课时10 等比数列的前n项和（2）
教学目标
综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n项求和公式解决相关问题，提高学生分析、解决问题的能力
教学过程
[例题分析]
例1已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.21世纪教育网版权所有
例2已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列.21教育网
例3求数列2x2，3x3，4x4，…，nxn，…的前n项和
小结：
例4求和：（1）（x＋）＋（x2＋）＋…＋（xn＋）(其中x≠0，x≠1，y≠1)
（2）（x＋）2＋（x2＋）2＋…＋（xn＋）2
例5求数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…的前n项和Sn
当堂练习
1．等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，求a17＋a18＋a19＋a20的值
2．数列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)
(1)证明数列{an}为等比数列；（2）求通项an；(3)当k＝－1时，求和a12＋a22＋…＋an2
课时11 数列的通项
教学目标：
掌握求数列通项的几种常用方法：公式、累加迭乘、利用an和Sn的关系、构造换元、递归迭代等。
一、基本题型：
例1（1）已知数列{an}满足a1=0， an＋1=an+2n，求通项公式an
（2）已知数列{an}满足a1=1，，求通项公式an
例2.已知数列{an}中，an>0，Sn是数列的前n项和，求适合下列条件的通项公式an;
（1）＋＝2Sn； （2）4Sn＝（），
例3数列{an}中，a1=1，3an=4an－1+2（n≥2），求通项公式an
例4（1）数列{an}满足：，求通项公式an
（2）设{an}是首项为1的正项数列，且（）,
求通项公式an
例5设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足5，5，5成等比数列，lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an、bn.21教育网
当堂练习
已知数列{an}中，a1=，a2=并且数列log2（a2－），log2（a3－），…，log2（an+1－）是公差为－1的等差数列，而a2－，a3－，…，an+1－是公比为的等比数列，求数列{an}的通项公式.21世纪教育网版权所有
课时12 数列的求和
1．倒序相加法：将一个数列倒过来排列（倒序），当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。如等差数列的求和公式的推导。21世纪教育网版权所有
2．错位相减法：这是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前项和，其中，分别是等差数列和等比数列。
例1求数列的前项和
3．分组求和法：将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和
例2 ，求数列的前项和
4．公式法：利用已知的求和公式来求积，如等差数列与等比数列的求和公式。再如下面几个重要公式
（1）；（2）
（3）；（4）
（5）
例3求数列的和
5．拆项（裂项）相消法
例4 ，求数列的前项和
例5 ，求数列的前项和
常用技巧：
（1）；（2）
（3）
6．通项化归法
例6．求数列的前项和
练习：求数列5，55，555，5555，…前项和
7．奇偶分析项：当数列中的项有符号限制时，应分为奇数、偶数进行讨论，一般地，先求，再求，且
例6若，求数列的前项和
8．利用符号求和：
例7（1）
（2）
课时1 数列
教学目标
理解数列的概念、表示、分类、通项等基本概念，了解数列和函数之间的关系，了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；.21教育网
教学过程
首先我们来看一些例子.
1，2，3，4，…，50 ①
1，2，22，23，…，263 ②
15，5，16，16，28 ③
0，10，20，30，…，1000 ④
1，0.84，0.842，0.843，… ⑤
请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？
它们均是一列数，它们是有一定次序的.
1．数列定义：
2．数列的通项公式：
思考：（1）{an}与an有何区别和联系？
（2）数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？
3、数列的表示法
（1）解析法 （2）列表法 （3）图象法
4、数列的分类
按项数分
按项与项的大小分
按任何一项的绝对值是否都小于某一正数分
[例题分析]
例1根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项：
(1)an＝； (2)an＝(－1)n·n
例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，3，5，7； (2) ，，， (3)－，，－，.
例3已知数列的通项公式为，问45是否是数列中的项？为什么？
例4 写出下列各数列的一个通项公式使它的前几项分别是下列各数
⑴ ⑵
⑶ 3，5，9，17，33 ⑷ 5， 55，555，5555
⑸ ⑹
⑺ ⑻ b, a, b, a
小结：
例题5 已知下列数列的通项公式，问n取何值时，an最小？
（1） （2） （3）
例题6 已知数列通项公式
（1）解不等式 （2）试问：该数列中是否存在最大的项？，若存在，是第几项，若不存在，请说明理由21世纪教育网版权所有
当堂练习
1．已知数列，则是此数列中的（ ）
（A） 第48项 （B） 第49项 （C） 第50项 （D） 第51项
2．数列中，……，那么
课时2 等差数列（1）
教学目标
明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，会解决知道an,a1,d, n中的三个，求另外一个的问题；21教育网
教学过程
1，2，3，4，5，6； ①
10，8，6，4，2，…； ②
21，21，22，22，23，23，24，24，25 ③
2，2，2，2，2，… ④
请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?是否可以写出这些数列的通项公式？
1、等差数列定义：
2、等差数列的通项公式：
[例题分析]
例1（1）求等差数列8，5，2…的第20项
（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13…的项?如果是，是第几项?
例2在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d..
例3（1）在等差数列{an}中，已知a5＝10，a15＝25，求a25.
（2）已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值.
例4已知等差数列{an}中，a15＝33，a45＝153，试问217是否为此数列的项？若是说明是第几项；若不是，说明理由.21世纪教育网版权所有
例5 两个等差数列5，8，11，……和3，7，11，……都有100项，那么它们共有多少相同的项？
例6一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？
当堂练习
1．等差数列{a n}中，已知 （ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
2. 已知等差数列的首项为，从第10项开始比1大，则公差d的取值范围是（ ）
课时3 等差数列（2）
教学目标
明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式
教学过程
问题：如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么A应满足什么条件？
如果a、A、b成等差数列，那么a叫做a与b的等差中项.
1、A＝a，A，b成等差数列.
2、在一等差数列中，有下列性质
（1）（）；
（2）若。
[例题分析]
例1梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.21世纪教育网版权所有
例2已知数列的通项公式为an＝pn＋q，其中p、q是常数，且p≠0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？21教育网
例3已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.
例4已知数列{an}为等差数列，a1＝2，a2＝3，若在每相邻两项之间插入三个数后，和原数列仍构成一个等差数列，试问：21cnjy.com
（1）原数列的第12项是新数列的第几项？
（2）新数列的第29项是原数列的第几项？
例5在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28，求的通项公式.
当堂练习
1. 在等差数列中，，，则=
2．已知方程的四个根组成的一个首项为的等差数列，则
课时4 等差数列的前n项和（1）
教学目标
掌握等差数列前n项和公式及其获取思路，会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题；21世纪教育网版权所有
教学过程:
问题：如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔?
设等差数列{an}的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an ①
把项的次序反过来，Sn又可写成Sn＝an＋an－1＋…＋a1 ②
①＋②2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)
又∵a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3＝…＝an＋a1
∴2Sn＝n(a1＋an)
即：Sn＝
又∵an＝a1+(n－1)d,
∴Sn＝＝＝na1＋d
等差数列前n项和公式：Sn＝或Sn＝na1＋d
[例题分析]
例1在等差数列{an}中，
（1）已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，求S16；（2）已知a6＝20，求S11.
例2有一项数为2n＋1的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比.
例3若两个等差数列的前n项和之比是（7n＋1）:(4n＋27)，试求它们的第11项之比.
例4在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列，求这10个数的和.
例5在凸多边形中，已知它的内角度数组成公差为5°的等差数列，且最小角是120°，试问它是几边形？
当堂练习
1. 在等差数列中，，则此数列前13项之和为（ ）
（A） 26 （B） 13 （C） 52 （D） 156
2．数列中，……，那么
课时5 等差数列的前n项和（2）
教学目标：
进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；提高学生的应用意识.21教育网
[例题分析]
例1求集合M＝{m｜m＝7n，n∈N*，且m＜100}的元素个数，并求这些元素的和
例2已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗?21cnjy.com
例3已知数列{an}是等差数列，a1＞0，S9＝S17，试问n为何值时，数列的前n项和最大？最大值为多少？21·cn·jy·com
例4 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大？并说明理由
当堂练习
1．若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An 、Bn，且满足，则的值为 21世纪教育网版权所有
2．数列{an}是等差数列，a1＝50，d＝－0.6.
(1)求从第n项开始有an<0；(2)求此数列的前n项和的最大值.
课时6 等差数列的习题课
【知识点】
1．等差数列的定义：
等差数列的通项公式：
等差数列的求和公式：
2．性质小结：
设{}是公差为的等差数列，那么：
性质1：（）。
性质2：若。
注意：①等差数列的求和公式可化为，当d0时，此式可看作二次项系数为，一次项系数为，常数项为0的二次函数。
②由此可知：当d>0时，有最小值；当d<0时， 有最大值。
③图象：抛物线上的一群孤立点。
性质3：
数列前n项和与通项为之间的关系是，当的表达式时，通项公式要分段表示。
二、例题讲解
例1等差数列{}的前n项和，前m项和（mn ）, 求前m+n项和。
例2一个首项为正数的等差数列，前5项之和与前13项之和相等，那么这个数列的前几项之和最大？
例3已知等差数列{}中，满足求数列的前n项和
例4（1）一个等差数列的前12项之和为354,前12项中偶数项与奇数项的和之比为32:27,求公差。21世纪教育网版权所有
（2）项数为奇数项的等差数列,奇数项之和为44，偶数项之和为33，求项数及中间项。
小结：
例5已知数列{}的前n项和为（1）（2），求数列{}
的通项公式。
【提高与巩固】
等差数列{}的公差为,且前100项和,求的值。
等差数列{}共有2n+1项，其中，
，求项数及中间项。
设是等差数列{}的前n项和，已知，试
求该数列的项数。
课时7 等比数列（1）
教学目标：
掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式及推导；培养学生的发现意识，提高学生创新意识，提高学生的逻辑推理能力，增强学生的应用意识.21·cn·jy·com
教学过程
下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?
1，2，4，8，16，…，263； ①
5，25，125，625，…； ②
1，－，，－，…； ③
仔细观察数列，寻其共同特点.
1、等比数列定义：
注意：1.等比数列的递推公式：
2.“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
｛｝成等比数列=q（,q≠0）
3. 隐含：任一项
4.q= 1时，{an}为常数。既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
2、等比数列的通项公式：
注意：①等比数列的图象是函数图象上的一群孤立点。
②
[例题分析]
例1（1）求等比数列1，2，…第11项，第30项。
（2）在等比数列{}中，已知，求。
（3）在2与32之间插入3个数，使它们成GP，求这三个数
例2一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项
例3在等比数列{}中，，求
例4有四个数，前三个数成等比数列，且积为27，后三个数成等差数列，且和为18，求此四个数
当堂练习
已知{an}是无穷等比数列，公比为q.
(1)将数列{an}中的前k项去掉，剩余各项组成一个新数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？21世纪教育网版权所有
(2)取出数列{an}中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？21教育网
(3)在数列{an}中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？21cnjy.com
课时8 等比数列（2）
教学目标
掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式及推导；培养学生的发现意识，提高学生创新意识，提高学生的逻辑推理能力，增强学生的应用意识.21世纪教育网版权所有
教学过程
1．如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G＝±，(a，b同号)21教育网
2．由通项公式可得：am＝anqm－n
[例题分析]
例1在等比数列{an}中，若a3·a5＝100，求a4.
例2已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证{an·bn}是等比数列
例3三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数.
例4有四个数，前三个数成等比数列，且积为27，后三个数成等差数列，且和为18，求此四个数
例5已知数列{}满足
（1）求证数列成等比数列；（2）求
当堂练习
1.有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.
2.设x＞y＞2，且x＋y，x－y，xy，能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列
课时9 等比数列的前n项和（1）
教学目标
会用等比数列求和公式进行求和，灵活应用公式与性质解决一些相关问题；培养学生的综合能力，提高学生的数学修养21cnjy.com
教学过程
等比数列求和公式：
（1）当q＝1，Sn＝na1
（2）当q≠1时，Sn＝ ①
或Sn＝ ②
若已知a1，q，n，则选用公式①；当已知a1，q，an时，则选用公式②.
[例题分析]
例1求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.
例2一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人?.21·cn·jy·com
例3在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成等比数列，求这10个数的和.
例4等比数列{an}的各项均为正数，其前n项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n项之和为Sn，且Sn=80，S2n=6560，求：21世纪教育网版权所有
（1）通项公式an；（2）前100项之和S100
例5设数列｛an｝，a1＝，若以a1，a2，…，an为系数的二次方程：an－1x2－anx＋1＝0（n∈Ｎ*且n≥2）都有根α、β且满足3α－αβ＋3β＝1.21教育网
（1）求证:｛an－｝为等比数列；
（2）求an；
（3）求｛an｝的前n项和Sn.
当堂练习
1．等比数列｛an｝的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为
2、等比数列前项和为54，前项和为60，则前项和为
