第四章 图形的性质 第24节圆的有关概念与性质
■知识点一：圆的有关概念
(1)圆：平面上到定点的距离等于 定长 的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为 圆心 ，定长为半径 ．
(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧 ，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．
(3)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
(4)相关概念：同心圆、弓形、等圆、等弧．
(5)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
(6)圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是圆周角 ．
(7)确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆，过已知两点可作 无数个圆，过不在同一条直线上的三点可作 一个圆．
(8)圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线；圆是中 对称图形，对称中心为圆心，并且圆具有旋转不变性．
■知识点二：垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ．
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，
③弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ．
④平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等．
■知识点三： 圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
■知识点四：圆周角定理及推论
①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 ．【版权所有：21教育】
推论2：直径所对的网周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
②圆内接四边形的任意一组对角互补．
■考点1.圆的有关概念
◇典例：
（2006?黄石）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定________个不同的圆．
【考点】确定圆的条件．
【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出．
解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆．21*cnjy*com
◆变式训练
（2017?宁夏）如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 __________
■考点2.垂径定理及其推论
◇典例：
（2017?阿坝州）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，
则CD的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】根据垂径定理由OC⊥AB得到AD=AB=4，再根据勾股定理可求出OD，然后用OC﹣OD即可得到DC．2-1-c-n-j-y
解：∵OC⊥AB，
∴AD=BD=AB=×8=4，
在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，
∴OD==3，
∴CD=OC﹣OD=5﹣3=2．
故选A．
◆变式训练
1.（2017?黔西南州）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则
CD的长是（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1
2.（2017?乐山）如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（ ）www.21-cn-jy.com
A．2米 B．2.5米 C．2.4米 D．2.1米
■考点3. 圆心角、弧、弦的关系
◇典例
（2017?牡丹江）如图，在⊙O中，=，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．
【分析】连接OC，先根据=得出∠AOC=∠BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△COD≌△COE，由此可得出结论．【来源：21cnj*y.co*m】
证明：连接OC，
∵=，
∴∠AOC=∠BOC．
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠CDO=∠CEO=90°
在△COD与△COE中，
∵，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD=OE，
∵AO=BO，
∴AD=BE．
◆变式训练
（2017?宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA
■考点4. 圆周角定理及其推论
◇典例：
1.（2017?天水）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=
（ ）
A．2π B．π C．π D．π
【考点】圆周角定理；垂径定理；扇形面积的计算．
【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC．方法二：直接证明：S阴影=S扇形ODB．21世纪教育网版权所有
解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=2，
又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DE?cot60°=2×=2，OD=2OE=4，
∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=﹣OE×DE+BE?CE=﹣2+2=．
故选B．
方法二：证明△CEB≌△DEO（AAS），可得S阴影=S扇形ODB．
【点评】考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
2.（2017?牡丹江）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B=3∠BAC，则∠ADC
等于（ ）
A．100° B．112.5° C．120° D．135°
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】由AB是⊙O的直径，得到∠CAB+∠B=90°，根据∠B=3∠BAC，求得∠B=67.5，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．21教育网
解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠B=90°， ∵∠B=3∠BAC， ∴∠B=67.5， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC=180°-∠B=112.5°， 故选B． 21教育名师原创作品
◆变式训练
1.（2017?黄冈）已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．70°
2.（2017?锦州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，
BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
1.（2017?阜新）如图，△ABC内接于⊙O，且OB⊥OC，则∠A的度数是（ ）
A．90° B．50° C．45° D．30°
2.（2017?呼和浩特）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）
A．26π B．13π C． D．
3.（2016山东省聊城市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
4.（2017?眉山）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC= ____ cm．2·1·c·n·j·y
5.（2017?包头）如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则
∠ACB= 度．
6.（2017?舟山）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O，=90°，弓
形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 cm2．
7.（2017?牡丹江）在半径为20的⊙O中，弦AB=32，点P在弦AB上，且OP=15，则AP= ．
8.（2017?湖州）如图，已知在△ABC中，AB=AC．以AB为直径作半圆O，交BC于点D．若
∠BAC=40°，则的度数是 度．
9.（2017?淮安）如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：
5，则∠D的度数是 °．
10.（2016?湖州）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．
（1）求证：BD=CD；
（2）若圆O的半径为3，求的长．
1.（2017年浙江省金华市中考数学试卷）如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（ ）21cnjy.com
A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm
2.（2016年浙江省绍兴市中考数学）如图，BD是⊙O的直径，点A．C在⊙O上， =，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（ ）21·世纪*教育网
A．60° B．45° C．35° D．30°
3.（2015年浙江宁波市慈溪市中考数学一模）下列说法正确的是（ ）
A．同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等
B．90°的圆心角所对的弦是直径
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．三点确定一个圆
4.（2017年浙江省温州市中考数学一模）若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A：∠B：∠C=1：3：8，则∠D的度数是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．10° B．30° C．80° D．120°
5.（2016年浙江杭州市中考数学模拟命题比赛）如果圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形ABCD一定是（ ）【出处：21教育名师】
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
6.（浙江杭州市萧山区南片质量检测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B=135°，则劣弧的长等于（ ） 21*cnjy*com
A．π B．2π C． 3π D．6π
7.（浙江省嵊州市期末）已知，如图：AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝450。给出以下五个结论：①∠EBC＝22.50，；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤DE＝DC。其中正确结论有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
8.（2016年浙江舟山市 ）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
9.（浙江杭州市萧山区南片质量检测） 如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且AB=4，点分别是的中点，直线与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为5，当GE+FH的值最大时，弦BC的长等于（ ） 【来源：21·世纪·教育·网】
A．8 B．10 C．或8 D．或10
10.（2016年浙江省绍兴市）如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为 cm．
11.（2016年浙江杭州市中考数学模拟命题比赛）已知弦AB与CD交于点E，弧的度数比弧的度数大20°，若∠CEB=m°，则∠CAB= （用关于m的代数式表示）．
12.（2017年浙江义乌、绍兴、金华市 ）如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为 ．
13.（2016年浙江省杭州市）如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A．C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（ ）
A．DE=EB B． DE=EB C． DE=DO D．DE=OB
14.（2015年浙江宁波市慈溪市中考数学一模）如图，在边长为的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），在运动过程中，则线段CP的最小值为 ．
15.（浙江杭州市萧山区南片质量检）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.
(1)求证：CF=BF
(2)若CD=6，CA=8，求AE的长
第四章 图形的性质 第24节圆的有关概念与性质
■知识点一：圆的有关概念
(1)圆：平面上到定点的距离等于 定长 的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为 圆心 ，定长为半径 ．
(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧 ，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．
(3)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
(4)相关概念：同心圆、弓形、等圆、等弧．
(5)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
(6)圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是圆周角 ．
(7)确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆，过已知两点可作 无数个圆，过不在同一条直线上的三点可作 一个圆．【来源：21cnj*y.co*m】
(8)圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线；圆是中 对称图形，对称中心为圆心，并且圆具有旋转不变性．
■知识点二：垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ．
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，
③弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ．
④平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等．
■知识点三： 圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
■知识点四：圆周角定理及推论
①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 ．
推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 ．
推论2：直径所对的网周角是直角 ；90°的圆周角所对的弦是直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
②圆内接四边形的任意一组对角互补．
■考点1.圆的有关概念
◇典例：
（2006?黄石）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定________个不同的圆．
【考点】确定圆的条件．
【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出．
解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆．
◆变式训练
（2017?宁夏）如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 __________
【考点】确定圆的条件．
【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O， 以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆， 由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点， 故答案为：5．
■考点2.垂径定理及其推论
◇典例：
（2017?阿坝州）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，
则CD的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】根据垂径定理由OC⊥AB得到AD=AB=4，再根据勾股定理可求出OD，然后用OC﹣OD即可得到DC．
解：∵OC⊥AB，
∴AD=BD=AB=×8=4，
在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，
∴OD==3，
∴CD=OC﹣OD=5﹣3=2．
故选A．
◆变式训练
1.（2017?黔西南州）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则
CD的长是（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1
【考点】垂径定理．
【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．
解：连接OA，
设CD=x，
∵OA=OC=5，
∴OD=5﹣x，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理可知：AB=4，
由勾股定理可知：52=42+（5﹣x）2
∴x=2，
∴CD=2，
故选（C）
2.（2017?乐山）如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．2米 B．2.5米 C．2.4米 D．2.1米
【考点】垂径定理的应用．
【分析】连接OF，交AC于点E，设圆O的半径为R米，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
解：连接OF，交AC于点E，
∵BD是⊙O的切线， ∴OF⊥BD， ∵四边形ABDC是矩形， ∴AC∥BD， ∴OE⊥AC，EF=AB， 设圆O的半径为R，在Rt△AOE中，AE===0.75米， OE=R-AB=R-0.25， ∵AE2+OE2=OA2， ∴0.752+（R-0.25）2=R2， 解得R=1.25． 1.25×2=2.5（米）． 答：这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是2.5米． 故选：B．
■考点3. 圆心角、弧、弦的关系
◇典例
（2017?牡丹江）如图，在⊙O中，=，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．
【分析】连接OC，先根据=得出∠AOC=∠BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△COD≌△COE，由此可得出结论．
证明：连接OC，
∵=，
∴∠AOC=∠BOC．
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠CDO=∠CEO=90°
在△COD与△COE中，
∵，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD=OE，
∵AO=BO，
∴AD=BE．
◆变式训练
（2017?宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误； B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确； C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误； D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误． 故选B．
■考点4. 圆周角定理及其推论
◇典例：
1.（2017?天水）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=
（ ）
A．2π B．π C．π D．π
【考点】圆周角定理；垂径定理；扇形面积的计算．
【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC．方法二：直接证明：S阴影=S扇形ODB．
解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=2，
又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DE?cot60°=2×=2，OD=2OE=4，
∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=﹣OE×DE+BE?CE=﹣2+2=．
故选B．
方法二：证明△CEB≌△DEO（AAS），可得S阴影=S扇形ODB．
【点评】考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
2.（2017?牡丹江）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B=3∠BAC，则∠ADC
等于（ ）
A．100° B．112.5° C．120° D．135°
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】由AB是⊙O的直径，得到∠CAB+∠B=90°，根据∠B=3∠BAC，求得∠B=67.5，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．21*cnjy*com
解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠B=90°， ∵∠B=3∠BAC， ∴∠B=67.5， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC=180°-∠B=112.5°， 故选B．
◆变式训练
1.（2017?黄冈）已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．70°
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【分析】先根据垂径定理得出=，再由圆周角定理即可得出结论．
解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°，
∴=，
∴∠ADC=∠AOB=35°．
故选B．
2.（2017?锦州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，
BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】根据三角形的外角的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质和三角形内角和定理计算即可．
解：∠B=∠DCE-∠F=55°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠EDC=∠B=55°， ∴∠E=180°-∠DCE-∠EDC=45°， 故选：C．
1.（2017?阜新）如图，△ABC内接于⊙O，且OB⊥OC，则∠A的度数是（ ）
A．90° B．50° C．45° D．30°
【考点】圆周角定理．
【分析】由圆周角定理，求得∠A的度数．
解：∵OB⊥OC，
∴∠BOC=90°，
∴∠A=∠BOC=45°．
故选C．
2.（2017?呼和浩特）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）
A．26π B．13π C． D．
【考点】 垂径定理．
【分析】连接OA，根据垂径定理得到AM=AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA=×13，于是得到结论．2·1·c·n·j·y
解：连接OA，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴AM=AB=6，
∵OM：MD=5：8，
∴设OM=5x，DM=8x，
∴OA=OD=13x，
∴AM=12x=6，
∴x=，
∴OA=×13，
∴⊙O的周长=2OA?π=13π，
故选B．
3.（2016山东省聊城市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【出处：21教育名师】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵=，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
故选B．
4.（2017?眉山）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC= ____ cm．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理R2=42+（R-2）2，计算求出R即可．
解：连接OA，
∵OC⊥AB， ∴AD=AB=4cm， 设⊙O的半径为R， 由勾股定理得，OA2=AD2+OD2， ∴R2=42+（R-2）2， 解得R=5 ∴OC=5cm． 故答案为5．
5.（2017?包头）如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则
∠ACB= 度．
【考点】圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
解：∵∠BAC=BOC，∠ACB=AOB，
∵∠BOC=2∠AOB，
∴∠ACB=BAC=20°．
故答案为：20．
6.（2017?舟山）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O，=90°，弓
形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 cm2 ．
【考点】垂径定理的应用；扇形面积的计算．
【分析】连接OA、OB，根据三角形的面积公式求出S△AOB，根据扇形面积公式求出扇形ACB的面积，计算即可．【版权所有：21教育】
解：连接OA、OB，
∵=90°，
∴∠AOB=90°，
∴S△AOB=×8×8=32，
扇形ACB（阴影部分）==48π，
则弓形ACB胶皮面积为（32+48π）cm2，
故答案为：（32+48π）cm2．
7.（2017?牡丹江）在半径为20的⊙O中，弦AB=32，点P在弦AB上，且OP=15，则AP= ．
【考点】 垂径定理．
【分析】作OC⊥AB于点C，根据垂径定理求出OC的长，根据勾股定理求出PC的长，分当点P在线段AC上和当点P在线段BC上两种情况计算即可．
解：作OC⊥AB于点C
，
∴AC=AB=16，
OC==12，又OP=15，
∴PC==9，
当点P在线段AC上时，AP=16﹣9=7，
当点P在线段BC上时，AP=16+9=25．
故选：7或25．
8.（2017?湖州）如图，已知在△ABC中，AB=AC．以AB为直径作半圆O，交BC于点D．若
∠BAC=40°，则的度数是 度．
【考点】圆周角定理； 等腰三角形的性质．
【分析】首先连接AD，由等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交BC于点D，可得∠BAD=∠CAD=20°，即可得∠ABD=70°，继而求得∠AOD的度数，则可求得的度数．
解：连接AD、OD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=20°，BD=DC，
∴∠ABD=70°，
∴∠AOD=140°
∴的度数为140°；
故答案为140．
9.（2017?淮安）如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：
5，则∠D的度数是 °．
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】设∠A=4x，∠B=3x，∠C=5x，根据圆内接四边形的性质求出x的值，进而可得出结论．
解：∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，
∴设∠A=4x，则∠B=3x，∠C=5x．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，即4x+5x=180°，解得x=20°，
∴∠B=3x=60°，
∴∠D=180°﹣60°=120°．
故答案为：120．
10.（2016?湖州）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．
（1）求证：BD=CD；
（2）若圆O的半径为3，求的长．
【考点】圆内接四边形的性质； 弧长的计算．
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB=∠DBC求出答案；
（2）首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．
（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠DCB+∠BAD=180°，
∵∠BAD=105°，
∴∠DCB=180°﹣105°=75°，
∵∠DBC=75°，
∴∠DCB=∠DBC=75°，
∴BD=CD；
（2）解：∵∠DCB=∠DBC=75°，
∴∠BDC=30°，
由圆周角定理，得，的度数为：60°，
故===π，
答：的长为π．
1.（2017年浙江省金华市中考数学试卷）如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（ ）
A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm
【考点】垂径定理的应用．
【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案．
解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
∵CD=8，OD=13，
∴OC=5，
又∵OB=13，
∴Rt△BCO中，BC==12，
∴AB=2BC=24．
故选：C．
2.（2016年浙江省绍兴市中考数学）如图，BD是⊙O的直径，点A．C在⊙O上， =，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（ ）
A．60° B．45° C．35° D．30°
【考点】圆周角定理．
【分析】直接根据圆周角定理求解．
解 ：连结OC，如图，
∵=，
∴∠BDC=∠AOB=×60°=30°．
故选D．
3.（2015年浙江宁波市慈溪市中考数学一模）下列说法正确的是（ ）
A．同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等
B．90°的圆心角所对的弦是直径
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．三点确定一个圆
【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理；圆周角定理；确定圆的条件．
【分析】利用等弧和弦的概念，垂径定理以及弧，弦与圆心角之间的关系进行判断．
解 ：A．弧的度数与所对圆心角的度数相等，所以同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等，故本选项正确；21教育网
B、90°的圆周角所对的弦是直径，故本选项错误；
C、应强调这条弦不是直径，故本选项错误；
D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理以及确定圆的条件．熟练掌握相关概念是解题的关键．
4.（2017年浙江省温州市中考数学一模）若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A：∠B：∠C=1：3：8，则∠D的度数是（ ）
A．10° B．30° C．80° D．120°
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】题可设∠A=x，则∠B=3x，∠C=8x；利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠A．∠C的度数，进而求出∠B和∠D的度数，由此得解．
解：设∠A=x，则∠B=3x，∠C=8x，
因为四边形ABCD为圆内接四边形，
所以∠A+∠C=180°，
即：x+8x=180，
∴x=20°，
则∠A=20°，∠B=60°，∠C=160°，
所以∠D=120°，
故选D．
5.（2016年浙江杭州市中考数学模拟命题比赛）如果圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形ABCD一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】由圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，根据直径所对的圆周角是直角，可求得四边形ABCD的四个内角都是直角，即可判定四边形ABCD一定是矩形．
解：∵圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD一定是矩形．
故选B．
6.（浙江杭州市萧山区南片质量检测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B=135°，则劣弧的长等于（ ）
A．π B．2π C． 3π D．6π
【分析】连接OA．OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解．
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135°，
∴∠D=45°，
∴劣弧的度数是90°，
又∵⊙O的半径为4，
∴=，
故选：B．
7.（浙江省嵊州市期末）已知，如图：AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝450。给出以下五个结论：①∠EBC＝22.50，；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤DE＝DC。其中正确结论有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
解：①∵∠A=45°，AB是直径， ∴∠AEB=90°， ∴∠ABE=45°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=67.5°， ∴∠EBC=67.5°-45°=22.5°， 此选项正确； ②连接AD， ∵AB=AC，AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴BD=CD， 此选项正确； ③∵AB是直径， ∴∠AEB=90°， 由①知∠EBC=22.5°，∠C=67.5°， ∴BE=tan67.5°?CE， ∴BE≠2CE， 在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠BAE=45°， ∴∠ABE=45°， ∴AE=BE， ∴AE≠2CE， 此选项错误；④∵∠ABE=45°，BAD=22.5°， ∴劣弧AE=2劣弧BD， ∵劣弧BD=劣弧DE， ∴劣弧AE=2劣弧DE， 此选项正确． ⑤∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角， ∴∠DEC=∠ABC， 又AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠DEC=∠ACB， ∴DE=DC， 本选项正确， 故选C
8.（2016年浙江舟山市 ）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
【考点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）．
【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．
解 ：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，
由题意可得：EO=BO，AB∥DC，
可得∠EBO=30°，
故∠BOD=30°，
则∠BOC=150°，
故的度数是150°．
故选：C．
9.（浙江杭州市萧山区南片质量检测） 如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且AB=4，点分别是的中点，直线与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为5，当GE+FH的值最大时，弦BC的长等于（ ）
A．8 B．10 C．或8 D．或10
解 ：∵点分别是的中点，AB=4，所以EF=AB=2，
∴当GF为圆的直径时最大=10，此时GE+FH的值最大，
又∵C是⊙O上一动点，
∴当点C运动到AC或BC是⊙O直径时，点E或点F?与圆心O重合，此时GF为圆的直径，
当AC是⊙O直径时，∵AB=4，AC=10，
∴由勾股定理可得BC=，
当BC是⊙O直径时，BC=10，
∴满足条件时弦BC的长等于或10，
故选：D．
10.（2016年浙江省绍兴市）如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为 cm．
【考点】垂径定理的应用．
【分析】设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，在RT△AOD中利用勾股定理即可解决问题．
解 ；如图，设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，
∵OC⊥AB，
∵AD=DB=AB=20，
在RT△AOD中，∵∠ADO=90°，
∴OA2=OD2+AD2，
∴R2=202+（R﹣10）2，
∴R=25．
故答案为25．
11.（2016年浙江杭州市中考数学模拟命题比赛）已知弦AB与CD交于点E，弧的度数比弧的度数大20°，若∠CEB=m°，则∠CAB= （用关于m的代数式表示）．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【分析】由弧BC与AD的度数之差为20°，根据圆周角定理，可得∠CAB﹣∠C=×20°=10°，又由∠CEB=60°，可得∠CAB+∠C=60°，继而求得答案．
解：∵弧BC与AD的度数之差为20°，
∴∠CAB﹣∠C=×20°=10°，
∵∠CEB=∠CAB+∠C=m°，
∴∠CAB=．
故答案为：．
12.（2017年浙江义乌、绍兴、金华市 ）如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为 ．
【考点】圆周角定理．
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
解：∵∠A=45°，
∴∠DOE=2∠A=90°．
故答案为：90°．
13.（2016年浙江省杭州市）如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A．C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（ ）
A．DE=EB B． DE=EB C． DE=DO D．DE=OB
【考点】圆周角定理．
【分析】连接EO，只要证明∠D=∠EOD即可解决问题．
解 ：连接EO．
∵OB=OE，
∴∠B=∠OEB，
∵∠OEB=∠D+∠DOE，∠AOB=3∠D，
∴∠B+∠D=3∠D，
∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D，
∴∠DOE=∠D，
∴ED=EO=OB，
故选D．
14.（2015年浙江宁波市慈溪市中考数学一模）如图，在边长为的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），在运动过程中，则线段CP的最小值为 ．
【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；点与圆的位置关系．
【分析】首先判断出△ABE≌△BCF，即可判断出∠BAE=∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA=90°，可得∠CBF+∠BEA=90°，所以∠APB=90°；然后根据点P在运动中保持∠APB=90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值为多少．
解 ：如图，，
∵动点F，E的速度相同，
∴DF=CE，
又∵CD=BC，
∴CF=BE，
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠APB=90°，
∵点P在运动中保持∠APB=90°，
∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，
设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△BCG中，CG==，
∵PG=
∴CP=CG﹣PG==，
即线段CP的最小值为．
故答案为：．
【点评】（1）解答此题的关键是判断出什么情况下，CP的长度最小．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．21教育名师原创作品
（3）此题还考查了正方形的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
15.（浙江杭州市萧山区南片质量检）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.
(1)求证：CF=BF
(2)若CD=6，CA=8，求AE的长
【分析】（1）利用互余的性质得出，利用圆周角定理得出，然后得出，即可证明结论；（2）利用勾股定理得出AB的长，然后根据直角三角形的面积得出CE的长，然后利用勾股定理可求出AE的长．
(1)证明： AB是⊙O的直径
C是的中点
(2) C是的中点
BC=CD=6
在Rt△ABC中，由勾股定理得
在Rt△ACE中 ,AE=
