第四章 图形的性质 第25节与圆的位置关系和有关计算
■知识点一：与圆有关的位置关系
(1)点与圆的位置关系
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
①点在圆外 d ＞ r；
②点在圆上 d = r；
③点在圆内 d ＜ r．
(2)直线与圆的位置关系
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：
①直线与圆相交 d＜r：
②直线与圆相切 d = r；
③直线与圆相离 d＞r．
■知识点二：切线的性质与判定
(1)切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
(2)切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；
过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
经过切点且垂直于切线的直线必过该圆的圆心．
(3)切线判定方法：
①定义法：
②设d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径，若d=r ，则直线与圆相切：
③经过半径的外端且 垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(4)切线长定理：从圆外一点向圆引的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
■知识点三：三角形与圆
(1)三角形的内切圆：三角形内切圆的圆心是三角形三个角平分线的交点，叫做三角形的 内心，它到三角形的三边的距离相等． 21·世纪*教育网
(2)三角形的外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
锐角三角形外心在三角形的内部，直角三角形外心在三角形的斜边中点处，钝角三角形外心在三角形的外部．
■知识点四：正多边形与圆
(1)正多边形：各边 相等 ，各角 相等 的多边形叫做正多边形．
(2)圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
(3)正n边形酌内角和=180°(n-2) ；正n边形的每个内角度数= ；正n边形外角和=360°；正n边形的每个外角度数= ．
边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.
特殊正多边形中各中心角、长度比：
中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC为等边△
a:r:R=2:1:2 a:r:R=2:1:2 a:r:R=2: ：2
■知识点五：与圆有关的计算
1．弧长公式：（n为圆心角的度数，r为圆的半径，该公式涉及f，n，r三个量，已知其中任意两个量，都可求第三个量．）
2．有关阴影部分面积的求法
(1)扇形的面积公式：S=（n为圆心角的度数．r为圆的半径．l表示弧长）．
(2)求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则图形的面积转化为规则图形的面积，常用方法有：①割补法：②拼凑法：③等积变形法．
3．圆柱的侧面展开图是矩形，圆柱侧面积=底面周长×高，圆柱全面积=侧面积+2×底面积．
■考点1与圆有关的位置关系
◇典例：
1.（2017?枣庄）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ）21教育名师原创作品
A．2＜r＜ B．＜r≤3 C．＜r＜5 D．5＜r＜
【考点】 点与圆的位置关系； 勾股定理．
【分析】利用勾股定理求出各格点到点A的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论．
解：给各点标上字母，如图所示．
AB==2，AC=AD==，AE==3，AF==，AG=AM=AN==5，
∴＜r≤3时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．
故选B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点A的距离是解题的关键．
2.（2016?湘西州）在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【考点】 直线与圆的位置关系．
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出d＜r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论．
解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∵△ABC的面积=AC×BC=AB×CD，
∴3×4=5CD，
∴CD=2.4＜2.5，
即d＜r，
∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交；
故选A．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交．
◆变式训练
1.（2016?安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
2.（2017?百色）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．0≤b＜2 B．﹣2 C．﹣22 D．﹣2＜b＜2
■考点2．切线的性质与判定
◇典例
（2017?安顺）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2，求阴影部分的面积．
【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCE=90°，再根据垂径定理得到CD=BD，则OD垂直平分BC，所以EC=EB，接着证明△OCE≌△OBE得到∠OBE=∠OCE=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，利用勾股定理得到（r﹣1）2+（）2=r2，解得r=2，再利用三角函数得到∠BOD=60°，则∠BOC=2∠BOD=120°，接着计算出BE=OB=2，
然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△OBE﹣S扇形BOC进行计算即可．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
即OD垂直平分BC，
∴EC=EB，
在△OCE和△OBE中
，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，
在Rt△OBD中，BD=CD=BC=，
∴（r﹣1）2+（）2=r2，解得r=2，
∵tan∠BOD==，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOC=2∠BOD=120°，
在Rt△OBE中，BE=OB=2，
∴阴影部分的面积=S四边形OBEC﹣S扇形BOC
=2S△OBE﹣S扇形BOC
=2××2×2﹣
=4﹣π．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了不规则图形的面积的计算方法．2·1·c·n·j·y
◆变式训练
（2017?赤峰）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
■考点3.三角形与圆
◇典例：
（2017?攀枝花）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，BC=6，则的长为（ ）
A．2π B．4π C．8π D．12π
【考点】 三角形的外接圆与外心； 弧长的计算．
【分析】连接CO，并延长，与圆交于点D，连接BD，利用同弧所对的圆周角相等求出∠D的度数，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出CD的长，即为圆的直径，进而求出∠BOC的度数，利用弧长公式计算即可得到结果．21*cnjy*com
解：连接CO，并延长，与圆交于点D，连接BD，
∵CD为圆O的直径，
∴∠DBC=90°，
∵∠A与∠D都对，
∴∠D=∠A=60°，
在Rt△DCB中，∠BCD=30°，
∴BD=CD，
设BD=x，则有CD=2x，
根据勾股定理得：x2+（6）2=（2x）2，
解得：x=6，
∴OB=OD=OC=6，且∠BOC=120°，
则的长为=4π，
故选B
【点评】此题考查了三角形外接圆与外心，以及弧长的计算，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
◆变式训练
（2017?德阳）如图，点D、E分别是⊙O的内接正三角形ABC的AB、AC边上的中点，若⊙O的半径为2，则DE的长等于（ ）21教育网
A． B． C．1 D．
■考点4.正多边形与圆
◇典例：
（2017?株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【考点】正多边形和圆．
【分析】根据正多边形的中心角的度数即可得到结论．
解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，
故选A．
◆变式训练
（2017?毕节市）正六边形的边长为8cm，则它的面积为 cm2．
■考点5.与圆有关的计算
◇典例
1. （2017?宁波）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2，以BC的中点O为圆心⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长为（ ）21cnjy.com
A． B． C．π D．2π
【分析】连接OE、OD，由切线的性质可知OE⊥AC，OD⊥AB，由于O是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知∠B=45°，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案．
解：连接OE、OD，
设半径为r，
∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，
∵O是BC的中点，
∴OD是中位线，
∴OD=AE=AC，
∴AC=2r，
同理可知：AB=2r，
∴AB=AC，
∴∠B=45°，
∵BC=2
∴由勾股定理可知AB=2，
∴r=1，
∴==
故选（B）
2.（2017?无锡）若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为 cm2．
【考点】圆锥的计算．
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
解：底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，侧面面积=×6π×5=15πcm2．
3.（2017?兰州）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积（ ）
A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣2
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．
【分析】根据对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的，求出圆内接正方形的边长，即可求解．
解：连接AO，DO，
∵ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，
AD==2，
圆内接正方形的边长为2，所以阴影部分的面积=[4π﹣（2）2]=（π﹣2）cm2．
故选D．
◆变式训练
1. （2017?咸宁）如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则的长为（ ）
A．Π B． C．2π D．3π
2.（2016·湖北十堰）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（ ）21·cn·jy·com
A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm
3.(2016·四川资阳)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（ ）
A．2﹣π B．4﹣π C．2﹣π D．π
1.（2017年浙江宁波市 模拟 （二））如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB=60°，则∠A的
大小为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
2.（2015年浙江宁波市慈溪市 一模 ）下列说法正确的是（ ）
A．同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等
B．90°的圆心角所对的弦是直径
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．三点确定一个圆
3.（2017年浙江宁波市鄞州区 模拟）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是（ ）21世纪教育网版权所有
A．4 B．3 C．2 D．1
4.（2015年浙江宁波市慈溪市 一模 ）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.5
5.（2017?杭州）如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB= ．
6.（2016届浙江杭州市高桥中学 二模）要制作一个母线长为6cm，底面圆周长是6πcm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是 ．2-1-c-n-j-y
7.（2016年浙江省台州市）如图，△ABC的外接圆O的半径为2，∠C=40°，则的长是 ．【版权所有：21教育】
8.（2017年浙江宁波市鄞州区 模拟） 如图，△ABC是边长为4个等边三角形，D为AB边的中点，以CD为直径画圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
9. （2017?丽水）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A=∠ADE；
（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．
10．（2015?湖州）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE．
（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；
（2）求证：ED是⊙O的切线．
1.（2016年浙江省台州市）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（ ）
A．6 B．2+1 C．9 D．
2.（2016年浙江省丽水市 ）如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（ ）www.21-cn-jy.com
A．3 B．2 C．1 D．1.2
3.（2017年浙江杭州市清河中学 模拟）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2
4.（2017年浙江省温州市 一模）在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
5.（2016年浙江宁波市）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（ ）21*cnjy*com
A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2
6.（2016年浙江省杭州市 模拟3）用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4cm，底面周长是6πcm，则扇形的半径为（ ）
A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm
7.（浙江杭州市萧山区南片 质量检测）已知直角三角形的两条直角边长分别是3厘米，4厘米，则此直角三角形的重心与外心之间的距离为 厘米；
8. （2017年浙江台州市）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30cm，则弧BC的长为________cm（结果保留）【出处：21教育名师】
9.（2017年浙江温州市）已知扇形的面积为3π，圆心角为120°，则它的半径为 ．
10.（2017年浙江嘉兴市）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为 的 ， ，弓形 （阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为________．
11.（2015年浙江宁波市慈溪市 一模）若圆锥母线长为6，底面半径为2，则它的侧面积为 ．
12.（2017年浙江嘉兴市）如图，已知△ABC，∠B=400．
(1)在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边 AB，BC，AC的切点 D， E， F（保留痕迹，不必写作法）；
(2)连接 EF， DF，求 ∠EFD的度数．
13.（2017年浙江省金华市）如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．
（1）求证：AC平分∠DAO．
（2）若∠DAO=105°，∠E=30°
①求∠OCE的度数；
②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．
14.（2016年浙江宁波市）如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）求DE的长．
15.（2015?杭州）如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′?OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
第四章 图形的性质 第25节与圆的位置关系和有关计算
■知识点一：与圆有关的位置关系
(1)点与圆的位置关系
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
①点在圆外 d ＞ r；
②点在圆上 d = r；
③点在圆内 d ＜ r．
(2)直线与圆的位置关系
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：
①直线与圆相交 d＜r：
②直线与圆相切 d = r；
③直线与圆相离 d＞r．
■知识点二：切线的性质与判定
(1)切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
(2)切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；
过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
经过切点且垂直于切线的直线必过该圆的圆心．
(3)切线判定方法：
①定义法：
②设d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径，若d=r ，则直线与圆相切：
③经过半径的外端且 垂直于 这条半径的直线是圆的切线．
(4)切线长定理：从圆外一点向圆引的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 ．
■知识点三：三角形与圆
(1)三角形的内切圆：三角形内切圆的圆心是三角形三个角平分线的交点，叫做三角形的 内心，它到三角形的三边的距离相等． 21教育名师原创作品
(2)三角形的外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
锐角三角形外心在三角形的内部，直角三角形外心在三角形的斜边中点处，钝角三角形外心在三角形的外部．
■知识点四：正多边形与圆
(1)正多边形：各边 相等 ，各角 相等 的多边形叫做正多边形．
(2)圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
(3)正n边形酌内角和=180°(n-2) ；正n边形的每个内角度数= ；正n边形外角和=360°；正n边形的每个外角度数= ．
边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.
特殊正多边形中各中心角、长度比：
中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC为等边△
a:r:R=2:1:2 a:r:R=2:1:2 a:r:R=2: ：2
■知识点五：与圆有关的计算
1．弧长公式：（n为圆心角的度数，r为圆的半径，该公式涉及f，n，r三个量，已知其中任意两个量，都可求第三个量．）
2．有关阴影部分面积的求法
(1)扇形的面积公式：S=（n为圆心角的度数．r为圆的半径．l表示弧长）．
(2)求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则图形的面积转化为规则图形的面积，常用方法有：①割补法：②拼凑法：③等积变形法．
3．圆柱的侧面展开图是矩形，圆柱侧面积=底面周长×高，圆柱全面积=侧面积+2×底面积．
■考点1与圆有关的位置关系
◇典例：
1.（2017?枣庄）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ）
A．2＜r＜ B．＜r≤3 C．＜r＜5 D．5＜r＜
【考点】 点与圆的位置关系； 勾股定理．
【分析】利用勾股定理求出各格点到点A的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论．
解：给各点标上字母，如图所示．
AB==2，AC=AD==，AE==3，AF==，AG=AM=AN==5，
∴＜r≤3时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．
故选B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点A的距离是解题的关键．
2.（2016?湘西州）在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【考点】 直线与圆的位置关系．
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出d＜r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论．
解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∵△ABC的面积=AC×BC=AB×CD，
∴3×4=5CD，
∴CD=2.4＜2.5，
即d＜r，
∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交；
故选A．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交．
◆变式训练
1.（2016?安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【考点】 点与圆的位置关系； 圆周角定理．
【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴OP=OA=OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC==5，
∴PC=OC﹣OP=5﹣3=2．
∴PC最小值为2．
故选B．
2.（2017?百色）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b＜2 B．﹣2 C．﹣22 D．﹣2＜b＜2
【考点】 直线与圆的位置关系； 一次函数图象与系数的关系．
【分析】求出直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．
解：当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y=﹣x+b中，令x=0时，y=b，则与y轴的交点是（0，b），
当y=0时，x=b，则A的交点是（b，0），
则OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形．
连接圆心O和切点C．则OC=2．
则OB=OC=2．即b=2；
同理，当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2．
则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2＜b＜2．
故选D．
■考点2．切线的性质与判定
◇典例
（2017?安顺）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2，求阴影部分的面积．
【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCE=90°，再根据垂径定理得到CD=BD，则OD垂直平分BC，所以EC=EB，接着证明△OCE≌△OBE得到∠OBE=∠OCE=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，利用勾股定理得到（r﹣1）2+（）2=r2，解得r=2，再利用三角函数得到∠BOD=60°，则∠BOC=2∠BOD=120°，接着计算出BE=OB=2，
然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△OBE﹣S扇形BOC进行计算即可．
（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
即OD垂直平分BC，
∴EC=EB，
在△OCE和△OBE中
，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，
在Rt△OBD中，BD=CD=BC=，
∴（r﹣1）2+（）2=r2，解得r=2，
∵tan∠BOD==，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOC=2∠BOD=120°，
在Rt△OBE中，BE=OB=2，
∴阴影部分的面积=S四边形OBEC﹣S扇形BOC
=2S△OBE﹣S扇形BOC
=2××2×2﹣
=4﹣π．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了不规则图形的面积的计算方法．21世纪教育网版权所有
◆变式训练
（2017?赤峰）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．21·世纪*教育网
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
【考点】 切线的判定与性质； 扇形面积的计算．
【分析】（1）由已知条件得到△BOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠1=∠2=60°，由角平分线的性质得到∠1=∠3，根据平行线的性质得到∠OAM=90°，于是得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠OAC=60°，根据三角形的内角和得到∠CAD=30°，根据勾股定理得到AD=2，于是得到结论．
解：（1）∵∠B=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠1=∠2=60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OA∥BD，
∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，
∴AM是⊙O的切线；
（2）∵∠3=60°，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∵∠OAM=90°，
∴∠CAD=30°，
∵CD=2，
∴AC=2CD=4，
∴AD=2，
∴S阴影=S梯形OADC﹣S扇形OAC=（4+2）×2﹣=6﹣．
■考点3.三角形与圆
◇典例：
（2017?攀枝花）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，BC=6，则的长为（ ）
A．2π B．4π C．8π D．12π
【考点】 三角形的外接圆与外心； 弧长的计算．
【分析】连接CO，并延长，与圆交于点D，连接BD，利用同弧所对的圆周角相等求出∠D的度数，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出CD的长，即为圆的直径，进而求出∠BOC的度数，利用弧长公式计算即可得到结果．
解：连接CO，并延长，与圆交于点D，连接BD，
∵CD为圆O的直径，
∴∠DBC=90°，
∵∠A与∠D都对，
∴∠D=∠A=60°，
在Rt△DCB中，∠BCD=30°，
∴BD=CD，
设BD=x，则有CD=2x，
根据勾股定理得：x2+（6）2=（2x）2，
解得：x=6，
∴OB=OD=OC=6，且∠BOC=120°，
则的长为=4π，
故选B
【点评】此题考查了三角形外接圆与外心，以及弧长的计算，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
◆变式训练
（2017?德阳）如图，点D、E分别是⊙O的内接正三角形ABC的AB、AC边上的中点，若⊙O的半径为2，则DE的长等于（ ）
A． B． C．1 D．
【考点】 三角形的外接圆与外心； 等边三角形的性质； 三角形中位线定理．
【分析】连接BO并延长交⊙O于F，连接CF，则BF为⊙O的直径，得到∠BCF=90°，根据圆周角定理得到∠F=∠A=60°，解直角三角形得到BC=2，根据三角形的中位线的性质即可得到结论．
解：连接BO并延长交⊙O于F，连接CF，
则BF为⊙O的直径，
∴∠BCF=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠F=∠A=60°，
∵⊙O的半径为2，
∴BF=4，
∴BC=2，
∵点D、E分别是AB、AC边上的中点，
∴DE=BC=，
故选A．
■考点4.正多边形与圆
◇典例：
（2017?株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【考点】正多边形和圆．
【分析】根据正多边形的中心角的度数即可得到结论．
解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，
故选A．
◆变式训练
（2017?毕节市）正六边形的边长为8cm，则它的面积为 cm2．
【考点】正多边形和圆．
【分析】先根据题意画出图形，作出辅助线，根据∠COD的度数判断出其形状，求出小三角形的面积即可解答．
解：如图所示，正六边形ABCD中，连接OC、OD，过O作OE⊥CD；
∵此多边形是正六边形，
∴∠COD==60°；
∵OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OE=CE?tan60°=×=4cm，
∴S△OCD=CD?OE=×8×4=16cm2．
∴S正六边形=6S△OCD=6×16=96cm2．
■考点5.与圆有关的计算
◇典例
1. （2017?宁波）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2，以BC的中点O为圆心⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长为（ ）21cnjy.com
A． B． C．π D．2π
【分析】连接OE、OD，由切线的性质可知OE⊥AC，OD⊥AB，由于O是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知∠B=45°，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案．
解：连接OE、OD，
设半径为r，
∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，
∵O是BC的中点，
∴OD是中位线，
∴OD=AE=AC，
∴AC=2r，
同理可知：AB=2r，
∴AB=AC，
∴∠B=45°，
∵BC=2
∴由勾股定理可知AB=2，
∴r=1，
∴==
故选（B）
2.（2017?无锡）若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为 cm2．
【考点】圆锥的计算．
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
解：底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，侧面面积=×6π×5=15πcm2．
3.（2017?兰州）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积（ ）
A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣2
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．
【分析】根据对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的，求出圆内接正方形的边长，即可求解．
解：连接AO，DO，
∵ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，
AD==2，
圆内接正方形的边长为2，所以阴影部分的面积=[4π﹣（2）2]=（π﹣2）cm2．
故选D．
◆变式训练
1. （2017?咸宁）如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则的长为（ ）
A．Π B． C．2π D．3π
【考点】弧长的计算； 圆内接四边形的性质．
【分析】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出∠A=60°，得出∠BOD=120°，再由弧长公式即可得出答案．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A=180°，
∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，
∴2∠A+∠A=180°，
解得：∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∴的长==2π；
故选：C．
2.（2016·湖北十堰）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（ ）21·cn·jy·com
A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．
解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OD=60cm，∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∴OE=OA=30cm，
∴弧CD的长==20π，
设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，
∴圆锥的高==20．
故选D．
3.(2016·四川资阳)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（ ）
A．2﹣π B．4﹣π C．2﹣π D．π
【考点】扇形面积的计算．
【分析】根据点D为AB的中点可知BC=BD=AB，故可得出∠A=30°，∠B=60°，再由锐角三角函数的定义求出BC的长，根据S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD即可得出结论．www-2-1-cnjy-com
解：∵D为AB的中点，
∴BC=BD=AB，
∴∠A=30°，∠B=60°．
∵AC=2，
∴BC=AC?tan30°=2?=2，
∴S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD=×2×2﹣=2﹣π．
故选A．
1.（2017年浙江宁波市 模拟 （二））如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB=60°，则∠A的
大小为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【考点】 切线的性质．
【分析】已知AB和⊙O相切于点B，由切线的性质得出∠ABO=90°，由直角三角形的性质得出∠A．．
解：∵AB和⊙O相切于点B
∴∠ABO=90°
∴∠A=90°﹣∠AOB =90°﹣60°=30
故选B
2.（2015年浙江宁波市慈溪市 一模 ）下列说法正确的是（ ）
A．同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等
B．90°的圆心角所对的弦是直径
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．三点确定一个圆
【考点】 圆心角、弧、弦的关系；垂径定理；圆周角定理；确定圆的条件．
【分析】利用等弧和弦的概念，垂径定理以及弧，弦与圆心角之间的关系进行判断．
解：A．弧的度数与所对圆心角的度数相等，所以同圆或等圆中弧相等，则它们所对的圆心角也相等，故本选项正确；21教育网
B、90°的圆周角所对的弦是直径，故本选项错误；
C、应强调这条弦不是直径，故本选项错误；
D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理以及确定圆的条件．熟练掌握相关概念是解题的关键．
3.（2017年浙江宁波市鄞州区 模拟）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是（ ）2·1·c·n·j·y
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】 圆锥的计算．
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=，然后解方程求出r即可．
解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr=，解得r=2，
即这个圆锥的底面圆的半径是2cm．
故选C．
4.（2015年浙江宁波市慈溪市 一模 ）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ）2-1-c-n-j-y
A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.5
【考点】 三角形的内切圆与内心；勾股定理；三角形的外接圆与外心．
【分析】直角三角形的内切圆半径和其三边有特殊关系：三边中a b为直角边，c为斜边，内切圆半径为r，则r=；外接圆的半径就是斜边的一半．
解：∵AB=5，AC=3，
∴BC==4，
∴外接圆半径==2.5，
∵四边形ODCE是正方形，且⊙O是△ABC的内切圆，
∴内切圆半径==1．
故选C．
5.（2017?杭州）如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB= ．
【分析】根据切线的性质即可求出答案．
解：∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，
∴∠BAT=90°，
∵∠ABT=40°，
∴∠ATB=50°，
故答案为：50°
6.（2016届浙江杭州市高桥中学 二模）要制作一个母线长为6cm，底面圆周长是6πcm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是 ．21*cnjy*com
【考点】 圆锥的计算．
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
解：圆锥形小漏斗的侧面积=×6π×8=18πcm2．
故答案为：18πcm2．
7.（2016年浙江省台州市）如图，△ABC的外接圆O的半径为2，∠C=40°，则的长是 ．【出处：21教育名师】
【考点】 三角形的外接圆与外心；弧长的计算．
【分析】由圆周角定理求出∠AOB的度数，再根据弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）即可求解．
解：∵∠C=40°，
∴∠AOB=80°．
∴的长是=．
故答案为：π．
8.（2017年浙江宁波市鄞州区 模拟） 如图，△ABC是边长为4个等边三角形，D为AB边的中点，以CD为直径画圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
考点】扇形面积的计算．
【分析】根据等边三角形的性质以及勾股定理得出△COF，△COM，△ABC以及扇形FOM的面积，进而得出答案．
解：过点O作OE⊥AC于点E，连接FO，MO，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，D为AB边的中点，以CD为直径画圆，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=30°，AC=BC=AB=4，
∴∠FOD=∠DOM=60°，AD=BD=2，
∴CD=2，则CO=DO=，
∴EO=，EC=EF=，则FC=3，
∴S△COF=S△COM=××3=，
S扇形OFM==π，
S△ABC=×CD×4=4，
∴图中影阴部分的面积为：4﹣2×﹣π=2.5﹣π．
故答案为：2.5﹣π．
9. （2017?丽水）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A=∠ADE；
（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．
【分析】（1）只要证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解决问题；
（2）首先证明AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC==12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，可得x2+122=（x+16）2﹣202，解方程即可解决问题；
（1）证明：连接OD，
∵DE是切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∴∠ADE=∠A．
（2）连接CD．
∵∠ADE=∠A，
∴AE=DE，
∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°，
∴EC是⊙O的切线，
∴ED=EC，
∴AE=EC，
∵DE=10，
∴AC=2DE=20，
在Rt△ADC中，DC==12，
设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，
∴x2+122=（x+16）2﹣202，
解得x=9，
∴BC==15．
10．（2015?湖州）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE．
（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；
（2）求证：ED是⊙O的切线．
【分析】（1）连接CD，由直径所对的圆周角为直角可得：∠BDC=90°，即可得：CD⊥AB，然后根据AD=DB，进而可得CD是AB的垂直平分线，进而可得 AC=BC=2OC=10；
（2）连接OD，先由直角三角形中线的性质可得DE=EC，然后根据等边对等角可得∠1=∠2，由OD=OC，根据等边对等角可得∠3=∠4，然后根据切线的性质可得∠2+∠4=90°，进而可得：∠1+∠3=90°，进而可得：DE⊥OD，从而可得：ED是⊙O的切线．
（1）解：连接CD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB，
∵AD=DB，OC=5，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴AC=BC=2OC=10；
（2）证明：连接OD，如图所示，
∵∠ADC=90°，E为AC的中点，
∴DE=EC=AC，
∴∠1=∠2，
∵OD=OC，
∴∠3=∠4，
∵AC切⊙O于点C，
∴AC⊥OC，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
即DE⊥OD，
∴ED是⊙O的切线．
1.（2016年浙江省台州市）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（ ）21*cnjy*com
A．6 B．2+1 C．9 D．
【考点】 切线的性质．
【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，
P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题．
解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，
此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90°，
∵∠OP1B=90°，
∴OP1∥AC
∵AO=OB，
∴P1C=P1B，
∴OP1=AC=4，
∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=1，
如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，
P2Q2最大值=5+3=8，
∴PQ长的最大值与最小值的和是9．
故选C．
2.（2016年浙江省丽水市 ）如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1.2
【考点】 三角形的外接圆与外心．
【分析】利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE和△BCE边长之间的关系，利用相似比求出线段AE的长度即可．
解：∵等腰Rt△ABC，BC=4，
∴AB为⊙O的直径，AC=4，AB=4，
∴∠D=90°，
在Rt△ABD中，AD=，AB=4，
∴BD=，
∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∵AD：BC=：4=1：5，
∴相似比为1：5，
设AE=x，
∴BE=5x，
∴DE=﹣5x，
∴CE=28﹣25x，
∵AC=4，
∴x+28﹣25x=4，
解得：x=1．
故选：C．
3.（2017年浙江杭州市清河中学 模拟）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（ ）21·cn·jy·com
A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2
【考点】 圆锥的计算．
【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．
解：∵h=8，r=6，
可设圆锥母线长为l，
由勾股定理，l==10，
圆锥侧面展开图的面积为：S侧=×2×6π×10=60π，
所以圆锥的侧面积为60πcm2．
故选：C．
4.（2017年浙江省温州市 一模）在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】 弧长的计算．
【分析】连接OA．OB，求出圆心角∠AOB的度数，代入弧长公式求出即可．
解：连接OA．OB，
∵OA=OB=AB=2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴的长为： =，
故选：C．
5.（2016年浙江宁波市）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2
【考点】 圆锥的计算．
【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．
解：∵h=8，r=6，
可设圆锥母线长为l，
由勾股定理，l==10，
圆锥侧面展开图的面积为：S侧=×2×6π×10=60π，
所以圆锥的侧面积为60πcm2．
故选：C．
【点评】解决此题的关键是熟练掌握直角三角形的三边与外接圆半径，内切圆半径之间的关系．
6.（2016年浙江省杭州市 模拟3）用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4cm，底面周长是6πcm，则扇形的半径为（ ）21cnjy.com
A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm
【考点】 圆锥的计算．
【分析】首先根据圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径，然后根据勾股定理求得圆锥的母线长就是扇形的半径．
解：∵底面周长是6πcm，
∴底面的半径为3cm，
∵圆锥的高为4cm，
∴圆锥的母线长为： =5
∴扇形的半径为5cm，
故选B．
7.（浙江杭州市萧山区南片 质量检测）已知直角三角形的两条直角边长分别是3厘米，4厘米，则此直角三角形的重心与外心之间的距离为 厘米；
【分析】利用三角形重心和外心的性质求解
解：如图：设D为Rt△ABC的外心，G是重心，
因为直角三角形的两条直角边长分别是3cm，4cm，
所以由勾股定理可得斜边长AB=5cm，
连接CD，∴斜边AB的中线CD=2．5cm，
∵D为Rt△ABC的外心，G是重心，
∴由重心的性质可得：
GD=cm．
8. （2017年浙江台州市）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30cm，则弧BC的长为________cm（结果保留）
【考点】 弧长的计算
【分析】根据弧长公式即可求得.
解：依题可得：弧BC的长===20.
9.（2017年浙江温州市 ）已知扇形的面积为3π，圆心角为120°，则它的半径为 ．
【考点】 扇形面积的计算．
【分析】根据扇形的面积公式，可得答案．
解：设半径为r，由题意，得
πr2×=3π，
解得r=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了扇形面积公式，利用扇形面积公式是解题关键．
10.（2017年浙江嘉兴市）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为 的 ， ，弓形 （阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为________．
【考点】 扇形面积的计算
【分析】先求出空白部分的面积，再用圆的面积减去空白的面积就是阴影部分的面积.连接OA，OB，则S空白=S扇形AOB-S△AOB ， 由弧AB的度数是90°，
可得圆心角∠AOB=90°，即可解答.
解：连接OA，OB，
因为弧AB的度数是90°，
所以圆心角∠AOB=90°，
则S空白=S扇形AOB-S△AOB==（cm2）,
S阴影=S圆-S空白=64-（）=32+48（cm2）。
故答案为（32+48π）cm2
11.（2015年浙江宁波市慈溪市 一模）若圆锥母线长为6，底面半径为2，则它的侧面积为 ．
【考点】 圆锥的计算．
【分析】根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．
解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×6=12π，
故答案为：12π．
【点评】此题主要考查了圆锥侧面积公式．熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．
12.（2017年浙江嘉兴市）如图，已知△ABC，∠B=400．
(1)在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边 AB，BC，AC的切点 D， E， F（保留痕迹，不必写作法）；
(2)连接 EF， DF，求 ∠EFD的度数．
【考点】 圆周角定理，切线的性质，三角形的内切圆与内心
【分析】（1）用尺规作图的方法，作出∠A和∠C的角平分线的交点即为内切圆O；
（2）由切线的性质可得∠ODB=∠OEB=90°，已知∠B的度数，根据四边形内角和360度，可求得∠DOE，由圆周角定理可求得∠EFD.
（1）如图，圆O即可所求。
（2）解：连结OD，OE，则OD⊥AB，OE⊥BC，
所以∠ODB=∠OEB=90°，又因为∠B=40°，
所以∠DOE=140°，
所以∠EFD=70°.
13.（2017年浙江省金华市）如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．
（1）求证：AC平分∠DAO．
（2）若∠DAO=105°，∠E=30°
①求∠OCE的度数；
②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．
【考点】 切线的性质．
【分析】（1）由切线性质知OC⊥CD，结合AD⊥CD得AD∥OC，即可知∠DAC=∠OCA=∠OAC，从而得证；
（2）①由AD∥OC知∠EOC=∠DAO=105°，结合∠E=30°可得答案；
②作OG⊥CE，根据垂径定理及等腰直角三角形性质知CG=FG=OG，由OC=2得出CG=FG=OG=2，在Rt△OGE中，由∠E=30°可得答案．
解：（1）∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC，
∴AC平分∠DAO；
（2）①∵AD∥OC，
∴∠EOC=∠DAO=105°，
∵∠E=30°，
∴∠OCE=45°；
②作OG⊥CE于点G，
则CG=FG=OG，
∵OC=2，∠OCE=45°，
∴CG=OG=2，
∴FG=2，
在Rt△OGE中，∠E=30°，
∴GE=2，
∴．
14.（2016年浙江宁波市）如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）求DE的长．
【考点】 切线的判定．
【分析】（1）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．
（2）过点O作OF⊥AC于点F，只要证明四边形OFED是矩形即可得到DE=OF，在RT△AOF中利用勾股定理求出OF即可．【版权所有：21教育】
证明：（1）连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAB，
∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAO，
∴∠ODA=∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O切线．
（2）过点O作OF⊥AC于点F，
∴AF=CF=3，
∴OF===4．
∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，
∴四边形OFED是矩形，
∴DE=OF=4．
15.（2015?杭州）如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′?OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
【分析】设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，根据新定义计算出OA′=2，OB′=4，则点A′为OC的中点，点B和B′重合，再证明△OBC为等边三角形，则B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定义可求A′B′的长．
解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，
∵OA′?OA=42，
而r=4，OA=8，
∴OA′=2，
∵OB′?OB=42，
∴OB′=4，即点B和B′重合，
∵∠BOA=60°，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=，
∴A′B′=4sin60°=2．
