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人教版数学六年级上第八单元教学设计
课题 数与形的结合 单元 第八单元 学科 数学 年级 六年级
学习目标 1、知识与技能 1）重视“数”“形”之间的联系，找到解题规律。2）引导学生探究算式左边的加数与大正方形右上角的小正方形和其他“ ”形图形所包含的小正方形个数的关系，发现“数”“形”之间的联系，找到其中的规律，使学生在体验用形表示数的直观性的同时，学会应用规律解决问题。过程与方法1）借助“数”“形”之间的关系，解决相关问题。2）使学生在初步了解、运用“数形结合”思想方法的同时，体验到数学的极限思想。3、情感态度与价值观在巩固练习时，充分利用习题，引导学生在解决问题时能举一反三地运用所学，使学生的解题能力得到培养。
重点 借助“数”“形”之间的关系，解决相关问题。
难点 体验到数学的极限思想。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 练习引入。下面的图形中各有几个小正方形？你发现了什么？师：今天我们就来研究：数与形。 学生回答老师提出的问题。 直接通过例题引出课题。
讲授新课 学习例题一。 1、师：上面的图会用加法算式表示吗？1）教师课件演示，学生根据课件写出加法算式。2）师订正：1个 1+3=4（个） 1+3+5=9（个）2、观察一下，图和算式有什么关系？把算式补充完整。 1=（ ）2 1+3=（ ）2 1+3+5=（ ）2教师根据学生的汇报小结：我发现：算式左边的加数是每个正方形图左下角的小正方形和其他“ ”形图中所包含的小正方形个数之和，正好等于每个正方形图中每列小正方形个数的平方。观察等号两边的数，它们有什么特点？左右两边的数有什么关系？1+3+5+7=421+3+5+7+9=52教师根据学生的汇报小结：从1开始的几个连续奇数相加，和即是几的平方。6、你能利用规律直接写一写吗？①1＋3＋5＋7＝( )②1＋3＋5＋7+9+11+13＝( )③ ＝92 (4)1＋3＋5＋7+9+……+n＝（ ） n个7、教师根据学生汇报总结：从1开始的n个连续奇数相加，和就是n的平方。8、做一做。1）你能利用规律直接写一写吗？1＋3＋5＋7+5+3+1＝1＋3＋5＋7+9+11+13+11+9+7+5+3+1＝下面每个图形各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？思考：1）从图1到图4红色方块有什么规律吗？从图1到图4蓝色方块有什么规律吗？每个图形中蓝色小正方形的个数和红色小正方形的个数之间的关系有什么规律？填空：照这样画下去，A 第10个图形有（ ）个红色小正方形和（ ）个蓝色小正方形。B 第n个图形有（ ）个红色小正方形和（ ）个蓝色小正方形。（一）计算：++++1）师：仔细观察这些数，你发现了什么规律？教师总结规律：从第二个数开始，每个数是前一个数的。分组计算:+=+=+=+=师:这组题目的规律是：等号右边的数越来越接近1。这个题目还可以用图来表示，这就是我们要学习的例2用图解决问题。板书课题。(二）用圆来解决上面的问题。 师：请同学们准备好圆规和尺子，按老师的提示画图。A 先画出一个圆。B 画出这个圆的，再画出、、、……教师演示画图过程。一边演示，一边引导学生思考：我们的结果越来越接近多少？师：总结：从图上可以看出，这些分数不断地加下去，结果就是1。（三）用线段来解决上面的问题。1、画图。A 学生在教师的提示下画线段。B 画出这条线段的，再画出、、、……教师演示画线段图的过程。一边演示，一边引导学生思考：我们的结果越来越接近多少？师：总结：从图上可以看出，这些分数不断地加下去，结果就是1。（四）小组讨论。你发现什么？教师小结：有些问题，通过画图解起来更直观。（五）学习利用图形的转换。师：= = = = ……可以用正方形表示。（六）知识拓展。1、出示北宋数学家杨辉头像，介绍杨辉三角。我国宋代数学家杨辉早在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角图，我们称之为“杨辉三角”。2、出示杨辉三角。你能发现“杨辉三角”中各数之间的关系吗？你能根据发现的规律，把三角形表续写下去吗？做一做利用所学知识解决下列问题。++++……=课堂练习。1、下面每个图中最外圈有多少个小正方形？32-1＝8 52-32 =16 72 -52=24照这样画下去，第5个图形最外圈有（ ）个小正方形。2、观察图中小正方形的个数，第6个图形中有（ ）小正方形。第n个图形中有（ ）个小正方形。3、如图，用同样的小棒摆正方形，像这样摆10个同样的正方形需要小棒_____根。4、如图每个图形的数都是按照同一个规律排列的．用含字母的等式表示第4幅图的规律是 （ ），如果b=18.2，a=_____。5、找出规律，继续画出第四、第五幅图。 第n个图形空心球的个数=（ ）第n个图形实心球的个数=（ ）6、找出规律，继续画出第四、第五幅图。第一个数：第二个数：第三个数：第四个数：第五个数：7、计 算1----=？提示：提示：用一个正方形表示“1”。8、五个门球队进行循环赛，一共要举行几场比赛。（画图表示） 学生看课件写算式。学生观察，小组讨论并说说自己的发现。。学生观察，小组讨论并说说自己的发现。学生小组合作完成。学生独立完成。学生根据完成思考题，并根据思考题你填空。学生观察算式，找出规律。观察每一步的计算结果，找出规律。学生按老师的提示画图。学生跟随教师思考，回答。学生按老师的提示画图。学生跟随老师思考作答。学生小组讨论，汇报展示。学生自己观察，体会。学生倾听数学教家的故事。学生小组合作找规律。按规律继续填写。学生独立完成。学生独立完成。学生独立完成。学生独立完成。学生独立完成。学生独立完成。学生合作完成。学生合作完成。学生合作完成 学生边看边写，让学生体会数与形的结合。把抽象的事物变得直观。学生自己观察，自己发现，培养学生的观察和总结能力。学生自己观察，自己发现，培养学生的观察和总结能力。体验合作学习的愉悦。培养学生合作解决问题的能力。巩固练习根据数形总结的规律。培养学生独立解决问题的能力。通过学生的观察，找规律，培养学生的观察能力和总结能力。学生画图的时候感受到随着分数的增加结果越来越接近1，让学生体会数与形的结合。把抽象的事物变得直观。学生画图的时候感受到随着分数的增加结果越来越接近1，让学生体会数与形的结合。把抽象的事物变得直观。生根据图和形自己发现规律，独立解决问题。学生小组合作解决问题，让学生体会合作学习的愉悦感。学生观察，思考。培养学生专心听讲的习惯。通过介绍杨辉和杨辉三角形，使学生初步感受数学文化的博大精深，培养学生的爱国情感。培养学生的合作意识，感受合作解决问题快乐。培养学生独立解决问题的能力。巩固练习根究图形找规律。巩固练习根究图形找规律。巩固练习根据图形找规律。巩固练习用图形解决问题。巩固练习用图形解决问题。
数和形真是一对好朋友，数形结合能帮助我们解决好多数学问题。
数形结合百般好，
隔离分家万事休。
华罗庚
练 习 二 十 二
第2、3、4、5题
数形结合百般好， 隔离分家万事休。
华罗庚
教学反思 形的问题中包含着数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决，教学例1时，让学生通过解决问题体会到数与形的完美结合，通过数与形的对应关系，相互印证结果，发现“和”都是“平方数”，再通过图形的规律理解“平方数”（即正方形数）的含义，并让学生大胆说出自己发现的其他规律，从不同角度寻找规律，例如从第一个图到第三个图，每次增加多少个小正方形，用加法怎样列式，加数都是连续奇数，这些奇数在图中什么地方，从而对规律形式更直观的认识。教学例2时，。练习是巩固本课内容的，因此如果罗列一些练习题，总感觉处理方法大同小异。为此，我在设计练习上从两个方面入手，一是利用数形结合计算，二是利用数形结合解决实际问题，虽然练习题的难度稍微大一些，但借助示意图让学生解决，更能让学生体会数形结合解决问题的优越性。
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《数与形的结合》练习
一、填空。
1、1+3+5+7+9=（ ）2=（ ）。
2、2+4+6+8+10=（ ）。
3、如图，小三角形的边长是1cm，第五个图形的周长是（ ）cm。
4、观察图形，找出规律，在括号里填上字母。
5、请你猜一猜第8个图形中一共有（ ）根小棒。
6、1+++++……=
7、1-----……=
8、用同样的小棒摆正方形，每个正方形需要四根小棒，第五个图形需要（ ）根小棒。
9、在平面图上画两条直线最多能形成一个焦点，画三条直线最多能形成三个
焦点……直线数（a）和焦点数（n）之间的关系是（ ）。
10、贝贝用小棒按照下图的方式摆图形，摆1个八角形用8根小棒，摆2个八边形需要15根小棒，摆三个八边形需要（ ）根小棒，……摆n个八边形需要（ ）根小棒。
二、解决问题。
1、观察如图的电子图，找一找有出有什么规律，请在最后一个方框内继续画。
2、第4和第5幅图 的个数是多少？你从中发现了什么数学规律？
3、六年级一班40名同学上学期期末数学成绩考试得优的有10人，良有20人，及格的和待及格的都是5人。请用圆表示上学期期末数学测试的结果。
4、一张桌子可以坐6人，两张桌子拼起来可以坐10人，三张桌子拼起来可以坐14人。像这样共几张桌子拼起来可以坐50人。
5、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如图所示），请你结合这个规律，填写下表：
方桌数 1张 2张 3张 4张 n张
人数
6、有一次篮球比赛,共有10支球队参加比赛,如果每两支球队之间进行一场比赛,一共要比赛多少场
7、甲乙两人从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，AB两地之间的距离是18（千米），甲在走到0.5小时时休息了半小时，继续前行到达B地。乙晚出发半小时，直接汽车到达B地。下面那个是描述甲的，哪个是描述乙的？为什么？
8、用所学知识解决下列问题。
+++++……=
参考答案
一、填空。
1、42=16
解析：根据本课学习的内容可知1+3+5+7+9=42=16。
2、30
解析：2、4、6、8、10是公差为2的等差数列。因此可以等差数列的前n项和公式Sn=na1+n×(n-1)d÷2计算得到和是30。
3、11
解析：根据图意可知，第一个图形的周长是3×1cm，第二图形的周长是（3+2）×1cm,第三个图形的周长是（3+2+2）×1cm，第n个图形的周长是[3+2（n-1)]×1cm,所以第五幅图的周长11cm。
4、cb
解析：根据图意可知，方块是a，三角是b，圆圈是c，字母排列顺序是从内到外，因此
最后一幅图的字母应该是cb。
5、144
解析：由图意可知，第一幅图中横着的小棒2根，竖的小棒2根；第二幅图中横着的小棒2×3根，竖的小棒3×2根，共2×3+3×2=12根；第三幅图中横着的小棒3×4根，竖的小棒4×3根，共3×4+4×3=24根；以此推出第n图形的小棒数是2n（n+1)根。
6、2
解析：因为++++……=1，所以1+++++……=2。
7、0
解析：因为++++……=1，所以1-----……=1=（++++……）=0。
8、16
解析：根据题意第一个图形用四根小棒，第二个图形用4+3根小棒，第三个图形用4+3×2根小棒。由此可得第n个图形用4+3（n-1）根小棒。所以第五幅图用4+3×（5-1）=16根小棒。
9、n=0+1+2+3+…+（a-1）
解析：
当有a条直线时，就有0+1+2+3+…+（a-1）个交点。
10、22 7n+1
解析：根据图意摆一个八边形用8根小棒，摆两个八边形用8+7根小棒，摆3个八边形用8+7+7根小棒，可以推出摆n个八边形用7n+1根小棒。因此第八个图形中的小棒根数是2×8×9=144根。
二、解决问题。
1
解析：根据图意可知，第二幅图比第一幅图每个角上多一个点，第三幅图比第二幅图每个角多以个点，第四幅图比第三幅图每个角又多一个点，所以第五幅图比第四幅图每个角又多以个点，即每边四个点。如图。
2、
第四幅图 第五幅图
解析：根据图意，第一幅点子的个数是12个。第二幅图是22个点子排成的正方形，第三幅图是32个点子，因此第四幅图是42个点子排成的正方形，第五幅图是52个点子排成的正方形，如图。
3、
解析：根据题意，考试得优的10人占总人数的，得良的20人，占总人数的，及格和待及格的占总人数的，因此画图得到上图。
4、解：设第n张桌子可以坐50人。
6+4（n-1）=50
n=12
答：像这样12张桌子拼起来可以坐50人。
解析：第一张桌子可以坐6人；
拼2张桌子可以坐6+4×1=10人；
拼3张桌子可以坐6+4×2=14人；
故n张桌子拼在一起可以坐6+4（n-1）=4n+2．
当4n+2=50时，n=12，故答案为：12张。
5、
方桌数 1张 2张 3张 4张 n张
人数 4 6 8 10 2n+2
6、 10×（10-1）÷2=45 (场）
答：一共要比赛45场
解析：根据题意每两支球队之间都要进行一场比赛，可以画图为:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
从图中看出第一队要打9场，第二队要8场，第三队7场，……因此一共是9+8+7+6+5+……1=45场。
7、第一幅图是乙的。 第二幅图是甲的。
解析：由题意可知，甲比乙早出发半小时，且路上休息半小时，所以第二幅图符合题意。乙比较晚半小时，且中间没有休息，所以第一幅图不符合图意。
8、1
解析：由+= += += +=…… 因此+++++……=1
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数与形的结合
数学人教版 六年级上 第八单元
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教学目标
导入新课
每个图中有几个小正方形？
1个
4个
9个
你能根据图示用算式表示吗？
会用加法算式表示吗？
1个
1+3=4（个）
1+3+5=9（个）
教学目标
新课讲解
1+3+5=（ ）2
教学目标
新课讲解
观察一下，图和算式有什么关系？把算式补充完整。
1=（ ）2
1
1+3=（ ）2
2
3
我发现：算式左边的加数是每个正方形图左下角的小正方形和其他“ “形图中所包含的小正方形个数之和，正好等于每个正方形图中每列小正方形个数的平方。
教学目标
新课讲解
观察等号两边的数，它们有什么特点？左右两边的数有什么关系？
1+3+5+7=42
1+3+5+7+9=52
从1开始的几个连续奇数相加，和即是几的平方。
教学目标
新课讲解
你能利用规律直接写一写吗？
①1＋3＋5＋7＝( )
②1＋3＋5＋7+9+11+13＝( )
③ ＝92
42
72
1＋3＋5＋7+9+11+13+15+17
n个
n2
从1开始的n个连续奇数相加，和就是n的平方。
1＋3＋5＋7+9+……+n＝（ ）
教学目标
做一做
你能利用规律直接写一写吗？
1＋3＋5＋7+5+3+1＝
25
可以分成两部分：
1+3+5+7=42
5+3+1=32
42+32=25
教学目标
做一做
你能利用规律直接写一写吗？
1＋3＋5＋7+9+11+13+11+9+7+5+3+1＝
85
可以分成两部分：
1＋3＋5＋7+9+11+13=72
11+9+7+5+3+1=62
72+62=85
下面每个图形各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？
思考：
1、从图1到图4红色方块有什么规律吗？
2、从图1到图4蓝色方块有什么规律吗？
红色方块依次多一个。
蓝色方块依次多2个。
教学目标
做一做
下面每个图形各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？
思考：
每个图形中蓝色小正方形的个数和红色小正方形的个数之间的关系有什么规律？
蓝色小正方形的个数比红色小正方形的个数的2倍还多6个。
教学目标
做一做
照这样画下去，
1、第10个图形有（ ）个红色小正方形和（ ）
个蓝色小正方形。
2、第n个图形有（ ）个红色小正方形和（ ）
个蓝色小正方形。
10
26
2n+6
教学目标
做一做
n
下面每个图形各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？
教学目标
新课讲解
计 算
仔细观察这些数，你发现了什么规律？
+ + + + + ……
从第二个数开始，每个数是前一个数的 。
你发现了什么规律？
教学目标
新课讲解
+ =
+ =
+ =
+ =
等号右边的数越来越接近1。
可以用一个圆来表示。
教学目标
新课讲解
从图上可以看出，这些分数不断地加下去，结果就是1。
还可以用一条线段来表示。
教学目标
新课讲解
从图上可以看出，这些分数不断地加下去，结果就是1。
你发现什么？
教学目标
新课讲解
小 组 讨 论
有些问题，通过画图解起来更直观。
+ + + + + ……=
1
利用图形还可以转换呀！
教学目标
新课讲解
=
=
=
=
+ + + + + + ……=
1
教学目标
知识拓展
我国宋代数学家杨辉早在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角图，我们称之为“杨辉三角”。
你能发现“杨辉三角”中各数之间的关系吗？你能根据发现的规律，把三角形表续写下去吗？
6
1
15
20
15
6
1
教学目标
知识拓展
教学目标
做一做
利用所学知识解决下列问题。
+ + + +…… =
1
+ =
+ =
+ =
所以原式的结果是1。
……
教学目标
巩固提升
下面每个图中最外圈有多少
个小正方形？
32-1＝8
52-32 =16
72 -52=24
照这样画下去，第5个图形最外圈有（ ）个小正方形。
40
教学目标
巩固提升
观察图中小正方形的个数，第6个图形中有（ ）小正方形。第n个图形中有（ ）个小正方形。
28
如图，用同样的小棒摆正方形，像这样摆10个同样的正方形需要小棒_____根。
教学目标
巩固提升
31
第一个正方体需要4根火柴棒；
第二个正方体需要4+3×1=7根火柴棒；
第三个正方体需要4+3×2=10根火柴棒；
摆n个正方形需4+3×（n-1）=3n+1根火柴棒。
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找出规律，继续画出第四、第五幅图。
教学目标
巩固提升
前面一个图形的空心球的个数+（n-1）
第n个图形空心球的个数=（
）
第n个图形实心球的个数=（
）
前面一个图形的实心球的个数+n
教学目标
巩固提升
找出规律，继续画出第四、第五幅图。
第一个数：
第二个数：
第三个数：
第四个数：
第五个数：
1=1
6=1+5
15=1+5+9
28=1+5+9+13
45=1+5+9+13+17
教学目标
巩固提升
计 算
提示：用一个正方形表示“1”
1 - - - - =
五个门球队进行循环赛，一共要举行几场比赛。
（画图表示）
教学目标
巩固提升
第一队
第二队
第三队
第四队
第五队
4+3+2+1=10（场）
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教学目标
归纳总结
数和形真是一对好朋友，数形结合能帮助我们解决好多数学问题。
我的收获
数形结合百般好，
隔离分家万事休。
华罗庚
教学目标
作业布置
练 习 二 十 二
第2、3、4、5题
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谢 谢！
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