．下列叙述正确的个数是(　　)
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；
③半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
[尝试解答]　解析：选A　①应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图1，故①错；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，以直角梯形的不垂直于底的腰所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图2，故②错；③半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球，故③错．
对旋转体定义的理解要准确，认清不同的旋转轴、截面的作用有所不同，判断时要抓住几何体的结构特征，认真分析、对比判别．
?练一练
1．下列命题正确的是(　　)
A．过圆锥侧面上一点有无数条母线
B．在圆锥的侧面上画出的线段只能是曲线段不能是直线段
C．圆台的母线有无数条，它们都互相平行
D．以一个等腰梯形上、下底的中点的连线为旋转轴，将各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆台
解析：选D　A不正确，当该点不在顶点处时，只有一条母线；B不正确，因为所有母线都是直线段；C不正确，因为所有母线延长后相交于一点；D正确，符合圆台的结构特征.
?讲一讲
2．如图，请描述(1)，(2)中L围绕l旋转一周形成的空间几何体及曲面．
[尝试解答]　解：(1)旋转形成的几何体是一个圆环，形成的曲面是一个封闭的圆环曲面，形如自行车的轮胎．
(2)旋转形成的几何体是一个球，形成的曲面是一个球面．
(1)判断平面图形旋转后立体图形的形状，应根据平面图形的特点判断．
(2)由立体图形判断几何体是由什么样的平面图形旋转而成的，关键是看该立体图形是由哪些简单几何体构成的，然后通过轴截面的形状作出判断．
?练一练
2．若将例题中图形改为如图所示，形成的几何体又是怎样的呢？
解：旋转而成的几何体如图所示．
用一个平面去截圆柱，截面是什么图形？
[错解]　截面是圆．
[错因]　本题错解原因有两个：一是截面与底面的位置关系考虑不全面；二是没有真正把握圆柱是一种几何体，而几何体是封闭的实体．
[正解]　如图所示，截面是圆面或者是椭圆面(或椭圆面的一部分)或者是矩形面．
1．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是(　　)
A．①② B．②③
C．①③ D．②④
解析：选D　依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误．
2．截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是　　(　　)
A．圆柱 B．圆锥
C．球 D．圆台
解析：选C　由球的性质可知，用平面截球所得的截面都是圆面．
3．有下列三个命题：
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；
②圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；
③圆锥的轴截面是等腰三角形．
其中错误命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C　①将矩形的一边作为旋转轴旋转一周得到的几何体是圆柱．②圆台的两条母线的延长线必相交，故①②错误，③是正确的．
4．过球面上两点可能作出的球的大圆有____________．
解析：若两个点与圆心不共线，则有且只有1个，若两个点与圆心共线，则有无数个．
答案：一个或无数个
5．平行于圆锥的底面的平面截这个圆锥所得的截面是________．
答案：圆面
6．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．
解：先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：
一、选择题
1．给出以下说法：①圆台的上底面缩小为一点时(下底面不变)，圆台就变成了圆锥；②球面就是球；③过空间四点总能作一个球．其中正确说法的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　　　B．1
C．2 D．3
解析：选B　根据圆锥和圆台的形状之间的联系可知①正确；球面是曲面，球是球体的简称，是实心的几何体，故②不正确；当空间四点在同一条直线上时，过这四点不能作球，故③不正确．
2．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几何体由下面哪些简单几何体构成(　　)
A．一个圆台和两个圆锥
B．两个圆台和一个圆锥
C．两个圆柱和一个圆锥
D．一个圆柱和两个圆锥
解析：选D　把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形、由旋转体的定义可知所得几何体．
3．下图是由哪个平面图形旋转得到的(　　)
解析：选A　图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形．
4．以下几何体中符合球的结构特征的是(　　)
A．足球 B．篮球
C．乒乓球 D．铅球
解析：选D　因为球包括球面及球体内部(即实心)．而足球、篮球、乒乓球都是中空的，可视为球面，铅球是球体，符合球的结构特征．
5．如图所示的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是(　　)

A．(1)(2) B．(1)(3)
C．(1)(4) D．(1)(5)
解析：选D　轴截面为(1)，平行于圆锥轴截面的截面是(5)．
二、填空题
6．直角三角形围绕其斜边所在的直线旋转得到的旋转体由________组成．
解析：所得旋转体如图，是由两个圆锥组成的．
答案：两个圆锥
7．给出下列四个命题：
①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；
②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；
③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．
其中正确命题的序号是________．
解析：①错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图(1)．②正确，如图(2)．③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(3)．
答案：②
8．圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm，母线长是3 cm，则它的轴截面的面积是______．
解析：画出轴截面，如图，过A作AM⊥BC于M，则BM＝5－2＝3(cm)，
AM＝＝9(cm)，
∴S四边形ABCD＝＝63(cm2)．
答案：63 cm2
三、解答题
9．如图，将曲边图形ABCDE绕AE所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单的几何体构成的？其中CD∥AE，曲边DE为四分之一圆周且圆心在AE上．
解：将直线段AB，BC，CD及曲线段DE分别绕AE所在的直线旋转，如下图中的左图所示，它们分别旋转得圆锥、圆台、圆柱以及半球．
10．如图所示的四个几何体中，哪些是圆柱与圆锥，哪些不是，并指出圆柱与圆锥的结构名称．
解：②是圆锥，圆面AOB是圆锥的底面，SO是圆锥的高．SA，SB是圆锥的母线．
③是圆柱，圆面A′O′B′和圆面AOB分别为上、下底面．O′O为圆柱的高，A′A与B′B为圆柱的母线．
①不是圆柱，④不是圆锥．
第2课时　简单多面体
[核心必知]
1．简单多面体的定义
把由若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．
2．几种常见的简单多面体
名称
定义
图形表示
相关概念
棱　柱
两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱
侧棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱
侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱
底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱
底面：两个互相平行的面
侧面：除底面外的其余各面
棱：相邻两个面的公共边
侧棱：相邻两个侧面的公共边顶点：底面多边形与侧面的公共顶点
高：与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长
棱　锥
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫作棱锥
底面是正多边形，各侧面全等的棱锥叫作正棱锥
底面：棱锥中的多边形面
侧面：除底面外的其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：各侧面的公共点
高：过顶点作底面的垂线，顶点和垂足间的线段长
续表
名称
定义
图形表示
相关概念
棱　台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台
用正棱锥截得的棱台叫作正棱台，正棱台的侧面是全等的等腰梯形
底面：原棱锥的底面和截面叫作棱台的下底面和上底面
侧面：除底面外的其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
高：与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长
[问题思考]
1．如图所示的几何体是不是锥体，为什么？
提示：不是锥体．因为锥体的各侧棱必交于一点，而此物体不具备这一特征，所以不是锥体．
2．“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体一定是棱锥吗？
提示：棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形．但是也要注意“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体未必就是棱锥，如图所示的几何体满足各面都是三角形，但这个几何体不是棱锥．
?讲一讲
1．给出下列几个结论：
①长方体一定是正四棱柱；
②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；
③多面体至少有四个面；
④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．
其中，错误的个数是(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
[尝试解答]　选B　对于①，长方体的底面不一定是正方形，故①错，②显然是正确的；对于③，一个图形要成为空间几何体，至少需有四个顶点．当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故③是正确的；对于④，棱台的侧棱所在的直线就是截得原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，故④是正确的．
认识、判断一个几何体的结构特征，主要从它的侧面、侧棱、底面等角度描述，因此只有理解并掌握好各几何体的概念，才能认清其属性．
?练一练
1．下列命题中正确的是(　　)
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱
D．棱柱的侧棱长有的都相等，有的不都相等
解析：选C　A、B都不能保证侧棱平行这个结构特征，对于D，由棱柱的结构特征知侧棱都相等，一个最简单的棱柱是三棱柱，有五个面、六个顶点、九条棱．
?讲一讲
如图几何体中，四边形AA1B1B为边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面．
[尝试解答]　∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，
∴这个几何体不是棱柱．在四边形ABB1A1中，在AA1上取点E，使AE＝2；在BB1上取点F，使BF＝2；连接C1E，EF，C1F，则过点C1，E，F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC-EFC1，其侧棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C1-EA1B1F，如图．
认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结合它的面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它符合哪种几何体的结构特征或是由哪些几何体组合而成的几何体，并能用适当的平面将其分割开．
?练一练
如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是　　　(　　)
A．棱柱　　　　　　　　　
B．棱台
C．棱柱与棱锥组合体
D．不能确定
解析：选A　将过固定的一边的两端点的互相平行的两个侧面作为棱柱的底面，其他面作为棱柱的侧面来看待，正好符合棱柱的结构特征．
如图是一个矩形的游泳池，池底为一斜面，装满水后形成的几何体可由哪些简单几何体组成？
解：该几何体可由一个长方体补上一个三棱柱得到(如图①)；也可以由长方体切割去一个三棱柱得到(如图②)．
有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体是棱柱吗？
[错解]　因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行四边形，所以所围成的几何体是棱柱．
[错因]　棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱．显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．定义都是非常严格的，只要不满足所有的条件就会有特殊的例子出现．这提醒我们必须严格按照定义判定．
[正解]　满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示．
1．下列说法正确的有(　　)
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台　②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台　③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个
解析：选A　①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例(如下图所示)加以检验，故②③均不对．
2．棱台不一定具有的性质是(　　)
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点
解析：选C　只有正棱台的侧棱都相等．
3．下列几何体中棱柱的个数为(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
解析：选D　由棱柱的定义及特征知①③为棱柱．
4．用6根长度相等的木棒，最多可以搭成____________个三角形．
解析：用三根木棒，摆成三角形，用另外3根木棒，分别从三角形的三个顶点向上搭起，搭成一个三棱锥，共有4个三角形．
答案：4
5．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是________．
①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体；②该几何体有12条棱、6个顶点；③该几何体有8个面，并且各面均为三角形；④该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形．
解析：用平面ABCD可将该几何体分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面，故填④.
答案：④
6．如图所示为长方体ABCD-A′B′C′D′，E、F分别为棱A′B′、C′D′上的点，且B′E＝C′F，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由．
解：截面BCFE上方部分是棱柱，为棱柱BEB′－CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．
截面BCFE下方部分也是棱柱，为棱柱ABEA′－DCFD′，其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．
一、选择题
1．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是(　　)
A．四边形　　　　　　　　B．三角形
C．三角形或四边形 D．不可能为四边形
解析：选C　如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．
2．若正棱锥的底面边长和侧棱长相等，则该棱锥一定不是(　　)
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
解析：选D　解答本题要看所给的四种棱锥中能否使所有的棱长都相等．
3．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：选D　如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，取四棱锥A1-ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．
4．观察图中四个几何体，其中判断正确的是(　　)
A．(1)是棱台 B．(2)是圆台
C．(3)是棱锥 D．(4)不是棱柱
解析：选C　图(1)不是由棱锥截来的，所以(1)不是棱台；图(2)上下两个面不平行，所以(2)不是圆台；图(4)前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以(4)是棱柱；很明显(3)是棱锥．
5．有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们所有的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，则所得到的这个组合体是(　　)
A．底面为平行四边形的四棱柱
B．五棱锥
C．无平行平面的六面体
D．斜三棱柱
解析：选D　如图，正三棱锥A-BEF和正四棱锥B-CDEF的一个侧面重合后，面BCD和面AEF平行，其余各面都是四边形，故该组合体是斜三棱柱．
二、填空题
6．在正方体上任意选择四个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
解析：如图所示，①显然可能；②不可能；③如四面体A′AB′D′满足条件；④如四面体A′BC′D满足条件；⑤如四面体A′ABC满足条件．
答案：①③④⑤
7．下列四个命题：
(1)棱柱的两底面是全等的正多边形；(2)有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；(3)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；(4)四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．
其中正确的序号是________．
解析：(1)棱柱的两底面全等，但不一定是正多边形；(2)，(3)都不能保证侧棱与底面垂直；(4)易知对角面是长方形，侧棱与底面垂直，正确．
答案：(4)
8．用铁丝作一个三角形，在三个顶点分别固定一根筷子，把三根筷子的另一端也可用铁丝连成一个三角形，从而获得一个几何模型，如果筷子长度相等，那么这个几何体可能是____________．
解析：在该模型中已知一面为三角形，则根据筷子的位置情况，判断即可．
答案：三棱柱或三棱台
三、解答题
9．指出如图所示图形是由哪些简单几何体构成．
解：分割原图，使它们每一部分都是简单几何体．
(1)是一个三棱柱和一个四棱柱组成的几何体．
(2)是一个圆锥和一个四棱柱组合而成的几何体．
10．画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体；(2)三个三棱锥，并用字母表示．
解：画三棱台一定要利用三棱锥．
(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′-AB″C″.
(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′-ABC，B′-A′BC，C′-A′B′C.
1.2 直观图
[核心必知]
1．斜二测画法的规则
(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．
(2)已知图形中平行于x轴和y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.
2．立体图形的直观图的画法
立体图形与平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z′轴，平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面，平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变．
[问题思考]
1．斜二测画法中的“斜”、“二测”分别指什么？
提示：斜是指坐标轴倾斜，使之成45°，二测是指测量与x轴平行的线段长度不变，测量与y轴平行的线段长度减半．
2．斜二测画法中，原图中互相平行的线段在直观图中还平行吗？
提示：平行．
3．空间几何体的直观图一定唯一吗？
提示：不一定唯一．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同．
　?讲一讲
1．用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．
[尝试解答]　法一：(1)如图①所示， 以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．
法二：(1)如图③所示，以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴．
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′A′＝OA，在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝OC＝1 cm，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图④所示．
在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点，原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．
?练一练
1．画出水平放置的等腰梯形的直观图．
解：画法：(1)如图(1)，取AB所在直线为x轴，以AB中点O为原点，建立直角坐标系，设y轴与DC交于点E，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，
在y′轴上取O′E′＝OE，
以E′为中点作C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图(2)．
?讲一讲
2．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
[尝试解答]　画法：(1)画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图．
(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD.
(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高．
(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图．
画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴．此题也可以把点A，B，C，D放在坐标轴上，画法实质是各顶点的确定．
?练一练
2．画出五棱柱的直观图．
解：画法：
(1)画轴：画x′轴，y′轴，z′轴，记坐标原点为O′，
使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.
(2)画底面：在俯视图中，建立直角坐标系xOy(如图①)，利用斜二测画法画出底面ABCDE的直观图A′B′C′D′E′.
(3)画侧棱：过A′，B′，C′，D′，E′各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上截取A′A″，B′B″，C′C″，D′D″，E′E″，使它们都等于主视图中矩形的高．
(4)成图：连接A″B″，B″C″，C″D″，D″E″，E″A″，并加以整理(去掉辅助线，并将被遮住的部分改为虚线)，就得到原几何体的直观图(如图②)．
　?讲一讲
3．一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形．求原四边形的面积．
[尝试解答]　如图(1)是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴．
因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直线为y′轴．过D′作D′E′∥A′B′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1.
又因为梯形为等腰梯形，
所以△E′D′C′为等腰直角三角形．所以E′C′＝.
再建立一个直角坐标系xBy，如图(2)所示，在x轴上截取线段BC＝B′C′＝1＋，在y轴上截取线段BA＝2B′A′＝2.
过A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1.连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的实际图形．
四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝1，
下底BC＝1＋，高AB＝2，
所以S梯形ABCD＝AB·(AD＋BC)
＝×2×(1＋1＋)
＝2＋.
(1)由直观图还原平面图形关键有两点：
①平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴线段变为原来的2倍；
②对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．
(2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是＝.
?练一练
3．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为(　　)
A.a2　　　　　　　　　B.a2
C.a2 D.a2
解析：选C　如图(1)为直观图，图(2)为实际图形．取B′C′所在直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，过A′点作A′N′∥O′x′，交y′轴于N′点，过A′点作A′M′∥O′y′，交x′轴于M′点．
　　　　
则在直角三角形A′O′M′中，
∵O′A′＝a，∠A′M′O′＝45°，∴A′M′＝a.
则AM＝2A′M′＝a，∴S△ABC＝×a×a＝a2.
画出右图中四边形OABC的直观图(图中数据已给出)．
[错解]　以O为原点，OB所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，如图甲，作∠C′O′B′＝45°，其中O′B′是水平的，O′B′＝4，O′D′＝3，O′C′＝1，
过D′作∠B′D′A′＝90°，使A′D′＝1，顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，所得四边形O′A′B′C′即为四边形OABC的直观图，如图乙．
[错因]　坐标轴上的点O，B，C画得正确，点A的直观图位置画错了，应该依据点A到y轴的距离不变，到x轴的距离减半的方法确定A′的位置．
[正解]　如图所示，作∠C′O′B′＝45°，其中O′B′是水平的，O′B′＝4，O′D′＝3，O′C′＝1，过点D′作∠B′D′A′＝135°，使A′D′＝1，顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，所得四边形即为四边形OABC的直观图．
1．用斜二测画法得到：
①相等的线段和角在直观图中，仍然相等；
②正方形在直观图中是矩形；
③等腰梯形在直观图中仍然是等腰梯形；
④菱形的直观图仍然是菱形．
上述结论正确的个数是(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
解析：选A　利用斜二测画法，上面说法没有一个正确．
2．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的(　　)
解析：选C　按斜二测画法的规则：平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变，在y轴上或平行于y轴的线段长度在新坐标系中变为原来的，并注意到∠x′O′y′＝45°，将图形还原成原图形知选C.
如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是(　　)
解析：选A　根据斜二测画法，知在y轴上的线段长度为原来的一半，可知A正确．
4．平行四边形的直观图________平行四边形．(用“是”或“不是”作答)
解析：斜二测画法不改变图形中的平行关系．
答案：是
如图，为△ABO水平放置的直观图，其中O′D′＝B′D′＝2A′D′，由图判断原三角形中AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是________________．
解析：将直观图还原为平面图形如图所示，
由三角形的有关性质可知，OB>AB>BD>OD.
答案：OD6．已知一等腰△ABC底边AB＝a，高为a，求用斜二测画法得到的直观图的面积．
解：如图(1)(2)所示的是实际图形和直观图，
由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，
在图(2)中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.
所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.
一、选择题
1．下列说法中正确的个数是(　　)
①相等的角在直观图中对应的角仍然相等
②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等
③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行
④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点
A．1　　　　　　B．2
C．3 D．4
解析：选B　只有③④正确．
2．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，正确的是如图所示中的(　　)
解析：选D　正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.
3．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是(　　)
A．16　　　　B．64 C．16或64　　D．都不对
解析：选C　当其中在x′轴上的边长为4时，正方形面积为16；当其中在y′轴上的边长为4时，正方形面积为64.
4．如图，直观图所表示(A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′)的平面图形是(　　)
A．正三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
解析：选D　由A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′，∠A′C′B′＝45°知对应的平面图形为直角三角形．
5．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于(　　)
A.a2 B.a2
C.a2 D．2a2
解析：选D　由题意知，平行四边形的直观图为
对应在直角坐标系下的图形为：
∴平行四边形的面积为S′＝2××a×2a＝2a2.
二、填空题
如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
解析：在直观图中，A′B′C′O′是有一个角为45°且长边为2，短边为1的平行四边形，∴B′到x′轴的距离为.
答案：
水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
解析：由于直观图中，∠A′C′B′＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
则斜边AB＝5，故斜边AB上的中线长为2.5.
答案：2.5
8．如图所示是水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图，其中D是AC的中点，原△ACB中，∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．
解析：先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找与线段BD长度相等的线段，把△ABC还原后为直角三角形，则D为斜边AC的中点，∴AD＝DC＝BD.
答案：2
三、解答题
9．画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm、2 cm，高为2 cm)．
解：(1)画轴，以底面△ABC的垂心O为原点，OC所在直线为y轴，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，
以上底面△A′B′C′的垂心O′与O的连线为z轴，建立空间坐标系．
(2)画下底面，在xOy平面上画△ABC的直观图，在y轴上量取OC＝ cm，OD＝ cm.
过D作AB∥x轴，且AB＝2 cm，以D为中点，连接AC、BC，则△ABC为下底面三角形的直观图．
(3)画上底面，在z轴上截取OO′＝2 cm，过O′作x′轴∥x轴，y′轴∥y轴，在y′轴上量取O′C′＝ cm，O′D′＝ cm，过D′作A′B′∥x′轴，A′B′＝1 cm，且以D′为中点，则△A′B′C′为上底面三角形的直观图．
(4)连线成图，连接AA′，BB′，CC′，并擦去辅助线，则三棱台ABC－A′B′C′，即为所要画的三棱台的直观图(如图)．
用斜二测画法得到一水平放置的三角形为直角三角形ABC，AC＝1，∠ABC＝30°，如图所示，试求原图的面积．
解：如图(1)所示，作AD⊥BC于D，在BD上取一点E使DE＝AD，由AC＝1，可知BC＝2，AD＝，AE＝，
由斜二测画法(如图(2))可知
B′C′＝BC＝2，A′E′＝2AE＝，
∴S△A′B′C′＝B′C′·A′E′＝×2×＝.
　　　　　　　 　(1)　　　　　　　(2)
1.3 三视图
[核心必知]
1．三视图中的实虚线
在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出．不可见边界轮廓线，用虚线画出．
2．绘制三视图时的注意事项
(1)绘制三视图时，要注意：
①主、俯视图长对正；
②主、左视图高平齐；
③俯、左视图宽相等，前后对应．
(2)画简单组合体的三视图的注意事项：
①首先，确定主视、俯视、左视的方向．同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．
②其次，注意简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．
3．简单几何体的两种基本组成形式
(1)将基本几何体拼接成组合体．
(2)从基本几何体中切掉或挖掉部分构成组合体．
[问题思考]
一个简单几何体的三视图：主视图、左视图和俯视图完全一样，这个几何体是正方体或球，对吗？
提示：不一定是正方体．球的主视图、左视图和俯视图是完全一样的圆，而正方体的三视图与观察角度有关，有时三种视图的形状不完全相同．
　?讲一讲
1．画出如下图所示的空间几何体的三视图(阴影面为主视面)(尺寸不作严格要求)．
[尝试解答]　三视图如图所示：

1．在画三视图时，要想象几何体的后面、右面、下面各有一个屏幕，一组平行光线分别从前面、左面、上面垂直照射，我们画的是影子的轮廓，再验证几何体的轮廓线，看到的画实线，不能看到的画虚线．
2．作三视图时，一般俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图一样．
?练一练
1．画出如图所示的空间几何体的三视图(阴影面为主视面)(尺寸不作严格要求)．
解：三视图如图．
?讲一讲
2．画出下列几何体的三视图(阴影面为主视面)．
[尝试解答]　三视图如图所示．
对既有拼接，又有切、挖较复杂的组合体，关键是观察清楚轮廓线和分界线，并注意被遮挡部分的轮廓线用虚线表示，在画三视图时，很容易漏画轮廓线，或把虚线画成了实线，要注意检查．
?练一练
2．画出如图所示的组合体的三视图．(阴影部分为主视面，尺寸不作严格要求)
解：这个组合体的三视图如图：
?讲一讲
3．如图所示的是一些立体图形的三视图，画出它的实物图．
[尝试解答]　
根据三视图还原几何体实物，要仔细分析和认真观察三视图，进行充分的空间想象，综合三视图的形状，从不同的角度去还原．看图和想图是两个重要的步骤，“想”于“看”中，形体分析的看图方法是解决此类问题的常用方法．
?练一练
3．根据以下三视图想象物体原形，并画出物体实物草图．
解：实物草图如图：
画出右图的物体的三视图．
[错解]　
[错因]　三视图出现多处错误．首先，主视图和左视图的高应该是相同的，而所画的视图没有做到这一点；其次，左视图的宽应该和俯视图的高一致，这一点也没有做到；再次，主视图的长与俯视图的长应对齐，这点还是没有做到；最后，图中有一条看不到的棱应该用虚线表示出来，所以答案存在多处错误．
[正解]　如图所示．
1．如图所示的一个几何体，它的俯视图是(　　)
解析：选C　根据三视图的画法及特点可知C正确．
2．(湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(　　)
解析：选C　A是两个圆柱的组合体，B是一个圆柱和一个四棱柱的组合体，C选项的正视图与侧视图不相同，D可以是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱与一个四棱柱的组合体．
3．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为(　　)
解析：选B　依题意，侧视图中棱的方向从左上角到右下角，故选B.
4．一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥　②四棱锥　③三棱柱　④四棱柱　⑤圆锥　⑥圆柱
解析：只要判断正视图是不是三角形就行了，画出图形容易知道三棱锥、四棱锥、圆锥一定可以，对于三棱柱，只需要倒着放就可以了，所以①②③⑤均符合题目要求．
答案：①②③⑤
5．如图是由小正方体组成的几何图形的三视图，则组成它的小正方体的个数是________．
解析：由三视图我们可以得出该几何体的直观图，如图所示．
答案：5
6．画出该组合体的三视图．
解：组合体由正六棱柱和圆柱组合而成，其三视图如图所示．
一、选择题
1．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为(　　)
A．圆台　　　　　　　　　B．四棱锥
C．四棱柱 D．四棱台
解析：选D　由主视图和左视图可以判断一定为棱台或圆台，又由俯视图可知其一定为棱台且为四棱台．
2．(湖南高考)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于(　　)
A. B．1
C. D.
解析：选D　由已知，正方体的正视图与侧视图都是长为，宽为1的矩形，所以正视图的面积等于侧视图的面积，为.
3．三棱柱ABC-A1B1C1，如下图所示，以BCC1B1的前面为正前方画出的三视图，正确的是(　　)
解析：选A　正面是BCC1B1的矩形，故主视图为矩形，左侧为△ABC，所以左视图为三角形，俯视图为两个有一条公共边的矩形，公共边为CC1在面ABB1A1内的投影．
4．(福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是(　　)
A．球 B．三棱锥
C．正方体 D．圆柱
解析：选D　球的三视图是三个相同的圆；当三棱锥为正三棱锥时其三视图可能是三个全等的三角形；正方体的三视图可能是三个相同的正方形；不论圆柱如何放置，其三视图形状都不会完全相同．
5．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的左视图的面积为(　　)
A.　　　　B. C．12　　　　D．6
解析：选A　由主视图、左视图、俯视图之间的关系可以判断该几何体是一个底面为正六边形的正六棱锥．
∵主视图中△ABC是边长为2的正三角形，此三角形的高为，∴左视图的高为.俯视图中正六边形的边长为1，其小正三角形的高为，∴左视图的底为×2＝，
∴左视图的面积为××＝.
二、填空题
6．如图所示，为一个简单几何体的三视图，它的上部是一个________，下部是一个________．
解析：由三视图可知该几何体图示为
所以，其上部是一个圆锥，下部是一个圆柱．
答案：圆锥　圆柱
7．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．
解析：其俯视图如图所示时为小正方体个数最多情况(其中小正方形内的数字表示小正方体的个数)共需7个小正方体.
1
2
1
1
1
1
答案：7
8．如图(1)，E、F分别为正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BED1F在该正方体的面上的射影可能是图(2)中的________(要求：把可能的图的序号都填上)．
解析：根据平行投影的理论，从正方体的上下、前后、左右三个角度分别投影，从上往下投影，选择②，从前往后投影，选择②，从左往右投影，选择③.
答案：②③
三、解答题
9．如图所示，图②是图①中实物的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出它的左视图．
解：图①是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误．俯视图应该画出不可见轮廓(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．
10．某建筑由若干个面积相同的房间组成，其三视图如下，其中每一个小矩形表示一个房间．
(1)该楼有几层？共有多少个房间？
(2)画出此楼的大致形状．
解：(1)由主视图和左视图可知，该楼共3层，由俯视图可知，该楼一楼有5个房间，结合主视图与左视图，易知二楼和三楼分别有4个，1个房间，故共10个房间．
此楼的大致形状如图：
第1课时　空间图形基本关系的认识与公理1～3
[核心必知]
1．空间图形的基本位置关系
点
2．空间图形的3条公理
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)
若A、B、C三点不共线，则存在唯一一个平面α使A∈α，B∈α，C∈α
续表
文字语言
图形语言
符号语言
公理2
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)
若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
若A∈α，A∈β，且α与β不重合，则α∩β＝l，且A∈l
[问题思考]
1．三点确定一个平面吗？
提示：当三点在一条直线上时，不能确定一个平面，当三点不在同一条直线上时，确定一个平面．
2．三条两两相交的直线，可以确定几个平面？
提示：若三条直线两两相交于一点时，则可以确定一个或三个平面；若相交于三个交点时，则可以确定一个平面．
?讲一讲
1．如图所示，已知一直线a分别与两平行直线b，c相交．求证：a，b，c三线共面．
[尝试解答]　证明：∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面α.
如图，令a∩b＝A，a∩c＝B，
∴A∈α，B∈α，∴ABα.
即aα，∴a，b，c三线共面．
证明点线共面的常用方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．
?练一练
1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，
求证：直线a，b，c和l共面．
证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α，如图．
∵l∩a＝A，l∩b＝B，
∴A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.
而A∈l，B∈l，
∴由公理2可知：lα.
∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β，
同理可知lβ.
∴平面α和平面β都包含直线b与l，且l∩b＝B，
又∵经过两条相交直线，有且只有一个平面，
∴平面α与平面β重合，∴直线a，b，c和l共面.
?讲一讲
已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R(如图)，求证：P，Q，R三点共线．
[尝试解答]　证明：法一：∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，
∴P，Q，R三点共线．
法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∴B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.
又∵Q∈直线BC，
∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR.
∴P，Q，R三点共线．
证明点共线问题的常用方法有：法一是首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另外的点在其上．
?练一练
2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.
∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C在平面A1D1CB内，
∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，
∴Q在两平面的交线BD1上，
∴B，Q，D1三点共线.
　?讲一讲
3．已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2，l3不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．
[尝试解答]　证明：如图，α∩β＝l1，
β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.
∵l1β，l2β，且l1，l2不平行，
∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，
则P∈l1α，P∈l2γ，
∴P∈α∩γ＝l3，
∴l1，l2，l3相交于一点P.
证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这两个平面相交(交线是第三条直线)，于是得到交线也过此点，从而得到三线共点．
?练一练
3．已知在正方体ABCD-A′B′C′D′中，如图，E，F分别为AA′，AB上的点(E，F不与A′，B重合)且EF∥CD′，求证：CF，D′E，DA三线共点于P.
证明：由EF∥CD′知E，F，C，D′四点共面．
因为E，F不与A′，B重合，所以EF≠CD′，即四边形EFCD′为梯形．
设D′E∩CF＝P，∵D′E平面AA′D′D，P∈D′E，∴P∈平面AA′D′D.
又∵CF平面ABCD，P∈FC，∴P∈平面ABCD，
即P是平面ABCD与平面AA′D′D的公共点．
又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，∴P∈AD，即CF，D′E，DA三线共点于P.
已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？
[错解]　∵A，B，C，D共面，
∴点A在点B，C，D所确定的平面内．
∵点B，C，D，E四点共面，
∴点E也在点B，C，D所确定的平面内，
∴点A，E都在点B，C，D所确定的平面内，
即点A，B，C，D，E一定共面．
[错因]　在证明共面问题时，必须注意平面是确定的．上述错解中， 由于没有注意到B，C，D三点不一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线，因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定平面，因此就使得五点的共面失去了基础．
[正解]　A，B，C，D，E五点不一定共面．
(1)当B，C，D三点不共线时，由公理可知B，C，D三点确定一个平面α，由题设知A∈α，E∈α，故A，B，C，D，E五点共面于α；
(2)当B，C，D三点共线时，设共线于l，若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E有且只有一点在l上，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面．
综上所述，在题设条件下，A，B，C，D，E五点不一定共面．
1．下列图形中不一定是平面图形的是(　　)
A．三角形　　　　　　 　B．菱形
C．梯形 D．四边相等的四边形
解析：选D　四边相等不具有共面的条件，这样的四边形可以是空间四边形．
2．(重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是　　(　　)
A．(0，) B．(0，)
C．(1，) D．(1，)
解析：选A　如图所示的四面体ABCD中，
设AB＝a，则由题意可得CD＝，其他边的长都为1，故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形，显然a>0.取CD中点E，连接AE，BE，则AE⊥CD，BE⊥CD且AE＝BE＝ ＝，显然A、B、E三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2×>a，解得03．下列四个命题中，真命题的个数为(　　)
①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
②两条直线可以确定一个平面
③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l
④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
A．1　　　B．2 C．3　　　D．4
解析：选A　两个平面有三个公共点时，两平面相交或重合，①错；两条直线异面时不能确定一个平面，②错；空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，④错．∴只有③对．
如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与D1C的位置关系是__________；
(2)直线A1B与B1C的位置关系是__________；
(3)直线D1D与D1C的位置关系是__________；
(4)直线AB与B1C的位置关系是__________．
答案：(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面
5．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．
解析：两条直线a，c都与同一条直线b是异面直线，则这两条直线平行、相交或异面都有可能．
答案：平行、相交或异面
6．证明：两两相交且不共点的三条直线确定一个平面．
证明：设这两两相交且不共点的三条直线分别为l1，l2，l3，且
l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，
l1∩l3＝C(如图所示)．
∵l1与l2相交，∴l1与l2确定一平面α.
∵B∈l2，C∈l1，∴B∈α，C∈α，
又B∈l3，C∈l3，∴l3α，
即两两相交且不共点的三条直线确定一个平面．
一、选择题
1．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是(　　)
A．A，B，C，D四点中必有三点共线
B．A，B，C，D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行
解析：选B　若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面，若AB与CD相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．
2．若点A在直线b上，b在平面β内，则A，b，β之间的关系可以记作(　　)
A．A∈b，b∈β　　　　　 　B．A∈b，bβ
C．Ab，bβ D．Ab，b∈β
解析：选B　∵点A在直线b上，∴A∈b，又∵直线b在平面β内，∴bβ，∴A∈b，bβ.
3．如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C?l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是(　　)
A．直线AC B．直线BC
C．直线CR D．直线AR
解析：选C　∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，
∴R∈平面ABC.而C∈β，lβ，R∈l，∴R∈β，
∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR.
4．平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：选C　与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．
5．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则(　　)
A．M一定在直线AC上
B．M一定在直线BD上
C．M可能在AC上，也可能在BD上
D．M不在AC上，也不在BD上
解析：选A　因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上．
二、填空题
6．空间四点A，B，C，D，其中任何三点都不在同一直线上，它们一共可以确定平面的个数为________．
解析：四点共面时，确定1个平面，任何三点不共线，四点不共面时，确定4个平面．
答案：1或4
如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
解析：观察图形可知①③错误，②④正确．
答案：②④
8．有下面几个说法：
①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；
⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．
其中正确的序号是__________(把你认为正确的序号都填上)．
解析：①中线段可与平面α相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；④中三边在同一平面内，可推知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A与α内的任意直线都能确定一个平面．
答案：③④
三、解答题
9．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.
求证：P，Q，R三点共线．
证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.
∴AB，CD可确定一个平面，设为β.
∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，
∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.
∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．
∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，
∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．
∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．
10．已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a，b，c，d共面．
证明：①无三线共点情况，如图所示，
设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.
∵a∩d＝M，∴a，d可确定一个平面α.
∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.
∴NQα，即bα.同理cα.∴a，b，c，d共面．
②有三线共点的情况，如图所示，
设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M，且K?a，
∵K?a，∴K与a确定一个平面，设为β.
∵N∈a，aβ，∴N∈β.
∴NKβ，即bβ.同理，cβ，dβ.∴a，b，c，d共面．
第2课时　空间图形的公理4及等角定理
[核心必知]
1．公理4
平行于同一条直线的两条直线平行．
2．定理
空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3．空间四边形
四个顶点不在同一平面内的四边形叫做空间四边形．
4．异面直线所成的角
(1)过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角．
(2)当异面直线a与b所成的角为直角时，a与b互相垂直．
[问题思考]
1．公理4及等角定理的作用是什么？
提示：公理4又叫平行线的传递性．作用主要是证明两条直线平行．等角定理的主要作用是证明空间两个角相等．
2．两条互相垂直的直线一定相交吗？
提示：不一定．只要两直线所成的角是90°，这两直线就垂直，因此，两直线也可能异面．
　?讲一讲
如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别为线段A1B，B1D1，A1B1上的点，若＝＝，且PN∥A1D1.求证：PM∥AA1.
[尝试解答]　证明：∵PN∥A1D1，＝，得＝，
又＝，∴PM∥BB1.
而BB1∥AA1，∴PM∥AA1.
空间中证明两直线平行的方法：
(1)借助平面几何知识，如三角形的中位线性质、平行四边形的性质，成比例线段平行．
(2)利用公理4，即证明两条直线都与第三条直线平行．
?练一练
1．梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD与C′D′的位置重合，G，H分别为AD′和BC′的中点，
求证：四边形EFGH为平行四边形．
证明：在梯形ABCD中，EF∥AB且EF＝(AB＋CD)．
在梯形ABC′D′中，G，H分别是AD′，BC′的中点，
∴GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)．
又CD＝C′D′，∴EFGH，
∴四边形EFGH为平行四边形.
　?讲一讲
2.如图所示，已知E，E1分别是正方体AC1的棱AD，A1D1的中点，
求证：∠C1E1B1＝∠CEB.
[尝试解答]　证明：连接EE1，
∵E，E1分别是AD，A1D1的中点，
∴A1E1AE，
∴四边形A1E1EA为平行四边形，
∴A1AE1E.
又A1AB1B，
由基本性质4知B1BE1E，
∴四边形E1EBB1为平行四边形，
∴E1B1∥EB.
同理E1C1∥EC.
又∠C1E1B1与∠CEB的对应边方向相同，
∴∠C1E1B1＝∠CEB.
1．证明两角相等的方法
①等角定理；②三角形全等；③三角形相似．
2．利用等角定理证明两角相等，关键是证明角的两边分别平行，另外要注意角的方向性．
?练一练
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点．
求证：(1)EFE1F1；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
证明：(1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF
BD.
同理，E1F1B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1DD1，
所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以BDB1D1，
又EFBD，E1F1B1D1，
所以EFE1F1.
(2)分别取A1B1、A1D1的中点M、N，连接BM、DN、MF1，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
由题意，MF1BC，A1MBE，
∴四边形BCF1M，四边形A1EBM是平行四边形，
∴A1E∥BM∥CF1.
同理可证A1F∥DN∥CE1.
又A1E、A1F、CF1、CE1，分别为∠EA1F、∠E1CF1的对应两边，且方向相反，∴∠EA1F＝∠E1CF1.
在空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(　　)
A．AB∥CD
B．AB与CD是异面直线
C．AB与CD相交
D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
[错解]　如图，∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD.故选A.
[错因]　错解的原因在于，认为线段AB，BC，CD在同一个平面内．
[正解]　构造图形：(1)在同一个平面内∠ABC＝∠BCD(如图(1))；
在同一个平面内∠ABC＝∠BCD(如图(2))；
(3)将图(2)中直线CD绕着BC旋转，
使∠ABC＝∠BCD.
由(1)知AB∥CD，
由(2)知AB与CD相交，
由(3)知AB与CD是异面直线．
[答案]　D
1．下列结论正确的是(　　)
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.
A．①②③　　 B．②④
C．③④　　　 D．②③
解析：选B　①错，可以异面．②正确，公理4.③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知．
2．已知直线a，b，c，下列三个命题：
①若a∥b，a⊥c，则b⊥c；
②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；
③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.
其中，正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B　①项正确；②项不正确，有可能相交也有可能异面；③项不正确．可能平行，可能相交也可能异面．
3．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条(　　)
A．相交 B．异面
C．相交或异面 D．平行
解析：选C　如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面．
4．如图，夹在两平行平面间的两条线段AB，CD交于点O，已知AO＝4，BO＝2，CD＝9.则线段CO，DO的长分别为________，________.
解析：∵AB，CD相交于O点，∴AC，BD共面．
又AC与BD不相交，∴AC∥BD.
∴＝，又DC＝9，AO＝4，BO＝2.∴CO＝6，DO＝3.
答案：6　3
5．已知E，F，G，H为空间中的四个点，且E，F，G，H不共面，则直线EF和GH的位置关系是________．
解析：假设共面，则E，F，G，H共面，与已知矛盾，
∴EF与GH不共面，即异面．
答案：异面
如图所示，不共面的三条射线OA，OB，OC，点A1，B1，C1分别是OA，OB，OC上的点，且＝＝成立．
求证：△A1B1C1∽△ABC.
证明：在△OAB中，∵＝，∴A1B1∥AB.
同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.
∴∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.∴△A1B1C1∽△ABC.
一、选择题
1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是(　　)
A．异面　　　　　　　　　B．相交
C．平行 D．异面或相交
解析：选D　a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A矛盾，而a与c异面、相交都有可能．
如图所示，在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有(　　)
A．2对 B．3对
C．4对 D．6对
解析：选B　据异面直线的定义可知共有3对．AP与BC，CP与AB，BP与AC.
如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有(　　)
A．3条　　　　　　B．4条
C．5条 D．6条
解析：选B　由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．
4．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是(　　)
A．5 B．10 C．12 D．不能确定
解析：选B　如图所示，由三角形中位线的性质可得EHBD，FGBD，
再根据公理4可得四边形EFGH是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，所以EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.
5．异面直线a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是(　　)
A．c与a，b都相交
B．c与a，b都不相交
C．c至多与a，b中的一条相交
D．c至少与a，b中的一条相交
解析：选D　若c与a、b都不相交，
∵c与a在α内，∴a∥c.
又c与b都在β内，∴b∥c.
由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．
如图，只有以下三种情况．
二、填空题
6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，
(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；
(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．
解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同；
(2)B1D1∥ BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．
答案：(1)∠D1B1C1　(2)∠B1D1A1
7．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．
解析：如图，可借助长方体理解，
令a＝CC1，b＝A1B1，则BC，AD，DD1均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面．
答案：平行、相交或异面
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线
②直线AM与BN是平行直线
③直线BN与MB1是异面直线
④直线AM与DD1是异面直线
其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．
解析：由异面直线的定义知③④正确．
答案：③④
三、解答题
9．长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．
(1)求证：D1E∥BF；
(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.
证明：(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.
在矩形ABB1A1中，易得EMA1B1，
∵A1B1C1D1，∴EMC1D1，
∴四边形EMC1D1为平行四边形，
∴D1E∥C1M.
在矩形BCC1B1中，易得MBC1F，
∴四边形BFC1M为平行四边形，
∴BF∥C1M，∴D1E∥BF.
(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，
又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，
∴∠B1BF＝∠D1EA1.
如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且＝＝λ，＝＝μ.
(1)当λ＝μ时，求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)当λ≠μ时，求证：①四边形EFGH是梯形；②三条直线EF，HG，AC交于一点．
证明：在△ABD中，＝＝λ，故EHλBD.同理FGμBD.
由公理4得EH∥FG，又可得FG＝EH.
(1)若λ＝μ，则FG＝EH，故EFGH是平行四边形．
(2)①若λ≠μ，则EH≠FG，故EFGH是梯形．
②在平面EFGH中EF、HG不平行，必然相交．
设EF∩HG＝O，则由O∈EF，EF平面ABC，得O∈平面ABC.
同理有O∈HG平面ACD.
而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以O∈AC，即EF、HG、AC交于点O.
第1课时　平行关系的判定
[核心必知]
1．直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系
图形语言
符号语言
直线在平面内
aα
直线与平面相交
a∩α＝A
直线与平面平行
a∥α
2.直线与平面平行的判定
文字语言
图形语言
符号语言
若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行
3.平面与平面平行的判定
文字语言
图形语言
符号语言
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行
[问题思考]
1．若直线a平行于平面α内的无数条直线，则直线a平行于平面α吗？
提示：不一定，因为直线a在平面α内时，与a平行的直线也有无数条．
2．对于平面与平面平行的判定定理中，若把“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？
提示：不一定．如图中，平面α内的两条直线a，b均平行于β，而α与β却相交．
?讲一讲
1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF∥平面PAD.
[尝试解答]　证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，
∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD.
又∵AD平面PAD，EF平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
1．判断或证明线面平行的方法
(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)；
(2)判定定理法：aα，bα，a∥b?a∥α；
(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．
2．证明线线平行的方法
(1)利用三角形、梯形中位线的性质；
(2)利用平行四边形的性质；
(3)利用平行线分线段成比例定理．
?练一练
1．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.
证明：连接AC交BD于O，连接QO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O为AC的中点．
又Q为PA的中点，
∴QO∥PC.
显然QO平面BDQ，PC平面BDQ，
∴PC∥平面BDQ.
?讲一讲
2.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.
[尝试解答]　证明：如图所示，连接MF.
∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，且四边形A1B1C1D1为正方形，
∴MF∥A1D1且MF＝A1D1.
又∵A1D1＝AD且AD∥A1D1，
∴MF＝AD且MF∥AD.
∴四边形AMFD是平行四边形．
∴AM∥DF.
又DF平面EFDB，AM平面EFDB，
∴AM∥平面EFDB.
同理可证，AN∥平面EFDB.
又AN，AM平面AMN，AM∩AN＝A，
∴平面AMN∥平面EFDB.
平面平行的判定方法：
(1)利用定义，证面面无公共点．
(2)利用平面平行的判定定理转化为证明线面平行，即证明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，如本题．
(3)若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则两个平面平行．
?练一练
2．如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．
求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明：连接A1C交AC1于点E，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点．连接ED，
ED是△A1BC的中位线，
∴ED∥A1B.
∵ED平面A1BD1，A1B 平面A1BD1，
∴ED∥平面A1BD1.
∵C1D1BD，
∴四边形BDC1D1是平行四边形，
∴C1D∥BD1.
∵C1D平面A1BD1，BD1平面A1BD1，
∴C1D∥平面A1BD1.
∵C1D∩ED＝D，
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
?讲一讲
3.如图所示，B为△ACD所在平面外一点，且BA＝BC＝BD，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．
(1)求证：平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ADC.
[尝试解答]　(1)证明：如图连接BM，BN，BG并延长交AC，AD，CD于P，F，H.
∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，
则有＝＝＝2，连接PF，FH，PH，
有MN∥PF.又PF 平面ACD，MN 平面ACD，∴MN∥平面ACD，
同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD.
(2)由(1)可知：＝＝，∴MG＝PH.
又PH＝AD，∴MG＝AD.
同理NG＝AC，MN＝CD，
∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3，故S△MNG∶S△ADC＝1∶9.
证明面面平行，转化为证明线面平行，而要证线面平行，转化为证明线线平行．在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系相互转化，使问题顺利得到解决．熟练掌握这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口．这是高考重点考查证明平行的方法，应引起重视．
?练一练
3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1的中点，判断并证明平面D1BQ与平面PAO的位置关系．
解：平面D1BQ∥平面PAO.下面给出证明．
∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.
∵QB 平面PAO，PA平面PAO，∴QB∥平面PAO.
∵P，O分别为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO.
∵D1B 平面PAO，PO 平面PAO，∴D1B∥平面PAO.
又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.
如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M∈AD1，
N∈BD，且D1M＝DN，求证：MN∥平面CC1D1D.
[证明]　法一：连AN并延长交DC于E.连接D1、E.
∵AB∥CD，∴＝?＝.
∵BD＝AD1，且D1M＝DN，
∴＝.
在△AD1E中，MN∥D1E，
又MN平面CC1D1D，D1E 平面CC1D1D，
∴MN∥平面CC1D1D.
[尝试用另外一种方法解题]
法二：过点M作MP∥AD，交DD1于P，
过点N作NQ∥AD交CD于点Q，连接PQ，
则MP∥NQ，
在△D1AD中，＝.
∵NQ∥AD，AD∥BC，
∴NQ∥BC.
在△DBC中，＝，
∵D1M＝DN，D1A＝DB，AD＝BC，∴NQ＝MP.
∴四边形MNQP为平行四边形，则MN∥PQ.
而MN 平面CC1D1D，PQ 平面CC1D1D，
∴MN∥平面CC1D1D.
1．在以下说法中，正确的个数是(　　)
①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选A　对①，当α内的两直线平行时，α与β也可能相交，故①错误；对②，当α内有无数条直线和β平行时，α与β也可能相交，故②错误；对③，若A，B，C三点在β两侧时，α与β相交，故③错误．
2．能保证直线a与平面α平行的条件是(　　)
A．bα，a∥b
B．bα，c∥α，a∥b，a∥c
C．bα，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BD
D．aα，b?α，a∥b
解析：选D　A项和B项中a有可能在α内，C项中，a可能在α内，也可能与α相交，D项中，a∥α.
3．若M，N分别是△ABC边AB，AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是(　　)
A．MN∥β
B．MN与β相交或MN β
C．MN∥β或MN β
D．MN∥β或MN与β相交或MN β
解析：选C　当平面β与平面ABC重合时，有MN β；
当平面β与平面ABC不重合时，
则β∩平面ABC＝BC.
∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC.
又MNβ，BC?β，∴MN∥β.
综上有MN∥β或MN β.
4．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有________对．
解析：如图，当六棱柱的底面为正六边形时，互相平行的平面最多有4对，每组对边所在的平面平行，且上下底面平行．
答案：4
5．若直线a∩直线b＝A，a∥平面α，则b与α的位置关系是________．
解析：∵a∥α，∴a与平面α没有公共点，
若bα，则A∈α，又A∈a，此种情况不可能．
∴b∥α或b与α相交．
答案：b∥α或b与α相交
6．如图E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：
(1)GE∥平面BB1D1D；
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
证明：(1)取B1D1中点O，连接GO，OB，
易证OG∥B1C1，
且OG＝B1C1，BE∥B1C1，
且BE＝B1C1，
∴OG∥BE且OG＝BE，四边形BEGO为平行四边形，∴OB∥GE.
∵OB 平面BB1D1D，
GE 平面BB1D1D，
∴GE∥平面BB1D1D.
(2)由正方体性质得B1D1∥BD，
∵B1D1 平面BDF，BD 平面BDF，
∴B1D1∥平面BDF，连接HB，D1F，
易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.
∵HD1 平面BDF，BF 平面BDF，
∴HD1∥平面BDF，
∵B1D1∩HD1＝D1，
∴平面BDF∥平面B1D1H.
一、选择题
1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是(　　)
A．b与α内的一条直线不相交
B．b与α内的两条直线不相交
C．b与α内的无数条直线不相交
D．b与α内的所有直线不相交
解析：选D　若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.
2．空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的关系是(　　)
A．平行　　　　　　　　　B．相交
C．在平面内 D．平行或相交
解析：选A　如图所示，
在平面ABC内，
因为AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，
所以AC∥EF.
又因为AC 平面DEF，EF 平面DEF，
所以AC∥平面DEF.
3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是(　　)
A．平面BME∥平面ACN
B．AF∥CN
C．BM∥平面EFD
D．BE与AN相交
解析：选A　作出如图所示的正方体．易知AN∥BM，AC∥EM，且AN∩AC＝A，所以平面ACN∥平面BEM.
4．已知m，n表示两条直线，α，β，γ表示平面，下列结论中正确的个数是(　　)
①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β；②若m，n相交且都在α，β外，且m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A　①仅满足mα，nβ，m∥n，不能得出α∥β，不正确；②设m，n确定平面为γ，则有α∥γ，β∥γ，从而α∥β，正确；③④均不满足两个平面平行的条件，故③④均不正确．
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1D1上的动点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．相交或平行
解析：选D　当M与D1重合时，∵DD1∥A1A，DD1面AA1C1C，AA1面AA1C1C，
∴MD∥面AA1C1C.当M不与D1重合时，DM与AA1相交，也即DM与面AA1C1C相交．
二、填空题
6．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四边形的六条棱中与平面EFGH平行的条数是________．
解析：由线面平行的判定定理知：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
答案：2
7．三棱锥S-ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________．
解析：如图，取BC中点F，连SF.
∵G为△ABC的重心，
∴A，G，F共线且AG＝2GF.
又∵AE＝2ES，∴EG∥SF.
又SF 平面SBC，EG平面SBC，
∴EG∥平面SBC.
答案：EG∥平面SBC
8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.
解析：∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，
∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连接，
有MN∥平面B1BDD1.
答案：M∈线段FH
三、解答题
9．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，使A到A′的位置，M是A′B的中点，求证：ME∥平面A′CD.
证明：如图所示，取A′C的中点G，连接MG，GD，
∵M，G分别是A′B，A′C的中点，∴MGBC，
同理DEBC，∴MGDE，
∴四边形DEMG是平行四边形，
∴ME∥DG.
又ME 平面A′CD，DG平面A′CD，
∴ME∥平面A′CD.
10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：
(1)EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
证明：(1)如图所示，连接SB.
∵E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB 平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，∴EG∥平面BDD1B1.
(2)∵F，E分别是DC，BC的中点，∴FE∥BD.
又∵BD 平面BDD1B1，FE平面BDD1B1，
∴FE∥平面BDD1B1.
又EG∥平面BDD1B1，且EG 平面EFG，EF 平面EFG，EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面BDD1B1.
第2课时　平行关系的性质
[核心必知]
1．直线与平面平行的性质
文字语言
图形语言
符号语言
如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行
l∥b　　
2.平面与平面平行的性质
文字语言
图形语言
符号语言
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
?a∥b
[问题思考]
1．若直线l与平面α平行，可否认为l与平面α内的任意一条直线都平行？
提示：不可．根据线面平行的性质定理，l与过直线l的平面与α的交线平行．
2．若平面γ∩β＝a，γ∩α＝b，则a、b的位置关系是什么？
提示：平行或相交：当β∥α时，由面面平行的性质定理知a∥b；当α与β相交时，a与b相交或平行．
3．如果两个平面平行，那么分别位于两个平面内的直线也互相平行，这句话对吗？为什么？
提示：不对，因为这两个平面平行，那么位于两个平面内的直线没有公共点，它们平行或异面．
?讲一讲
1.ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
[尝试解答]　证明：连接AC交BD于O，连接MO，
∵ABCD是平行四边形，∴O是AC中点．
又M是PC的中点，∴AP∥OM.
根据直线和平面平行的判定定理，
则有PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
根据直线和平面平行的性质定理，
∴AP∥GH.
线面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，解题时要注意把握．当证明了直线平行于平面后，再过该直线作平面与已知平面相交，得交线与已知直线平行．具体方法如下：线线平行线面平行线线平行．
?练一练
1．已知：a∥b，aα，bβ，α∩β＝l.求证：a∥b∥l.
证明：如图所示，∵a∥b，b?β，
∴a∥β，
又aα，α∩β＝l，
∴a∥l，
又a∥b，
∴a∥b∥l.
?讲一讲
2．如图，已知平面α∥β，P?α且P?β，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
[尝试解答]　因为AC∩BD＝P，
所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，
因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.
所以＝，即＝.
所以BD＝.
由面面平行得到线线平行，进而由成比例线段得解，体现了立体几何与平面几何间的转化关系．另外，面面平行还有许多性质，如要证明线面平行，可先证面面平行，再由性质证得．
?练一练
2．如图所示，设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点．求证：直线MP∥平面β.
证明：过点A作AE∥CD交平面β于E，连接DE，BE，
∵AE∥CD，∴AE、CD确定一个平面，设为γ，
则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.
由于α∥β，∴AC∥DE(面面平行的性质定理)
取AE中点N，连接NP，MN，
∵M、P分别为AB、CD的中点，
∴NP∥DE，MN∥BE.
又NP β，DE β，MN β，BE β，∴NP∥β，MN∥β.
又NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.
∵MP 平面MNP，∴MP∥β.
?讲一讲
3．如图所示，已知P是?ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
(1)求证：l∥BC；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
[尝试解答]　(1)证明：因为AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，
所以AD∥平面PBC.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，
所以l∥AD∥BC.
(2)平行．证明如下：设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，
因为M，N分别是AB，PC的中点，
所以MQ∥AD，NQ∥PD.
而MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，所以平面MNQ∥平面PAD.
因为MN 平面MNQ，所以MN∥平面PAD.
在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：
?练一练
3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，点M是BC的中点，点N是AA1的中点．
求证：MN∥平面A1CD.
证明：设点P为AD的中点，连接MP，NP.
∵点M是BC的中点，
∴MP∥CD.
∵CD 平面A1CD，MP 平面A1CD，
∴MP∥平面A1CD.
∵点N是AA1的中点，
∴NP∥A1D.
∵A1D 平面A1CD，NP 平面A1CD，
∴NP∥平面A1CD.
∵MP∩NP＝P，MP 平面MNP，NP 平面MNP，
∴平面MNP∥平面A1CD.
∵MN 平面MNP，
∴MN∥平面A1CD.
已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．
[解]　SG∥平面DEF.证明如下：
法一：连接CG交DE于H，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB.
在△ACG中，D是AC的中点，
且DH∥AG，
∴H为CG的中点，
∴FH为△SCG的中位线，
∴FH∥SG.
又SG平面DEF，FH 平面DEF，
∴SG∥平面DEF.
[尝试用另外一种方法解题]
法二：∵EF为△SBC的中位线，
∴EF∥SB，
∵EF 平面SAB，SB 平面SAB，
∴EF∥平面SAB.
同理：DF∥平面SAB.
又EF∩DF＝F，EF 平面DEF，DF 平面DEF，
∴平面SAB∥平面DEF.
又SG 平面SAB，
∴SG∥平面DEF.
1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的(　　)
A．至少有一条　　　　　　　B．至多有一条
C．有且只有一条 D．没有
解析：选B　设α内n条直线的交点为A，则过A有且仅有一条直线l与a平行，当l在这n条直线中时，有一条与a平行，而当l不在这n条直线中时，n条相交于A的直线都不与a平行．
∴n条相交直线中有0条或1条直线与a平行．
2. 若平面α∥平面β，直线a?α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中(　　)
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
解析：选D　直线a与点B确定一个平面．这个平面与β有公共点B，则这两个平面就有一条通过B点的直线l，而由两平面平行的性质定理得l∥a.
3．设m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列四个命题中为真命题的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β
D．若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n
解析：选D A中m与n与同一平面平行，m，n还可能相交或异面；B中α与β可能相交；C中α与β可能相交，只有D正确．
4．如图所示，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N是AD的中点，若MN∥平面BDC，则AM∶MB＝________.
解析：∵MN∥平面BDC，MN 平面ABD，
平面ABD∩平面BDC＝BD，∴MN∥BD.
又∵N是AD的中点，
∴M是AB的中点，故有AM∶MB＝1∶1.
答案：1∶1
5．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)
解析：①②?③
设过m的平面β与α交于l.
∵m∥α，∴m∥l，
∵m∥n，∴n∥l，∵nα，l?α，∴n∥α.
答案：①②?③(或①③?②)
6．如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.
证明：连接CD1，AD1，
∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，
∴PQ∥CD1，且CD1 平面BPQ，
∴CD1∥平面BPQ.
又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，
∴四边形ABQD1是平行四边形，
∴AD1∥BQ，
又∵AD1 平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.
又AD1∩CD1＝D1.∴平面ACD1∥平面BPQ.
∵AC 平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.
一、选择题
1．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a?β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　　　　　B．相交
C．异面 D．平行或异面
解析：选C　a∥α，a与α内的直线没有公共点，所以，a与α内的直线的位置关系是异面或平行，α内与b平行的直线与a平行，α内与b相交的直线与a异面．
2．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是(　　)
A．c与a，b都异面
B．c与a，b都相交
C．c至少与a，b中的一条相交
D．c与a，b都平行
解析：选D　如图：∵a∥b，且aγ，b?γ，∴a∥γ，
∵aα且α∩γ＝c，∴a∥c，∴b∥c.
3．下列说法正确的个数为(　　)
①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B　易知①④正确，②不正确；③若α∥β、a?β，则a与α平行，故③不正确．
4．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为(　　)
A．2∶5　　　　　　　B．3∶8
C．4∶9 D．4∶25
解析：选D　由题意知，△A′B′C′∽△ABC，
从而＝2＝2＝.
5．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A?α，则(　　)
A．α∥平面ABC
B．△ABC中至少有一边平行于α
C．△ABC中至多有两边平行于α
D．△ABC中只可能有一边与α相交
解析：选B　若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC中至少有一边平行于α.
二、填空题
6．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析：因为直线EF∥平面AB1C，EF 平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又因为E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得：EF＝AC，又因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2，所以EF＝.
答案：
7．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.
解析：∵MN∥平面AC，PQ＝平面PMN∩平面AC，
∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，
故PQ＝＝DP＝.
答案：
8．如图所示，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.
解析：A?a，则点A与直线a确定一个平面，即平面ABD.
因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG，
所以a∥EG，即BD∥EG.
所以＝，又＝，所以＝.
于是EG＝＝＝.
答案：
三、解答题
9．如图，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．
解：设BC1交B1C于点E，连接DE，
则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．
因为A1B∥平面B1CD，
且A1B 平面A1BC1，
所以A1B∥DE.
又E是BC1的中点，
所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1.
10．在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，如图，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC，证明你的结论．
解：当F为PC的中点时，BF∥平面AEC.
证明如下：如图，取PE的中点M，连接MF、MB，
则MF∥CE，∵PE∶ED＝2∶1，
∴点E也是MD的中点，连接BD，设BD∩AC＝O.
∵ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点．
∴OE∥BM，而BM 平面AEC，OE 平面AEC，
∴BM∥平面AEC，
同理FM∥平面AEC.
又BM∩FM＝M，∴平面BMF∥平面AEC.
又BF 平面BMF，
∴BF∥平面AEC.
第1课时　垂直关系的判定
[核心必知]
1．直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．
2．直线与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直
3.二面角及其平面角
(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．
(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．
(3)二面角的记法．
如图，记作：二面角α-AB-β.
(4)二面角的平面角．
以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．
如图二面角α－l－β，若有
①O∈l.
②OAα，OB β.
③OA⊥l，OB⊥l.
则∠AOB就叫作二面角α－l－β的平面角．
4．两个平面互相垂直
(1)两个平面互相垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)两个平面互相垂直的判定定理：
文字语言
图形语言
符号语言
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
[问题思考]
1．若一条直线与平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直吗？为什么？
提示：不一定垂直．例如，a1∥a2∥a3∥…，且a1，a2…α，l与这组平行直线垂直．有可能直线l在这个平面内或与平面斜交．
2．在直线与平面垂直的判定定理中为什么强调一个平面内的两条相交直线？
提示：(1)定理中的两条“相交直线”这一条件不可忽视，因为它体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”能够相互转化的数学思想．
(2)两条相交直线可以确定这个平面，虽然两条平行直线也可以确定这个平面，但由于平行线的传递性，直线垂直
于平面内两条平行线时不能判定其和这个平面垂直．如图：
aα，bα，a∥b，l⊥a，l⊥b，但l不垂直于α.
3．如图所示的是一块三角形纸片，过顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)，折痕AD与桌面垂直吗？
提示：不一定垂直，只有当AD⊥BC时，AD才与桌面所在的平面垂直．
?讲一讲
1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.
[尝试解答]　证明：如图，连接PE，EC，
在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD, AE＝DE，
∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．
又F是PC的中点，∴EF⊥PC.
又BP＝＝2＝BC，F是PC的中点，∴BF⊥PC.
又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.
(1)直线与平面垂直的判定(或证明)常用的方法是线面垂直的判定定理，要注意定理中的两个关键条件：①面内的两条相交直线；②都垂直．
(2)要证明线面垂直，先证线线垂直，而证线线垂直，通常又借助线面垂直，它们是相互转化的．
?练一练
1．如图，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明：(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD.
又∵SB＝SA，SD＝SD，
∴△ADS≌△BDS.
∴SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC.
(2)∵BA＝BC，D为AC中点，
∴BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥平面ABC，
∴SD⊥BD.
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线．
∴BD⊥平面SAC.
?讲一讲
2.如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA，SB，SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，
∠BSC＝90°.
求证：平面ABC⊥平面BSC.
[尝试解答]　证明：法一：取BC的中点D，
连接AD、SD.
∵∠ASB＝∠ASC＝60°，且SA＝SB＝SC，∴AS＝AB＝AC.
∴AD⊥BC.
又△ABS是正三角形，△BSC为等腰直角三角形，∴BD＝SD.
∴AD2＋SD2＝AD2＋BD2＝AB2＝AS2.
由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD.
又∵SD∩BC＝D，∴AD⊥平面BSC.
又AD 平面ABC，∴平面ABC⊥平面BSC.
法二：同法一证得AD⊥BC，SD⊥BC，
则∠ADS即为二面角A-BC-S的平面角．
∵∠BSC＝90°，令SA＝1，则SD＝，AD＝，∴SD2＋AD2＝SA2.
∴∠ADS＝90°.∴平面ABC⊥平面BSC.
常用的两个平面互相垂直的判定方法：
(1)定义法，即证明这两个平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理，即一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；
(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．
对于判定定理，可简述为“线面垂直，则面面垂直”．
?练一练
2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B.
证明：∵AC＝BC，点D是AB的中点，∴CD⊥AB.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，
又CD 平面ABC，
∴CD⊥B1B.
又∵AB∩B1B＝B，
∴CD⊥平面AA1B1B.
又∵CD 平面CA1D，
∴平面CA1D⊥平面AA1B1B.
在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，则BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD？并说明理由．
[巧思]　由条件可知AQ⊥QD.根据半圆上的圆周角是直角．将BC边是否存在点的问题转化为以AD为直径的圆是否与BC边有公共点的问题来解决．
[妙解]　∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥QD.
若PQ⊥QD，
则QD⊥平面PAQ.
∴AQ⊥QD.
当a＝2时，以AD为直径的圆与边BC相切，故只有一个点Q，使PQ⊥QD.
当a>2时，以AD为直径的圆与边BC相交，故只有两个点Q，使PQ⊥QD.
当01．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面(　　)
A．有1个　　B．有2个　　C．无数个　　D．不存在
解析：选C　由面面垂直的判定知，过l任作一平面都与α垂直．
2．已知直线m，n与平面α，β，γ，下列可能使α⊥β成立的条件是(　　)
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝m，m⊥n，nβ
C．m∥α，m∥β D．m∥α，m⊥β
解析：选D　选择适合条件的几何图形观察可得，A中α与β相交或平行；B中α，β相交，但不一定垂直；C中α∥β或α与β相交．
3．(浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面(　　)
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：选B　对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．
4．如图，已知：PA垂直于圆O所在平面．AB是圆O的直径，C是圆周上一点．则图中垂直的平面共有________对．
解析：平面PBC⊥平面PAC；平面PAC⊥平面ABC；平面PAB⊥平面ABC.
答案：3
5．空间四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝CD，则AC与BD的位置关系是________．
解析：如图，设E为BD的中点，连接AE，CE.
∵AB＝AD，BC＝CD，∴AE⊥BD，CE⊥BD，
∴BD⊥平面AEC.
又∵AC 平面AEC，∴BD⊥AC.
答案：垂直
6．已知四面体ABCD中，BC＝AC，BD＝AD，BE⊥CD于E，求证：CD⊥平面ABE.
证明：取AB中点M，连接MD，MC.
∵BC＝AC，BD＝AD，∴CM⊥AB，DM⊥AB.
又CM∩DM＝M，∴AB⊥平面CDM.
∵CD 平面CDM，∴CD⊥AB.
又∵CD⊥BE，AB∩BE＝B，
∴CD⊥平面ABE.
一、选择题
1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　　　　　
B．垂直
C．相交不垂直
D．不确定
解析：选B　由线面垂直的判定定理知直线垂直于三角形所在的平面．
2．在三棱锥A-BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么必有(　　)
A．平面ABD⊥平面ADC
B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD
D．平面ABC⊥平面BCD
解析：选C　由AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B?AD⊥平面BCD，AD 平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(　　)
A．平面DD1C1C
B．平面A1DCB1
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB
解析：选B　如图，连接A1D、B1C，由ABCD-A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.
4．设l、m为不同的直线，α为平面，且l⊥α，下列为假命题的是(　　)
A．若m⊥α，则m∥l
B．若m⊥l，则m∥α
C．若m∥α，则m⊥l
D．若m∥l，则m⊥α
解析：选B　A中，若l⊥α，m⊥α，则m∥l，所以A正确；B中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或mα，所以B错误；C中，若l⊥α，m∥α，则m⊥l，所以C正确；若l⊥α，m∥l，则m⊥α，所以D正确．
5．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点，现沿AE、AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是(　　)
A．AG⊥平面EFG B．AH⊥平面EFG
C．GF⊥平面AEF D．GH⊥平面AEF
解析：选A　∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G，
∴AG⊥平面EFG.
二、填空题
6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________．
解析：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
又∵D1D⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴D1D⊥AC.∵D1D∩DB＝D，∴AC⊥平面BB1D1D.
∵AC 平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.
答案：垂直
7．如图所示，底面ABCD是矩形．PA⊥平面ABCD，则图中互相垂直的平面共有________对．
解析：图中互相垂直的面共有6对，即平面PAB⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD.
答案：6
8．已知点O为三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC内的射影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心；若PA⊥BC，PB⊥AC，则O为△ABC的________心；若P到三边AB，BC，CA的距离都相等且点O在△ABC的内部，则O为△ABC的__________心．
解析：如图，由PA＝PB＝PC，
∴OA＝OB＝OC，O是△ABC的外心；
若PA⊥BC，又PO⊥面ABC，
∴BC⊥PO.
∴BC⊥面PAO.∴BC⊥AO.
同理AC⊥OB.∴O是△ABC的垂心；
若P到AB，BC边的距离相等，则易知O到AB，BC边的距离也相等，从而可判定O是△ABC的内心．
答案：外　垂　内
三、解答题
9.如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.
证明：设AC∩BD＝O，连接OE.如图．
因为O为AC中点，E为PA的中点，
所以EO是△PAC的中位线，EO∥PC.
因为PC⊥平面ABCD，
所以EO⊥平面ABCD.
又因为EO 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
10．(北京高考)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，
所以DE∥BC.
又因为DE?平面A1CB，
所以DE∥平面A1CB.
(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥AC.
所以DE⊥A1D，DE⊥CD.
所以DE⊥平面A1DC.
而A1F?平面A1DC，
所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.
所以A1F⊥BE.
(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.
又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP.
所以A1C⊥平面DEP.
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.
第2课时　垂直关系的性质
[核心必知]
1．直线与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行
?a∥b
2．平面与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
?a⊥β
[问题思考]
1．由线面垂直的性质定理，知垂直于同一个平面的两条直线平行，试问垂直于同一个
平面的两个平面平行吗？
提示：可能平行，也可能相交．如图．
2．两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直吗？
提示：不一定．只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才垂直于另一个平面．
?讲一讲
1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.
[尝试解答]　证明：如图所示，连接AB1，B1C，BD.
∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又∵AC⊥BD且BD∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1.
∵BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.
同理BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C.又EF⊥AC且AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面A B1C.∴EF∥BD1.
线面垂直的性质除了线面垂直的性质定理外，常用的还有：①若线垂直于面，则线垂直于面内的线．②若一条直线同时垂直于两个平面，则这两个平面平行．③若一条直线垂直于一个平面，则与这条直线平行的直线也垂直于这个平面．利用这些性质可以证明线线平行、线线垂直、面面平行及线面垂直．
?练一练
1．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
证明：(1)∵四边形ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.
又∵CD⊥平面ADD1A1，
∴CD⊥AD1.
∵A1D∩CD＝D，
∴AD1⊥平面A1DC.
又∵MN⊥平面A1DC，
∴MN∥AD1.
(2)连接ON，在△A1DC中，
A1O＝OD，A1N＝NC，
∴ON∥CD∥AB.
∴ON∥AM.
又∵MN∥OA，
∴四边形AMNO为平行四边形．
∴ON＝AM.
∵ON＝AB，
∴AM＝AB.∴M是AB的中点.
?讲一讲
2．已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
[尝试解答]　(1)如图，在平面ABC内取一点D，
作DF⊥AC于点F，平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC.
又PA平面PAC，∴DF⊥AP.
作DG⊥AB于点G，
同理可证DG⊥AP，DG、DF都在平面ABC内且交点为D，
∴PA⊥平面ABC.
(2)连接BE并延长，交PC于点H.
∵E点是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.
又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.
又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥面ABE.∴PC⊥AB.
又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.
∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
面面垂直的性质定理可将面面垂直转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意以下三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在一个平面内；③直线必垂直于它们的交线．
?练一练
2．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
证明：(1)连接PG，BD.
由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD.
∴PG⊥平面ABCD，
∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，
∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，
∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.BG∩PG＝G，
所以AD⊥平面PBG，
所以AD⊥PB.
?讲一讲
3.如图，ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，BK⊥SC于点K，连接DK.求证：
(1)平面SBC⊥平面KBD；
(2)平面SBC不垂直于平面SDC.
[尝试解答]　(1)连接AC.∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.又SA⊥平面ABCD，
∴SA⊥BD，
∴BD⊥平面SAC，
∴SC⊥BD.
又∵SC⊥BK，BK∩BD＝B，
∴SC⊥平面KBD.
又SC?平面SBC，
∴平面SBC⊥平面KBD.
(2)假设平面SBC⊥平面SDC.
∵BK⊥SC，∴BK⊥平面SDC.
∵DC?平面SDC，∴BK⊥DC，
又AB∥CD，∴BK⊥AB.
∵ABCD是正方形，AB⊥BC，∴AB⊥平面SBC，
又SB?平面SBC，∴AB⊥SB，这与∠SBA是Rt△SAB的一个锐角矛盾，故假设不成立．
∴原结论成立，即平面SBC不垂直于平面SDC.
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
?练一练
3．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. 求证：BC⊥AB.
证明：在平面PAB内，作AD⊥PB于D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB.
∴AD⊥平面PBC.
又BC平面PBC，
∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAB.
又AB平面PAB，
∴BC⊥AB.
4．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.
证明：设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC.
∵PC＝CD＝a，PD＝a，
∴PC2＋CD2＝PD2，
∴PC⊥CD.
∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，
∴PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD.
又EO?平面EDB，
故有平面EDB⊥平面ABCD.
已知：平面α∩平面β＝AB，α⊥γ，β⊥γ，求证：AB⊥γ.
[证明]　法一：如图(1)，∵α⊥γ于BC，β⊥γ于BD，
在γ内过一点P作直线n⊥BD，过P作直线m⊥BC，
则m⊥α，n⊥β.
∵α∩β＝AB，
∴m⊥AB，n⊥AB.
又m∩n＝P，∴AB⊥γ.
法二：假设AB不垂直于γ，
∵α⊥γ于BC，在α内作AB1⊥BC，
则AB1⊥γ，在β内作AB2⊥BD，
又β⊥γ于BD，∴AB2⊥γ.
上述作法与过一点作平面的垂线有且只有一条矛盾，
故AB不垂直于γ是不可能的，因此AB⊥γ.
[尝试用另外一种方法解题]
法三：如图(2)，在平面α内作直线m⊥BC，
∵α⊥γ，α∩γ＝BC，∴m⊥γ.
同理在平面β内作直线n⊥BD，则n⊥γ.∴m∥n.
∵nβ，∴m∥β.
又mα，α∩β＝AB，∴m∥AB，∴AB⊥γ.
法四：过A作AB1⊥γ于B1.
∵α⊥γ，且点A∈α，∴AB1α，同理AB1β.
∴AB1α∩β，∴AB1与AB重合，即AB⊥γ.
1．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是(　　)
A．n∥α　　　　　　　　　 B．n∥α或nα
C．nα或n与α不平行 D．nα
解析：选A　∵l?α，且l与n异面，∴nα.
又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，给出下面四个结论：
①过P与l垂直的直线在α内；
②过P与β垂直的直线在α内；
③过P与l垂直的直线必与α垂直；
④过P与β垂直的平面必与l垂直．
其中正确的命题是(　　)
A．②　 B．③ C．①④ D．②③
解析：选A　因为α⊥β，α∩β＝l，P∈l，所以过点P作β的垂直直线必在平面α内且和l垂直，①③④的情况则可能成立，也可能不成立．
3．(浙江高考)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l?α，m?β.(　　)
A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
解析：选A　∵l⊥β，l?α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．
4．如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)
A．直线AB上　　 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
解析：选A　由AC⊥AB，AC⊥BC1，知AC⊥平面ABC1.
AC面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，C1在面ABC上的射影H必在二平面交线AB上．
5．如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．
解析：∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.
又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD.
∵OD平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．
所以图中的直角三角形有△AOC、△COB、△ABC、△AOD、△BOD、△COD共6个．
答案：6
6．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC中点，求证：平面DMN∥平面ABC.
证明：∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，
AC平面ABC，MN平面ABC，
∴MN∥平面ABC，
∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，
∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，
∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NCBD，∴四边形BCND为矩形，
∴DN∥BC，又∵DN平面ABC，BC平面ABC，
∴DN∥平面ABC，
又∵MN∩DN＝N，且MN、DN平面DMN，
∴平面DMN∥平面ABC.
一、选择题
1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有(　　)
A．α⊥γ且l⊥m　　　　　B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
解析：选A　∵m⊥γ，mα，lγ，∴α⊥γ，m⊥l；B错，有可能mβ；C错，有可能mβ；D错，有可能α与β相交．
2．(浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
解析：选C　逐一判断可知，选项A中的m，n可以相交，也可以异面；选项B中的α与β可以相交；选项D中的m与β的位置关系可以平行、相交、m在β内，故选C.
3．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，PE⊥DE，则PE的长为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　如图所示，连接AE.
∵PA⊥平面ABCD，
BD平面ABCD，∴PA⊥BD.
又∵BD⊥PE，PA∩PE＝P，
∴BD⊥平面PAE，∴BD⊥AE.∴AE＝＝.
所以在Rt△PAE中，由PA＝1，AE＝，得PE＝.
4．设平面α⊥平面β，且α∩β＝l，直线a?α，直线b?β，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b(　　)
A．可能垂直，不可能平行
B．可能平行，不可能垂直
C．可能垂直，也可能平行
D．不可能垂直，也不可能平行
解析：选B　当a，b都平行于l时，a与b平行，假设a与b垂直，如图所示，由于b与l不垂直，在b上任取一点A，过点A作b′⊥l，
∵平面α⊥平面β，∴b′⊥平面α，从而b′⊥a，又由假设a⊥b易知a⊥平面β，从而a⊥l，这与已知a不与l垂直矛盾，∴假设不正确，a与b不可能垂直．
5．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是(　　)
A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC
解析：选D　在图①中，∵∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°.
∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°.又∵∠BCD＝45°，
∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD.
在图②中，此关系仍成立．∵平面ABD⊥平面BCD，
∴CD⊥平面ABD.
∵BA平面ADB，∴CD⊥AB.
∵BA⊥AD，∴BA⊥平面ACD.
∵BA平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.
二、填空题
6．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.
解析：利用面面垂直的判定，可知①③④?②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④?①为真．
答案：若①③④，则②(或若②③④，则①)
7．已知平面α⊥平面β，在α，β的交线上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和β内，它们都垂直于AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，则CD的长为________ cm.
解析：如图，连接AD，CD.
在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝12，
∴AD＝＝4 cm.
又∵α⊥β，CA⊥AB，CAα，
∴CA⊥β.
∴△CAD为直角三角形．
∴CD＝＝＝＝13(cm)．
答案：13
8．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；
②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；
④若α∩β＝m，m∥n，且nα，nβ，则n∥α且n∥β.
其中正确的命题的序号是________(注：把你认为正确的命题的序号都填上)．
解析：如图，命题①显然错误．
设α∩β∩γ＝m，过m上任意一点，在γ内作n⊥m，则直线n既不垂直于α，
又不垂直于β.命题②正确．
∵α∥β，∴α与β无公共点，
∴直线m与直线n也无公共点．
又m∈γ，n∈γ，∴m∥n.
命题③错误．虽然直线m不垂直于α，但m有可能垂直于平面α内的一条直线，于是α内所有平行于这条直线的无数平行线都垂直于m.
命题④正确．由直线与平面平行的判定定理可知
∵n∥m，m?α，mβ，nα，nβ，
∴必有n∥α，n∥β.∴应填②④.
答案：②④
三、解答题
9．如图，A，B，C，D是空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边△ADB所在的平面以AB为轴可转动．
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；
(2)当△ADB转动过程中，是否总有AB⊥CD？请证明你的结论．
解：(1)设AB中点为O，连接OC、OD，
则OC⊥AB，
∵平面ADB⊥平面ABC，平面ADB∩平面ABC＝AB.
∴OC⊥面ADB.
∵OD平面ADB，∴OC⊥OD.
即∠COD＝90°.
在等边△ADB中，AB＝2，
∴OD＝.
在△ABC中，AC＝BC＝，AB＝2，
∴OC＝1.
在Rt△COD中，CD＝＝2.
(2)当△ADB在转动过程中，总有OC⊥AB，OD⊥AB，
∴AB⊥平面COD.∴AB⊥CD.
当△ADB转动到与△ABC共面时，仍然有AB⊥CD.
故△ADB转动过程中，总有AB⊥CD.
10．如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABC，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN⊥AB；
(2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD.
证明：(1)取CD的中点E，连接EM、EN，
则CD⊥EM，且EN∥PD.
∵PA⊥平面ABC，CD平面ABC，
∴PA⊥CD，又CD⊥AD.
∴CD⊥平面PAD.
∵PD平面PAD.
∴CD⊥PD.∴CD⊥EN.
又CD⊥ME，∴CD⊥平面MNE，
∴CD⊥MN.又CD∥AB，∴MN⊥AB.
(2)在Rt△PAD中有PA＝AD，
取PD的中点K，连接AK，KN，
则KNDCAM，且AK⊥PD.
∴四边形AMNK为平行四边形，从而MN∥AK.
因此MN⊥PD.
由(1)知MN⊥DC.
又PD∩DC＝D，∴MN⊥平面PCD.
第1课时　柱、锥、台的侧面展开与面积
[核心必知]
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
几何体
侧面展开图的形状
侧面积公式
圆柱
矩形
S圆柱侧＝2πrl
圆锥
扇形
S圆锥侧＝πrl
圆台
扇环
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
　其中r为底面半径，l为侧面母线长，r1，r2分别为圆台的上，下底面半径．
2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
几何体
侧面积公式
直棱柱
S直棱柱侧＝c·h
正棱锥
S正棱锥侧＝c·h′
正棱台
S正棱台侧＝(c＋c′)·h′
其中c′，c分别表示上，下底面周长，h表示高，h′表示斜高．
[问题思考]
1．一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？
提示：不同的展开方式，几何体的展开图不一定相同．表面积是各个面的面积和，几何体的侧面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定．
2．柱体、锥体、台体之间有如下关系：
那么台体、锥体、柱体的侧面积公式有什么联系？
提示：根据以上关系，在台体的侧面积公式中，令c′＝c，可以得到柱体的侧面积公式，令c′＝0，可得到锥体的侧面积公式，其关系如下所示：
S柱侧＝ch′c＝c′,S台侧＝(c＋c′)h′S锥侧＝ch′.
3．棱柱的侧面积一定等于底面周长与侧棱长的乘积吗？
提示：不一定．由棱柱的概念与性质可知棱柱的侧面展开图是一个平行四边形，此平行四边形的一边为棱柱的底面周长，另一边长为棱柱的侧棱长，但此平行四边形若不是矩形，则它的面积并不等于这两边长的乘积，所以棱柱的侧面积并不一定等于底面周长与侧棱长的乘积，只有直棱柱的侧面积才等于底面周长与侧棱长的乘积．
?讲一讲
1．(1)圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为(　　)
A．6π(4π＋3)
B．8π(3π＋1)
C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)
D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)
(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为(　　)
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
[尝试解答]　(1)选C　圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.①以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，即r＝2，∴S底＝4π，S全＝S侧＋2S底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．②以边长为4π的边为轴时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，即r＝3，∴S底＝9π，∴S全＝S侧＋2S底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)．
(2)选C　如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心．∵O1为PO2的中点，
∴＝＝＝，
∴PA＝AB，O2B＝2O1A.
∵S圆锥侧＝×2π·O1A·PA，
S圆台侧＝×2π·(O1A＋O2B)·AB，
∴＝＝.
1．求柱、锥、台的表面积(或全面积)就是求它们的侧面积和(上、下)底面积之和．
2．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．
?练一练
1．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？
解：如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，
故c＝π·SA＝2π×10，
所以SA＝20(cm)，
同理可得SB＝40(cm)，
所以AB＝SB－SA＝20(cm)，
所以S表面积＝S侧＋S上＋S下
＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202
＝1 100π(cm2)．故圆台的表面积为1 100π cm2.
?讲一讲
2．五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8 cm和18 cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13 cm，求它的侧面积．
[尝试解答]　如图是五棱台的其中一个侧面，它是一个上底、下底分别为8 cm和18 cm，腰长为13 cm的等腰梯形，由点A向BC作垂线，设垂足为E，由点D向BC作垂线，设垂足为F，易知BE＝CF.
∵BE＋EF＋FC＝2BF－AD＝BC，
∴BF＝＝＝13.∴BE＝BF－AD＝13－8＝5.
又AB＝13，∴AE＝12.
∴S四边形ABCD＝(AD＋BC)·AE＝×(18＋8)×12＝156(cm2)．
故其侧面积为156×5＝780(cm2)．
要求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积，需根据题目中的已知条件寻求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积公式所需条件，然后应用公式进行解答．
?练一练
2．已知正三棱锥V-ABC的主视图，俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2，求该三棱锥的表面积．
解：由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图，且VA＝VB＝VC＝4，
AB＝BC＝AC＝2，
取BC的中点D，连接VD，
则VD＝＝＝，
∴S△VBC＝×VD×BC＝××2＝，
S△ABC＝×(2)2×＝3，
∴三棱锥V-ABC的表面积为
3S△VBC＋S△ABC＝3＋3＝3(＋).
?讲一讲
3．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？
[尝试解答]　如图是圆锥及内接圆柱的轴截面图．
(1)设所求圆柱的底面半径为r，
则＝，∴ r＝R－x，
∴S圆柱侧＝2πrx＝2πRx－·x2.
(2)∵S圆柱侧是关于x的二次函数，
∴当x＝－＝时，S圆柱侧有最大值，
即当圆柱的高是圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．
解决组合体的表面积问题，要充分考虑组合体各部分的量之间的关系，将其转化为简单多面体与旋转体的表面积问题进行求解．
?练一练
3．已知底面半径为 cm，母线长为 cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积．
解：如图，由题意易知圆锥的母线长为3 cm.
则S＝S底＋S柱侧＋S圆锥侧
＝π×()2＋2π××＋π××3
＝(3＋6＋3)π(cm2)．
如图所示，圆柱OO′的底面半径为2 cm，高为4 cm，点P为母线B′B的中点，∠AOB＝π，试求一蚂蚁从A点沿圆柱表面爬到P点的最短路程．
[巧思]　将圆柱的侧面展开，将A、P两点转化到同一个平面上解决．
[妙解]　将圆柱侧面沿母线AA′剪开展平为平面图，如图，则易知最短路径为平面图中线段AP.
在Rt△ABP中，AB＝π×2＝π(cm)，PB＝2(cm)，
∴AP＝＝ (cm)．
故蚂蚁爬的最短路程为 cm.
1．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为(　　)
A．1∶2　　　　　　　　B．1∶1
C．1∶4 D．4∶1
解析：选B　以边长为1的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积
S1＝2π×2×1＝4π，
以边长为2的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，
∴S1∶S2＝4π∶4π＝1∶1.
2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为(　　)
A．2 B．2
C．4 D．8
解析：选C　设圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r，R，
则l＝(r＋R)．
又32π＝π(r＋R)l＝2πl2，
∴l2＝16，
∴l＝4.
3．(北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是(　　)
A．28＋6 B．30＋6
C．56＋12 D．60＋12
解析：选B　由题中的三视图知，该三棱锥的立体图形如图所示．
由题中所给条件，可求得S△ABD＝×4×5＝10，
S△ACD＝S△BCD＝×4×5＝10，AC＝BC＝，
AB＝2，可求得△ABC中AB边上的高为＝6，所以S△ABC＝×6×2＝6.综上可知，该三棱锥的表面积为S△ABD＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABC＝30＋6.
4．圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则圆锥的高是________．
解析：设底面半径是r，则2πr＝πR，
∴r＝，∴圆锥的高h＝＝R.
答案：R
5．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积等于________．
解析：根据题意可知，该棱柱的底面边长为2，高为1，侧棱和底面垂直，故其表面积S＝×22×2＋2×1×3＝6＋2.
答案：6＋2
6.一个几何体的三视图如图所示．已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为2的正方形拼成的矩形．求该几何体的表面积S.
解：由三视图可知，该平行六面体中，
A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，
所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，
所以S＝2×(1×1＋1×＋1×2)
＝6＋2.
一、选择题
1．圆台的母线长扩大为原来的n倍，两底面半径都缩小为原来的倍，那么它的侧面积变为原来的(　　)
A．1倍 B．n倍
C．n2倍 D.倍
解析：选A　由S侧＝π(r′＋r)l.当r，r′缩小倍，l扩大n倍时，S侧不变．
2．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为(　　)
A．12 B．36
C．24 D．48
解析：选D　正四棱锥的斜高h′＝＝4，
S侧＝4××6×4＝48.
3．长方体的对角线长为2，长、宽、高的比为3∶2∶1，那么它的表面积为(　　)
A．44 B．88
C．64 D．48
解析：选B　设长，宽，高分别为3x,2x，x，则对角线长为＝x＝2，∴x＝2.
∴表面积S＝2(6x2＋3x2＋2x2)＝88.
4．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是(　　)
A．4πS B．2πS
C．πS D.πS
解析：选A　设圆柱的底面半径为R，则S＝πR2，
∴R＝，
则圆柱的母线长l＝2πR＝2.
S侧面积＝(2πR)2＝4π2R2＝4π2×＝4πS.
5．(重庆高考)某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为(　　)
A．180 B．200
C．220 D．240
解析：选D　几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240，故选D.
二、填空题
6．已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．
解析：设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如图．
∵母线长为10，
∴有102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2.
∴S圆台侧＝π(r＋4r)×10＝100π.
答案：100π
7．已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是________．
解析：由条件可知，四面体的斜高为，
所以其表面积为S表＝4××1×＝.
答案：
8．如图，直三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为________．
解析：此直三棱柱的底面是边长为a的正三角形，该三角形的高为a.左视图是一矩形，一边为a，另一边为2a，故左视图的面积为a×2a＝a2.
答案：a2
三、解答题
9．如图所示是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg，问需要多少油漆？(尺寸如图，单位：m，π取3.14，结果精确到0.01 kg)
解：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m，母线长为5 m，四棱柱的高为4 m，底面是边长为3 m的正方形．
圆锥的表面积为πr2＋πrl＝3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36(m2)；
四棱柱的一个底面积为32＝9(m2)；
四棱柱的侧面积为4×4×3＝48(m2)．
所以外壁面积＝75.36－9＋48＝114.36(m2)，
需油漆114.36×0.2＝22.872≈22.87(kg)，
答：共需油漆约22.87 kg.
10．正四棱台两底面边长分别为a和b(a(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
解：(1)如图，设O1，O分别为上，下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，则C1F为正四棱台的斜高．
由题意知∠C1CO＝45°，
CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝(b－a)．
在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝(b－a)，
又EF＝CE·sin 45°＝(b－a)，
∴斜高C1F＝
＝ ＝(b－a)．
∴S侧＝(4a＋4b)×(b－a)＝(b2－a2)．
(2)∵S上底＋S下底＝a2＋b2，
∴(4a＋4b)·h斜＝a2＋b2，
∴h斜＝.
又EF＝，h＝＝.
第2课时　柱、锥、台的体积
[核心必知]
柱、锥、台的体积公式
几何体
公式
说明
柱体
V柱体＝Sh
S为柱体的底面积
h为柱体的高
锥体
V锥体＝Sh
S为锥体的底面积
h为锥体的高
台体
V台体＝(S上＋S下＋)·h
S上，S下分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高
[问题思考]
仿照侧面积公式，你能用底面半径和高来表示圆柱、圆锥和圆台的体积公式吗？
提示：(1)底面半径是r，高是h的圆柱的体积是：V圆柱＝πr2h.
(2)如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是：V圆锥＝πr2h.
(3)如果圆台上、下底面半径分别是r′、r，高是h，那么它的体积是：V圆台＝πh(r2＋rr′＋r′2)．
?讲一讲
1．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，点C到AB的距离为3 cm，侧面ABB1A1的面积为8 cm2，求直三棱柱的体积．
[尝试解答]　法一：如图，设点C到AB的距离为d，侧面ABB1A1的面积为S1，则△ABC的面积S＝|AB|d.
∴直三棱柱的体积V＝Sh＝S|AA1|
＝|AB|d|AA1|＝|AB|·|AA1|d
＝S1 d＝12(cm3)．
法二：补上一个相同的直三棱柱可以得到一个直四棱柱ABCD-A1B1C1D1.可以看成以A1ABB1为底面的四棱柱D1DCC1-A1ABB1.
则ABB1A1的面积就是底面积，C到AB的距离即为高．
∴四棱柱D1DCC1-A1ABB1的体积V＝24(cm3)，
则直三棱柱的体积为12(cm3)．
(1)直棱柱的侧面与对角面都是矩形，所以方法一利用侧面积与点到直线的距离的乘积求得体积．
(2)四棱柱的底面与侧面是相对而言的，即任何一组对面都可以作为底面．所以方法二采用了“补形”求得四棱柱的体积(间接求解)．
?练一练
1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．
解：设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，
则有
由①得r＝a，
由②得πrh＝2a2，
∴V圆柱＝πr2h＝a3，
∴V正方体∶V圆柱＝a3∶(a3)＝∶1＝∶2.
?讲一讲
2.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P-ABCD的体积．
[尝试解答]　因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝，
所以HA＝HB＝.
因为∠APB＝∠ADB＝60°，
所以PA＝PB＝，HD＝HC＝tan 30°＝1.
可得PH＝＝，
等腰梯形ABCD的面积为S＝AC×BD＝2＋.
所以四棱锥的体积为V＝×(2＋)×＝.
求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V＝Sh进行计算即可，常用方法为割补法和等积变换法：
(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出几何体的体积．
(2)等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．
①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；
②利用“等积性”可求“点到面的距离”．
?练一练
2．已知三角形ABC的边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体的体积．
∵△ABC为直角三角形，且AB为斜边，∴绕AB边旋转一周，所得几何体为两个同底的圆锥，且圆锥的底面半径r＝.
∴V锥＝·AB·πr2＝×5×π×2＝π.
?讲一讲
3．圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？
[尝试解答]　首先，圆台的上底的半径为4 cm，
于是S圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)．
其次，如图，
圆台的高h＝BC
＝
＝＝4(cm)，
所以V圆台＝h(S＋＋S′)
＝×4×(16π＋＋36π)
＝(cm3)．
求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高，要注意充分运用棱台内的直角梯形和圆台的轴截面(等腰梯形)等求相关量之间的关系．因为台体是由锥体用平行于底面的平面截得的几何体，所以它的体积也可以转化为两个锥体的体积之差．
?练一练
3．正四棱台的上下底面边长分别为6 cm和12 cm，侧面积为180 cm2，求棱台的体积．
解：如图，分别过正四棱台的底面中心O1，O作O1E1⊥B1C1，OE⊥BC，垂足分别为E1，E，则E1E为正四棱台的斜高．
由于正四棱台的侧面积为180 cm2，
所以×4×(6＋12)|E1E|＝180，解得|E1E|＝5.
在直角梯形O1OEE1中，O1E1＝3，OE＝6，E1E＝5，解得O1O＝4.
所以正四棱台的体积为V＝h(S＋＋S′)＝×4×(62＋6×12＋122)＝336(cm3)．
如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C-A′DD′，求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．
[解]　法一：设AB＝a，AD＝b，DD′＝c，
则长方体ABCD-A′B′C′D′的体积V＝abc，
又S△A′DD′＝bc，
且三棱锥C－A′DD′的高为CD＝a，
∴V三棱锥C－A′DD′＝S△A′D′D·CD＝abc.
则剩余部分的体积V剩＝abc－abc＝abc.
故V三棱锥C－A′D′D∶V剩＝abc∶abc＝1∶5.
[尝试用另外一种方法解题]
法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′-BCC′B′，设它的底面ADD′A′的面积为S，高为h，
则它的体积为V＝Sh.
而棱锥C－A′DD′的底面面积为S，高是h，
因此，棱锥C－A′DD′的体积VC－A′DD′＝×Sh＝Sh.
故余下的体积是Sh－Sh＝Sh.
∴棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为Sh∶Sh＝1∶5.
1．正方体的表面积为96，则正方体的体积是(　　)
A．48　　　　　　　B．64
C．16 D．96
解析：选B　设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，则正方体的体积是a3＝64.
2．(山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如右图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是(　　)
A．4，8 B．4，
C．4(＋1)， D．8,8
解析：选B　由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为＝，所以S侧＝4×＝4，V＝×22×2＝.
3．(重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
A.＋π B.＋π
C.＋2π D.＋2π
解析：选A　由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数据可得三棱锥的体积V1＝××2×1×1＝，半圆柱的体积V2＝×π×12×2＝π，∴V＝＋π.
4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．
解析：该空间几何体是一个底面为梯形的四棱柱，其底面积是×2＝3，高为1，故其体积等于3.
答案：3
5．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________．
解析：设圆台的上底面半径为r，
则(3r)2＋(4r)2＝100，解之得r＝2.
∴S上＝πr2＝4π，S下＝π(4r)2＝16πr2＝64π，
h＝4r＝8.
∴V＝(4π＋64π＋16π)×8＝224π.
答案：224π
6．已知一个三棱台的两底面是边长分别为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高和体积．
解：如图，在三棱台ABC-A′B′C′中，O′、O分别为上、下底面的中心，D、D′分别是BC、B′C′的中点，则DD′是梯形BCC′B′的高，
所以S侧＝(20＋30)·DD′·3＝75DD′.
又A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝(202＋302)＝325(cm2)．
由S侧＝S上＋S下得，75DD′＝325(cm2)，所以DD′＝(cm)．
在直角梯形O′ODD′中，OD＝5 cm，O′D′＝ cm，
O′O＝＝
＝4(cm)，即棱台的高h＝4 cm.
由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V＝(S＋S′＋)
＝·
＝1 900(cm3)．
一、选择题
1．已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是(　　)
A．9π　　　　　　　B．9
C．3π D．3
解析：选C　设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝6π，∴r＝3.
设圆锥的高为h，则h＝＝，
∴V圆锥＝πr2h＝3π.
2．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，所得三棱锥的体积为×4＝，故剩下的凸多面体的体积为1－8×＝.
3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为(　　)
A．6 B．9
C．12 D．18
解析：选B　由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为××6×3×3＝9.
4．(浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(　　)
A．108 cm3 B．100 cm3
C．92 cm3 D．84 cm3
解析：选B　根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥，∴几何体的体积V＝6×6×3－××4×4×3＝100 cm3.
5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是(　　)
A．1∶∶ B．6∶2∶
C．6∶2∶3 D．3∶2∶6
解析：选C　设如图所示的Rt△ABC中，
∠BAC＝30°，BC＝1，则AB＝2，AC＝，求得斜边上的高CD＝，旋转所得几何体的体积分别为V1＝π()2×1＝π，
V2＝π×12×＝π，V3＝π()2×2＝π.
V1∶V2∶V3＝1∶∶＝6∶2∶3.
二、填空题
6．如图已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．
解析：采取补体方法，相当于一个母线长为a＋b的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V＝.
答案：
7．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面的尺寸如图所示，两容器盛有液体的体积正好相等，且液面高均为h，则h＝________.
解析：锥体的底面半径和高都是h，圆柱体的底面半径是，高为h，依题意得h2·h＝π·()2·h，解得h＝a.
答案：a
8．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．
解析：此几何体的直观图如图，ABCD为正方形，边长为20 cm，
S在底面的射影为CD中点E，SE＝20 cm，
VS-ABCD＝SABCD·SE＝cm3.
答案： cm3
三、解答题
9．如图所示，是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？(π＝3.14)
解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃的底面一样，是一直径为20 cm的圆柱，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度．
因为圆锥形铅锤的体积为×π×2×20＝60π(cm3)，
设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为π×(20÷2)2×x＝100πx(cm3)，所以有方程60π＝100πx，解此方程得x＝0.6(cm)．
答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6 cm.
10．若E，F是三棱柱ABC-A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A-BEFC的体积．
解：如图所示，连接AB1，AC1.
∵B1E＝CF，
∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．
又四棱锥A-BEFC的高与四棱锥A-B1EFC1的高相等，
∴VA-BEFC＝VA-B1EFC1＝VA-BB1C1C.
又VA-A1B1C1＝S△A1B1C1·h，VABC-A1B1C1＝m，
∴VA-A1B1C1＝，
∴VA-BB1C1C＝VABC-A1B1C1－VA-A1B1C1＝m，
∴VA-BEFC＝×m＝，即四棱锥A-BEFC的体积是.
第3课时　球
[核心必知]
1．球的表面积公式：S球面＝4πR2.
2．球的体积公式：V球＝πR3.
[问题思考]
用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？
提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．
若球的半径为R，截面圆的半径为r，OO′＝d.
在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2＋O′C2，
即R2＝r2＋d2.
?讲一讲
1．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球面面积与球的体积．
[尝试解答]　如图所示，设球心为O，截面圆圆心O1，球半径为R，
连接OO1，则OO1是球心到截面的距离．
由于OA＝OB＝OC＝R，
则O1是△ABC的外心．
设M是AB的中点，由于AC＝BC，
则O1在CM上．
设O1M＝x，易知O1M⊥AB，则O1A＝，
O1C＝CM－O1M＝－x.
又O1A＝O1C，∴＝－x.
解得x＝.则O1A＝O1B＝O1C＝.
在Rt△OO1A中，O1O＝，∠OO1A＝90°，OA＝R.
由勾股定理，得2＋2＝R2.解得R＝.
故S球面＝4πR2＝54π，V球＝πR3＝27π.
计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用球的截面的性质进行求解．已知条件中的等量关系，往往是建立方程的依据，这种解题的思想值得重视．
?练一练
1．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm2，试求此球的表面积和体积．
解：如图，设截面圆的圆心为O1，
则OO1⊥O1A，O1A为截面圆的半径，
OA为球的半径．
∵48π＝π·O1A2，∴O1A2＝48.
在Rt△AO1O中，OA2＝O1O2＋O1A2，
即R2＝2＋48，∴R＝8(cm)，
∴S球＝4πR2＝4π×64＝256π(cm2)，V球＝πR3＝π(cm3).
?讲一讲
2．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm，求球的体积．
[尝试解答]　
如图所示，作出轴截面，O是球心，与边BC、AC相切于点D、E.
连接AD，OE，
∵△ABC是正三角形，
∴CD＝AC.
∵CD＝1 cm，
∴AC＝2 cm，AD＝ cm，
∵Rt△AOE∽Rt△ACD，
∴＝.
设OE＝r，则AO＝(－r)，
∴＝，
∴r＝ cm，
V球＝π()3＝π(cm3)，
即球的体积等于π cm3.
解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常是指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含体和体之间的主要位置关系和数量关系．
?练一练
2．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积．
解：作轴截面如图所示，
CC′＝，AC＝·＝2，
设球的半径为R，
则R2＝OC2＋CC′2＝()2＋()2＝9，
∴R＝3，
∴S球＝4πR2＝36π，V球＝πR3＝36π.
一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．
[错解]　如图所示，设OD＝x，
由题知π·CA2＝49π，
∴CA＝7 cm.
π·BD2＝400π，
∴BD＝20 cm.
设球半径为R，则有
(CD＋DO)2＋CA2＝R2＝OD2＋DB2，
即(9＋x)2＋72＝x2＋202，
∴x＝15，R＝25.
∴S球＝4πR2＝2 500π cm2.
[错因]　本题错解的原因在于考虑不周，由于球心可能在两个截面之间，也可能在两个截面的同一侧，因此解决此题要分类讨论．
[正解]　(1)当球心在两个截面的同侧时，解法同错解．
(2)当球心在两个截面之间时，如图所示，设OD＝x，则OC＝9－x，
设球半径为R，
可得x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2，
此方程无正数解，即此种情况不可能．
综上可知，球的表面积是2 500π cm2.
1．球的表面积扩大2倍，球的体积扩大(　　)
A．2倍　　　　　　　　　B. 倍
C．2 倍 D．3 倍
解析：选C　球的表面积扩大2倍，半径扩大倍，从而体积扩大()3＝2倍．
2．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为　　(　　)
A．1∶9 B．1∶27
C．1∶3 D．1∶1
解析：选A　设两球的半径分别为R1，R2.
∵R1∶R2＝1∶3，∴两个球的表面积之比为
S1∶S2＝4πR∶4πR＝R∶R＝1∶9.
3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是(　　)
A．20π B．25π
C．50π D．200π
解析：选C　设球的半径为R，则2R＝＝5.
∴S球＝4πR2＝π·(2R)2＝50π.
4．(福州高一检测)已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．
解析：过O作底面ABCD的垂线段OE，则E为正方形ABCD的中心．由题意可知×()2×OE＝，所以OE＝，故球的半径R＝OA＝＝，则球的表面积S＝4πR2＝24π.
答案：24π
5．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.
解析：设球的半径为r cm，
则有8πr2＋3×πr3＝πr2×6r，由此解得r＝4.
答案：4
6．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)：
(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；
(2)求该几何体的体积(结果保留π)．
解：由三视图可知，该几何体是一个四棱柱和一个半球构成的组合体，且半球的直径为2，该四棱柱为棱长为2的正方体．
(1)该几何体的表面积为
S＝2πR2＋6×2×2－π×R2＝π＋24 (m2)．
(2)该几何体的体积为
V＝×πR3＋23＝π＋8 (m3)．
一、选择题
1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为(　　)
A.π　　　　　　　　　B.
C．8π D.π
解析：选D　所得截面圆的半径为r＝1，因此球的半径R＝＝，球的体积为
πR3＝π.
2．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是(　　)
A．1∶2∶3 B．1∶∶
C．1∶2∶3 D．1∶4∶7
解析：选C　∵三个球的表面积之比是1∶2∶3，
即r∶r∶r＝1∶2∶3.∴r1∶r2∶r3＝1∶∶，
∴V1∶V2∶V3＝1∶2∶3.
3．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)
A.π B．4π
C．4π D．6π
解析：选B　设球的半径为R，由球的截面性质得R＝＝，所以球的体积V＝πR3＝4π.
4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．πa2 B.πa2
C.πa2 D．5πa2
解析：选B　正三棱柱内接于球，则球心在正三棱柱两底面中心连线的中点处，在直角三角形中可得R＝＝a，
∴S＝4πR2＝4π×＝a2.
5．(新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
解析：选A　解题时，先根据已知条件分析出正方体的上底面到球心的距离为(R－2) cm(其中R为球半径)，再利用球半径、球心距、和截面圆半径构成的直角三角形求出球半径，进而计算出球的体积．设球半径为R cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面的距离为(R－2) cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的体积V＝πR3＝π×53＝ cm3，选择A.
二、填空题
6．一个平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm，则球的体积为________ cm3.
解析：如图所示，
由已知：O1A＝3，OO1＝4，从而R＝OA＝5.
∴V球＝×53＝ (cm3)．
答案：
7．一个底面直径是32 cm的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9 cm，则这个球的表面积是________．
解析：球的体积等于以16 cm为底面半径，高为9 cm的圆柱的体积，设球的半径为R，所以πR3＝π·162·9，
解得R＝12(cm)，所以S球＝4πR2＝576π cm2.
答案：576π cm2
8．如图所示，正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为________．
解析：∵正四棱锥的底面边长和侧棱长都为，
∴其高为1，由对称性可知，棱长为的正八面体也内接于此球，∴球的半径为1，体积为π.
答案：π
三、解答题
9．如图，ABCD是正方形，是以A为圆心的弧，将正方形ABCD以AB为轴旋转一周，求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比．
解：Ⅰ生成圆锥，Ⅱ生成的是半球去掉圆锥Ⅰ，Ⅲ生成的是圆柱去掉扇形ABD生成的半球．
设正方形的边长为a，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积分别为VⅠ、VⅡ和VⅢ，则VⅠ＝πa3，VⅡ＝πa3÷2－πa3＝πa3，VⅢ＝πa3－πa3÷2＝πa3.
三部分所得旋转体的体积之比为1∶1∶1.
10．如图，半径为R的半圆O的直径为直角梯形垂直于两底的腰，且半圆O分别切AB，BC，CD于点A、E、D.将半圆与梯形绕AD所在直线旋转一周，得到一个球和一个圆台，若球的表面积与圆台的侧面积的比为3∶4，求圆台的体积．
解：设圆台的上、下底的半径分别为r1、r2，母线长为l.
由题意知，圆台的高h＝2R，DC＝CE＝r1，AB＝BE＝r2，OE＝R，∠BOC＝90°.OE⊥BC.
∵在Rt△COB中，CE·BE＝OE2，BC＝CE＋BE，
∴r1r2＝R2，l＝r1＋r2.
又∵S球＝4πR2，S圆台侧＝π(r1＋r2)l
且S球∶S圆台侧＝3∶4，
∴4πR2∶πl(r1＋r2)＝3∶4.
∴(r1＋r2)2＝R2，
∴V台＝πh(r＋r＋r1r2)＝×2R[(r1＋r2)2－r1r2]
＝×2R×＝πR3.
故圆台的体积为πR3.
1．空间几何体的结构及其三视图和直观图
空间几何体是研究空间线、面、体的几何载体，正确理解几何体的概念，掌握几何体的特征是解题成功的关键．对三视图的考查，高考中不可能去画三视图或画几何体，但观察三视图，想象几何体是可能的，这类题目只要把握三视图和几何体之间的关系是不难解决的．
2．平行关系
(1)判定线线平行的方法：
①利用线线平行的定义证明共面而且无公共点(结合反证法)；
②利用平行公理4；
③利用线面平行性质定理；
④利用线面垂直的性质定理(若a⊥α，b⊥α，则a∥b)；
⑤利用面面平行的性质定理(若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b)；
⑥利用平行四边形的性质，三角形、梯形中位线，线段对应成比例等．
(2)判定线面平行的方法：
①线面平行的定义(无公共点)；
②利用线面平行的判定定理(aα，bα，a∥b?a∥α)；
③面面平行的性质定理(α∥β，aα?a∥β)；
④面面平行的性质(α∥β，aα，aβ，a∥α?a∥β)．
(3)判定面面平行的方法：
①平面平行的定义(无公共点)；
②面面平行的判定定理(若a∥β，b∥β，a、bα，且a∩b＝A?α∥β)；
③面面平行的判定定理的推论(若a∥a′，b∥b′，aα，bα且a∩b＝A，a′β，b′β，且a′∩b′＝A′，则α∥β)；
④线面垂直的性质定理(若a⊥α，a⊥β?α∥β)；
⑤平面平行的性质(传递性：α∥β，β∥γ?α∥γ)．
3．平行关系相互转化的示意图
4．垂直关系
(1)证明线面垂直的主要方法有：
①利用线面垂直的定义；
②利用判定定理：
m，nα，m∩n＝A，l⊥m，l⊥n?l⊥α；
③利用面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α?a⊥β；
④利用面面垂直的性质定理：
α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l?a⊥β；
⑤利用线面垂直判定定理的推论：
a∥b，a⊥α?b⊥α.
(2)证明面面垂直的方法就是利用判定定理先转化为证明线面垂直．
(3)直线和平面垂直、平面和平面垂直是直线和平面相交、平面和平面相交的特殊情况．对这种情况的认识，既可以从直线和平面、平面和平面的夹角为90°来讨论，又可以从已有的线线垂直、线面垂直关系出发进行推理和论证．无论是线面垂直还是面面垂直，都源于线线垂直，这种“降维”的思想方法很重要．在处理实际问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论“反探”所需的关系，从而架设已知和未知的桥梁．如图是垂直相互转化的示意图．
5．空间几何体的表面积和体积
对于规则几何体的表面积和体积问题，可以直接利用公式进行求解．在求解时首先判断几何体的形状及其结构特征，确定几何体的基本量，然后合理选择公式求解．常考查的几何体有长方体、直四棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥、球等，多与几何体的三视图相结合，需要利用三视图确定几何体的形状和基本量.
[典例1]　(辽宁高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
[解析]　由三视图可知该组合体的上方是一个高为1，底面直径为2的圆柱，下方是一个长宽高分别为4,3,1的长方体，它的体积V＝1×π×12＋4×3×1＝12＋π.
[答案]　12＋π
[借题发挥]　由三视图求几何体的表面积与体积的综合题，是新课标高考题的一个热点，解这类题往往由三视图想象原貌，考察其结构特征及其组合状况，再根据三视图中所标基本量，利用面积、体积公式计算结果．
[对点训练]
1．一个棱锥的三视图如图，求该棱锥的表面积(单位：cm2)．
解：如图所示三棱锥．
AO⊥底面BCD，O点为BD的中点，
BC＝CD＝6，BC⊥CD，AO＝4，AB＝AD.
S△BCD＝6×6×＝18，
S△ABD＝×6×4＝12.
取BC中点为E.连接AE、OE.可得AO⊥OE，
AE＝＝＝5，
∴S△ABC＝S△ACD＝×6×5＝15，
∴S表＝18＋12＋15＋15＝48＋12.
[典例2]　如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF，EF∥AB，H为BC的中点．
求证：FH∥平面EDB.
[证明]　连接AC交BD于点G，则G为AC的中点．
连接EG，GH，
∵H为BC的中点，
∴GHAB.
又EFAB，
∴EFGH，
∴四边形EFHG为平行四边形，
∴EG∥FH，
∵EG平面EDB，FH平面EDB，
∴FH∥平面EDB.
[借题发挥]　在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，遵循规律而不受制于规律．
[对点训练]
2．如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B、D1D、DA的中点．求证：平面AD1E∥平面BGF.
证明：∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1FBE，
∴BED1F是平行四边形，
∴D1E∥BF，
又∵D1E平面BGF，BF平面BGF，
∴D1E∥平面BGF.
∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1，
又AD1平面BGF，FG平面BGF，
∴AD1∥平面BGF.
又∵AD1∩D1E＝D1，
∴平面AD1E∥平面BGF.
[典例3]　如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，点E是AB的中点，点F是SC的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)求证：平面SCD⊥平面SCE.
[证明]　(1)如图，连接AF，BF，AC，
由已知SA⊥平面ABCD，且AC平面ABCD，
得到SA⊥AC.
在Rt△SAC中，点F是SC的中点，则AF＝SC.
由于底面ABCD是正方形，
则AB⊥BC.
又SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.
所以BC⊥平面SAB.所以SB⊥BC.
在Rt△SBC中，点F是SC的中点，
则BF＝SC，故AF＝BF.
由点E是AB的中点，得到EF⊥AB，而AB∥CD，
所以EF⊥CD.
(2)由已知SA⊥平面ABCD，
且AB?平面ABCD，得到SA⊥AB.
由于底面ABCD是正方形，则AB⊥BC.又SA＝AB，
所以Rt△SAE≌Rt△CBE.
所以SE＝CE.而点F是SC的中点，则EF⊥SC.
结合(1)EF⊥CD，且SC∩CD＝C，
所以EF⊥平面SCD.因为EF平面SCE，
故平面SCD⊥平面SCE.
[借题发挥]　要证两平面垂直，最常用的办法是用判定定理．证一个平面内的一条直线垂直于另一平面，而线垂直面的证明关键在于找到面内有两条相交直线垂直已知直线．要善于运用题目给出的信息，通过计算挖掘题目的垂直与平行关系，这是一种非常重要的思想方法，它可以使复杂问题简单化．
[对点训练]
3．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．
求证：(1)EN∥平面PDC；
(2)BC⊥平面PEB；
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
证明：(1)∵AD∥BC，BC?平面PBC，AD平面PBC，
∴AD∥平面PBC.
又平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.
∴MN∥BC.又N为PB中点，
∴点M为PC的中点．∴MNBC.
又E为AD的中点，ADBC，∴四边形DENM为平行四边形．
∴EN∥DM.又DM平面PDC，EN平面PDC，
∴EN∥平面PDC.
(2)连接PE、BE.∵四边形ABCD为边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.又PE⊥AD，BE∩PE＝E，
∴AD⊥平面PEB.
∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.
(3)由(2)结论可知AD⊥PB，
又PA＝AB且N为PB的中点，
∴AN⊥PB.又AD∩AN＝A，∴PB⊥平面ADMN.
∵PB平面PBC，
∴平面PBC⊥平面ADMN.
[典例4]　正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：
(1)棱锥的表面积；
(2)内切球的表面积与体积．
[解]　(1)底面正三角形内中心到一边的距离为××2＝，
则正棱锥侧面的斜高为＝.
∴S侧＝3××2×＝9.
∴S表＝S侧＋S底＝9＋·(2)2＝9＋6.
(2)设正三棱锥P-ABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.
∴VP-ABC＝VO-PAB＋VO-PBC＋VO-PAC＋VO-ABC
＝·S侧·r＋S△ABC·r
＝S表·r＝(3＋2)r.
又VP-ABC＝××(2)2×1＝2，
∴(3＋2)r＝2，
得r＝＝＝－2.
S内切球＝4π(－2)2＝(40－16)π.
V内切球＝π(－2)3＝(9－22)π.
[借题发挥]　1.对于规则几何体的表面积和体积问题，可以直接利用公式进行求解．在求解时首先判断几何体的形状及其结构特征，确定几何体的基本量，然后合理选择公式求解．常考查的几何体有长方体、直四棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥、球等，多与几何体的三视图相结合，需要利用三视图确定几何体的形状和基本量．
2．组合体的表面积与体积，分割转化成柱、锥、台、球的表面积与体积．
[对点训练]
4．已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5.以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．
解：如图在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为D.
∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC2＋BC2＝AB2.
∴AC⊥BC.∵△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴CD＝，记r＝.
△ABC以AB为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r＝，母线长AC＝3，BC＝4.
∴S表面积＝πr(AC＋BC)＝π××(3＋4)＝π，
V＝πr2(AD＋BD)＝πr2AB＝π×()2×5＝π，
∴所求旋转体表面积是π，体积是π.
（时间：90分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)
1．(陕西高考)将正方体(如图①所示)截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的左视图为(　　)
解析：选B　左视图中能够看到线段AD1，画为实线，看不到线段B1C，画为虚线，而且AD1与B1C不平行，投影为相交线．
2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是　　(　　)
A．异面　　　　　　　　　B．相交
C．相交或异面 D．平行或异面
解析：选C　如图所示，l1与l2为异面直线，直线AB、CD均与l1、l2相交，则AB与CD的位置关系为相交或异面．
3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)
A．AC B．BD
C．A1D D．A1D1
解析：选B　∵BD⊥AC，BD⊥AA1，
∴BD⊥平面AA1C1C.又CE?平面AA1C1C，
∴CE⊥BD.
4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(　　)
A．9π　　　B．10π C．11π　　　D．12π
解析：选D　该几何体下面是一个底面半径为1，母线长为3的圆柱，上面是一个半径为1的球，其表面积是2π×1×3＋2×π×12＋4π×12＝12π.
5．设a，b是两条直线，α、β是两个平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若a∥b，a∥α，则b∥α
B．α∥β，a∥α，则a∥β
C．若α⊥β，a⊥β，则a⊥α
D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
解析：选D　A中，b有可能在α内；B中，a有可能在β内；C中，a有可能在α内．
6．如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是(　　)
A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B．它们两两垂直
C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直
D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
解析：选A　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.
又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，
∵BC平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAB.
由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得AD⊥平面PAB.
∵AD平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.
由已知不能推出平面PBC与平面PAD垂直．
7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是(　　)
A．16π B．20π
C．24π D．32π
解析：选C　设正四棱柱的底边长为a，则
V＝a2·h，∴16＝a2×4，∴a＝2.
由球和正四棱柱的性质可知，球的直径为正四棱柱的对角线．
∴R＝ ＝，∴S＝4πR2＝24π.
8．如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于对棱的平面A1B1EF，这个平面分三棱台成两部分的体积之比为(　　)
A．1∶2 B．2∶3
C．3∶4 D．4∶5
解析：选C　设上底面积为S，则下底面积为4S，再设台体高为h，
∴V台＝h(S＋4S＋)＝Sh，
又∵ VCEF－A1B1C1＝Sh，
∴两部分的比为Sh∶＝3∶4.
9．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　如图所示，设球的半径为R，
由题意，知OO′＝，OF＝R，∴r＝R.
∴S截面＝πr2＝π2＝R2.
又S球＝4πR2，
∴＝＝.
10．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′＝(　　)
A．2∶1 B．3∶1
C．3∶2 D．4∶3
解析：选A　如图，由已知条件可知∠BAB′＝，∠ABA′＝，
设AB＝2a，则BB′＝a，A′B＝a.
∴在Rt△BB′A′中得A′B′＝a，
∴AB∶A′B′＝2∶1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有________个．
解析：由面面垂直的判定知，作过此直线的任一平面都符合题意．
答案：无数
12．(安徽高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．
解析：根据该几何体的三视图可得其直观图如图所示，是底面为直角梯形的直四棱柱，且侧棱AA1＝4，底面直角梯形的两底边AB＝2，CD＝5，梯形的高AD＝4，故该几何体的体积V＝4×＝56.
答案：56
13．等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是S球________S正方体(填“>”、“<”或“＝”)．
解析：设球的半径为R，正方体的棱长为a，
则πR3＝a3，∴a＝ ·R，
∴S正方体＝6a2＝6·2
＝4··R2>4πR2，
即S球答案：<
14．(湖北高考)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
解析：圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为V＝πh·(r＋r＋r中r下)＝×9×(102＋62＋10×6)＝588π，降雨量为＝＝3.
答案：3
三、解答题(本大题共有4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤)
15．(本小题满分12分)在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB，BC，CD，AD(或延长线)分别与平面α相交于点E，F，G，H.求证：E，F，G，H必在同一直线上．
证明：因为AB∥CD，所以四边形ABCD是一个平面图形，
即AB，CD确定一个平面β，则ABβ，ADβ，
因为E∈AB，所以E∈β.
因为H∈AD，所以H∈β.
又因为E∈α，H∈α，
所以α∩β＝EH.
因为DCβ，G∈DC，所以G∈β.
又因为G∈α，
所以点G在α与β的交线EH上．
同理，点F在α与β的交线EH上，
所以E，F，G，H四点共线．
16.(本小题满分12分)(山东高考)如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.
(1)求证：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.
解：(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.
由于CB＝CD，所以CO⊥BD，
又EC⊥BD，EC∩CO＝C，
CO，EC?平面EOC，
所以BD⊥平面EOC，
因此BD⊥EO，
又O为BD的中点，
所以BE＝DE.
(2)法一：如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，
因为M是AE的中点，
所以MN∥BE.
又MN?平面BEC，BE?平面BEC，
所以MN∥平面BEC.
又因为△ABD为正三角形．
所以∠BDN＝30°，
又CB＝CD，∠BCD＝120°，
因此∠CBD＝30°，
所以DN∥BC.
又DN?平面BEC，BC?平面BEC，
所以DN∥平面BEC.
又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC.
又DM?平面DMN，
所以DM∥平面BEC.
法二：如图，延长AD，BC交于点F，连接EF.
因为CB＝CD，∠BCD＝120°，
所以∠CBD＝30°.
因为△ABD为正三角形，
所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，
因此∠AFB＝30°，
所以AB＝AF.
又AB＝AD，
所以D为线段AF的中点．
连接DM，由于点M是线段AE的中点，
因此DM∥EF.
又DM?平面BEC，EF?平面BEC，
所以DM∥平面BEC.
17．(本小题满分12分)如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE＝BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥平面ACE.
(1)求证：AE⊥BC；
(2)如果点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE.
证明：(1)因为BM⊥平面ACE，AE平面ACE，
所以BM⊥AE.
因为AE⊥BE，且BE∩BM＝B，BE、BM平面EBC，所以AE⊥平面EBC.
因为BC平面EBC，
所以AE⊥BC.
(2)法一：取DE中点H，连接MH、AH.
因为BM⊥平面ACE，EC平面ACE，所以BM⊥EC.
因为BE＝BC，
所以M为CE的中点．
所以MH为△EDC的中位线，
所以MHDC.
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以DCAB.
故MHAB.
因为N为AB的中点，所以MHAN.
所以四边形ANMH为平行四边形，所以MN∥AH.
因为MN平面ADE，AH平面ADE，
所以MN∥平面ADE.
法二：如图，取EB的中点F，连接MF、NF.
因为BM⊥平面ACE，EC平面ACE，
所以BM⊥EC.
因为BE＝BC，
所以M为CE的中点，
所以MF∥BC.
因为N为AB的中点，
所以NF∥AE，
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AD∥BC.
所以MF∥AD.
因为NF、MF平面ADE，AD、AE平面ADE，
所以NF∥平面ADE，MF∥平面ADE.
因为MF∩NF＝F，MF、NF平面MNF，
所以平面MNF∥平面ADE.
因为MN平面MNF，
所以MN∥平面ADE.
18．(本小题满分14分)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示．
(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；
(2)证明：A1C⊥平面AB1C1；
(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论．
解：(1)几何体的直观图如图．
四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝，BC＝1，四边形AA1C1C是边长为的正方形，且垂直于底面BB1C1C，
∴其体积V＝×1××＝.
(2)证明：∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，
∴BC⊥CC1.
∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，
∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC，
∴B1C1⊥A1C.
∵四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1.
∵B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1.
(3)当E为棱AB的中点时，
DE∥平面AB1C1.
证明：如图，取BB1的中点F，
连接EF，FD，DE，
∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，
∴EF∥AB1.
∵AB1平面AB1C1，
EF平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1.
∵FD∥B1C1，
∴FD∥平面AB1C1，
又EF∩FD＝F，∴平面DEF∥平面AB1C1.
而DE平面DEF，
∴DE∥平面AB1C1.
第1课时　直线的倾斜角和斜率
[核心必知]
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的概念．
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．
(2)倾斜角的取值范围．
直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°.当直线l和x轴平行时，倾斜角为0°.
2．斜率的概念及斜率公式
定义
把一条直线的倾斜角不等于90°的角α的正切值叫做这条直线的斜率，通常用k表示，即k＝tan α
取值范围
当α＝0°时，k＝0
当0°＜α＜90°时，k＞0
当90°＜α＜180°时，k<0
当α＝90°时，斜率不存在
续表
过两点的直线
的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝
[问题思考]
1．由直线倾斜角的大小能确定直线的位置吗？
提示：只由直线的倾斜角不能确定直线的位置，因为倾斜角只反映了直线相对x轴的倾斜程度．
2．“斜率是倾斜角的正切值”这句话对吗？
提示：不对.90°角的正切值是不存在的．
3．直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大，这句话对吗？
提示：这句话是不对的，当倾斜角α＝0°时，k＝0；
当0°＜α＜90°时，k＞0，并且随α的增大k也增大；
当α＝90°时，k不存在；
当90°＜α＜180°时，k＜0，并且随α的增大k也增大．
?讲一讲
1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为(　　)
A．α　　　　　　　　　
B．180°－α
C．180°－α或90°－α
D．90°＋α或90°－α
[尝试解答]　选D　如图，当直线l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当直线l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.
若把条件改为“直线向上的方向与x轴的负方向所成的角为α”其他不变，结论将如何？　　　　
选B　通过画图可知．
当α为锐角时，l的倾斜角为180°－α.
当α为钝角时，l的倾斜角为180°－α.
当α为90°角时，l的倾斜角为90°.　　　　

求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解题的关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况讨论，讨论的常见情形有：①0°角；②锐角；③90°角；④钝角．
?练一练
1．设直线l1与x轴的交点为P，且倾斜角为α，若将其绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线l2的倾斜角为α＋45°，试求α的取值范围．
解：由于直线l1与x轴相交，可知α≠0°，又α与α＋45°都是直线的倾斜角，
∴0°＜α＜180°且0°≤α＋45°＜180°，解得0°＜α＜135°.
?讲一讲
2．已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)．
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．
[尝试解答]　(1)由斜率公式得
kAB＝＝0，kBC＝＝.
kAC＝＝.在区间[0，π)范围内．
∵tan 0°＝0，∴AB的倾斜角为0°.
tan 60°＝，∴BC的倾斜角为60°.
tan 30°＝，∴AC的倾斜角为30°.
(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为.
1．在应用斜率公式求斜率时，要注意两点的横坐标是否相等，若相等，则斜率不存在，倾斜角是90°；若不相等，才能用斜率公式求斜率．
2．数形结合运动变化是解决数学问题的常用思想方法和观点．当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y 轴平行(或重合)时，斜率由零逐渐增大到＋∞(即斜率不存在)；按顺时针方向旋转到y轴平行(或重合)时，斜率由零逐渐减小至－∞(斜率不存在)．这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围．
?练一练
2．已知直线l经过两点P1(2,1)和P2(m,2)(m∈R)．
(1)求直线l的斜率；
(2)若直线l的倾斜角α为45°，求m的值．
解：(1)当m＝2时，x1＝x2＝2，∴直线l垂直x轴，
故直线l的斜率不存在．
当m≠2时，直线l的斜率k＝＝.
(2)∵α＝45°，∴k＝tan α＝1.
∴＝1，即m－2＝1，∴m＝3.
?讲一讲
3．已知三点A(1，－1)，B(3,3)，C(4,5)．求证：三点在同一条直线上．
[尝试解答]　证明：∵kAB＝＝2，kBC＝＝2，
∴kAB＝kBC.
又直线AB和BC有公共点B，∴A，B，C三点共线．
任意两点连线斜率相等，三点一定共线，反之三点共线任意两点连线的斜率不一定相等(可能都不存在)．解这类问题时要先对斜率是否存在作出判断，必要时要先进行讨论，然后再下结论．
?练一练
3．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，求实数a的值．
解：∵A，B，C三点共线，且3≠－2，
∴BC、AB的斜率都存在，且kAB＝kBC.
又∵kAB＝＝，kBC＝＝，
∴＝，
解得a＝2或a＝.
设直线l过点A(7,12)，B(m,13)，求直线l的斜率及倾斜角α的取值范围．
[错解]　k＝＝.
当m>7，即>0时，k>0，α∈；
当m<7，即<0时，k<0，α∈.
[错因]　本题做错的原因是没有搞清斜率k与倾斜角α之间的关系．任意直线的倾斜角都存在，但当α＝90°时，直线的斜率是不存在的；反之，当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角是90°.错解忽视了m＝7时，斜率不存在的情况．
[正解]　当m＝7时，直线与x轴垂直，斜率不存在．
倾斜角α＝90°.
当m≠7时，k＝＝.
当m>7，即>0时，k>0，α∈.
当m<7，即<0时，k<0，α∈.
1．下列命题
①任何一条直线都有唯一的倾斜角；
②任何一条直线都有唯一的斜率；
③倾斜角为90°的直线不存在；
④倾斜角为0°的直线只有一条．
其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选B　①对，由倾斜角的定义可知．
②错，当直线与y轴平行(或重合)时其倾斜角为90°，斜率不存在．
③错，倾斜角为90°的直线斜率不存在，但这样的直线有无数条，它们与y轴平行(或重合)．
④错，倾斜角为0°的直线也有无数条，它们都与x轴平行或重合．
2．斜率为2的直线经过点(3,5)，(a,7)，(－1，b)三点，则a，b的值是(　　)
A．a＝4，b＝0　　　　　
B．a＝－4，b＝－3
C．a＝4，b＝－3
D．a＝－4，b＝3
解析：选C　由2＝＝，得a＝4，b＝－3.
3．如图，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
解析：选D　由题图可知直线l1的倾斜角为钝角，所以k1＜0；直线l2与直线l3的倾斜角均为锐角，且直线l2的倾斜角较大，所以k2＞k3＞0.所以k2＞k3＞k1.
4．若m＞0，斜率为m的直线上有两点P(m,3)，Q(1，m)，则此直线的倾斜角为________．
解析：由题意知m＝，解得m2＝3，∵m＞0，
∴m＝，即tan α＝，∴α＝60°，∴直线的倾斜角为60°.
答案：60°
5．一束光线l经过A(－1,1)和O(0,0)两点，经x轴反射后得到反射线l′，则反射线l′的倾斜角和斜率分别为________，________.
解析：kOA＝＝－1，∴直线l的倾斜角为135°，反射线l′的倾斜角为45°，反射线l′的斜率k′＝tan 45°＝1.
答案：45°　1
6．如图，四边形OABC为等腰梯形，其中上底长为1，下底长为3，高为1，求梯形各边所在直线的倾斜角和斜率．
解：如图，分别过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为D和E，
则有OE＝ED＝DA＝1，CE＝BD＝1，
所以C(1,1)，B(2,1)，A(3,0)，
所以kOC＝＝1，kAB＝＝－1，kOA＝kBC＝0，
所以OA，AB，BC，CO四边所在直线的倾斜角分别为0°，135°，0°，45°.
一、选择题
1．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2的倾斜角为θ，若l1与l2关于y轴对称，则θ的值为(　　)
A．45°　　　　B．90°
C．135° D．180°
解析：选C　由对称性知θ＝180°－45°＝135°.
2．过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－，则a等于(　　)
A．－8 B．10
C．2 D．4
解析：选B　∵k＝＝－，∴a＝10.
3．直线l过点A(1,2)且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是(　　)
A．[0,2] B．[0,1]
C. D.
解析：选A　如图，当k＝0时，不过第四象限，当直线过原点时也不过第四象限．
∴由kOA＝＝2，知k∈[0,2]．
4．已知正方形的一条对角线在y轴上，则它的两条邻边所在直线的斜率分别为(　　)
A．0,1 B．0，－1
C．1，－1 D.，－
解析：选C　正方形的一条对角线在y轴上，则另一条对角线在x轴上，所以两条邻边所在直线的倾斜角为45°，135°，即斜率分别为1，－1.
5．将直线l向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选C　设点P(a，b)是直线l上的任意一点，当直线l按题中要求平移后，点P也做同样的平移，平移后的坐标为(a＋4，b－5)，由题意知这两点都在直线l上，∴直线l的斜率为k＝＝－.
二、填空题
6．若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，那么实数a的取值范围是________．
解析：k＝＝，因为倾斜角为钝角，
所以k＜0，即＜0，解得－2＜a＜1.
答案：(－2,1)
7．若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＋的值等于________．
解析：由题意知直线AB的斜率与直线AC的斜率相等，又因为A，C两点横坐标不等，由斜率公式得＝，整理得＋＝.
答案：
8．若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为________．
解析：kAB＝＝，kAC＝＝＝0.
要使A、B、C三点能构成三角形，需三点不共线，
即kAB≠kAC，∴≠0.
∴k≠1.
答案：(－∞，1)∪(1，＋∞)
三、解答题
9．已知P(3，－1)，M(5,1)，N(1,1)，直线l过P点且与线段MN相交，求：
(1)直线l的倾斜角α的取值范围；
(2)直线l的斜率k的取值范围．
解：kPM＝＝1，∴直线PM的倾斜角为45°.
又kPN＝＝－1，∴直线PN的倾斜角为135°.
(1)由图可知，直线l过P点且与线段MN相交，则直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.
(2)当l垂直于x轴时，直线l的斜率不存在，
∴直线l的斜率k的取值范围是k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
10．点P(x，y)在一次函数y＝－2x＋8的图像上，当2≤x≤3时，求的最大值与最小值．
解：如图，P(x，y)在线段AB上运动，其中A(2,4)，B(3,2)，的几何意义是直线OP的斜率．
∵kOA＝2，kOB＝，
∴OP的斜率在kOB与kOA之间．
∴的最大值为2，最小值为.
第2课时　直线方程的点斜式
[核心必知]
1．直线方程的点斜式和斜截式
方程
名称
已知条件
直线方程
示意图
应用范围
点斜式
直线l上一点P0(x0，y0)及斜率k
y－y0＝k(x－x0)
直线不与x轴垂直
斜截式
直线l的斜率k及在y轴上的截距b
y＝kx＋b
直线不与x轴垂直
2.直线l的截距
(1)在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标．
(2)在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的横坐标．
[问题思考]
1．方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝是等价的吗？
提示：方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线．
2．方程为y＋3＝k(x＋2)的直线过的定点是什么？
提示：由y＋3＝k(x＋2)可得，y－(－3)＝k[x－(－2)]因此，直线过定点(－2，－3)．
3．直线的截距是与坐标轴的交点到坐标原点的距离吗？
提示：不是．截距是一个数值，可正、可负、也可以为零．当截距为非负数时它等于交点到坐标原点的距离，当截距为负数时它是交点到坐标原点距离的相反数．
?讲一讲
1．根据条件写出下列直线的方程，并画出图形．
(1)经过点A(－1,4)，斜率k＝－3；
(2)经过坐标原点，倾斜角为30°；
(3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°；
(4)经过点C(2,6)，D(－3，－2)．
[尝试解答]　(1)这条直线经过点A(－1,4)，斜率k＝－3，
点斜式方程为y－4＝－3[x－(－1)]，
可化为3x＋y－1＝0，如图①所示．
(2)由于直线经过原点(0,0)，斜率k＝tan 30°＝，
点斜式方程为y＝x，可化为x－y＝0，如图②所示．
(3)由于直线经过点B(3，－5)且与x轴垂直，
所以直线方程为x＝3，如图③所示．
(4)根据经过两点的直线斜率公式得直线CD的斜率k＝＝，
该直线的点斜式方程为y－6＝(x－2)，
可化为8x－5y＋14＝0，如图④所示．
利用点斜式求直线方程的步骤：①在直线上找一点，并确定其坐标(x0，y0)；②判断斜率是否存在，若存在求出斜率；③利用点斜式写出方程(斜率不存在时，方程为x＝x0)．
?练一练
1．求满足下列条件的直线方程：
(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；
(3)过点P(5，－2)，且与y轴平行；
(4)过点P(－2,3)，Q(5，－4)．
解：(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式，得直线方程为y－3＝－3(x＋4)，即3x＋y＋9＝0.
(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＝－4.
(3)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示，但直线上点的横坐标均为5，故直线方程为x＝5.
(4)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率
kPQ＝＝＝－1.
又∵直线过点P(－2,3)，
∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y－3＝－1(x＋2)，
即x＋y－1＝0.
?讲一讲
2．求满足下列条件的直线方程：
(1)倾斜角为60°，在y轴上的截距为－3；
(2)经过点A(－1,2)，在y轴上的截距为－2.
[尝试解答]　(1)所求直线的斜率k＝tan 60°＝.
又直线在y轴上的截距为－3，代入直线的斜截式方程，
得y＝x－3，即x－y－3＝0.
(2)法一：∵直线在y轴上的截距为－2，
∴设直线的斜截式方程为y＝kx－2，
∵点A(－1,2)在此直线上，
∴2＝k·(－1)－2，∴k＝－4，
∴直线方程为y＝－4x－2.
法二：由于直线过点(－1,2)和(0，－2)，
∴直线斜率k＝＝－4，
又∵直线在y轴上的截距为－2，∴斜截式方程为y＝－4x－2.
1．已知直线斜率或直线与y轴交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．
2．利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y轴上也没有截距．
?练一练
2．已知直线l过点(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
解：显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设其斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，
令x＝0，得y＝2k＋3，令y＝0，得x＝－－2，
于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
|(2k＋3)(－－2)|＝4，即(2k＋3)(＋2)＝±8.
若(2k＋3)(＋2)＝8，则整理得4k2＋4k＋9＝0，无解．
若(2k＋3)(＋2)＝－8，
则整理得4k2＋20k＋9＝0，解之，得k＝－或k＝－.
所以直线l的方程为x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0.
直线y＝kx＋b(k＋b＝0，k≠0)的图像是(　　)
[解析]　法一：因为直线方程为y＝kx＋b，且k≠0，k＋b＝0，即k＝－b，所以令y＝0时，x＝－＝1，所以直线过点(1,0)．
法二：已知k＋b＝0，所以k＝－b，代入直线方程，可得y＝－bx＋b，即y＝－b(x－1)．又k≠0，所以b≠0，所以直线过点(1,0)．
[答案]　B
[尝试用另外一种方法解题]
法三：由直线方程为y＝kx＋b，可得直线的斜率为k，在y轴上的截距为b.因为k＋b＝0，所以k＝－b，即直线的斜率与直线在y轴上的截距互为相反数．选项A中，k>0，b>0；选项B中，k>0，b<0；选项C中，k<0，b＝0；选项D中，k<0，b<0.
答案：B
1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程为(　　)
A．y－2＝－(x＋4)
B．y－(－2)＝－(x－4)
C．y－(－2)＝(x－4)
D．y－2＝(x＋4)
解析：选B　直线斜率k＝tan 150°＝－tan 30°＝－，
又直线过点(4，－2)，∴直线方程为y－(－2)＝－(x－4)．
2．方程y＝k(x－1)(k∈R)表示(　　)
A．过点(－1,0)的一切直线
B．过点(1,0)的一切直线
C．过点(1,0)且不垂直于x轴的一切直线
D．过点(1,0)且除x轴外的一切直线
解析：选C　y＝k(x－1)一定过定点(1,0)点，当直线的斜率存在时都可以表示为y＝k(x－1)．
3．直线y＝kx＋b经过二、三、四象限，则斜率k和纵截距满足的条件为(　　)
A．k＞0，b＞0　　　　　　　　B．k＜0，b＜0
C．k＞0，b＜0 D．k＜0，b＞0
解析：选B　由直线过二、三、四象限，可画出草图如图，由图可得斜率k＜0，纵截距b＜0.
4．直线－x＋y－6＝0的倾斜角是________，在y轴上的截距是________．
解析：直线方程可化为y＝x＋2，
∴其斜率k＝，在y轴上的截距为2，
由k＝可得其倾斜角α＝30°.
答案：30°　2
5．把直线y＝(x－2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转30°后，所得的直线方程为________．
解析：直线y＝(x－2)的倾斜角为60°，按逆时针旋转30°后，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，∴直线方程为x＝2.
答案：x＝2
6．已知所求直线的斜率是直线y＝－x＋1的斜率的－，且分别满足下列条件：
(1)经过点(，－1)；
(2)在y轴上的截距是－5，分别求该直线的方程．
解：∵直线方程为y＝－x＋1，∴k＝－.
由题知，所求直线的斜率k1＝－×＝.
(1)∵直线过点(，－1)，
∴所求直线方程为y＋1＝(x－)，即x－3y－6＝0.
(2)∵直线在y轴上的截距为－5，
∴所求直线方程为y＝x－5，即x－y－5 ＝0.
一、选择题
1．下列四个结论：
①方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；
②直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1；
③直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1；
④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．
正确的结论有(　　)
A．1个　　　　　　　　　B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B　①中方程k＝表示的直线不能过(－1,2)，而y－2＝k(x＋1)表示过(－1,2)点、斜率为k的直线，
∴二者不能表示同一直线；②③正确；
④中，点斜式、斜截式不能表示平行于y轴的直线，∴结论错误．
2．直线y＝ax－的图像可能是(　　)
解析：选B　在B中，直线的倾斜角为钝角，故斜率a＜0，直线在y轴上截距－＞0，与直线和y轴正半轴有交点，符合要求．
3．直线l过点(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 005，b)在l上，则b的值为(　　)
A．2 009 B．2 010 C．2 011 D．2 012
解析：选C　∵直线斜率k＝＝2，
∴直线的点斜式方程为y－5＝2(x－2)，即y＝2x＋1，
令x＝1 005，得b＝2 011.
4．直线l的方程为y＝x＋2，若直线l′与l关于y轴对称，则直线l′的方程为(　　)
A．y＝－x＋2 B．y＝－x＋2
C．y＝x－2 D．y＝－x－2
解析：选A　∵l′与l关于y轴对称，直线l过定点(0,2)，
∴直线l′也过点(0,2)．
直线l的斜率为，∴l的倾斜角为60°，
l′的倾斜角为180°－60°＝120°.
∴l′的斜率为－.∴直线l′的方程为y＝－x＋2.
5．在等腰△ABO中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，而点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为(　　)
A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)
C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)
解析：选D　由题意，OA与OB的倾斜角互补．kOA＝3 ，kAB＝－3.
∴AB的方程为y－3＝－3(x－1)．
二、填空题
6．若直线y＝2x＋b与坐标轴围成的三角形的面积为9，则b＝________.
解析：令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝－，
∴所求的面积S＝|b|·＝b2＝9.∴b＝±6.
答案：±6
7．直线l的方程为x－y－(m2－m＋1)＝0，若l在y轴上的截距为－3，则m的值为________．
解析：由题知3－(m2－m＋1)＝0，解得：m＝－1或2.
答案：－1或2
8．直线过点(1,2)且与直线2x＋3y－9＝0在y轴上的截距相等，则直线l的方程为________．
解析：直线2x＋3y－9＝0在y轴上的截距为3，即直线l过(0,3)．∴直线l的斜率k＝＝－1.
∴l的方程为y＝－x＋3，即x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
三、解答题
9．已知△ABC的三个顶点在第一象限，A(1,1)，B(5,1)，A＝45°，B＝45°，求：
(1)AB所在直线的方程；
(2)AC边和BC边所在直线的方程．
解：根据已知条件，画出示意图如图．
(1)由题意知，直线AB平行于x轴，由A，B两点的坐标知，直线AB的方程为y＝1.
(2)由题意知，直线AC的倾斜角等于角A，所以kAC＝tan 45°＝1，又点A(1,1)，所以直线AC的方程为y－1＝1·(x－1)，即y＝x.
同理可知，直线BC的倾斜角等于180°－B＝135°，
所以kBC＝tan 135°＝－1，又点B(5,1)，
所以直线BC的方程为y－1＝－1·(x－5)，即y＝－x＋6.
10．求过点(2,3)且与两坐标轴的交点到原点的距离相等的直线方程．
解：由条件知该直线的斜率存在且不为0，由点斜式可设直线方程为y－3＝k(x－2)．
令x＝0得y＝3－2k.令y＝0得x＝2－.
由|3－2k|＝|2－|，得k＝－1或k＝，或k＝1.
故直线方程为y＝－x＋5或y＝x或y＝x＋1.
第3课时　直线方程的两点式和一般式
[核心必知]
直线方程的两点式、截距式和一般式
方程
名称
已知条件
直线方程
示意图
应用范围
两点式
直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
＝
直线l不与坐标轴平行或重合
截距式
直线l在两坐标轴上的截距：横截距a与纵截距b
＋＝1
直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点
一般式
二元一次方程系数A，B，C的值
Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)
平面内任一条直线
[问题思考]
1．方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)能表示过点(x1，y1)和(x2，y2)所有的直线吗？
提示：在方程＝中，不能表示垂直于坐标轴的直线，而在(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)中因为是整式方程，又没有限制条件，所以能表示所有的直线．
2．直线的一般式方程中，A，B不同时为零有哪些情况？能不能用一个代数式表达？
提示：A、B不同时为零的含义有三点：①A≠0且B≠0；②若A＝0则B≠0；③若B＝0则A≠0.以上三种情况可用统一的代数式A2＋B2≠0表示．
?讲一讲
1．三角形的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求这个三角形三边所在直线的方程．
[尝试解答]　直线AB过A(－5,0)，B(3，－3)两点，
由两点式得＝，
整理得3x＋8y＋15＝0，这就是AB所在直线的方程．
直线AC过A(－5,0)，C(0,2)两点，
由两点式得＝，
整理得2x－5y＋10＝0，这就是AC所在直线的方程．
直线BC过B(3，－3)、C(0,2)两点，斜率是k＝＝－.
由点斜式得y－2＝－(x－0)，
整理得5x＋3y－6＝0，这就是BC所在直线的方程．
已知直线上的两点坐标．应验证两点的横坐标不相等，纵坐标也不相等后，再用两点式方程，也可先求出直线的斜率，再利用点斜式求解．若已知直线在x轴，y轴上的截距(都不为0)，用截距式方程最为方便．
?练一练
1．已知直线l经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
解：①若截距为零，则直线l过原点，此时l的方程为2x＋3y＝0；
②若截距不为零，则l的方程可设为＋＝1.
∵l过点(3，－2)，知＋＝1，即a＝1，
∴直线l的方程为x＋y＝1，即为x＋y－1＝0.
综合①②可知直线l的方程为2x＋3y＝0或x＋y－1＝0.
?讲一讲
2．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：
(1)l在x轴上的截距是－3；
(2)l的斜率是－1.
[尝试解答]　(1)由题意可得
由①得：m≠－1且m≠3，
由②得：m＝3或m＝－.∴m＝－.
(2)由题意得
由③得：m≠－1且m≠，由④得：m＝－1或m＝－2.
∴m＝－2.
把直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．
?练一练
2．求过点P(2，－1)，在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且满足a＝3b的直线的一般式方程．
解：若a＝3b≠0，设所求直线的方程为＋＝1，
即＋＝1.
又∵直线过点P(2，－1)，
∴＋＝1，解得b＝－.
故所求直线方程为＋＝1，
即x＋3y＋1＝0.
若a＝3b＝0，则所求直线过原点，可设方程为y＝kx.
∵该直线过点P(2，－1)，
∴－1＝2k，k＝－.
故所求直线方程为y＝－x.
即x＋2y＝0.
综上所述，所求直线的方程为x＋3y＋1＝0或x＋2y＝0.
?讲一讲
3．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
[尝试解答]　(1)证明：法一：将直线l的方程整理为y－＝a，
∴l的斜率为a，且过定点A，，
而点A(，)在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限．
法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.
∵上式对任意的a总成立，必有
即
即l过定点A.以下同法一．
(2)直线OA的斜率为k＝＝3.
要使l不经过第二象限，需它在y轴上的截距不大于零，
即令x＝0时，y＝－≤0，∴a≥3.
即a的取值范围是[3，＋∞)．
含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，一般求定点时，只要将方程化为点斜式即可以求得定点的坐标．在变形后特点如果不明显，可采用法二的解法，即将方程变形，把x，y作为参数的系数，因为此式对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点．
?练一练
3．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，当然相等，此时a＝2，方程为3x＋y＝0.
若a≠2，由l在两坐标轴上的截距相等，有
＝a－2，即a＋1＝1，
∴a＝0，l的方程为x＋y＋2＝0.
综上可知，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2.
∴欲使l不经过第二象限，
当且仅当或
∴a≤－1.
综上可知，a的取值范围是(－∞，－1]．
求经过点A(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和等于12的直线的方程．
[解]　法一：设直线方程为y－4＝k(x＋3)(k≠0)．
当x＝0时，y＝4＋3k，当y＝0时，x＝－－3.
∵3k＋4－－3＝12，
即3k2－11k－4＝0，解得k＝4或k＝－，
∴直线方程为y－4＝4(x＋3)或y－4＝－(x＋3)，
即4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0，
法二：设直线方程为y＝kx＋b.
∵直线经过A(－3,4)，
∴3k－b＋4＝0.①
又∵在两轴上截距和等于12，
∴b＋＝12，②
由①②，解得　或　
∴直线方程为y＝4x＋16或y＝－x＋3，
即4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
[尝试用另外一种方法解题]
法三：设直线方程为＋＝1.
∵直线过点A(－3,4)，
∴＋＝1，
整理得a2－5a－36＝0，
∴a＝9或a＝－4，
∴直线方程为＋＝1或＋＝1，
即x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0.
1．直线2x－y＝8的截距式方程为(　　)
A．y＝2x－8　　　 　　　B.＋＝1
C.＋＝0 D.＋＝1
解析：选D　方程2x－y＝8中，令x＝0，得y＝－8；令y＝0，得x＝4；
即直线2x－y＝8的纵截距为－8，横截距为4，由截距式得方程为＋＝1.
2．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C　因为AC＜0，BC＜0，所以AB＞0，显然B≠0.
将一般式Ax＋By＋C＝0化为斜截式
y＝－x－，所以k＝－＜0，b＝－＞0.
所以直线不通过第三象限．
3．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，那么b＝(　　)
A．2 B．4
C．±2 D．－2
解析：选C　令x＝0，得y＝；
令y＝0，得x＝－b，∴S＝·||·|b|＝1，∴b2＝4，b＝±2.
4．已知直线方程5x＋4y－20＝0，则此直线在x轴上截距为________，在y轴上截距为________．
解析：将方程5x＋4y－20＝0化为截距式为＋＝1，
∴在x轴，y轴上的截距分别为4,5.
答案：4　5
5．已知直线l与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2)，(3,0)，则直线l的方程为________．
解析：由题意知直线l的斜率为k＝＝－，
∴直线方程为y－2＝－(x－0)，即2x＋3y－6＝0.
答案：2x＋3y－6＝0
6．直线l与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l的一般式方程．
解：设直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，
则由已知可得①
当a≥b时，①可化为解得或(舍去)；
当a所以，直线l的截距式方程为＋y＝1或x＋＝1，
化为一般式方程为x＋4y－4＝0或4x＋y－4＝0.
一、选择题
1．直线＋＝1与x、y轴所围成的三角形的周长等于　　(　　)
A．6　　　B．12
C．24 D．60
解析：选B　直线在x轴、y轴上的截距分别为3、4，∴直线所围成的三角形是直角边长分别为3和4的直角三角形，其斜边长为5，故周长为3＋4＋5＝12.
2．直线l：Ax＋By＋C＝0过原点和第二、四象限，则(　　)
A．C＝0，B＞0 B．C＝0，A＞0，B＞0
C．C＝0，AB＞0 D．C＝0，AB＜0
解析：选C　∵直线l过原点和第二、四象限，
∴其截距为零，斜率为负，由Ax＋By＋C＝0可变形为
y＝－x－，∴－＜0，－＝0，即C＝0，AB＞0.
3．两条直线l1：y＝kx＋b，l2：y＝bx＋k(k＞0，b＞0，k≠b)的图像是下图中的(　　)
解析：选C　由k＞0，b＞0可知，直线l1和l2的倾斜角都是锐角，且在y轴上的截距为正，所以A，B，D错误．
4．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足(　　)
A．m≠1 B．m≠－
C．m≠0 D．m≠1且m≠－且m≠0
解析：选A　由得m＝1，依题意只要x、y的系数不同时为0，即m≠1该方程就表示一条直线．
5．经过点A(1,2)，并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选C　①当直线过原点时，两坐标轴上截距均为0，满足条件，方程为y＝2x.
②当直线不过原点时，截距的绝对值相等，则斜率k＝±1，∴直线方程为y－2＝±(x－1)，即x＋y－3＝0和x－y＋1＝0，所以满足条件的直线共3条．
二、填空题
6．若3x1－2y1＝5,3x2－2y2＝5(x1≠x2)，则过A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线的方程为________．
解析：由3x1－2y1＝5，知点A(x1，y1)满足方程3x－2y＝5，即点A在直线3x－2y＝5上，同理点B也在直线3x－2y＝5上，又过点A，B的直线有且只有一条，
所以直线l的方程为3x－2y＝5，
即3x－2y－5＝0.
答案：3x－2y－5＝0
7．直线(m－3)x－2y＋m＋2＝0过第一、二、四象限，则m的取值范围是________．
解析：将方程变为y＝x＋，∵直线过一、二、四象限．
∴＜0且＞0，即－2＜m＜3.
答案：(－2,3)
8．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则m的值为________．
解析：由2m2－5m＋2＝m2－4，∴m＝2或3.
而m＝2时，2m2－5m＋2＝m2－4同时为零，不合题意，应舍去，
∴m＝3.
答案：3
三、解答题
9．已知直线l1为－＝1，求过点(1,2)并且纵截距与直线l1的纵截距相等的直线l的方程．
解：∵l1的方程可化为＋＝1，
∴直线l1的纵截距为－.
设直线l的方程为＋＝1，即－＝1.
并且直线l过点(1,2)，所以－＝1，解得a＝.
因此直线l的方程为－＝1，即7x－2y－3＝0.
10．直线过点P且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6.
若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由．
解：假设存在这样的直线，设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)．
由△AOB的周长为12，知a＋b＋＝12.①
又∵过点P
∴＋＝1.②
由△AOB的面积为6知ab＝12.③
由①②③解得a＝4，b＝3.
则所求直线的方程为＋＝1.即3x＋4y－12＝0.
第4课时　两条直线的位置关系
[核心必知]
1．两直线平行与斜率的关系
(1)对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别是k1，k2，有l1∥l2?k1＝k2.
(2)如果l1，l2的斜率都不存在，并且l1与l2不重合，那么它们都与x轴垂直，故l1∥l2.
2．两直线垂直与斜率的关系
(1)如果直线l1，l2的斜率都存在，并且分别为k1，k2，那么l1⊥l2?k1·k2＝－1.
(2)如果两直线l1，l2中的一条斜率不存在，另一个是零，那么l1与l2的位置关系是l1⊥l2.
[问题思考]
1．l1∥l2?k1＝k2成立的前提条件是什么？
提示：(1)两条直线的斜率存在，分别为k1，k2；(2)l1与l2不重合．
2．若两条直线平行，斜率一定相等吗？
提示：不一定．只有在两条直线的斜率都存在时，斜率相等．若两条直线都垂直于x轴，它们平行，但斜率不存在．
3．若两条直线垂直，它们斜率之积一定为－1吗？
提示：不一定．两条直线垂直，只有在斜率都存在时，斜率之积才为－1.若其中一条直线斜率为0，而另一条直线斜率不存在，两直线垂直，但斜率之积不是－1.
?讲一讲
1．根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行或垂直．
(1)直线l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，直线l2经过C(3，－2)，D(8，－7)；
(2)直线l1平行于y轴，直线l2经过P(0，－2)，Q(0，5)；
(3)直线l1经过E(0,1)，F(－2，－1)，直线l2经过G(3，4)，H(2,3)；
(4)直线l1：5x＋3y＝6，直线l2：3x－5y＝5；
(5)直线l1：x＝3，直线l2：y＝1.
[尝试解答]　(1)直线l1的斜率k1＝＝－，
直线l2的斜率k2＝＝－1，
显然k1≠k2，直线l1与l2不平行；
∵k1·k1≠－1，∴l1与l2不垂直．
(2)直线l2的斜率不存在，就是y轴，所以直线l1与l2平行；
(3)直线l1的斜率k1＝＝1，
直线l2的斜率k2＝＝1，所以k1＝k2，而kGE＝＝1，
所以E，F，G，H四点共线，直线l1与l2重合．
(4)k1＝－，k2＝，k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.
(5)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，∴l1⊥l2.
(1)判断两直线的平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即先看直线上任意两点的横坐标是否相等．若两点的横坐标相等，则直线与x轴垂直，可根据平面几何知识直接证明．
(2)在两直线斜率都存在且相等的情况下，应注意两直线是否重合．
(3)判定两直线的垂直，可借助直线的斜率关系即k1·k2＝－1来解决，使几何问题代数化．在利用斜率关系时，注意斜率为0和不存在的特殊情况．
?练一练
1．判断下列直线的位置关系．
(1)已知两条直线l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；
(2)已知两条直线l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0.
解：(1)直线l1化为斜截式为y＝－x＋，
直线l2化为斜截式为y＝－x－，
由此可知l1的斜率为k1＝－，在y轴上的截距为b1＝，l2的斜率为k2＝－，在y轴上的截距为b2＝－.
因为k1＝k2＝－，b1＝≠－＝b2，所以l1∥l2.
(2)由直线l1的方程，知l1的斜率为k1＝；
由直线l2的方程，知l2的斜率为k2＝－2.
显然，k1k2＝×(－2)＝－1，所以l1⊥l2.
?讲一讲
2．已知直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，
l2：2x＋4(m－3)y－1＝0，如果l1∥l2，求m的值．
[尝试解答]　(1)当m＝0时，l1：x＋2＝0，
l2：2x－12y－1＝0，显然l1与l2不平行．
(2)当m＝3时，l1：5x＋4＝0，l2：2x－1＝0，l1与l2的斜率均不存在，
∴l1∥l2.
(3)当m≠0且m≠3时，
l1：y＝－x－，
l2：y＝－x＋.
∵l1∥l2，
∴－＝－.
解得m＝－4，此时l1：y＝x－，l2：y＝x－，
l1与l2平行但不重合．
综上所述：m＝3或m＝－4.
在应用两条直线平行或垂直求直线方程中的参数时，若能直观判断两条直线的斜率存在，则可直接利用平行或垂直时斜率满足的条件列式求参数；若不能明确两条直线的斜率是否存在，运用斜率解题时要分情况讨论．
?练一练
2．已知直线：l1：ax－y＋2a＝0与l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，求a的值．
解：(1)当a≠0时，l1的斜率k1＝a，l2的斜率k2＝－.
∵l1⊥l2，∴a·(－)＝－1，即a＝1.
(2)当a＝0时，直线l1的斜率为0，l2的斜率不存在，两直线垂直．
综上所述，a＝0或a＝1为所求．
?讲一讲
3．已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：
(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
[尝试解答]　(1)法一：利用直线方程的点斜式求解．
由l：3x＋4y－20＝0，得kl＝－.
设过点A且平行于l的直线为l1，
则kl1＝kl＝－，所以l1的方程为y－2＝－(x－2)，
即3x＋4y－14＝0.
法二：利用直线系方程求解．设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0.
由点A(2,2)在直线l1上，得
3×2＋4×2＋m＝0，解得m＝－14.
故直线l1的方程为3x＋4y－14＝0.
(2)法一：设过点A与l垂直的直线为l2.
因为klkl2＝－1，所以kl2＝，
故直线l2的方程为y－2＝(x－2)，即4x－3y－2＝0.
法二：设l2的方程为4x－3y＋m＝0.
因为l2经过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋m＝0，解得m＝－2.故l2的方程为4x－3y－2＝0.
1．求经过点A(x0，y0)与直线l：Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程，当l的斜率存在(求垂直直线时，要求斜率不为零)时，可利用直线方程的点斜式求直线方程，也可利用待定系数法根据直线系方程求直线方程．
2．常见直线方程设法
(1)所有与Ax＋By＋C1＝0平行的直线，均可表示为Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)的形式；
(2)所有与Ax＋By＋C1＝0垂直的直线，均可表示为Bx－Ay＋C2＝0的形式．
?练一练
3．已知直线l的方程为3x－2y－12＝0，求直线l′的方程，l′满足
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
(2)过点(－1,3)，且与l垂直．
解：(1)由l′与l平行，可设l′方程为3x－2y＋m＝0.
将点(－1,3)代入上式，得m＝9.
∴所求直线方程为3x－2y＋9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设其方程为2x＋3y＋n＝0.
将(－1,3)代入上式，得n＝－7.
∴所求直线方程为2x＋3y－7＝0.
已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
[错解]　由斜率公式
kAB＝＝，
kCD＝＝.
∵AB⊥CD，∴kAB·kCD＝－1，
即·＝－1，
解得m＝1，∴m的值为1.
[错因]　两直线垂直?k1k2＝－1的前提条件是k1、k2均存在且不为零，本题出错的原因正是忽视了前提条件，这类问题的解决方式应分斜率存在和不存在两种情况讨论．
[正解]　∵A、B两点纵坐标不等，
∴AB与x轴不平行．
∵AB⊥CD，
∴CD与x轴不垂直，－m≠3，m≠－3.
①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，
解得m＝－1.而m＝－1时C、D纵坐标均为－1，
∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．
②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式
kAB＝＝，
kCD＝＝.
∵AB⊥CD，
∴kAB·kCD＝－1，
即·＝－1，解得m＝1，
综上m的值为1或－1.
1．已知A(0，－4)，B(5，－4)，则直线AB与直线x＝0的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．重合 D．非以上情况
解析：选B　∵kAB＝＝0，∴AB与x轴平行，又直线x＝0，即y轴，∴AB⊥y轴．
2．直线l1过A(－1,0)和B(1,2)，l2与l1垂直且l2过点C(1,0)和D(a,1)，则a的值为(　　)
A．2 B．1 C．0 D．－1
解析：选C　直线l1的斜率k1＝＝1，
∵l1⊥l2，∴l2斜率存在，l2的斜率k2＝＝，
由l1⊥l2，得k1k2＝－1，即1×＝－1，解得a＝0.
3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：选A　由平行关系，可设所求直线的方程为x－2y＋C＝0，将点(1,0)的坐标代入，可得C＝－1，∴所求的直线方程为x－2y－1＝0.
4．与直线3x－2y＋1＝0垂直，且过点(1,2)的直线l的方程是________．
解析：设与3x－2y＋1＝0垂直的直线方程为2x＋3y＋b＝0，将(1,2)代入方程，得b＝－8，
∴直线l的方程为2x＋3y－8＝0.
答案：2x＋3y－8＝0
5．直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0，若l1∥l2，则a＝________.
解析：a＝－1时，两条直线不平行．
a≠－1时，由l1∥l2，得－＝－，
即a2＋a－6＝0，∴a＝2或a＝－3，
经检验，a＝2和a＝－3时两直线不重合．
∴a的值为2或－3.
答案：2或－3
6．求与直线3x＋4y＋1＝0平行，且在两坐标轴上截距之和为的直线l的方程．
解：法一：设直线l的方程为3x＋4y＋m＝0，
令x＝0，得y轴上截距b＝－，
令y＝0，得x轴上截距a＝－，
所以－＋(－)＝.解得m＝－4.
所以所求直线l的方程为3x＋4y－4＝0.
法二：设直线l的方程为＋＝1，
所以解得
所以所求直线方程为＋＝1，即3x＋4y－4＝0.
一、选择题
1．已知直线l1过A(2,3)和B(－2,6)，直线l2过点C(6,6)和D(10,3)．则l1与l2的位置关系为(　　)
A．l1⊥l2　　　　　　　　B．l1与l2重合
C．l1∥l2 D．非以上答案
解析：选C　由斜率公式kAB＝＝－，kCD＝＝－.
∵kAB＝kCD，由已知可知，直线AB与CD不重合．∴l1∥l2.
2．已知直线x＋my＋1＝0与直线m2x－2y－1＝0互相垂直，则实数m为(　　)
A. B．0或2
C．2 D．0或
解析：选B　当m＝0时，有两直线垂直；
当m≠0时，(－)·()＝－1，∴m＝2.
∴m＝0或m＝2.
3．顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点所组成的图形是(　　)
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对
解析：选B　kAB＝，kBC＝－，kCD＝，kAD＝－3.
∵kAB＝kCD，kBC≠kAD，∴AB∥CD，BC不平行于AD.
∴四边形是以BC、AD为腰的梯形．
又kAB·kAD＝×(－3)＝－1，∴AB⊥AD.
∴四边形是直角梯形．
4．已知两直线l1：mx＋4y－2＝0与l2：2x－5y＋n＝0互相垂直且垂足为(1，p)，则m－n＋p的值为(　　)
A．24 B．20
C．0 D．－8
解析：选B　由两直线垂直得2m－20＝0，即m＝10.
又点(1，p)在l1上，∴10＋4p－2＝0.∴p＝－2.
∵点(1，p)在l2上，∴2－5×(－2)＋n＝0.∴n＝－12.
∴m－n＋p＝20.
5．已知A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为(　　)
A．1 B．0
C．0或2 D．0或1
解析：选D　若AB与x轴垂直则m＝2m，∴m＝0.
m＝0时，A(0,3)，B(0,4)，C(1,2)，D(1,0)，
CD也与x轴垂直，∴AB∥CD.
若AB与x轴不垂直，由AB∥CD知直线AB、CD的斜率都存在，由斜率公式
kAB＝＝.kCD＝＝，
由kAB＝kCD，得＝，∴m＝1.
当m＝1时，kAB＝kCD＝2≠kBD＝5，
∴AB与CD不共线，∴AB∥CD，
∴m的值为0或1.
二、填空题
6．若方程(6a2－a－2)x＋(3a2－5a＋2)y＋a－1＝0表示平行于x轴的直线，则a的值是________．
解析：∵直线平行于x轴，∴a＝－.
答案：－
7．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是__________．
解析：直线MN的方程是y＋1＝2x，
由得所以N点的坐标是(2,3)．
答案：(2,3)
8．和直线x＋3y＋1＝0垂直，且在x轴上的截距为2的直线方程为________．
解析：∵所求直线与直线x＋3y＋1＝0垂直，
∴k1·k2＝－1，而k1＝－，∴所求直线的斜率k2＝3.
又在x轴上的截距为2，说明过点(2,0)，
∴y－0＝3(x－2)，即3x－y－6＝0.
答案：3x－y－6＝0
三、解答题
9．已知三点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)，C(2n＋1，3n－2)，若直线AB的倾斜角为45°，且直线AC与AB垂直，求A、B、C的坐标．
解：∵AB的倾斜角为45°，
∴kAB＝＝1，即m2＋3m＋2＝0.
解得m＝－1或m＝－2，
当m＝－1时，A(3，－2)，B(3，－2)，A、B重合，
∴m≠－1，当m＝－2时，A(6,1)，B(1，－4)．
由AC⊥AB，得kAC＝－1，
即＝－1，解得n＝，∴C，
A、B、C三点坐标分别为A(6,1)、B(1，－4)、C.
10．在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR的形状，并给出证明．
解：四边形OPQR是矩形．OP边所在直线的斜率kOP＝t，
QR边所在直线的斜率kQR＝＝t，
OR边所在直线的斜率kOR＝－，
PQ边所在直线的斜率kPQ＝＝－.
∵kOP＝kQR，kOR＝kPQ，∴OP∥QR，OR∥PQ，
∴四边形OPQR是平行四边形．
又kQR·kOR＝t×(－)＝－1，
∴QR⊥OR，∴四边形OPQR是矩形．
第5课时　两条直线的交点
[核心必知]
已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.如果l1与l2相交且交点为P(x0，y0)，则P点的坐标应满足方程组.
如果P点的坐标是方程组的唯一解，则P点是直线l1与l2的交点．因此，两条直线是否有交点，就要看方程组是否有解，当方程组有无穷多个解时，说明直线l1与l2重合，当方程组无解时，说明l1与l2平行．
[问题思考]
1．已知平面上A、B、C三点的坐标，能否用解方程组的办法来解决三点是否共线的问题？
提示：能．联立直线AB、BC的方程，若方程组有唯一解，则A、B、C三点不共线；若方程组有无数个解，则A、B、C三点共线．
2．如何判断直线与直线、直线与其它图像的交点个数？
提示：法一：列出方程组，看有几组解，有几组解就有几个交点．当方程组易解时此法才有效．
法二：当列出的方程组不易解时，可分别画出图像，用“数形结合”法判断，此法往往能出奇致胜．
　
?讲一讲
1．判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标．
(1)l1：2x＋3y－7＝0，l2：5x－y－9＝0；
(2)l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0；
(3)l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0.
[尝试解答]　(1)解方程组得
所以交点坐标为(2,1)，
所以l1与l2相交．
(2)解方程组
①×2得4x－6y＋10＝0.
因此①和②可以化成同一方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．
(3)解方程组
①×2－②，得－1＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.
根据解的个数判断两直线的位置关系，在解方程时，要先观察方程系数，解出方程组解的个数，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数多个解，则两直线重合．也可根据直线的斜率和截距的关系判断直线的位置关系．
?练一练
1．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标：
(1)
(2)
(3)
解：(1)解方程组得该方程组有唯一解
所以两直线相交，且交点坐标为.
(2)解方程组
②×6得2x－6y＋3＝0，
因此①和②可以化成同一个方程，即方程组有无数组解，所以两直线重合．
(3)解方程组
②×6－①得3＝0，矛盾，
方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行．
?讲一讲
2．求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．
[尝试解答]　法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；
令m＝1，得x＋4y＋10＝0.
解方程组
得两直线的交点为(2，－3)．
将点(2，－3)代入已知直线方程左边，
得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝4m－2－3m－9－m＋11＝0.
这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．
法二：将已知方程以m为未知数，
整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.
由于m取值的任意性，有解得x＝2，y＝－3.
所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点(2，－3)．
求直线过定点的方法：
(1)特殊值法，令参数为两个特殊值，取出两条直线求交点，再将交点代入原方程，证明交点满足原方程即可．
(2)将直线方程变形为：f(x，y)＋kg(x，y)＝0
由求出定点．
?练一练
2．求证：无论m取何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都恒过一个定点．
证明：法一：取m＝1，直线为y＝－4；再取m＝， 直线为x＝9.两直线的交点为P(9，－4)．
将点P的坐标代入原方程左端得
(m－1)x＋(2m－1)y＝(m－1)×9－(2m－1)×4＝m－5.
故不论m为何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即此直线过定点(9，－4)．
法二：把原方程写成(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，
此方程对任意实数m都成立，
则必有解得
∴m为任何实数时，此直线恒过定点P(9，－4)．
?讲一讲
3．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．
[尝试解答]　法一：由方程组
解得即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．
∵直线过坐标原点，所以其斜率k＝＝－1，
直线方程为y＝－x，一般式为x＋y＝0.
法二：∵l2不过原点，
∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，
即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0，
将原点坐标(0,0)代入上式解得λ＝1，
∴l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.
解决此类问题常有两种方法：
一是常规法，即由题目已知条件求出交点及直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，不使用任何技巧，不过此法有时候较为繁琐；二是利用直线系方程，过两条相交直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，这里λ∈R，此直线系不包括A2x＋B2y＋C2＝0，这种方法可以避免解方程组求交点．
?练一练
3．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x－3y＋10＝0的交点，且与直线l3：6x＋4y－7＝0垂直的直线l的方程．
解：由题意联立两直线方程，得解得
即交点坐标为(－2,2)．
因为l3的斜率为－，且l⊥l3，
所以直线l的斜率为，
由点斜式可知l的方程为y－2＝(x＋2)，即2x－3y＋10＝0.
试求三条直线ax＋y＋1＝0，x＋ay＋1＝0，x＋y＋a＝0构成三角形的条件．
[解]　法一：任两条直线都相交，则
≠，≠，故a≠±1.
且三条直线不共点，
故的交点(－1－a,1)不在ax＋y＋1＝0上，
即a(－1－a)＋1＋1≠0?a2＋a－2≠0?(a＋2)(a－1)≠0，
∴a≠－2且a≠1.
综上所述，此三条直线构成三角形的条件是a≠±1，a≠－2.
[尝试用另外一种方法解题]
法二：∵三条直线能构成三角形，
∴三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点．
若l1、l2、l3交于一点，则l1：x＋y＋a＝0与l2：x＋ay＋1＝0的交点P(－a－1,1)在l3：ax＋y＋1＝0上，
∴a(－a－1)＋1＋1＝0.
∴a＝1或a＝－2.
若l1∥l2，则有－＝－1，a＝1.
若l1∥l3，则有－a＝－1，a＝1.
若l2∥l3，则有－＝－a，a＝±1.
∴l1、l2、l3构成三角形时a≠±1，a≠－2.
1．两条直线x＋y－a＝0与x－y－2＝0相交于第一象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．－2＜a＜2　　　　　　　B．a＜－2
C．a＞2 D．a＜－2或a＞2
解析：选C　联立方程，得解得
由交点在第一象限，得解得a＞2.
2．若三直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于(　　)
A．－2 B．－
C．2 D.
解析：选B　由解得
代入x＋ky＝0，得k＝－.
3．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是(　　)
A．2x＋y－8＝0
B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0
D．2x－y＋8＝0
解析：选A　由得交点P(1,6)，所求直线斜率k＝－2，
∴由点斜式得y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.
4．经过直线l1：x－y＋3＝0和l2：x－2y＋5＝0的交点，并且经过点(1，－1)的直线的一般式方程是________．
解析：由方程组得两直线的交点为(－1,2)，
其直线斜率为k＝＝－，直线方程为y＋1＝－(x－1)，
其一般式为3x＋2y－1＝0.
答案：3x＋2y－1＝0
5．斜率为－2，且与直线2x－y＋4＝0的交点在y轴上的直线方程为________．
解析：∵直线2x－y＋4＝0与y轴的交点为(0,4)．
又直线的斜率为－2，∴所求直线方程为y－4＝－2(x－0)
即2x＋y－4＝0.
答案：2x＋y－4＝0
6．已知直线l1：x－2y＋4＝0，l2：x＋y－2＝0，设其交点为点P.
(1)求交点P的坐标；
(2)设直线l3：3x－4y＋5＝0，分别求过点P且与直线l3平行及垂直的直线方程．
解：(1)∵直线l1：x－2y＋4＝0与直线l2：x＋y－2＝0的交点为P，
由得∴P(0,2)．
(2)∵l3：3x－4y＋5＝0，
设与l3平行的直线方程为3x－4y＋c＝0(c≠5)，
将P(0,2)代入得c＝8，
∴过点P(0,2)且与l3平行的直线方程是3x－4y＋8＝0.
设与l3垂直的直线方程为4x＋3y＋c＝0，
将P(0,2)代入得c＝－6，
∴过点P(0,2)且与l3垂直的直线方程是4x＋3y－6＝0.
一、选择题
1．直线3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　　　　　　B．重合
C．相交 D．不确定
解析：选C　∵k1＝，k2＝－，∴k1≠k2.∴两直线相交．
2．直线l过直线3x－y＝2和x＋y＝6的交点，且过点(－3，－1)，则直线l的方程为(　　)
A．2x－y＋5＝0 B．x＋y＋4＝0
C．x－y＋2＝0 D．3x－y－2＝0
解析：选C　由得直线3x－y＝2和x＋y＝6的交点为(2,4)，
∵直线l过点(2,4)和(－3，－1)两点，∴直线l的方程为＝，即x－y＋2＝0.
3．直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0(k∈R)所经过的定点为(　　)
A．(2,3) B．(5,2)
C. D．(5,9)
解析：选A　将原方程变为k(2x－y－1)－x－3y＋11＝0，令得∴定点为(2,3)．
4．已知点P(－1,0)，Q(1,0)，直线y＝－2x＋b与线段PQ相交，则b的取值范围是(　　)
A．[－2,2] B．[－1,1]
C. D．[0,2]
解析：选A　直线PQ的方程为y＝0，
由得交点，由－1≤≤1，得－2≤b≤2.
5．使三条直线4x＋y＝4，mx＋y＝0,2x－3my＝4不能围成三角形的m值最多有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选D　要使三条直线不能围成三角形，只需其中两条直线平行或三条直线共点．
若4x＋y＝4与mx＋y＝0平行，则m＝4；
若4x＋y＝4与2x－3my＝4平行，则m＝－；
若mx＋y＝0与2x－3my＝4平行，则m不存在；
若4x＋y＝4与mx＋y＝0及2x－3my＝4共点，
则m＝－1或m＝.
二、填空题
6．已知直线ax＋4y－2＝0和2x－5y＋b＝0垂直且都过点A(1，m)，则a＝__________，b＝________，m＝________.
解析：已知两直线方程可化为l1：y＝－x＋，l2：y＝x＋.
∵两直线垂直，∴－·＝－1，∴a＝10，
即直线l1方程为10x＋4y－2＝0.
又点A(1，m)在直线l1上，∴10×1＋4m－2＝0，
∴m＝－2，即A(1，－2)．
又点A在直线l2上，∴2×1－5×(－2)＋b＝0，∴b＝－12.
答案：10　－12　－2
7．若三条直线x－2y＋1＝0，x＋3y－1＝0，ax＋2y－3＝0共有两个不同的交点，则a＝________.
解析：因为直线x－2y＋1＝0与x＋3y－1＝0相交于一点，要使三条直线共有两个不同交点，只需ax＋2y－3＝0与以上两条直线中的一条平行即可，当ax＋2y－3＝0与x－2y＋1＝0平行时，有－＝，解得a＝－1；
当ax＋2y－3＝0与x＋3y－1＝0平行时，
有－＝－，解得a＝.
答案：或－1
8．在△ABC中，已知B(2,1)，AC边所在直线的方程为2x－y＋5＝0，直线3x－2y＋1＝0是BC边的高线，则点C的坐标为________．
解析：设BC的方程为2x＋3y＋m＝0，将点B的坐标代入，可得m＝－7，∴BC的方程为2x＋3y－7＝0.
解方程组得C(－1,3)．
答案：(－1,3)
三、解答题
9．求经过直线l1：x－y＋1＝0与l2：x＋2y－5＝0的交点且与直线l3：4x＋y＋1＝0平行的直线l的方程．
解：联立解得
即直线l1与直线l2的交点为(1,2)．
∵l∥l3，
∴l3的方程可设为4x＋y＋b＝0.
将(1,2)代入，得b＝－6.
∴直线l的方程为4x＋y－6＝0.
10．已知点A是x轴上的动点，一条直线过点M(2,3)且垂直于MA，交y轴于点B，过A，B分别作x，y轴的垂线交于点P，求点P(x，y)满足的关系式．
解：如图所示，
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，P点坐标为(x，y)，
∴A点坐标为(x,0)，B点坐标为(0，y)，
由题意可知MA⊥MB，当x≠2时，
kMA·kMB＝－1，
即·＝－1(x≠2)，化简得2x＋3y－13＝0.
当x＝2时，点P与M重合，点P(2,3)的坐标也满足方程
2x＋3y－13＝0.
∴点P(x，y)满足的关系式为2x＋3y－13＝0.
第6课时　平面直角坐标系中的距离公式
[核心必知]
1．两点间的距离公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点A，B的距离公式|AB|＝.
2．点到直线的距离公式
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离记为d，则d＝.
3．两条平行线间的距离
两平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(A、B不同时为0，C1≠C2)间的距离为.
[问题思考]
1．当P1，P2的连线与坐标轴垂直时，两点间的距离公式是否适用？
提示：适用．当P1P2⊥x轴时，x1＝x2，
故|P1P2|＝＝|y2－y1|；
当P1P2⊥y轴时，y1＝y2，故|P1P2|＝＝|x2－x1|.
2．点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0或P在直线l上的特殊情况是否还适用？
提示：仍然适用．
①当A＝0时，B≠0，直线l的方程为By＋C＝0，
即y＝－，d＝|y0＋|＝，适合公式；
②当B＝0时，A≠0，直线l的方程为Ax＋C＝0，x＝－，
d＝|x0＋|＝，适合公式；
③当P点在直线l上时，有Ax0＋By0＋C＝0，
d＝＝0，适合公式．

?讲一讲
1．在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P到两点A(1，－1)，B(2,0)的距离相等．
[尝试解答]　法一：设P点坐标为(x，y)，
由P在l上和P到A，B距离相等建立方程组
解得
∴P点坐标为(0,1)．
法二：设P(x，y)，两点A(1，－1)，B(2,0)连线所得线段的中垂线方程为x＋y－1＝0.①
又3x－y＋1＝0，②
解由①、②组成的方程组得
所以所求的点为P(0,1)．
使用两点间距离公式要注意结构特点，公式与两点的先后顺序无关，使用于任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，但对于特殊情况结合图形求解会更便捷．
?练一练
1．已知点A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)，
(1)试判断△ABC的形状；
(2)求AB边上的中线CM的长．
解：(1)|AB|＝＝，
|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
∵|AB|＝|AC|≠|BC|，
∴△ABC为等腰三角形．
(2)M，|CM|＝ ＝.
　
?讲一讲
2．求点P(1,2)到下列直线的距离：
(1)l1：y＝x－3；
(2)l2：y＝－1；
(3)y轴．
[尝试解答]　(1)将直线方程化为一般式为x－y－3＝0，
由点到直线的距离公式得d1＝＝2.
(2)法一：直线方程化为一般式为y＋1＝0，
由点到直线的距离公式得d2＝＝3.
法二：如图，∵y＝－1平行于x轴，
∴d2＝|－1－2|＝3.
(3)法一：y轴的方程为x＝0，
由点到直线的距离公式得
d3＝＝1.
法二：如图可知，d3＝|1－0|＝1.
求点到直线的距离，要注意公式的条件，要先将直线方程化为一般式．对于特殊直线可采用数形结合的思想方法求解．
?练一练
2．P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，求P点的坐标．
解：设点P的坐标为(x0，y0)，
由题意得
解得x0＝2，y0＝－1或x0＝1，y0＝2.
所以点P的坐标为(2，－1)或(1,2).
　
?讲一讲
3．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.
[尝试解答]　以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．
因为斜边BC的中点为M，
所以点M的坐标为，
即，.
由两点间距离公式得
|BC|＝＝，
|AM|＝ ＝ ，
所以|AM|＝|BC|.
1．坐标法又称为解析法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点，用方程代替曲线，用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．
2．坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步：进行有关代数运算；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．
3．建系原则：
(1)使尽可能多的点在坐标轴上；
(2)充分利用图形的对称性．
?练一练
3．证明三角形中位线的长度等于底边长度的一半．
证明：如图所示，
△ABC中，D，E分别为边AC和BC的中点，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，则|AB|＝c.
又由中点坐标公式，可得D，E，
所以|DE|＝＝，所以|DE|＝|AB|，
即三角形中位线的长度等于底边长度的一半．
?讲一讲
4．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线所在直线的方程．
[尝试解答]　
如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
解得∴A的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.
若本例已知条件不变，结论改为“求反射点Q的坐标”．
解：由例题解析知，反射光线所在直线方程为y＝3.
由方程组解得∴反射点Q的坐标为.　　　　
光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题，而解决这类问题的方法是设对称点坐标，由“垂直”和“平分”列方程解得．
?练一练
4．已知点M(3,5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．
解：如图，设M关于l的对称点M1(a，b)，
则由
得∴M1的坐标(5,1)，
同理可得M关于y轴对称点M2(－3,5)，
由两点式可得直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0，
设M1M2与l和y轴交点分别为P、Q，
则由平面几何知识可知，此时P，Q即为满足条件的点，
方程x＋2y－7＝0中，令x＝0，得y＝，∴Q，
由方程组得∴P，
∴当P，Q时，△MPQ周长最小．
求经过点A(1,2)且到原点的距离等于1的直线方程．
[错解]　∵所求直线过点A(1,2)，
∴可设直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.
∵原点到此直线的距离为1，
∴＝1，解得k＝，
∴所求直线方程为y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0.
[错因]　本题出错的根本原因在于思维不严密，当用待定系数法确定直线斜率时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论，否则容易犯解析不全的错误．
[正解]　①当直线过点A(1,2)且垂直于x轴时，直线方程为x＝1，原点(0,0)到直线的距离等于1，所以满足题意．
②当直线过点A(1,2)且与x轴不垂直时，由题意可设直线方程为y－2＝k(x－1)，
即kx－y－k＋2＝0，
又由原点到此直线距离等于1，
所以＝1，解得k＝，
所以直线方程为y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0.
综上所述，所求直线方程为x＝1或3x－4y＋5＝0.
1．已知A(2,1)，B(－1，b)，|AB|＝5，则b等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．－3 B．5
C．－3或5 D．－1或－3
解析：选C　|AB|＝＝5，解得b＝－3或b＝5.
2．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值等于(　　)
A. B．2－
C.－1 D.＋1
解析：选C　由点到直线的距离公式得＝＝1?|a＋1|＝.因为a＞0，所以a＋1＝，即a＝－1.
3．光线从点A(－3,5)出发，经x轴反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的路程为(　　)
A．5 B．2
C．5 D．10
解析：选C　点A(－3,5)关于x轴的对称点的坐标为A′(－3，－5)，光线从A到B的路程即|A′B|，
|A′B|＝＝5.
4．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．
解析：直线6x＋8y＋6＝0可变为3x＋4y＋3＝0，由此可知两条直线平行．它们的距离d＝＝3，|PQ|最小值为d＝3.
答案：3
5．过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为________．
解析：如图，只有当直线l与OA垂直时，原点到l的距离最大，此时kOA＝，
∴kl＝－2，
∴方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
答案：2x＋y－5＝0
6．已知直线l过点(0，－1)，且点(1，－3)到l的距离为，求直线l的方程，并求出坐标原点到直线l的距离．
解：若直线l的斜率不存在，则l的方程为x＝0，点(1，－3)到l的距离为1，不满足题意，从而可知直线l的斜率一定存在，设为k，则其方程为y＝kx－1.
由点到直线的距离公式，得＝，解得k＝1或k＝.所以直线l的方程为y＝x－1或y＝x－1，
即x－y－1＝0或x－7y－7＝0.
根据点到直线的距离公式可得，坐标原点到直线x－y－1＝0的距离为，到直线x－7y－7＝0的距离为.
一、选择题
1．已知A(－1,1)，B(3，－5)，则线段AB的垂直平分线方程是(　　)
A．3x＋2y－2＝0　　　　　B．2x＋3y＋2＝0
C．3x－2y＋8＝0 D．2x－3y－8＝0
解析：选D　∵kAB＝＝－，∴线段AB的垂直平分线的斜率为.又线段AB的中点坐标为(1，－2)，∴线段AB的垂直平分线的方程为y＋2＝(x－1)，即2x－3y－8＝0.
2．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选D　|OP|的最小值就是原点到直线x＋y－4＝0的距离，d＝＝2.
3．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　)
A．4 B.
C. D.
解析：选D　直线3x＋2y－3＝0可化为6x＋4y－6＝0，与6x＋my＋1＝0平行，所以m＝4，
由两平行线间的距离公式得d＝＝.
4．已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y＝x2的图像上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选A　设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2，
由于△ABC的面积为2，则这个三角形AB边上的高h满足方程×2h＝2，即h＝，
由点到直线的距离公式得＝，
即|t2＋t－2|＝2，即t2＋t－2＝2或t2＋t－2＝－2，这两个方程各自有2个不相等的实数根，故这样的点C有4个．
5．若两条平行直线l1：3x－2y－6＝0，l2：3x－2y＋8＝0，则与l2的距离等于l1与l2间距离的直线方程为(　　)
A．3x－2y＋22＝0 B．3x－2y－10＝0
C．3x－2y－20＝0 D．3x－2y＋24＝0
解析：选A　设所求直线方程为3x－2y＋C＝0，
则
解得C＝－6(舍去)或C＝22，
所以所求直线的方程为3x－2y＋22＝0.
二、填空题
6．经过点P(2,1)且与点Q(1，－2)的距离为的直线方程是________．
解析：设所求直线的斜率为k，则l的方程为y－1＝k(x－2)，
即kx－y－2k＋1＝0.
∵点Q到直线l的距离为，
∴＝，
解得k＝1或k＝－7.
∴直线方程为x－y－1＝0或7x＋y－15＝0.
答案：x－y－1＝0或7x＋y－15＝0
7．动点P在直线x＋y－1＝0上运动，Q(1,1)为定点，当|PQ|最小时，点P的坐标为________．
解析：设P(x,1－x)，由两点间距离公式得|PQ|＝＝＝ ，当x＝时，|PQ|最小．
答案：
8．两条平行线分别过点P(－2，－2)，Q(1,3)，它们之间的距离为d，如果这两条直线各自绕点P，Q旋转并互相保持平行，则d的范围是________．
解析：由图可知，当这两条直线l1，l2与直线PQ垂直时，d达到最大值，此时
d＝|PQ|
＝＝，
∴0＜d≤.
答案：(0，]
三、解答题
9．用坐标法证明：在△ABC中，AO为BC边上的中线，则|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|BO|2)．
证明：如图，以O为坐标原点，BC边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，
则|AB|2＝(b＋a)2＋(c－0)2＝(b＋a)2＋c2，
|AC|2＝(b－a)2＋(c－0)2＝(b－a)2＋c2，
∴|AB|2＋|AC|2＝(b＋a)2＋c2＋(b－a)2＋c2＝2(a2＋b2＋c2)．
又|AO|2＝b2＋c2，|BO|2＝a2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|BO|2)．
10．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．
解：由解得即直线l过点B.
①当l与x轴垂直时，方程为x＝2，
A(－3,1)到l的距离d＝|－3－2|＝5，满足题意．
②当l与x轴不垂直时，设斜率为k，
则l的方程为y＋＝k(x－2)，即kx－y－2k－＝0.
由A到l的距离为5，得＝5，解得k＝，
∴l的方程为x－y－－＝0，即4x－3y－10＝0，
综上，所求直线方程为x＝2或4x－3y－10＝0.
第1课时　圆的标准方程
[核心必知]
1．圆的定义
平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆，定点就是圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程
(1)圆心为(a，b)，半径是r，圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)当圆心在原点时，圆的方程为x2＋y2＝r2.
3．中点坐标
A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为.
[问题思考]
1．若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)，那么圆心坐标是什么？半径呢？
提示：圆心坐标为(－a，－b)，半径为|t|.
2．由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征？
提示：由圆的标准方程可以直接得到圆的圆心坐标和半径．
　
?讲一讲
1．写出下列各圆的标准方程．
(1)圆心在原点，半径为8；
(2)圆心在(2,3)，半径为2；
(3)圆心在(2，－1)且过原点．
[尝试解答]　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(1)∵圆心在原点，半径为8，即a＝0，b＝0，r＝8，
∴圆的方程为x2＋y2＝64.
(2)∵圆心为(2,3)，半径为2，即a＝2，b＝3，r＝2，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4.
(3)∵圆心在(2，－1)且过原点，
∴a＝2，b＝－1，r＝＝.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.
直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标与半径，结合圆的几何性质可简化计算过程．
?练一练
1．求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；
(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；
(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)．
解：(1)由两点间距离公式，得r＝＝，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.
(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．
又|AB|＝＝2，∴半径r＝.
∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，
半径r＝＝，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
　
?讲一讲
2．已知两点P1(3,6)，P2(－1,2)，求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(2,2)，N(5,0)，Q(3,2)在圆上，在圆内，还是在圆外？
[尝试解答]　由已知得圆心坐标为C(1,4)，
圆的半径r＝|P1P2|＝＝2.
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－4)2＝8.
∵(2－1)2＋(2－4)2＝5＜8，
(5－1)2＋(0－4)2＝32＞8，(3－1)2＋(2－4)2＝8，
∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上．
判定点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系，即比较|MC|与r的关系：
若点M在圆C上，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
若点M在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2；
若点M在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
?练一练
2．已知点A(1,2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．
解：∵点A在圆内部，∴(1－a)2＋(2＋a)2＜2a2，
∴2a＋5＜0，∴a＜－，∴a的取值范围是.
?讲一讲
3．求圆心在直线l：2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)和点B(3，－2)的圆的方程．
[尝试解答]　法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则
解得
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法二：∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，
∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上，
线段AB的垂直平分线方程为y＝－(x－4)，
由解得
即圆心C的坐标为(2,1)．
∴r＝|CA|＝＝.
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤：
(1)设出圆的标准方程．
(2)根据条件得关于a，b，r的方程组，并解方程组得a，b，r的值．
(3)代入标准方程，得出结果．
?练一练
3．求圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴都相切的圆的方程．
解：设所求圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵圆与两坐标轴相切，
∴圆心满足a－b＝0或a＋b＝0，
又圆心在直线5x－3y＝8上，∴5a－3b＝8.
解方程组或得或
∴圆心坐标为(4,4)或(1，－1)．
∴可得半径r＝|a|＝4或r＝|a|＝1.
∴所求圆方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求x2＋y2的最大值和最小值．
[巧思]　x2＋y2可以看成圆(x－2)2＋y2＝3上的点到原点的距离的平方．
[妙解]　方程(x－2)2＋y2＝3表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，x2＋y2表示圆上的点到原点距离的平方，由平面几何知识知在原点与圆心连线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值，
又圆心到原点的距离为2，半径为，
故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4.
(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
1．圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＝25　　　　　 　B．x2＋y2＝5
C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25
解析：选C　半径r＝＝5，∴圆的方程是(x－3)2＋(y－4)2＝25.
2．点A(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是(　　)
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1
C．a＜－1或a＞1 D．a＝±1
解析：选A　点A(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部?(1－a)2＋(1＋a)2＜4，解得－1＜a＜1.
3．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
解析：选A　设直径两端点为A(x,0)，B(0，y)，
则圆心(2，－3)为直径中点，
∴即∴A(4,0)，B(0，－6)．
∴r＝|AB|＝×＝.
∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
4．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)的圆心C到直线4x＋3y－12＝0的距离为________．
解析：由圆C的方程知圆心C的坐标为C(2，－1)，再由点到直线的距离公式得：d＝＝.
答案：
5．圆心在y轴上，半径为5，且过坐标原点的圆的标准方程为________．
解析：由题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝25.
则将(0,0)坐标代入，得b2＝25，∴b＝±5.
∴所求圆的方程为x2＋(y＋5)2＝25或x2＋(y－5)2＝25.
答案：x2＋(y＋5)2＝25或x2＋(y－5)2＝25
6．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的方程．
解：(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，
且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.
又因为点T(－1,1)在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋2＝0.
(2)由解得点A的坐标为(0，－2)．
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)．
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又|AM|＝ ＝2.
从而矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
一、选择题
1．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，则P(3,2)(　　)
A．是圆心　　　　　　　　B．在圆C外
C．在圆C内 D．在圆C上
解析：选C　由圆C的方程知圆心C(2,3)，半径r＝2，故排除A.
又∵|PC|＝＝＜2＝r，
∴P在圆C内部．
2．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1关于直线x＋y＝0对称的圆的方程是(　　)
A．(x＋3)2＋(y－4)2＝1
B．(x－4)2＋(y＋3)2＝1
C．(x＋4)2＋(y－3)2＝1
D．(x－3)2＋(y－4)2＝1
解析：选B　对称后，圆的半径不变，只需将圆心关于x＋y＝0的对称点作为圆心即可．
∵已知圆的圆心(3，－4)关于x＋y＝0的对称点(4，－3)为所求圆的圆心，
∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝1.
3．在方程(x－1)2＋(y＋2)2＝m2＋9(m∈R)表示的所有圆中，面积最小的圆的圆心和半径分别是(　　)
A．(－1,2)，3 B．(1，－2)，3
C．(－1,2), D．(1，－2),
解析：选B　当m＝0时，圆的半径最小且为3，这时圆的面积最小，圆心为(1，－2)．
4．方程y＝表示的曲线是(　　)
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半个圆
解析：选D　由y＝，知y≥0，两边平方移项，得x2＋y2＝9.
∴原方程等价于
表示圆心在原点，半径为3的圆的上半部分．
5．设M是圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上的点，则M到3x＋4y－2＝0的最小距离是(　　)
A．9 B．8
C．5 D．2
解析：选D　圆心(5,3)到直线3x＋4y－2＝0的距离
d＝＝＝5，
∴所求的最小距离是5－3＝2.
二、填空题
6．圆心在x轴上，且过点A(5,2)和B(3，－2)的圆的标准方程为____________．
解析：法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
则解得
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
法二：∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，
∴圆心一定在线段AB的中垂线上．
AB中垂线的方程为y＝－(x－4)，
令y＝0，得x＝4.即圆心坐标C(4,0)，
∴r＝|CA|＝ ＝，
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
答案：(x－4)2＋y2＝5
7．已知圆C1的方程(x＋3)2＋(y－2)2＝5，圆C2与圆C1是同心圆且过点A(5,0)，则圆C2的标准方程为__________．
解析：由圆C1的方程知圆心C1(－3,2)，因为C2与C1是同心圆，所以C2的圆心也为(－3,2)．可设C2的方程为
(x＋3)2＋(y－2)2＝r2.又由C2过点A(5,0)，
所以(5＋3)2＋(0－2)2＝r2，r2＝68.
故圆C2的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝68.
答案：(x＋3)2＋(y－2)2＝68
8．设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则的最大值为________．
解析：理解的几何意义，即为动点P(x，y)到定点(1,1)的距离．
因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，
因此表示点(1,1)与该圆上点的距离．
易知点(1,1)在圆x2＋(y＋4)2＝4外，结合图易得的最大值为＋2＝＋2.
答案：＋2
三、解答题
9．已知直线l与圆C相交于点P(1，0)和点Q(0,1)．
(1)求圆心所在的直线方程；
(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．
解：(1)PQ的方程为x＋y－1＝0.
PQ中点M，kPQ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y＝x.
(2)由条件设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝1.
由圆过P，Q点得：
解得或
所以圆C方程为：x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.
10．已知圆C的圆心坐标为C(x0，x0)，且过定点P(4,2)．
(1)求圆C的方程；
(2)当x0为何值时，圆C的面积最小，并求出此时圆C的标准方程．
解：(1)由题意，得圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r≠0)．
∵圆C过定点P(4,2)，∴(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2(r≠0)．
∴r2＝2x－12x0＋20.
∴圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20.
(2)∵(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20＝2(x0－3)2＋2，
∴当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小．
此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.
第2课时　圆的一般方程
[核心必知]
1．圆的一般方程的定义
当D2＋E2－4F＞0时，称二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以为圆心，以为半径的圆．
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点.
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．
[问题思考]
1．方程x2＋y2＋2x－2y＋3＝0是圆的一般方程吗？为什么？
提示：此方程不表示圆的一般方程．
∵D2＋E2－4F＝22＋(－2)2－4×3＝－4＜0.
∴此方程不表示任何图形．
2．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时需要具备什么条件？
提示：需同时具备三个条件：①A＝C≠0；②B＝0；
③D2＋E2－4AF>0.
?讲一讲
1．判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程．
(1)x2＋y2＋2x＋1＝0；
(2)x2＋y2＋2ay－1＝0；
(3)x2＋y2＋20x＋121＝0；
(4)x2＋y2＋2ax＝0.
[尝试解答]　(1)原方程可化为(x＋1)2＋y2＝0，它表示点(－1,0)，不表示圆．
(2)原方程可化为x2＋(y＋a)2＝a2＋1，它表示圆心在(0，－a)，半径为的圆，标准方程为x2＋(y＋a)2＝()2.
(3)原方程可化为：(x＋10)2＋y2＝－21＜0，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆．
(4)原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.
①当a＝0时，方程表示点(－a,0)，不表示圆；
②当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，半径为|a|的圆，标准方程为(x＋a)2＋y2＝a2.
对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆；也可以由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆．
?练一练
1．求下列圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2－x＋y＝0；
(2)x2＋y2＋2ax－2ay＋a2＝0.(a≠0)
解：(1)原方程可化为2＋2＝，
∴圆心坐标为，半径为.
(2)原方程可化为(x＋a)2＋(y－a)2＝a2.
∴圆心坐标为(－a，a)，半径为|a|.
　
?讲一讲
2．已知△ABC三个顶点的坐标为A(1,3)，B(－1，－1)，C(－3，5)，求这个三角形外接圆的方程．
[尝试解答]　法一：设所求圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
∵此圆过A、B、C三点，
∴解得
∴圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
②－①、③－①得解得a＝－2，b＝2.∴r2＝10.
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.
法三：AB的中垂线方程为y－1＝－(x－0)，
BC的中垂线方程为y－2＝(x＋2)，
联立解得圆心坐标为(－2,2)．
设圆半径为r，则r2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10，
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.
法四：由于kAB＝＝2，kAC＝＝－，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，
∴△ABC是以A为直角的直角三角形，
∴外接圆圆心为BC的中点，即(－2,2)，半径r＝|BC|＝，
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.
待定系数法是求圆的一般方程的常用方法，先设出圆的一般方程，再根据条件列出方程组求出未知数D，E，F，当已知条件与圆心和半径都无关时，一般采用设圆的一般方程的方法．
?练一练
2．求过点A(2，－2)，B(5,3)，C(3，－1)的圆的方程．
解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
由题意，得解之得
所以所求圆的方程为x2＋y2＋8x－10y－44＝0.
已知定点A(a,2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，求a的取值范围．
[错解]　∵点A在圆外，
∴a2＋4－2a2－3×2＋a2＋a＞0，∴a＞2.
[错因]　本题错解的根本原因在于没有把握住圆的一般式方程的定义．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，需D2＋E2－4F＞0，所以，本题除了点在圆外的条件以外，还应注意方程表示圆这一隐含条件．
[正解]　∵点A在圆外，
∴
∴
即2＜a＜，∴a的取值范围是.
1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于(　　)
A.π B．2π
C．2π D．4π
解析：选C　圆的方程配方后可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，
∴圆的半径r＝，∴周长＝2πr＝2π.
2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆，则m的范围是　　(　　)
A．0＜m＜1 B．m＞1
C．m＜0 D．m＜1
解析：选D　方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆，
须42＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜1.
3．如果过A(2,1)的直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，则l的方程为(　　)
A．x＋y－3＝0 B．x＋2y－4＝0
C．x－y－1＝0 D．x－2y＝0
解析：选A　由题意知直线l过圆心(1,2)，由两点式可得l的方程为＝，即x＋y－3＝0.
4．以点A(2,0)为圆心，且经过点B(－1,1)的圆的一般方程是______________．
解析：由题知r＝|AB|＝＝，
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10，化成一般方程为：x2＋y2－4x－6＝0.
答案：x2＋y2－4x－6＝0
5．圆x2＋y2－2x－4y－11＝0关于点P(－2,1)对称的圆的方程是________．
解析：由x2＋y2－2x－4y－11＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝16.
圆心(1,2)关于P(－2,1)的对称点为(－5,0)
所求圆的方程为(x＋5)2＋y2＝16.
答案：(x＋5)2＋y2＝16
6．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，求圆C的一般方程．
解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则圆心C在直线2x－y－7＝0上，
∴2×－－7＝0，即D－＋7＝0，①
又∵A(0，－4)，B(0，－2)在圆上，
∴
由①、②、③解得D＝－4，E＝6，F＝8，
∴圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.
一、选择题
1．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　)
A．－2或2　　　　　　　　B.或
C．2或0 D．－2或0
解析：选C　由圆的方程得圆心坐标为(1,2)．再由点到直线的距离公式得＝，解得a＝2或a＝0.
2．已知圆C的半径长为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　)
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
解析：选D　设圆心为(a,0)，且a＞0，则(a,0)到直线3x＋4y＋4＝0的距离为2，即＝2?3a＋4＝±10?a＝2或a＝－(舍去)，则圆的方程为(x－2)2＋(y－0)2＝22，即x2＋y2－4x＝0.
3．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是(　　)
A．2 B．1＋
C．2＋ D．1＋2
解析：选B　圆的方程变为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心为(1,1)，半径为1，圆心到直线的距离d＝＝，
∴所求的最大值为1＋.
4．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m等于(　　)
A．8 B．－4
C．6 D．无法确定
解析：选C　因为圆上两点A，B关于直线x－y＋3＝0对称，所以直线x－y＋3＝0过圆心，从而－＋3＝0，即m＝6.
5．圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，当圆面积最大时，圆心坐标为(　　)
A．(－1,1) B．(1，－1)
C．(－1,0) D．(0，－1)
解析：选D　方程变形为2＋(y＋1)2＝1－k2，
∴r2＝1－k2，当k＝0时，r有最大值．∴圆心坐标为(0，－1)．
二、填空题
6．过点(－，－2)的直线l经过圆x2＋y2－2y＝0的圆心，则直线l的倾斜角大小为________．
解析：由x2＋y2－2y＝0，得x2＋(y－1)2＝1，∴圆心为(0,1)，
∴k＝＝＝.∴直线的倾斜角为60°.
答案：60°
7．若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般方程为________．
解析：依题意A(－4,0)，B(0,3)，∴AB中点C的坐标为，
半径r＝|AC|＝ ＝，
∴圆的方程为(x＋2)2＋2＝2，
即x2＋y2＋4x－3y＝0.
答案：x2＋y2＋4x－3y＝0
8．若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是________．
解析：∵点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0内部，
∴即2a＜2，a＜1.
答案：(－∞，1)
三、解答题
9．若点A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)，D(a,1)共圆，求a的值．
解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C三点坐标代入，整理得方程组
解得D＝－7，E＝－3，F＝2.
∴圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.
又∵点D在圆上，
∴a2＋1－7a－3＋2＝0.∴a＝0或a＝7.
10．求经过A(4,2)、B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．
解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，
∴圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D.
令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，
∴圆在y轴的截距之和为y1＋y2＝－E.
由题设x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2.
∴D＋E＝－2.①
又A(4,2)，B(－1,3)在圆上，∴16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②
1＋9－D＋3E＋F＝0.③
由①②③解得D＝－2，E＝0，F＝－12.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
第3课时　直线与圆的位置关系
[核心必知]
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
[问题思考]
1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2相交时，方程组的解和的几何意义是什么？，呢？
提示：该方程组的解恰好是直线与圆的交点P、Q的坐标，即有P(x1，y1)，Q(x2，y2)，而恰为弦PQ的中点坐标．
2．是否任意直线与圆的位置关系的判定都可以用几何法与代数法这两种方法？
提示：是．几何法与代数法是从不同的方面进行判断的，几何法侧重于“形”，代数法侧重于“数”．
?讲一讲
1．判断下列直线与圆的位置关系，若有公共点求出公共点的坐标．
(1)直线：x＋y＝0，圆：x2＋y2＋2x＋4y－4＝0；
(2)直线：y＝x＋5，圆：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0；
(3)直线x＋y＝3，圆：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0.
[尝试解答]　(1)圆的方程x2＋y2＋2x＋4y－4＝0可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝9，圆心(－1，－2)，半径3.
圆心到直线的距离d＝＝<3，
∴直线与圆有两个公共点．
消去y得x2－x－2＝0，
解得x1＝－1，x2＝2，
∴y1＝1，y2＝－2，∴交点A(－1,1)，B(2，－2)．
(2)圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，圆心(－1,2)，半径，
圆心到直线的距离d＝＝，
∴直线与圆相切，有一个公共点，
消去y得x2＋4x＋4＝0，
∴x＝－2，y＝3，∴切点(－2,3)．
(3)圆的方程化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，
圆心(2，－1)，半径长为1，
圆心到直线的距离d＝＝>1，
∴直线与圆相离．
解决此类问题的关键是搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径的大小，而不用代数法．
?练一练
1．已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？
解：如图，圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离为d＝，圆的半径r＝.
∴当d＝r，|b|＝2，即b＝2或b＝－2时，圆与直线相切．
∵b为直线的截距，数形结合可知，
当－2＜b＜2时，直线与圆相交，
当b＞2或b＜－2时，直线与圆相离.
?讲一讲
2．求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
[尝试解答]　法一：由直线l与圆C的方程，得
消去y得x2－3x＋2＝0.
设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系有x1＋x2＝3，x1·x2＝2，
|AB|＝
＝
＝＝
＝＝.
∴弦AB的长为.
法二：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5.
其圆心坐标为C(0,1)，半径r＝，
点C(0,1)到直线l的距离为d＝＝，
所以半弦长＝＝ ＝.
所以弦长|AB|＝.
1．代数法
(1)将直线与圆的方程联立，解得两交点，然后利用两点间距离公式求弦长．
(2)设直线的斜率为k，直线与圆联立，消去y后所得方程两根为x1，x2，则弦长d＝|x2－x1|.
2．几何法
设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有2＋d2＝r2，故l＝2，即半弦长、弦心距、半径构成直线三角形，数形结合利用勾股定理得到．
?练一练
2．已知关于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，
(1)当m为何值时，方程C表示圆；
(2)若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值．
解：(1)方程C可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m.显然5－m＞0，即m＜5时，方程C表示圆．
(2)圆的方程化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m圆心C(1,2)，半径r＝.
则圆心C(1,2)到直线l：x＋2y－4＝0的距离
d＝＝.
∵|MN|＝，
∴|MN|＝.
根据圆的性质有r2＝d2＋2，
∴5－m＝2＋2，得m＝4.
?讲一讲
3．已知圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－4＝0，求经过点(4，－1)的圆的切线方程．
[尝试解答]　设切线l的斜率为k，则其方程为y＋1＝k(x－4)，
即kx－y－4k－1＝0.圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝9.
圆心为(－1,2)，半径为3.
∵l是圆的切线，
∴＝3，
∴8k2＋15k＝0.
∴k＝0或k＝－，代入kx－y－4k－1＝0并整理，得切线方程为y＝－1或15x＋8y－52＝0.
经过圆内一点的圆的切线不存在；经过圆上一点的圆的切线有一条；经过圆外一点的圆的切线有两条，若只求出一条，则说明另一条切线的斜率不存在，切线为x＝x0的形式．
?练一练
3．若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．
解：①若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)．
因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，
所以＝1，所以k＝.
所以直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0.
②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．
所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.
方程 ＝k(x－2)＋3有两个不等实根，求k的取值范围．
[巧思]　将方程解的个数问题转化为y＝和y＝k(x－2)＋3图像的交点个数问题．
[妙解]　在同一坐标系中，分别作出曲线y＝和y＝k(x－2)＋3.
如图所示，曲线y＝表示圆心在原点，半径为2的上半圆，
y＝k(x－2)＋3表示经过定点P(2,3)，斜率为k的动直线，
易得kPA＝，切线PM的斜率为kPM＝.
当动直线介于直线PM与PA之间时，与半圆有两个交点，
即所给方程 ＝k(x－2)＋3有两个不等实根．
所以实数k的取值范围是.

1．(安徽高考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－1]　　　　　　　B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：选C　欲使直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径即可，即≤，化简得|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
2．直线2x－y－1＝0被圆(x－1)2＋y2＝2所截得的弦长为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　圆心为(1,0)，半径为，
圆心到直线的距离d＝＝，
弦长l＝2＝2＝.
3．(天津高考)已知过点P(2,2) 的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切， 且与直线ax－y＋1＝0垂直， 则a＝(　　)
A．－ B．1
C．2 D.
解析：选C　由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2.
4．圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．
解析：由题意可知，原点到直线x＋y－2＝0的距离为圆的半径，即r＝＝，所以圆的方程为x2＋y2＝2.
答案：x2＋y2＝2
5．(湖南高考)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.
解析：
如图，过点O作OD⊥AB于点D，
则|OD|＝＝1.
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠OBD＝30°，
∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.
答案：2
6．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P(2，－1)，过P点作圆C的切线PA、PB，A、B为切点，求：
(1)PA、PB所在的直线方程；
(2)切线长|PA|.
解：(1)设切线的斜率为k，因为切线过点P(2，－1)，所以切线的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
又圆心C(1,2)，半径r＝，由点到直线的距离公式，得
＝.解得k＝7或k＝－1.故所求切线PA，PB的方程分别是x＋y－1＝0
和7x－y－15＝0.
(2)如图，连接AC，PC，则AC⊥AP.
在Rt△APC中，|AC|＝，
|PC|＝＝，
所以|PA|＝＝＝2.
一、选择题
1．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系是(　　)
A．在圆上　　　　　　　　　B．在圆外
C．在圆内 D．以上都有可能
解析：选B　由于直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则＜1，即a2＋b2＞1，从而可知点P(a，b)在圆x2＋y2＝1的外部．
2．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　)
A．－1或 B．1或3
C．－2或6 D．0或4
解析：选D　圆心C(a,0)到直线x－y＝2的距离d＝，由题意得d2＋()2＝22，解得d＝.
所以＝，解得a＝0或a＝4.
3．(重庆高考)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(　　)
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
解析：选C　易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．
4．(广东高考)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是(　　)
A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0
解析：选A　因为所求直线l(设斜率为k)垂直于直线y＝x＋1，所以k·1＝－1，所以k＝－1，设直线l的方程为y＝－x＋b(b＞0)，即x＋y－b＝0，所以圆心到直线的距离为＝1，所以b＝.
5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．40
解析：选B　圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意，最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为2＝4，所以四边形ABCD的面积为×|AC|×|BD|＝×10×4＝20.
二、填空题
6．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为__________．
解析：由题意得圆心为C(－1,0)．由点到直线的距离公式得圆心C到直线x＋y＋3＝0的距离d＝＝，即圆半径r＝.∴圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
答案：(x＋1)2＋y2＝2
7．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为________．
解析：圆心到直线x－y－1＝0的距离为d＝.
因为圆截直线所得的弦长为2，所以2＋2＝(a－1)2，即(a－1)2＝4，所以a＝3或a＝－1(舍去)．
所以圆心为(3,0)，半径r2＝(a－1)2＝4，
故圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
答案：(x－3)2＋y2＝4
8．经过点P(2，－3)作圆(x＋1)2＋y2＝25的弦AB，使点P为弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为________．
解析：设圆心为C(－1,0)，由题意知：AB⊥CP，
而kCP＝＝－1，从而kAB＝1，
∴弦AB所在的直线方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.
答案：x－y－5＝0
三、解答题
9．自点P(－6,7)发出的光线l射到x轴上点A处，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－8x－6y＋21＝0相切于点Q.求光线l所在直线的方程．
解：如图，作圆x2＋y2－8x－6y＋21＝0关于x轴的对称圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0，
由几何光学原理知，
直线l与圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0相切，
又∵l的斜率必存在，故可设直线l：y－7＝k(x＋6)，即kx－y＋6k＋7＝0.
由d＝＝＝2，得k＝－或k＝－，
故光线l所在直线的方程为3x＋4y－10＝0或4x＋3y＋3＝0.
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4和直线l：kx－y－4k＋3＝0.
(1)求证：不论k取何值，直线和圆总相交；
(2)求k取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长．
解：由题可知圆心为C(3,4)，半径为r＝2.
(1)证明：直线方程可化为k(x－4)＋(3－y)＝0，
∴直线过定点P(4,3)．∵(4－3)2＋(3－4)2＜4.
∴点P在圆C内部．
∴直线kx－y－4k＋3＝0与圆C总相交．
(2)∵直线经过定点P(4,3)，∴当PC与直线垂直时，圆被直线截得的弦最短．
设直线与圆的交点为A，B，则由勾股定理得(|AB|)2＝r2－|CP|2＝4－2＝2.∴AB＝2.
∵PC与直线kx－y－4k＋3＝0垂直，直线PC的斜率为kPC＝＝－1，∴直线kx－y－4k＋3＝0的斜率为k＝1.
∴当k＝1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦长为2.
第4课时　圆与圆的位置关系
[核心必知]
1．圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有相离、外切、相交、内切、内含五种情况．
2．圆与圆位置关系的判定
已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r，
圆心距为d.
两圆C1，C2的位置关系如下：
位置关系
满足条件
图示
两圆相离
d>r1＋r2
两圆外切
d＝r1＋r2
两圆相交
|r1－r2|两圆内切
d＝|r1－r2|
两圆内含
d<|r1－r2|
[问题思考]
1．当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆是否一定相离？只有一组解时，一定外切吗？
提示：不一定．当两圆组成的方程组无解时，两圆无公共点，两圆可能相离也可能内含；只有一组解时，两圆只有一个公共点，两圆相切，可能外切，也可能内切．
2．圆A：x2＋y2－8x＋7＝0和圆B：x2＋y2＋8x＋7＝0的位置关系如何？
提示：外离．圆A，圆心(4,0)，半径3.圆B，圆心(－4,0)，半径3，圆心距大于两半径和．
3．在外离、外切、相交、内切和内含的位置关系下，两圆的公切线条数分别为多少条？
提示：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
公切线条数
4条
3条
2条
1条
0条
?讲一讲
1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．
试求a为何值时两圆C1、C2
(1)相切；(2)相交；(3)相离．
[尝试解答]　对圆C1、C2的方程，经配方后可得：
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a,1)，r1＝4，C2(2a,1)，r2＝1，
∴|C1C2|＝＝a.
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切，
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．
(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．
当|C1C2|＜3，即a＜3时，两圆内含．
判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较繁琐；二是几何法，看两圆圆心距d，若d＝r1＋r2，两圆外切，d＝|r1－r2|时，两圆内切，d＞r1＋r2时，两圆外离，d＜|r1－r2|时，两圆内含，|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，两圆相交．
?练一练
1．判断下列两圆的位置关系，若相交，请求出公共弦长．
x2＋y2＋6x－7＝0和x2＋y2＋6y－27＝0.
解：将圆的一般方程化为标准方程，得(x＋3)2＋y2＝16，x2＋(y＋3)2＝36.
故两圆的半径分别为r1＝4和r2＝6，两圆的圆心距
d＝＝3.
显然，2＜3＜10，即|r1－r2|＜d＜r1＋r2，所以两圆相交．
①－②，得3x－3y＋10＝0.　　　　　　 ③
方程③表示公共弦所在直线的方程．
因为③式是公共弦所在直线的方程，所以第一个圆的圆心(－3,0)到直线的距离为d′＝＝＝.
又半径r1＝4，所以弦长为2＝.
?讲一讲
2．已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
[尝试解答]　(1)将两圆方程配方化为标准方程，
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.
则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5；
圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝.
又|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋.
r1－r2＝5－.
∴r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，∴两圆相交．
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.
(3)法一：两方程联立，得方程组
两式相减得x＝2y－4.　　　　　　　　 ③
把③代入②得y2－2y＝0，
∴y1＝0，y2＝2.
∴或所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．
∴两圆的公共弦长为＝2.
法二：两方程联立，得方程组
两式相减得x－2y＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程．
由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝5.
圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离d＝＝3，
设公共弦长为2l，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45＋l2，解得l＝，所以公共弦长2l＝2.
求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法：
注意：当两圆相切时，公共弦所在直线即为两圆的公切线．
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2．已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2－6x＋2y－40＝0相交，圆C过原点，半径为，圆心在已知两圆圆心连线的垂直平分线上，求圆C的方程．
解：设圆C1与圆C2交于A，B两点，由两圆的方程相减，得x＋3y－10＝0，此方程即为公共弦AB所在的直线方程．
由已知，圆C的圆心C在两圆圆心连线的垂直平分线上，即在直线AB上，设C(a，b)，则a＋3b－10＝0①，又由|CO|＝，得a2＋b2＝10②，
①②联立，解得a＝1，b＝3.
所以，圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
3．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．
解：联立两圆方程
相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.
再由
联立得两交点坐标A(－1,2)、B(5，－6)．
∵所求圆以AB为直径，
∴圆心是线段AB的中点M(2，－2)，
圆的半径为r＝|AB|＝5.
于是所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
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3．求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
[尝试解答]　法一：解方程组
得两圆的交点A(－1,3)、B(－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.
则有＝，
解得a＝，故圆心为(，－)，
半径为 ＝.
故圆的方程为(x－)2＋(y＋)2＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
法二：∵圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直线x－y－4＝0上，
故可设所求圆的方程为
x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为(－，－)，代入x－y－4＝0，求得λ＝－7.
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
1．针对这个类型的题目，常用的方法有两种：其一是利用圆系方程，其二是利用圆的几何性质求圆心和半径，这两种方法运算量小且简便适用．
2．若两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过这两圆交点的圆的方程可表示为C3：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.(不含圆C2)
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4．已知直线l：4x＋3y－2＝0和圆C：x2＋y2－12x－2y－13＝0相交于A、B两点，求过A、B两点的圆中面积最小的圆的方程．
解：法一：联立方程
解得或∴A(－1,2)、B(5，－6)．
要使过A，B的圆的面积最小，则需以AB为直径，
∴圆心是AB的中点M(2，－2)，
半径r＝|AB|＝＝5，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
法二：设所求圆的方程为：x2＋y2－12x－2y－13＋λ(4x＋3y－2)＝0，
即x2＋y2＋(4λ－12)x＋(3λ－2)y－13－2λ＝0，
∴圆心坐标为(，)．
∴当圆心(，)在l上时面积最小，
∴4×＋3×－2＝0，解得λ＝2，
∴所求圆的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0.
求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．
[错解]　由题意知，所求圆与直线y＝0相切且半径为4，设其圆心C的坐标为(a,4)，且其方程为(x－a)2＋(y－4)2＝42，
又圆x2＋y2－4x－2y－4＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝32，
其圆心为A(2,1)，半径为3.
由两圆相切，得|CA|＝3＋4，
所以(a－2)2＋(4－1)2＝72，
解得a＝2±2，
所以所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16.
[错因]　上述错解只考虑了圆心在直线y＝0上方的情形，而漏掉了圆心在直线y＝0下方的情形，另外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的．
[正解]　由题意，设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为C，又圆C与直线y＝0相切且半径为4，故圆心C的坐标为(a,4)或(a，－4)．又因为圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3.若两圆相切，
则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.
当取C(a,4)时，(a－2)2＋(4－1)2＝72或
(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，
故a＝2±2，
此时所求圆的方程为
(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或
(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16；
当取C(a，－4)时，
(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，
所以a＝2±2，
此时所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16.
1．(山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
解析：选B　两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1、之和为5，而1<<5，所以两圆相交．
2．两圆(x－a)2＋(y－b)2＝c2和(x－b)2＋(y－a)2＝c2相切，则(　　)
A．(a－b)2＝c2 B．(a－b)2＝2c2
C．(a＋b)2＝c2 D．(a＋b)2＝2c2
解析：选B　由两圆方程可知，两圆一定外切．
于是()2＝(2c)2.∴(a－b)2＝2c2.
3．一圆过圆x2＋y2－2x＝0与直线x＋2y－3＝0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是(　　)
A．x2＋y2－4x－4y＋6＝0 B．x2＋y2＋4y－6＝0
C．x2＋y2－2x＝0 D．x2＋y2＋4x－6＝0
解析：选B　设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋λ(x＋2y－3)＝0，
即x2＋y2＋(λ－2)x＋2λy－3λ＝0
依题意得－＝0，∴λ＝2.
故圆的方程为x2＋y2＋4y－6＝0.
4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.
解析：如图，设两圆的公共弦为AB，AB交y轴于点C，连接OA，则|OA|＝2.
把x2＋y2＝4与x2＋y2＋2ay－6＝0相减，得2ay＝2，即y＝为公共弦AB所在直线的方程，所以|OC|＝.
因为|AB|＝2，所以|AC|＝，
在Rt△AOC中，|OC|2＝|OA|2－|AC|2，即＝4－3＝1，
因为a>0，所以a＝1.
答案：1
5．已知圆(x－7)2＋(y＋4)2＝16与圆(x＋5)2＋(y－6)2＝16关于直线l对称，则直线l的方程是________．
解析：由题意得，两圆的圆心A(7，－4)和B(－5,6)关于直线l对称，AB的垂直平分线就是直线l.AB的中点为(1,1)，kAB＝－，∴l的方程是y－1＝(x－1)，即6x－5y－1＝0.
答案：6x－5y－1＝0
6．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径长为1的圆的方程．
解：设所求圆的圆心为P(a，b)，
则＝1.①
(1)若两圆外切，则有＝1＋2＝3，②
联立①②，解得a＝5，b＝－1，
所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；
(2)若两圆内切，则有＝|2－1|＝1，③
联立①③，解得a＝3，b＝－1，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
一、选择题
1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1　　　　　　B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析：选A　设圆心为(0，a)，则＝1，∴a＝2.故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
2．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是(　　)
A．1＜m＜121 B．1≤m≤121
C．1＜m＜11 D．1≤m≤11
解析：选B　两圆的圆心和半径分别为O1(0,0)，r1＝，O2(－3,4)，r2＝6，它们有公共点，则两圆相切或相交．
∴|－6|≤ ≤＋6.解之，得1≤m≤121.
3．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0和x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－2＝0的公共弦中，最长的弦等于(　　)
A．2 B．2
C. D．1
解析：选B　将两圆化成标准式分别为
(x＋a)2＋(y＋a)2＝1，(x＋b)2＋(y＋b)2＝2，
两圆相交时最长的公共弦应该为小圆的直径2.
4．两圆(x－a)2＋y2＝1和x2＋(y－b)2＝1外切的条件是(　　)
A．a2＋b2＝4 B．a2＋b2＝2
C.＝1 D.＝4
解析：选A　两圆的圆心坐标为(a,0)和(0，b)，由两圆外切的条件得 ＝1＋1，即a2＋b2＝4.
5．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为(　　)
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
解析：选D　∵所求圆的半径为6，而A、B中的圆的半径为，不符合题意，∴排除A、B.所求圆的圆心为(4,6)时，两圆的圆心距d＝＝5＝6－1，这时两圆内切，当所求圆的圆心为(－4，6)时，圆心距d＝＝5＝6－1，这时两圆内切．
∴所求圆的圆心为(±4,6)，半径为6.
二、填空题
6．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值为________．
解析：∵圆心分别为(0,0)和(－4，a)，半径为1和5，两圆外切时有＝1＋5，∴a＝±2，
两圆内切时有＝5－1，∴a＝0.
综上a＝±2或a＝0.
答案：±2或0
7．点P在圆(x－4)2＋(y－2)2＝9上，点Q在圆(x＋2)2＋(y＋1)2＝4上，则|PQ|的最大值为________．
解析：圆心距d＝ ＝3，而两圆的半径分别为r1＝3，r2＝2，∴|PQ|的最大值＝d＋r1＋r2＝3＋5.
答案：3＋5
8．与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程为________．
解析：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
则＝r＋1，①
＝，②
＝r.③
解①②③得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6，
即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
答案：(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36
三、解答题
9．已知集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，N＝{(x，y)|x2＋(y－1)2≤a－1}，若M∩N＝N，求实数a的取值范围．
解：∵M∩N＝N，∴N?M，
①当N＝?时，即a＜1时满足条件；
②当N≠?时，若a＝1，集合N＝{(x，y)|(0,1)}，
∵点(0,1)在圆x2＋y2＝16内部，∴N?M.
若a＞1，要使N?M，须圆x2＋(y－1)2＝a－1，
内切或内含于圆x2＋y2＝16，
∴4－≥1，解得1≤a≤10，
又a＞1，∴1＜a≤10.综上所述，a的取值范围为(－∞，10]．
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，
(1)若直线l1过定点A(1,0)，且与圆C相切，求l1的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x＋y－2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．
解：(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．
②若直线l1的斜率存在，
设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，即＝2，解之得k＝.
所求直线l1的方程为x＝1或3x－4y－3＝0.
(2)依题意设D(a,2－a)，
又已知圆C的圆心(3,4)，r＝2，
由两圆外切，可知|CD|＝5，
∴可知 ＝5，解得a＝3，或a＝－2，
∴D(3，－1)或D(－2,4)．
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9或(x＋2)2＋(y－4)2＝9.
第1课时　空间直角坐标系及点的坐标
[核心必知]
1．空间直角坐标系
(1)右手直角坐标系．
在空间直角坐标系中，四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向
旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指指向z轴正向，这样的坐标系称右手系．
(2)坐标系中相关概念．
如图所示的坐标系中，O叫作原点，x，y，z轴统称为坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面．
2．空间直角坐标系中点的坐标
(1)空间中任一点P的坐标都可用一个三元有序数组(x，y，z)来表示，第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z坐标．
(2)空间中的点与一个三元有序数组(x，y，z)建立了一一对应的关系．
[问题思考]
1．画空间直角坐标系时，是否任意两坐标轴都画成夹角为90°？
提示：不是．空间直角坐标系中，任意两坐标轴的夹角都是90°，但在画直观图时通常画∠xOy＝135°，使x轴、y轴确定的平面水平，∠yOz＝90°，以表示z轴竖直．
2．确定点(x0，y0，z0)的位置的方法有哪些？
提示：确定点的位置一般有三种方法：
(1)在x轴上找点M1(x0,0,0)，过M1作与x轴垂直的平面α；再在y轴上找点M2(0，y0,0)，过M2作与y轴垂直的平面β；再在z轴上找点M3(0,0，z0)，过M3作垂直于z轴的平面γ，于是α，β，γ交于一点，该点即为所求．
(2)确定点(x0，y0,0)在xOy平面上的位置，再由z坐标确定点(x0，y0，z0)的位置．
(3)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与原点O相对的顶点即为所求的点．
?讲一讲
1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标．
[尝试解答]　如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系O-xyz.
∵长方体的棱长AD＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4，
显然D(0,0,0)，A在x轴上，∴A(3,0,0)；
C在y轴上，∴C(0,5,0)；D1在z轴上，
∴D1(0,0,4)；B在xOy平面内，
∴B(3,5,0)；
A1在xOz平面内，∴A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，
∴C1(0,5,4)．
由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，
∴B1的横坐标为3，纵坐标为5，
∵B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，
∴B1的竖坐标为4，
∴B1(3,5,4)．
1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
(2)充分利用几何图形的对称性．
2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影，(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标．
?练一练
1．如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．
解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，E点在平面xDy中，且|EA|＝.
∴E点的坐标为.
∵B点和B1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，故F点坐标为.
同理可得G点坐标为.
?讲一讲
2．求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．
[尝试解答]　如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1)．
过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB.则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)．∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,1)．
A(1,2，－1)关于x轴对称的点B(1，－2,1)．
点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点：
(1)P(x，y，z)关于原点对称,P1(－x，－y，－z)；
(2)P(x，y，z)关于x轴对称,P2(x，－y，－z)；
P(x，y，z)P3(－x，y，－z)；
P(x，y，z)P4(－x，－y，z)．
记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”．
(3)P(x，y，z)P5(x，y，－z)；
P(x，y，z)P6(－x，y，z)；
P(x，y，z)P7(x，－y，z)．
?练一练
2．设正四棱锥S-P1P2P3P4的所有棱长均为a，建立适当的坐标系，求点S、P1、P2、P3和P4的直角坐标．
解：以底面中心作为坐标原点，棱P1P2，P1P4分别垂直于Oy轴和Ox轴(如图)．
正四棱锥S－P1P2P3P4如图所示，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥Oy轴，P1P4⊥Ox轴，SO在Oz轴上，
∵d(P1P2)＝a，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，
∴P1，P2.
P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称．
∴P3，P4.
又∵|SP1|＝a，|OP1|＝a，
∴在Rt△SOP1中，|SO|＝ ＝a.
∴S.
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．
[错解]　如图，分别以AB、AC、AA1所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
显然A(0,0,0)，
又∵各棱长均为1，且B、C、A1均在坐标轴上，
∴B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，
B1，C1分别在xOz平面和yOz平面内，
∴B1(1,0,1)，C1(0,1,1)，
∴各点坐标为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，
A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(0,1,1)．
[错因]　因为三棱柱各棱长均为1，所以△ABC为正三角形，即∠BAC＝60°，即错解中建立的坐标系∠xOy≠90°.故本题做错的根本原因在于建系时没有抓住空间直角坐标系
三个坐标轴两两垂直的本质．建系时应选取从一点出发的三条两两垂直的线做为坐标轴．如果没有满足条件的直线，可以让某一条坐标轴“悬空”．
[正解]　取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，
分别以OB，OC，OO1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
∵三棱柱各棱长均为1，
∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝，
OB＝，∵A，B，C均在坐标轴上，
∴A，B，C，
点A1与C1在yOz平面内，
∴A1，C1，点B1在xOy面内射影为B，且BB1＝1.∴B1，
∴各点的坐标为A，B，C0，，0，A10，－，1，B1，C1.
1．z轴上点的坐标的特点是(　　)
A．竖坐标为0
B．横坐标，纵坐标都是0
C．横坐标为0
D．横，纵，竖坐标不可能都是0
解析：选B　点在某坐标轴上时，其他两轴对应的坐标均为零，点在z轴上，所以其横、纵坐标都是0.
2．已知空间直角坐标系中一点A(－3，1，－4)，则点A关于x轴对称点的坐标为(　　)
A．(－3，－1,4)　　　　　　B．(－3，－1，－4)
C．(3,1,4) D．(3，－1，－4)
解析：选A　点A关于x轴的对称点A′的y、z坐标都变为相反数，x坐标不变，
∴A′(－3，－1,4)．
3．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在(　　)
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．yOz平面上
解析：选C　点的纵坐标为0，∴点在xOz平面上．
4．在空间直角坐标系O-xyz中，点P(1,2,3)关于xOz平面的对称点的坐标是________．
解析：求点P关于xOz平面的对称点，只要将y坐标变为原来的相反数，∴对称点的坐标是(1，－2,3)．
答案：(1，－2,3)
5．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段AB中点的坐标为________．
解析：设其中点为M(x，y，z)，由中点坐标公式可知
x＝＝4，y＝＝0，z＝＝－1，
故M的坐标为(4,0，－1)．
答案：(4,0，－1)
6.
如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别是BB′，B′D′的中点，其中|AB|＝4，|BC|＝3，|DD′|＝2.求点E，F的坐标．
解：∵点E在坐标平面xDy上的射影为点B(3,4,0)，而点E的z坐标为1，∴E(3,4,1)．
∵点F在坐标平面xDy上的射影的点的坐标为，而点F的z坐标为2，
∴F.
一、选择题
1．有下列叙述：
①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可记为(0，b,0)；
②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；
③在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c)；
④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c)．
其中正确叙述的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　　　B．2
C．3 D．4
解析：选C　①错误，②③④正确．
2．已知点A(－3,1,4)，则点A关于原点的对称点的坐标为(　　)
A．(1，－3，－4) B．(－4,1，－3)
C．(3，－1，－4) D．(4，－1,3)
解析：选C　空间直角坐标系中一点关于原点对称点的坐标特点是：三个坐标都变为它的相反数．
∴A(－3,1,4)关于原点对称点的坐标为(3，－1，－4)．
3．在空间直角坐标系中P(2,3,4)，Q(－2,3,4)两点的位置关系是(　　)
A．关于x轴对称
B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
解析：选B　∵P，Q两点对应的三个坐标横坐标互为相反数，
∴P，Q关于yOz平面对称．
4．设z为任一实数，则点(2,2，z)表示的图形是(　　)
A．z轴
B．与平面xOy平行的一直线
C．平面xOy
D．与平面xOy垂直的一直线
解析：选D　(2,2，z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线．
5．已知点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值为(　　)
A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5
B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5
C．λ＝2，μ＝10，v＝8
D．λ＝2，μ＝10，v＝7
解析：选D　两个点关于x轴对称，那么这两个点的x坐标不变，y坐标与z坐标均互为相反数，故有λ＝2,7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v)，∴λ＝2，μ＝10，v＝7.
二、填空题
6．点A(－5,5,6)关于坐标平面yOz对称的点为A1，则点A1关于坐标平面xOy的对称点A2的坐标为________．
解析：点A(－5,5,6)关于yOz对称的点A1坐标为(5,5,6)，则点A1关于坐标平面xOy的对称点A2的坐标为(5,5，－6)．
答案：(5,5，－6)
7．点A(2,4,6)关于y轴对称的点的坐标为________．
解析：关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标和竖坐标变成相反数，故A(2,4,6)关于y轴对称的点的坐标为(－2,4，－6)．
答案：(－2,4，－6)
8．在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称的点的坐标是________．
解析：点M在xOz上的射影为(－2,0，－3)，其关于原点对称的坐标为(2,0,3)．
答案：(2,0,3)
三、解答题
9．如图，棱长为a的正方体OABC-D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于点Q，顶点O为坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，试写出点Q的坐标．
解：因为OB′与BD′相交于点Q，所以Q点在xOy平面内的投影应为OB与AC的交点，所以Q的坐标为.
同理可知Q点在xOz平面内的投影也应为AD′与OA′的交点，所以Q点的坐标为.
10．如右图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标．
解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
∵点E在z轴上，且为D1D的中点，
故点E坐标为.
过F作FM⊥AD，FN⊥DC，
则|FM|＝|FN|＝，
故点F坐标为；
点G在y轴上，又|GD|＝，
故点G坐标为；
过H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点，
故|HK|＝，|CK|＝.
∴|DK|＝.故点H的坐标为.
第2课时　空间两点间的距离公式
[核心必知]
1．长方体的对角线
(1)连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线．(如图)
(2)如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d＝.
2．空间两点间的距离公式
(1)空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离
|OP|＝.
(2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离
|AB|＝.
[问题思考]
1．空间两点间的距离公式与两点的顺序有关系吗？
提示：空间中两点间的距离与两点的顺序无关，两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根，因此，距离公式也可以写成|P1P2|＝.
2．已知点P(x，y，z)，如果r为定值，那么x2＋y2＋z2＝r2表示什么图形？
提示：由为点P到坐标原点的距离，结合x2＋y2＋z2＝r2知点P到原点的距离为定值|r|.
因此r≠0时，x2＋y2＋z2＝r2表示以原点为球心，|r|为半径的球面．当r＝0时，x2＋y2＋z2＝0表示原点．
?讲一讲
1.
如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AD|＝3，|CD|＝4，|DD1|＝2，作DE⊥AC于E，求点B1到点E的距离．
[尝试解答]　
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意，得A(3,0,0)，C(0,4,0)，B1(3,4,2)，设E(x，y,0)．
在Rt△ADC中，|AD|＝3，|CD|＝4，
|AC|＝5，∴|DE|＝.
在Rt△ADE中，|DE|2＝x·|AD|，∴x＝＝.
在Rt△CDE中，|DE|2＝y·|CD|，∴y＝＝.
∴E.
∴|B1E|＝ ＝.
空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式形式类似，只是根号内增加了一项(z1－z2)2，同时，平面内两点间的距离公式可视为空间两点间距离公式的特殊情况，在空间两点间距离公式中令z1＝z2＝0，即得平面内两点间距离公式．
?练一练
1．在空间直角坐标系中，已知△ABC的顶点分别为A(－1,2,3)，B(2，－2,3)，C.判断△ABC的形状．
解：法一：|AB|＝ ＝5，
|AC|＝ ＝，
|BC|＝ ＝.
所以|BC|2＋|AC|2＝|AB|2＝25，
所以△ABC是以C为直角顶点的直角三角形．
法二：由它们的竖坐标都为3可知，此三点在平行于xOy平面的一个平面内，故只考虑该平面内的边长情况即可．
|AB|＝＝5.
|BC|＝ ＝，
|AC|＝ ＝.
所以|BC|2＋|AC|2＝|AB|2，所以△ABC是以C为直角顶点的直角三角形.
　
?讲一讲
2．在xOy平面内的直线2x－y＝0上确定一点M，使它到点P(－3,4 ,5)的距离最小，并求出最小值．
[尝试解答]　∵点M在xOy平面内的直线2x－y＝0上，
∴设点M的坐标为(a,2a,0)，
则|MP|＝ ＝
＝ .
∴当a＝1时，|MP|取最小值3，此时M(1,2 ,0)．
∴M坐标为(1,2,0)时，|PM|最小，最小值为3.
确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已知有关某点的等量关系，列方程(组)求点坐标，另一类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离最值问题．无论哪种类型，根据点的特征，合理地设出点的坐标，不但能减少参数，还能简化计算．
?练一练
2．在空间直角坐标系中，求到两定点A(2,3,0)，B(5,1,0)距离相等的点的坐标P(x，y，z)满足的条件．
解：∵点P的坐标为(x，y，z)，
则由题意可得|PA|＝，
|PB|＝，
∵PA＝PB，
∴
＝，
等式两边同时平方、整理得6x－4y－13＝0，
∴P点坐标满足条件为6x－4y－13＝0.
如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0(1)MN的长；
(2)当a为何值时，MN的长最小．
[巧思]　建立空间直角坐标系，将MN的长度转化为空间两点间的距离问题求解．
[妙解]　(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABCD.
∴AB，BC，BE两两垂直．
∴以B为原点，以BA，BE，BC所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则Ma,0,1－a，，Na，a,0.
∴|MN|＝

＝＝ (0(2)∵|MN|＝ ，
∴当a＝时，|MN|min＝.即a＝时，MN的长最小．
1．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和点B(2，－1,6)的距离是(　　)
A．2　　　　B．2
C．9 D.
解析：选D　由空间两点间的距离公式可得
|AB|＝＝.
2．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C　|AB|＝＝，
|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
∵|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
∴△ABC为直角三角形且一定不是等腰三角形．
3．设点P在x轴上，它到P1(0，，3)的距离为到点P2(0,1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为(　　)
A．(1,0,0)
B．(－1,0,0)
C．(1,0,0)或(0，－1,0)
D．(1,0,0)或(－1,0,0)
解析：选D　∵点P在x轴上，
∴设点P的坐标为(x,0,0)，
由题意|PP1|＝2|PP2|，
∴
＝2，
解得x＝±1.
∴所求点为(1,0,0)或(－1,0,0)．
4．已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．
解析：∵P在z轴上可设P(0,0，z)，由|PA|＝|PB|，
∴＝
，解得z＝3.
答案：(0,0,3)
5．点A(1，t,0)和点B(1－t,2,1)的距离的最小值为________．
解析：|AB|＝＝，
∴当t＝1时，|AB|的最小值为.
答案：
6．如图，在棱长分别为2,4,3的长方体ABCD-A1B1C1D1中，利用空间两点间的距离公式，求对角线AD1，AB1和AC1的长．
解：以D为坐标原点，DA，DC和DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，
D1(0,0,3)，B1(2,4,3)，C1(0,4,3)，
∴|AD1|＝＝，
|AB1|＝＝5，
|AC1|＝＝.
一、选择题
1．点B是点A(1,2,3)在坐标平面上yOz内的射影，则|OB|等于(　　)
A.　　　　　　　　B.
C．2 D.
解析：选B　B点坐标为(0,2,3)，∴|OB|＝.
2．点P到原点O的距离是(　　)
A. B．1
C. D.
解析：选B　|OP|
＝
＝ ＝1.
3．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是(　　)
A．－3或4 B．6或2
C．3或－4 D．6或－2
解析：选D　由空间两点间的距离公式得
＝2，
解得x＝6或x＝－2.
4．已知三点A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则A、B、C三点(　　)
A．构成等腰三角形 B．构成直角三角形
C．构成等腰直角三角形 D．不能构成三角形
解析：选D　由已知得
|AB|＝＝，
|AC|＝＝＝2，
|BC|＝＝，
∴|AB|＋|BC|＝|AC|，故不能构成三角形．
5．在空间直角坐标系中，与点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0，5,1)等距离的点的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．无数
解析：选D　由两点间距离公式可得|AB|＝，|BC|＝，|AC|＝，易知A、B、C三点不共线，故可确定一个平面．在△ABC所在平面内可找到一点到A、B、C距离相等，而过该点与面ABC垂直的直线上的每一点到A、B、C距离均相等．
二、填空题
6．已知正方体不在同一表面上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是________．
解析：设正方体棱长为a，则＝|AB|＝，所以a＝4，V＝43＝64.
答案：64
7．点A(2，－1,2)到y轴的距离为________．
解析：点A在y轴上的投影为(0，－1,0)，
∴点A到y轴的距离为＝2.
答案：2
8．Rt△ABC中，∠BAC＝90°，A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(x，0,1)，则x＝________.
解析：由距离公式|AB|＝＝；
|AC|＝＝；
|BC|＝＝；
∵∠BAC＝90°，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，
∴(1－x)2＋2＝2＋(2－x)2＋1，解得x＝2.
答案：2
三、解答题
9．已知正三棱锥A-BCD，高为1，底面正三角形边长为，建立适当坐标系写出A、B、C、D四点的坐标，并求侧棱AB的长度．
解：设O为A在底面BCD上的射影，则O为正三角形BCD的中心．
如图以OB所在直线为x轴，
以OA所在直线为z轴，
以过O与CD平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系，
设CD中点为E，由BC＝，O为△BCD中心可知，
|OB|＝|BE|＝·|BC|＝1，|OE|＝|OB|＝，
∴B(1,0,0)，E.
又|CE|＝|ED|＝，
∴C，D.
又∵A在z轴上，且|AO|＝1，∴A(0,0,1)．
由两点间的距离公式|AB|＝＝，
∴各点坐标为A(0,0,1)，B(1,0,0)，C，D，侧棱AB长为.
10．如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O-xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．
(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值；
(2)当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究|PQ|的最小值．
解：设正方体的棱长为a.
(1)当点P为对角线AB的中点时，点P的坐标是(，，)．因为点Q在线段CD上，设Q(0，a，z)．
|PQ|＝
＝ .
当z＝时，|PQ|的最小值为a，即点Q在棱CD的中点时，|PQ|有最小值a.
(2)因为P在对角线AB上运动，Q是定点，所以当PQ⊥AB时，|PQ|最短．因为当点Q为棱CD的中点时，|AQ|＝|BQ|，△QAB是等腰三角形，所以，当P是AB的中点时，|PQ|取得最小值 a.
1．直线的五种方程
解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论．
2．距离问题
距离包括平面两点间的距离、空间两点间的距离、点到直线的距离和两平行线间的距离．
学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合．
3．圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中，圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件．因此，三个独立的条件可以确定一个圆．
(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程．
4．直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断)．
(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离．
(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形．
(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线．
①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意．
5．常用的直线系和圆系
(1)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数，且λ≠C)．
(2)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)．
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程是：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ为参数，且λ ≠0)．
(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数．
6．对称问题
对称问题，是高考的热点之一，也是重要的数学思想方法．一般来说，对称问题可分为四个类型：①点关于点的对称；②点关于直线的对称点；③直线关于直线的对称直线；④直线关于点的对称直线．归根结底，都可转化为点关于点的对称．
(1)中心对称．
①点的中心对称：
若点M(x1，y1)关于P(a，b)的对称点为N(x，y)，则由中点坐标公式可得
②直线的中心对称：
主要方法：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由两对称点确定对称直线；或者求出一个对称点再利用对称直线与原直线平行求方程．
(2)轴对称．
①点的轴对称：
点A(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称点B(x，y)可由方程组求得．
②直线的轴对称：
主要方法：在已知直线上任取两点，利用点的轴对称，求出对称点，再由两点式写出对称直线的方程．
特殊情况：①关于x轴对称，方法
②关于y轴对称，方法
③关于直线y＝x对称，方法即x，y对调；
④关于直线y＝－x对称，方法
即x，y对调之后加负号．
考点1
直线的倾斜角与斜率
[典例1]　求直线ax＋y＋2＝0(－1≤a≤1)的倾斜角的取值范围．
[解]　∵直线的斜率k＝－a，∴－≤k≤，
当0≤k≤时，直线的倾斜角α满足0≤α≤.
当－≤k<0时，直线的倾斜角α满足≤α<π，
∴直线的倾斜角的取值范围是0，∪，π.
[借题发挥]　求倾斜角的范围，应先求出斜率的范围然后根据倾斜角和斜率的关系及倾斜角的范围即可解出相应的答案．
[对点训练]
1．点P(x，y)在以A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是　　(　　)
A.　　　　　　　B.
C. D.
解析：选D　
如图，令k＝，则k可以看成过点D(1,2)和(x，y)的直线斜率，显然kAD是最小值，kBD是最大值．由于不包含边界，
所以k∈.
考点2
求直线方程
[典例2]　直线l过点P(8,6)，且与两条坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程．
[解]　法一：直线l与两条坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形，必须且只需直线l在两条坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，
故设直线l的方程为＋＝1或＋＝1(a≠0)，
当直线l的方程为＋＝1时，
把P(8,6)代入得＋＝1，解得a＝14，
∴直线l的方程为x＋y－14＝0；
当直线l的方程为＋＝1时，
把P(8,6)代入得－＝1，解得a＝2，
∴直线l的方程为x－y－2＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋y－14＝0或x－y－2＝0.
法二：设所求直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，
令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－.
∵直线与两条坐标轴围成等腰直角三角形，
∴|b|＝.
∵b≠0，∴k＝±1.
当k＝1时，直线l的方程为y＝x＋b，
把P(8,6)代入得6＝8＋b，解得b＝－2，
∴直线l的方程为y＝x－2，
即x－y－2＝0；
当k＝－1时，直线l的方程为y＝－x＋b，
把P(8,6)代入得6＝－8＋b，解得b＝14，
∴直线l的方程为y＝－x＋14，即x＋y－14＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋y－14＝0或x－y－2＝0.
[借题发挥]　本题法一和法二分别应用了直线方程的截距式和斜截式来解题，可以看出法一要优于法二，涉及直线与两条坐标轴围成的三角形的面积或周长的与截距有关的问题时，设截距式较简单，但要注意截距式应用的前提是截距存在且不为0.
[对点训练]
2．一条直线被两条直线l1：4x＋y＋6＝0和l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求直线l的方程．
解：法一：当直线的斜率存在时，设l的方程为y＝kx，且l与已知两直线的交点分别为P1(x1，y1)，P(x2，y2)，
则　
由此解得
∵O是P1P2的中点，
∴x1＋x2＝0，
即－＝0，解得k＝－.
当斜率不存在时，直线l是y轴，它和两已知直线的交点分别是(0，－6)和(0，－)，显然不满足中点是原点的条件．
∴所求的方程为y＝－x.
法二：设过原点的直线l交已知两直线于P1，P2，且O为P1，P2的中点，∴P1与P2关于原点对称．
若设P1(x0，y0)，则P2(－x0，－y0)，
∴
①＋②得x0＋6y0＝0.
∴点P1(x0，y0)，P2(－x0，－y0)都满足方程x＋6y＝0，
∵过两点的直线有且只有一条，且该直线过原点，
∴所求直线l的方程即为x＋6y＝0.
考点3
两条直线的位置关系
[典例3]　已知直线l1：x＋ay－2a－2＝0，l2：ax＋y－1－a＝0.
(1)若l1∥l2，试求a的值；
(2)若l1⊥l2，试求a的值．
[解]　l1：x＋ay－2a－2＝0，l2：ax＋y－1－a＝0.
(1)由A1B2－A2B1＝0得a2－1＝0，解得a＝±1.
又A1C2－A2C1≠0，
即－1－a－a(－2a－2)≠0,2a2＋a－1≠0，
解得a≠－1，且a≠.
综上所述，a＝1.
(2)由A1A2＋B1B2＝0得a＋a＝0.
∴a＝0.
[借题发挥]　设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)l1∥l2?A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1；
(2)l1与l2重合?A1B2＝A2B1且B1C2＝B2C1；
(3)l1与l2相交?A1B2≠A2B1；
(4)l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
[对点训练]
3．已知直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a的值为________．
解析：由(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0.
即(a－1)(a＋1)＝0，a＝±1.
答案：1或－1
考点4
直线与圆的位置关系
[典例4]　已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点；若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[解]　假设存在斜率为1的直线l，满足题意，
则OA⊥OB，
设直线l的方程是y＝x＋b，其与圆C的交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则·＝－1，
即x1x2＋y1y2＝0.①
由
消去y，得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0.
所以x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝(b2＋4b－4)，②
y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2
＝(b2＋4b－4)－b2－b＋b2
＝(b2＋2b－4)，③
把②③式代入①式，得
b2＋3b－4＝0，解得b＝1，或b＝－4，
且b＝1，或b＝－4都使得
Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)＞0成立．
故存在直线l满足题意，其方程为y＝x＋1，或y＝x－4.
[借题发挥]　本题是一类探索性问题，解答这类题的思路是先假设存在，再运用直线与圆相交时满足的几何性质或代数关系作转化，求出所涉及的参数，最后通过验证来说明其是否存在．
[对点训练]
4．已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，求直线l的方程．
解：将圆的方程写成标准形式，得x2＋(y＋2)2＝25，
如图，因为直线l被圆所截得的弦长是4，
所以弦心距为 ＝，
即圆心到所求直线l的距离为.
因为直线l过点M(－3，－3)，易见，当直线l与x轴垂直时不合题意，
所以斜率存在，
所以可设所求直线l的方程为y＋3＝k(x＋3)，
即kx－y＋3k－3＝0.
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离d＝.
因此，＝，
即|3k－1|＝，
两边平方，并整理得到2k2－3k－2＝0.
解得k＝－或k＝2.
所以，所求直线l有两条，
方程分别为y＋3＝－(x＋3)或y＋3＝2(x＋3)．
即x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0.
考点5
圆的几何性质的应用
[典例5]　以原点为圆心，且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＝5　　　　　　　B．x2＋y2＝16
C．x2＋y2＝4 D．x2＋y2＝25
[解析]　设圆的半径为r，圆心O到直线3x＋4y＋15＝0的距离是d＝＝3，
由题意得d2＋42＝r2，所以r2＝32＋42＝25，
所以圆的方程是x2＋y2＝25.
[答案]　D
[借题发挥]　圆是一种特殊图形，既是中心对称图形又是轴对称图形，圆心是对称中心，任意一条直径所在直线是对称轴．圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等等．充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量．另外，对于未给出图形的题目，要边读题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路．
[对点训练]
5．过点P(2,3)向圆x2＋y2＝1作两条切线PA，PB，则弦AB所在直线的方程为(　　)
A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－1＝0 D．3x－2y－1＝0
解析：选B　圆x2＋y2＝1的圆心为坐标原点O，以OP为直径的圆的方程为(x－1)2＋2＝.
显然这两个圆是相交的，由
得2x＋3y－1＝0，这就是弦AB所在直线的方程．
6．求与x轴切于点(5,0)并在y轴上截取弦长为10的圆的方程．
解：法一：设所求圆的方程为(x－5)2＋(y－b)2＝b2，并且与y轴交于A，B两点．
由方程组得y＝b±.
∵|yB－yA|＝10，
∴|b＋－b＋|＝10，b＝±5.
∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y±5)2＝50.
法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
∵圆与x轴相切于点(5,0)，∴r＝|b|，①
a＝5.②
∵圆在y轴上截得的弦长为10，∴a2＋()2＝r2.③
由①②③得a＝5，r＝5，b＝5或b＝－5.
∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋5)2＝50或
(x－5)2＋(y－5)2＝50.
考点6
直线和圆中的最值和范围问题
[典例6]　求经过直线x＝－2与已知圆x2＋y2＋2x－4y－11＝0的交点的所有圆中，面积最小的圆的方程．
[解]　法一：设x＝－2与圆x2＋y2＋2x－4y－11＝0的两交点分别为A，B，解方程组
得两交点A(－2,2＋)，B(－2,2－)．
从而所求圆的圆心的坐标为(－2,2)，
半径r＝·|AB|＝×|2＋－(2－)|＝
.因此，所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝15.
法二：设直线x＝－2与圆x2＋y2＋2x－4y－11＝0的交点分别为A，B，且横坐标都为－2，从而所求圆的圆心的横坐标为－2.设A，B的纵坐标分别为y1，y2，把直线方程代入圆方程，整理得y2－4y－11＝0.
则y1＋y2＝4，y1y2＝－11.
所以圆心的纵坐标为＝2.半径r＝|y2－y1|＝·＝＝.
因此，所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝15.
[借题发挥]　在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围，其中可应用平面几何知识，找到要求最值的量的几何意义，再应用平面几何知识求出要求的量的最值．
[对点训练]
7．已知实数x，y满足y＝，试求m＝及b＝2x＋y的取值范围．
解：∵y＝可化为x2＋y2＝3(y≥0)，∴它表示以原点为圆心，为半径的半圆，如图(1)．
而m＝可看作半圆上的点与点P(－3，－1)连线的斜率．
kPB＝＝.
设直线y＋1＝m(x＋3)与半圆相切，则＝.
∴m1＝(舍去)，m2＝.
∴≤m≤.
由b＝2x＋y得y＝－2x＋b，如图(2)，当直线2x＋y＝b经过(－，0)时，b＝－2；
当直线2x＋y＝b与半圆相切时，b＝.
∴b的取值范围为[－2，]．
阶段质量检测（二）
（时间90分钟 满分120分）
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)
1．方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0表示的圆的圆心为(　　)
A．(2,4)　　　　　　　　B．(－2，－4)
C．(－1，－2) D．(1,2)
解析：选C　方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0配方后可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝4，∴圆心为(－1，－2)，半径为2.
2．当m为何值时，经过A(m,1)，B(－1，m)的直线与过P(1,2)，Q(－5,0)的直线平行(　　)
A. B．－
C．2 D．－2
解析：选A　由斜率公式得kPQ＝＝，
kAB＝＝.
∵AB∥PQ，
∴kAB＝kPQ，
∴＝，解得m＝.
3．(陕西高考)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
解析：选B　由点M在圆外，得a2＋b2＞1，
∴圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1＝r，则直线与圆O相交．
4．方程x2＋y2＋2ax－b2＝0表示的图形是(　　)
A．一个圆
B．只有当a＝0时，才表示一个圆
C．一个点
D．a、b不全为0时，才表示一个圆
解析：选D　原方程配方后可化为(x＋a)2＋y2＝a2＋b2.
当a＝b＝0时，它表示(0,0)点；
当a、b不全为零时，表示以(－a,0)为圆心，半径为的圆．
5．(辽宁高考)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是　　(　　)
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
解析：选C　要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A，B，C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心．
6．如图，在正方体OABC-O1A1B1C1中，棱长为2，E是B1B上的点，且|EB|＝2|EB1|，则点E的坐标为(　　)
A．(2,2,1)
B.
C.
D.
解析：选D　易知B(2,2,0)，B1(2,2,2)，
∴E点的竖坐标z＝×2＝，
∴E点的坐标为.
7．不论a为何实数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D　由(a－3)x＋2ay＋6＝0，
得(x＋2y)a＋(6－3x)＝0.
令得
∴直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过定点(2，－1)．从而该直线恒过第四象限．
8．(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于　　(　　)
A．3 B．2
C. D．1
解析：选B　圆x2＋y2＝4的圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝1，圆的半径为2，所以弦长|AB|＝2＝2.
9．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B　由x2＋y2－6x＋16y－48＝0，
得(x－3)2＋(y＋8)2＝121.
圆心(3，－8)，半径11.
由x2＋y2＋4x－8y－44＝0，
得(x＋2)2＋(y－4)2＝64，
圆心(－2,4)，半径8，
圆心矩d＝＝＝13，
3＜d＜19，
∴两圆相交，公切线条数为2.
10．过直线x＝－上一点P分别作圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：(x－1)2＋y2＝9的切线，切点分别为M、N，则|PM|与|PN|的大小关系是(　　)
A．|PM|＞|PN| B．|PM|＜|PN|
C．|PM|＝|PN| D．不能确定
解析：选C　由圆的性质可知点P、C1、M与点P、C2、N分别构成直角三角形，设P，
∴|PM|＝
＝ ＝ ，
|PN|＝
＝ ＝ ，
显然|PM|＝|PN|.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．
解析：由题意知直线l的斜率存在设为k，
由斜率公式k＝，l与斜率为－4的直线垂直，
∴－4·k＝－1，即－4·＝－1，解得m＝.
答案：
12．(北京高考)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．
解析：圆心(0,2)到直线y＝x的距离为d＝＝，圆的半径为2，所以所求弦长为2＝2.
答案：2
13．圆C：x2＋y2＋x－6y＋3＝0上有两个点P和Q关于直线kx－y＋4＝0对称，则k＝________.
解析：由题意得直线kx－y＋4＝0经过圆心C，
由x2＋y2＋x－6y＋3＝0可知圆心为C，
所以－－3＋4＝0.
解得k＝2.
答案：2
14．若圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心C到直线l的距离为2，且l与直线3x＋4y－1＝0平行，则直线l的方程为________．
解析：圆心为(－1,2)．
设所求的直线方程为3x＋4y＋D＝0，
由点到直线的距离公式，得
＝2，即＝2，
解得D＝5或－15.
故所求的直线方程为3x＋4y＋5＝0或3x＋4y－15＝0.
答案：3x＋4y＋5＝0或3x＋4y－15＝0
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0.
求：(1)直线l的方程；
(2)直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.
解：(1)由解得
则点P的坐标是(－2,2)，
由于所求直线l与x－2y－1＝0垂直，可设直线l的方程为2x＋y＋C＝0.
把点P的坐标代入得2×(－2)＋2＋C＝0，即C＝2.
故所求直线l的方程为2x＋y＋2＝0.
(2)由直线l的方程知它在x轴，y轴上的截距分别是－1，－2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积S＝×1×2＝1.
16．(本小题满分12分)△ABC的顶点A的坐标为(1,4)，∠B，∠C平分线的方程分别为x－2y＝0和x＋y－1＝0，求BC所在直线的方程．
解：该题求直线方程的条件不明显，如果能联想到初中平面几何有关角平分线的知识，就可以发现点A关于∠B，∠C平分线的对称点都在BC所在直线上，所以只要求出这两个对称点，利用两点式即可求出BC所在直线的方程．
过点A与直线x－2y＝0 垂直的直线的斜率为－2，
所以其方程为y－4＝－2(x－1)，将它和x－2y＝0联立成方程组可求得垂足的坐标为，
该垂足是点A与点A关于直线x－2y＝0的对称点A′的中点，所以可得点A′的坐标.
同理可求得点A关于直线x＋y－1＝0的对称点A″的坐标为(－3，0)．
由于点A′，点A″(－3,0)均在BC所在的直线上，
∴直线BC的方程为＝，
即4x＋17y＋12＝0，
∴BC所在直线的方程为4x＋17y＋12＝0.
17．(本小题满分12分)已知直线l1：x－y－1＝0，直线l2：4x＋3y＋14＝0，直线l3：3x＋4y＋10＝0，求圆心在直线l1上，与直线l2相切，截直线l3所得的弦长为6的圆的方程．
解：设圆心为C(a，a－1)，半径为r，
则点C到直线l2的距离d1＝＝.
点C到直线l3的距离d2＝＝.
由题意，得
解得a＝2，r＝5，即所求圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝25.
18．(本小题满分14分)圆C：x2＋y2－x－6y＋F＝0与直线l：x＋2y－3＝0交于两点P、Q，且OP⊥OQ，求F的值．
解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立题目中圆和直线的方程并消去y，有?5x2＋2x＋4F－27＝0.
根据根与系数的关系，有
根据题意，有PO⊥OQ
?·＝－1?x1x2＋y1y2＝0
?x1x2＋·＝0
?5x1x2－3(x1＋x2)＋9＝0
?5×－3×＋9＝0
?F＝.
模块综合检测
(时间：90分钟　满分：120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)
1．原点到直线3x＋4y－26＝0的距离是(　　)
A.　　　　　　　　B.
C. D.
解析：选B　由点到直线的距离公式可得
d＝＝.
2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(　　)
A．7 B．4
C．9 D．3
解析：选D　S圆台侧＝π(r＋3r)l＝84π，
又l＝7，
∴r＝3.
3．直线ax＋2y－1＝0与x＋(a－1)y＋2＝0平行，则a等于(　　)
A. B．2
C．－1 D．2或－1
解析：选D　由a(a－1)－2×1＝0，得a2－a－2＝0.
a＝2或－1.
4．(陕西高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)
A．3π B．4π
C．2π＋4 D．3π＋4
解析：选D　
由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．
表面积为2×2＋2××π×12＋π×1×2＝4＋3π.
5．一束光线自点P(1,1,1)发出，被xOy平面反射到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的距离是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　点P(1,1,1)关于xOy平面对称的点为P′(1,1，－1)，光线所走的距离即为P′，Q两点的距离．
|P′Q|＝
＝＝.
6．(福建高考)直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于(　　)
A．2 B．2
C. D．1
解析：选B　圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离为1，所以AB＝2＝2.
7．已知两圆相交于A(1,3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋2c的值为(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．0
解析：选B　由题意知：直线x－y＋c＝0为线段AB的垂直平分线，且AB的中点(，1)在直线x－y＋c＝0上，所以－1＋c＝0，即m＋2c＝1.
8．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在(　　)
A．直线AC上　　 B．直线AB上
C．直线BC上 D．△ABC内部
解析：选B　因为BC1⊥AC，BA⊥AC，BC1∩BA＝B，
所以AC⊥平面BC1A.所以平面BAC⊥平面BC1A.
因为C1H⊥平面ABC，且H为垂足，平面ABC∩平面BC1A＝AB，所以H∈AB.
9．(广东高考)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：选B　画出一个长方体ABCD-A1B1C1D1.对于A，C1D1∥平面ABB1A1，C1D1∥平面ABCD，但平面ABB1A1与平面ABCD相交；对于C，BB1⊥平面ABCD，BB1∥平面ADD1A1，但平面ABCD与平面ADD1A1相交；对于D，平面ABB1A1⊥平面ABCD，CD∥平面ABB1A1，但CD?平面ABCD.
10．过点P(－2,4)作圆(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线l1：ax＋3y＋2a＝0与l平行，则l1与l间的距离是(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B　直线l1斜率k＝－，l1∥l，
又l过P(－2,4)，
所以l：y－4＝－(x＋2)，
即ax＋3y＋2a－12＝0，
又直线l与圆相切，所以＝5，
所以a＝－4，所以l1与l的距离为d＝.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．过点(1,3)作直线l，若经过点(a,0)和(0，b)，且a∈N＋，b∈N＋，则可作出的直线l的条数为________．
解析：由题意知l：＋＝1，
又过(1,3)，∴＋＝1，
即(a－1)(b－3)＝3，
解得或
答案：2
12．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．
解析：设球的直径为d，
则据题意V圆柱＝π()2·d＝；
V圆锥＝π()2·d＝；
V球＝π()3＝.
∴V圆柱∶V圆锥∶V球＝3∶1∶2.
答案：3∶1∶2
13．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，弦AB的中点为(0,1)，则直线l的方程为__________．
解析：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0?(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a.
由此知圆心为(－1,2)．
弦中点与圆心连线的斜率为＝－1，
由圆的性质知：弦AB所在直线即l的斜率为k＝1.
故l的方程为x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
14．过点A(m,2)总可以作两条直线和圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4相切，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意，点A在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的外部，故(m＋1)2＋(2－2)2>4，即|m＋1|>2，
解得m>1或m<－3.
答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤)
15．(本小题满分12分)菱形ABCD中，A(－4,7)，C(6，－5)，BC边所在的直线过点P(8，－1)，求：
(1)AD边所在直线的方程；
(2)对角线BD所在直线的方程．
解：(1)kBC＝2，
∵AD∥BC，
∴kAD＝2.
∴直线AD方程为y－7＝2(x＋4)，
即2x－y＋15＝0.
(2)kAC＝－，
∵菱形对角线互相垂直，
∴BD⊥AC.
∴kBD＝.
而AC中点(1,1)，也是BD的中点，
∴BD：y－1＝(x－1)，
即5x－6y＋1＝0.
16.
(本小题满分12分)(江苏高考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
证明：(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC，
又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，
所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，
所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.
又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，
所以A1F∥平面ADE.
17．(本小题满分12分)若一圆经过直线l：2x＋y＋4＝0与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点．求
(1)面积最小的圆的方程；
(2)过点(2，－1)的圆的方程．
解：设过圆C和直线l的交点的圆的方程为
x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0.
(1)[x＋(1＋λ)]2＋2＝，
∵圆的面积最小，
∴只需r2最小．
∵r2＝＝2＋≥，
∴当λ＝时，r2有最小值.
∴所求圆的方程为
x2＋y2＋2x－4y＋1＋(2x＋y＋4)＝0，
即5x2＋5y2＋26x－12y＋37＝0.
(2)由于圆过点(2，－1)，
∴22＋1＋2×2－4×(－1)＋1＋λ(2×2－1＋4)＝0，
∴14＋7λ＝0，即λ＝－2，
∴所求圆的方程为
x2＋y2＋2x－4y＋1－2(2x＋y＋4)＝0，
即x2＋y2－2x－6y－7＝0.
18．(本小题满分14分)(重庆高考)如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC＝，点D，E在线段AC上，且AD＝DE＝EC＝2，PD＝PC＝4，点F在线段AB上，且EF∥BC.
(1)证明：AB⊥平面PFE；
(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长．
解：(1)证明：由DE＝EC，PD＝PC知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC.
又平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，PE?平面PAC，
所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB.
因为∠ABC＝，EF∥BC，所以AB⊥EF.
从而AB与平面PFE内两条相交直线PE，EF都垂直，
所以AB⊥平面PFE.
(2)设BC＝x，则在Rt△ABC中，
AB＝＝，
从而S△ABC＝AB·BC＝x.
由EF∥BC知，＝＝，得△AFE∽△ABC，
故＝2＝，即S△AFE＝S△ABC.
由AD＝AE，S△AFD＝S△AFE＝×S△ABC＝S△ABC＝x，
从而四边形DFBC的面积为
S四边形DFBC＝S△ABC－S△AFD
＝x－x
＝x.
由(1)知PE⊥平面ABC，
所以PE为四棱锥P-DFBC的高．
在Rt△PEC中，PE＝＝ ＝2，
所以V四棱锥P-DFBC＝S四边形DFBC·PE
＝×x×2＝7，
所以x4－36x2＋243＝0，
解得x2＝9或x2＝27.
由于x>0，因此x＝3或x＝3.
所以BC＝3或BC＝3.