第四章 图形的性质 第26节 多边形与平行四边形
■知识点一：多边形的有关知识
1.多边形的相关概念
（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为．21世纪教育网版权所有
2.多边形的内角和、外角和
(1) 内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°
（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.
3.正多边形
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.
（2）正n边形的每个内角为，每一个外角为
(3) 正n边形有n条对称轴.
（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.
■知识点二：平行四边形的性质
1.平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“ ”表示.
2.平行四边形的性质
（1）边：两组对边分别平行且相等.即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.
（2）角：对角相等，邻角互补.
即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.
（3）对角线：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD
（4）对称性：中心对称但不是轴对称.
3.平行四边形中的几个解题模型
（1）如图①，AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为等腰三
形，即AB=BF.
（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；
两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；
根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半.
（3） 如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，
可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.
（4） 根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD.
注意：利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法：
（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.
（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题.
（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.
■知识点三：平行四边形的判定
（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是?.
（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是?.
（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是?.
（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是?.
（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是?.
■考点1.多边形的有关知识
◇典例：
1. （2008?杭州）在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．
【考点】多边形的对角线．
【分析】首先从特殊四边形的对角线观察起，则四边形是2条对角线，五边形有5=2+3条对角线，六边形有9=2+3+4条对角线，则七边形有9+5=14条对角线，则八边形有14+6=20条对角线．21·cn·jy·com
解：凸八边形的对角线条数应该是20． 理由：∵从一个顶点发出的对角线数目，它不能向本身引对角线，不能向相邻的两个顶点引对角线， ∴从一个顶点能引的对角线数为（n-3）条； ∵n边形共有n个顶点， ∴能引n（n-3）条，但是考虑到这样每一条对角线都重复计算过一次， ∴能引条． ∴凸八边形的对角线条数应该是：×8×(8－3)＝20条www.21-cn-jy.com
2.（2017?临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
【考点】多边形内角与外角．
【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．
解：设所求正n边形边数为n，由题意得 （n-2）?180°=360°×2 解得n=6． 则这个多边形是六边形． 故选：C．2·1·c·n·j·y
◆变式训练
1.（2011?杭州模拟）k边形共有k条对角线，则k=_________
2.（2017?云南）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
■考点2.平行四边形的性质
◇典例
（2017?菏泽）如图，E是?ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于F，若CD=6，求BF的长．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质得出AB=CD=6，AB∥CD，由平行线的性质得出∠F=∠DCE，由AAS证明△AEF≌△DEC，得出AF=CD=6，即可求出BF的长．2-1-c-n-j-y
解：∵E是?ABCD的边AD的中点，
∴AE=DE，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，AB∥CD，
∴∠F=∠DCE，
在△AEF和△DEC中，，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD=6，
∴BF=AB+AF=12．
◆变式训练
（2017?无锡）已知，如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连DE并延长交AB的延长线于点F，求证：AB=BF．21*cnjy*com
■考点3.平行四边形的判定
◇典例：
（2017?镇江）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）由已知角相等，利用对顶角相等，等量代换得到同位角相等，进而得出DB与EC平行，再由内错角相等两直线平行得到DE与BC平行，即可得证；
（2）由角平分线得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换得到一对角相等，再利用等角对等边得到CN=BC，再由平行四边形对边相等即可确定出所求．
（1）证明：∵∠A=∠F，
∴DE∥BC，
∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF，
∴∠DMF=∠2，
∴DB∥EC，
则四边形BCED为平行四边形；
（2）解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN=∠CBN，
∵EC∥DB，
∴∠CNB=∠DBN，
∴∠CNB=∠CBN，
∴CN=BC=DE=2．
◆变式训练
（2017?大庆）如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE=BF．
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）当∠C=45°，BD=2时，求D，F两点间的距离．
1.（2017年浙江宁波市鄞州区模拟）一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
2.（2017?宜昌）如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
3.（2017?扬州）在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠A= ．
4.（2017?南京）如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+
∠D= °．
5.（2016年浙江省衢州市）已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），
C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x= ．
6.（2017?牡丹江）如图，点E，F分别放在?ABCD的边BC、AD上，AC、EF交于点O，请你添加一个条件（只添一个即可），使四边形AECF是平行四边形，你所添加的条件是 ．
7.（2017?抚顺）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD=3时，线段BC的长为 ．
8.(2017红河中考)一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角都等于它的相邻内角的，求这个多边形的外角．
9.（2017年浙江省温州市 一模）如图，在方格纸中，点A，B，P都在格点上．请按要求画出以AB为边的格点四边形，使P在四边形内部（不包括边界上），且P到四边形的两个顶点的距离相等．www-2-1-cnjy-com
（1）在图甲中画出一个?ABCD．
（2）在图乙中画出一个四边形ABCD，使∠D=90°，且∠A≠90°．（注：图甲、乙在答题纸上）
10.（浙江杭州市开发区 ）已知，如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF=DC，连结CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形，请说明理由．
1.（2017年浙江宁波市慈溪市第七区域模拟）若一个多边形的每个外角都等于45°，则它的内角和等于（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．720° B．1040° C．1080° D．540°
2.（2016年浙江省温州市）六边形的内角和是（ ）
A．540° B．720° C．900° D．1080°
3.（2016年浙江杭州市模拟命题比赛）一个多边形的内角中，锐角的个数最多有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4. （2016年浙江舟山市）已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5.（浙江杭州市开发区期末）已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=（ ）
A． 18° B． 36° C． 72° D． 144°
6.（2017年浙江省丽水市 ）如图，在?ABCD中，连结AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是（ ）21cnjy.com
A． B．2 C．2 D．4
7.（2016年浙江省衢州市）如图，在?ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（ ）21·世纪*教育网
A．45° B．55° C．65° D．75°
8.（2016年浙江省丽水市）如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（ ）21教育网
A．13 B．17 C．20 D．26
9. （2016年浙江省绍兴市）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③
10.（2016年浙江宁波市）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3
11.（2017年浙江宁波市 模拟试卷（二））十边形的外角和是 °．
12.（浙江杭州市开发区期末）如图，在?ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则?ABCD的周长为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
13.（2016年浙江省杭州市）在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（0，1），C（3，1），若线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为 ．
14.（2016年浙江省温州市）如图，在方格纸中，点A，B，P都在格点上．请按要求画出以AB为边的格点四边形，使P在四边形内部（不包括边界上），且P到四边形的两个顶点的距离相等．【出处：21教育名师】
（1）在图甲中画出一个?ABCD．
（2）在图乙中画出一个四边形ABCD，使∠D=90°，且∠A≠90°．（注：图甲、乙在答题纸上）
15.（2016年浙江舟山市）如图1，已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形：
（1）如图2，将图1中的点C移动至与点E重合的位置，F，G，H仍是BC，CD，DA的中点，求证：四边形CFGH是平行四边形；【版权所有：21教育】
（2）如图3，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，C，B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与BC，CD，DA的中点F，G，H组成正方形CFGH；
（3）在（2）条件下求出正方形CFGH的边长．
第四章 图形的性质 第26节 多边形与平行四边形
■知识点一：多边形的有关知识
1.多边形的相关概念
（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为．21*cnjy*com
2.多边形的内角和、外角和
(1) 内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°
（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.
3.正多边形
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.
（2）正n边形的每个内角为，每一个外角为
(3) 正n边形有n条对称轴.
（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.
■知识点二：平行四边形的性质
1.平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“ ”表示.
2.平行四边形的性质
（1）边：两组对边分别平行且相等.
即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.
（2）角：对角相等，邻角互补.
即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.
（3）对角线：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD
（4）对称性：中心对称但不是轴对称.
3.平行四边形中的几个解题模型
（1）如图①，AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为等腰三
形，即AB=BF.
（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；
两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；
根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半.
（3） 如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，
可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.
（4） 根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD.
注意：利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法：
（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.
（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题.
（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.
■知识点三：平行四边形的判定
（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是?.
（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是?.
（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是?.
（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是?.
（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是?.
■考点1.多边形的有关知识
◇典例：
1. （2008?杭州）在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．
【考点】多边形的对角线．
【分析】首先从特殊四边形的对角线观察起，则四边形是2条对角线，五边形有5=2+3条对角线，六边形有9=2+3+4条对角线，则七边形有9+5=14条对角线，则八边形有14+6=20条对角线．21cnjy.com
解：凸八边形的对角线条数应该是20． 理由：∵从一个顶点发出的对角线数目，它不能向本身引对角线，不能向相邻的两个顶点引对角线， ∴从一个顶点能引的对角线数为（n-3）条； ∵n边形共有n个顶点， ∴能引n（n-3）条，但是考虑到这样每一条对角线都重复计算过一次， ∴能引条． ∴凸八边形的对角线条数应该是：×8×(8－3)＝20条2-1-c-n-j-y
2.（2017?临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
【考点】多边形内角与外角．
【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．
解：设所求正n边形边数为n，由题意得 （n-2）?180°=360°×2 解得n=6． 则这个多边形是六边形． 故选：C．21*cnjy*com
◆变式训练
1.（2011?杭州模拟）k边形共有k条对角线，则k=_________
【考点】多边形的对角线．
【分析】n边形共有对角线 条，即可列出方程： =k，求解即可．
解：根据题意得：=k， 解得k1=5，k2=0（不符题意，舍去）， 故答案为：5．
2.（2017?云南）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【考点】多边形内角与外角．
【分析】设这个多边形是n边形，内角和是（n-2）?180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
解：设这个多边形是n边形， 则（n-2）?180°=900°， 解得：n=7， 即这个多边形为七边形． 故本题选C．
■考点2.平行四边形的性质
◇典例
（2017?菏泽）如图，E是?ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于F，若CD=6，求BF的长．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质得出AB=CD=6，AB∥CD，由平行线的性质得出∠F=∠DCE，由AAS证明△AEF≌△DEC，得出AF=CD=6，即可求出BF的长．21·cn·jy·com
解：∵E是?ABCD的边AD的中点，
∴AE=DE，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，AB∥CD，
∴∠F=∠DCE，
在△AEF和△DEC中，，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD=6，
∴BF=AB+AF=12．
◆变式训练
（2017?无锡）已知，如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连DE并延长交AB的延长线于点F，求证：AB=BF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据线段中点的定义可得CE=BE，根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥CD，AB=CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DCB=∠FBE，然后利用“角边角”证明△CED和△BEF全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=BF，从而得证．
证明：∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠DCB=∠FBE，
在△CED和△BEF中，，
∴△CED≌△BEF（ASA），
∴CD=BF，
∴AB=BF．
■考点3.平行四边形的判定
◇典例：
（2017?镇江）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）由已知角相等，利用对顶角相等，等量代换得到同位角相等，进而得出DB与EC平行，再由内错角相等两直线平行得到DE与BC平行，即可得证；
（2）由角平分线得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换得到一对角相等，再利用等角对等边得到CN=BC，再由平行四边形对边相等即可确定出所求．
（1）证明：∵∠A=∠F，
∴DE∥BC，
∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF，
∴∠DMF=∠2，
∴DB∥EC，
则四边形BCED为平行四边形；
（2）解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN=∠CBN，
∵EC∥DB，
∴∠CNB=∠DBN，
∴∠CNB=∠CBN，
∴CN=BC=DE=2．
◆变式训练
（2017?大庆）如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE=BF．
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）当∠C=45°，BD=2时，求D，F两点间的距离．
【考点】平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，证出∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，得出∠DEG=∠C，证出∠F=∠DEG，得出BF∥DE，即可得出结论；
（2）证出△BDE、△BEF是等腰直角三角形，由勾股定理得出BF=BE=BD=，作FM⊥BD于M，连接DF，则△BFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出FM=BM=BF=1，得出DM=3，在Rt△DFM中，由勾股定理求出DF即可．21教育名师原创作品
（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠C，
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，
∴∠DEG=∠C，
∵BE=BF，
∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC，
∴∠F=∠DEG，
∴BF∥DE，
∴四边形BDEF为平行四边形；
（2）解：∵∠C=45°，
∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°，
∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=BE=BD=，
作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：
则△BFM是等腰直角三角形，
∴FM=BM=BF=1，
∴DM=3，
在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF==，
即D，F两点间的距离为．
1.（2017年浙江宁波市鄞州区模拟）一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
【考点】多边形内角与外角．
【分析】设这个多边形是n（n≥3）边形，则它的内角和是（n﹣2）180°，得到关于n的方程组，就可以求出边数n．【来源：21cnj*y.co*m】
解：设这个多边形是n边形，由题意知，
（n﹣2）×180°=1080°，
∴n=8，
所以该多边形的边数是八边形．
故选C．
2.（2017?宜昌）如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和定理即可判断．
解：∵①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，③剪开后的两个图形是三角形，它们的内角和都是180°；
∴①③剪开后的两个图形的内角和相等，
故选B．
3.（2017?扬州）在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠A= ．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】利用平行四边形的对角相等、邻角互补可求得答案．
解：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，∠A+∠B=180°，
∵∠B+∠D=200°，
∴∠B=∠D=100°，
∴∠A=180°﹣∠B=180°﹣100°=80°，
故答案为：80°．
4.（2017?南京）如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+
∠D= °．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据补角 的定义得到∠AED=115°，根据五边形的内角和即可得到结论．
解：∵∠1=65°，
∴∠AED=115°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=540°﹣∠AED=425°，
故答案为：425．
5.（2016年浙江省衢州市）已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），
C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x= ．
【考点】平行四边形的判定；坐标与图形性质．
【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A．B、O的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定C的位置，从而求出x的值．
解：根据题意画图如下：
以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则C（4，1）或（﹣2，1），
则x=4或﹣2；
故答案为：4或﹣2．
6.（2017?牡丹江）如图，点E，F分别放在?ABCD的边BC、AD上，AC、EF交于点O，请你添加一个条件（只添一个即可），使四边形AECF是平行四边形，你所添加的条件是 ．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】根据平行四边形的性质得出AF∥CE，再根据平行四边形的判定定理得出即可．
解：AF=CE，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
即AF∥CE，
∵AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
故答案为：AF=CE．
7.（2017?抚顺）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD=3时，线段BC的长为 ．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形，可得到AD=BC．
解：由条件可知AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD=3．
故答案为3．
8.(2017红河中考)一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角都等于它的相邻内角的，求这个多边形的外角．
解：设多边形内角为x°.
则x＋x＝180，
解得x＝108，
外角为180°－108°＝72°.
答：这个多边形的外角为72°.
9.（2017年浙江省温州市 一模）如图，在方格纸中，点A，B，P都在格点上．请按要求画出以AB为边的格点四边形，使P在四边形内部（不包括边界上），且P到四边形的两个顶点的距离相等．www.21-cn-jy.com
（1）在图甲中画出一个?ABCD．
（2）在图乙中画出一个四边形ABCD，使∠D=90°，且∠A≠90°．（注：图甲、乙在答题纸上）
【考点】平行四边形的性质．
【分析】（1）先以点P为圆心、PB长为半径作圆，会得到4个格点，再选取合适格点，根据平行四边形的判定作出平行四边形即可；
（2）先以点P为圆心、PB长为半径作圆，会得到8个格点，再选取合适格点记作点C，再以AC为直径作圆，该圆与方格网的交点任取一个即为点D，即可得．
解：（1）如图①：
．
（2）如图②，
．
10.（浙江杭州市开发区 ）已知，如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF=DC，连结CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形，请说明理由．
【考点】矩形的判定；平行四边形的判定．
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得出即可；
（2）可证△AFE≌△DBE，得出AF=BD，进而根据AF=DC，得出D是BC中点的结论，根据等腰三角形三线合一的性质知AD⊥BC；而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又AD⊥BC，则四边形ADCF是矩形．
（1）证明：∵AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）解：当AB=AC时，四边形ADCF为矩形，
理由是：∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）．
∴AF=BD．
∵AF=DC，
∴BD=DC．
∵AB=AC，
∴AD⊥BC即∠ADC=90°．
∴平行四边形ADCF是矩形，
即当AB=AC时，四边形ADCF为矩形．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用，熟记特殊平行四边形的判定方法是解题的关键
1.（2017年浙江宁波市慈溪市第七区域模拟）若一个多边形的每个外角都等于45°，则它的内角和等于（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．720° B．1040° C．1080° D．540°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以先求出多边形的边数．再根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°求出多边形的内角和．
解：∵一个多边形的每个外角都等于45°，
∴多边形的边数为360°÷45°=8，
∴这个多边形的内角和=180°×（8﹣2）=1080°．
故选：C．
2.（2016年浙江省温州市）六边形的内角和是（ ）
A．540° B．720° C．900° D．1080°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】多边形内角和定理：n变形的内角和等于（n﹣2）×180°（n≥3，且n为整数），据此计算可得．
解：由内角和公式可得：（6﹣2）×180°=720°，
故选：B．
3.（2016年浙江杭州市模拟命题比赛）一个多边形的内角中，锐角的个数最多有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】多边形内角与外角．
【分析】利用多边形的外角和是360度即可求出答案．
解：因为多边形的外角和是360度，在外角中最多有三个钝角，如果超过三个则和一定大于360度，
多边形的内角与相邻的外角互为邻补角，则外角中最多有三个钝角时，内角中就最多有3个锐角．
故选A．
4. （2016年浙江舟山市）已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先根据一个正多边形的内角是140°，求出每个外角的度数是多少；然后根据外角和定理，求出这个正多边形的边数是多少即可．21世纪教育网版权所有
解：360°÷（1800-1400）
=360°÷40°
=9．
答：这个正多边形的边数是9．
故选：D．
5.（浙江杭州市开发区期末）已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=（ ）
A． 18° B． 36° C． 72° D． 144°
【考点】平行四边形的性质；平行线的性质．
【分析】关键平行四边形性质求出∠C=∠A，BC∥AD，推出∠A+∠B=180°，求出∠A的度数，即可求出∠C．【出处：21教育名师】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A，BC∥AD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=4∠A，
∴∠A=36°，
∴∠C=∠A=36°，
故选B．
点评：本题考查了平行四边形性质和平行线的性质的应用，主要考查学生运用平行四边形性质进行推理的能力，题目比较好，难度也不大．【版权所有：21教育】
6.（2017年浙江省丽水市）如图，在?ABCD中，连结AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【考点】平行四边形的性质．
【分析】证出△ACD是等腰直角三角形，由勾股定理求出AD，即可得出BC的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2，BC=AD，∠D=∠ABC=∠CAD=45°，
∴AC=CD=2，∠ACD=90°，
即△ACD是等腰直角三角形，
∴BC=AD==2；
故选：C．
7.（2016年浙江省衢州市）如图，在?ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形对角相等，求出∠BCD，再根据邻补角的定义求出∠MCD即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠BCD=135°，
∴∠MCD=180°﹣∠DCB=180°﹣135°=45°．
故选A．
8.（2016年浙江省丽水市）如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（ ）
A．13 B．17 C．20 D．26
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，即可求出△OBC的周长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，
∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．
故选：B．
9. （2016年浙江省绍兴市）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③
【考点】平行四边形的判定．
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
解：∵只有②③两块角的两边互相平行，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选D．
10.（2016年浙江宁波市）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3
【考点】平行四边形的性质．
【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．21·世纪*教育网
解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，
则S2=（a+c）（a﹣c）=a2﹣c2，
∴S2=S1﹣S3，
∴S3=2S1﹣2S2，
∴平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1．
故选A．
11.（2017年浙江宁波市 模拟试卷（二））十边形的外角和是 °．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的外角和等于360°即可得十边形的外角和是360°．
解：因为任意一个多边形的外角和都等于360°
∴十边形的外角和是360°
12.（浙江杭州市开发区期末）如图，在?ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则?ABCD的周长为 ．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE=DE=AB，再求出?ABCD的周长．
解：∵CE平分∠BCD交AD边于点E，
∴∠ECD=∠ECB，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠DEC=∠ECB，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC，
∵AD=2AB，
∴AD=2CD，
∴AE=DE=AB=3，
∴?ABCD的周长为：2×（3+6）=18．
故答案为：18．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质，得出∠DEC=∠DCE是解题关键．
13.（2016年浙江省杭州市）在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（0，1），C（3，1），若线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为 ．
【考点】关于原点对称的点的坐标；平行四边形的判定与性质．
【分析】直接利用平行四边形的性质得出D点坐标，进而利用关于原点对称点的性质得出答案．
解：如图所示：∵A（2，3），B（0，1），C（3，1），线段AC与BD互相平分，
∴D点坐标为：（5，3），
∴点D关于坐标原点的对称点的坐标为：（﹣5，﹣3）．
故答案为：（﹣5，﹣3）．
14.（2016年浙江省温州市）如图，在方格纸中，点A，B，P都在格点上．请按要求画出以AB为边的格点四边形，使P在四边形内部（不包括边界上），且P到四边形的两个顶点的距离相等．21教育网
（1）在图甲中画出一个?ABCD．
（2）在图乙中画出一个四边形ABCD，使∠D=90°，且∠A≠90°．（注：图甲、乙在答题纸上）
【考点】平行四边形的性质．
【分析】（1）先以点P为圆心、PB长为半径作圆，会得到4个格点，再选取合适格点，根据平行四边形的判定作出平行四边形即可；2·1·c·n·j·y
（2）先以点P为圆心、PB长为半径作圆，会得到8个格点，再选取合适格点记作点C，再以AC为直径作圆，该圆与方格网的交点任取一个即为点D，即可得．
解：（1）如图①：
．
（2）如图②，
．
15.（2016年浙江舟山市）如图1，已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形：
（1）如图2，将图1中的点C移动至与点E重合的位置，F，G，H仍是BC，CD，DA的中点，求证：四边形CFGH是平行四边形；www-2-1-cnjy-com
（2）如图3，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，C，B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与BC，CD，DA的中点F，G，H组成正方形CFGH；
（3）在（2）条件下求出正方形CFGH的边长．
【考点】平行四边形的判定．
【分析】（1）连接BD根据三角形的中位线的性质得到CH∥BD，CH=BD，同理FG∥BD，FG=BD，由平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据三角形的中位线的性质和正方形的性质即可得到结果；
（3）根据勾股定理得到BD=，由三角形的中位线的性质得到FG=BD=，于是得到结论．
（1）证明：如图2，连接BD，∵C，H是AB，DA的中点，
∴CH是△ABD的中位线，
∴CH∥BD，CH=BD，
同理FG∥BD，FG=BD，
∴CH∥FG，CH=FG，
∴四边形CFGH是平行四边形；
（2）如图3所示，
（3）解：如图3，∵BD=，∴FG=BD=，∴正方形CFGH的边长是．
