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课题：15.3分式方程（1）
教学目标：
理解分式方程的概念，掌握分式方程的解法，理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法．21世纪教育网版权所有
重点：
解分式方程的基本思路和解法．
难点：
理解解分式方程时可能无解的原因．
教学流程：
一、复习引入
问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 ( http: / / www.21cnjy.com )km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？
题目中相等的数量关系是：
解：设江水的流速为v km/h.
依题意得：
追问：仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？
归纳：分母中含未知数的方程叫做分式方程.
二、探究
想一想：解一元一次方程的一般步骤是什么
答案：去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1
思考:如何解分式方程呢
答案：先去分母，将分式方程转化为整式方程, 再解整式方程.
即：利用等式的性质2，方程两边都乘(30+v)(30－v)
追问：怎样去分母呢？
答案：乘各分母的最简公分母
解：方程两边都乘 (30+v)(30－v)得，
解得，v=6
90(30－v)=60(30+v)
检验：把v =6代入原方程中，左边＝右边
因此v＝6是原方程的解
即，江水的流速为6km/h.
解分式方程的一般思路：
分式方程－去分母（两边乘最简公分母）－整式方程
尝试练习：解分式方程：
解：方程两边乘最简公分母 (x+5)(x－5)得，
解得， x=5
x+5=10
检验:把x = 5 代入原方程中，发现x－5和x2－25的值都为0，相应的分式无意义，因此x=5虽是方程x+5=10的解，但不是原分式方程的解．实际上，这个分式方程无解．21教育网
思考：上面两个分式方程中，为什么去分母后得到的整式方程的解就是它的解，而 去分母后得到的整式方程的解，却不是原分式方程的解呢？
归纳：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,所以分式方程的解必须检验.21cnjy.com
追问：怎样检验这个整式方程的解是不是原分式的解？
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则这个解就不是原分式方程的解．21·cn·jy·com
例：解方程
解：（1）方程两边乘 x(x－3)得，
2x=3x－9
解得，x=9
检验：当x=9时， x(x－3)≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
（2）方程两边同乘以 (x－1) (x＋2) , 得
x(x+2)－(x－1)(x+2)=3
解得, x = 1
检验：当x = 1 时，(x－1) (x＋2)＝0，因此x =１不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解．
三、归纳
解分式方程的一般步骤
练习：
1．下列方程不是分式方程的是( )
A.－x＝0 B.－x＝ C.＋＝1 D.＝
答案：B
2．把分式方程＝转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( )
A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4)
答案：D
3．若关于x的方程＝有增根，则增根是( )
A．－4 B．1 C．4 D．－1
答案：C
4.解方程：
解：方程两边乘 (x+3)(x－3)得，
(x－2)(x－3)－3 (x+3)＝(x+3) (x－3)
解得，
检验：当时， (x+3) (x－3)≠0.
所以，原分式方程的解为.
四、应用提高
已知关于x的方程－＝的解是负数，求a的取值范围．
解：去分母，得5x＝a－3，
∴x＝，
依题意得x＜0且x≠－3，
∴＜0且≠－3，
解得a＜3且a≠－12
五、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.什么是分式方程？
2.解分式方程的一般步骤是什么？
3.分式方程为什么是检验？
六、达标测评
1．下列方程：
①＝；②x－＝3；③＝1；④＝；⑤3x＋＝10；⑥＋＝7，
其中是整式方程的有__________，
是分式方程的有_______________.(填序号)
答案：①④⑤；②③⑥
2．将分式程1－＝去分母，得到正确的整式方程是( )
A．1－2x＝3 B．x－1－2x＝3 C．1＋2x＝3 D．x－1＋2x＝3
答案：B
3．若方程＝2＋有增根，则a＝____．
答案：4
4．若关于x的分式方程＝2的解为非负数，则m的取值范围是( )
A．m>－1 B．m≥1 C．m>－1且m≠1 D．m≥－1且m≠1
答案：D
5.解方程.
答案：（1）；（2）x＝－1是增根，原方程无解
七、布置作业
教材152页练习题．
分式方程
整式方程
a是分式
方程的解
x＝a
a不是分式
方程的解
去分母
解整式方程
检验
目标
最简公分
母不为0
最简公分母为0
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【义务教育教科书人教版八年级上册】
15.3分式方程（1）
学校：________
教师：________
复习引入
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？
题目中相等的数量关系是：
解：设江水的流速为v km/h.
依题意得：
仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
探究
思考:如何解分式方程 呢
想一想：解一元一次方程的一般步骤是什么
去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1
先去分母，将分式方程转化为整式方程, 再解整式方程.
怎样去
分母呢？
利用等式的性质2，方程两边都乘(30+v)(30－v)
乘各分母的
最简公分母
探究
思考:如何解分式方程 呢
解：方程两边都乘 (30+v)(30－v)得，
解得，v=6
90(30－v)=60(30+v)
检验：把v =6代入原方程中，左边＝右边
因此v＝6是原方程的解
分式方程
解分式方程的一般思路
整式方程
去分母
两边乘最简公分母
即，江水的流速为6km/h.
探究
解：方程两边乘最简公分母 (x+5)(x－5)得，
解得， x=5
x+5=10
检验:把x = 5 代入原方程中，发现x－5和x2－25的值都为0，相应的分式无意义，因此x=5虽是方程x+5=10的解，但不是原分式方程
的解．实际上，这个分式方程无解．
解分式方程：
探究
思考：上面两个分式方程中，为什么
去分母后得到的整式方程的解就是它的解，而 去分母后得到的整式方程的解，却不是原分式方程的解呢？
？
探究
我们来观察去分母的过程：
解：方程两边都乘
(30+v)(30－v)得，
解得，v=6
90(30－v)=60(30+v)
解：方程两边都乘
(x+5)(x－5)得，
解得， x=5
x+5=10
当v=6时， (30+v)(30－v)≠0
当x=5时，
(x+5)(x－5)=0
整式方程的解与分式方程的解相同
整式方程的解不是分式方程的解
无解
探究
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,所以分式方程的解必须检验.
怎样检验这个整式方程的解是不是原分式的解？
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则这个解就不是原分式方程的解．
探究
例：解方程
解：（1）方程两边乘 x(x－3)得，
解得，
2x=3x－9
x=9
检验：当x=9时， x(x－3)≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
探究
例：解方程
解 ：（2）方程两边同乘以 (x－1) (x＋2) , 得
x(x+2)－(x－1)(x+2)=3
解得 ,
检验：当x = 1 时，(x－1) (x＋2)＝0，因此x =１不是原分式方程的解.
x = 1
所以，原分式方程无解．
归纳
解分式方程的一般步骤
分式方程
整式方程
a是分式
方程的解
x＝a
a不是分式
方程的解
去分母
解整式方程
检验
目标
最简公分
母不为0
最简公分母为0
练习
B
D
练习
C
练习
4.解方程：
解：方程两边乘 (x+3)(x－3)得，
解得，
(x－2)(x－3)－3 (x+3)＝(x+3) (x－3)
检验：当 时， (x+3) (x－3)≠0.
所以，原分式方程的解为 .
应用提高
今天我们学习了哪些知识？
体验收获
1.什么是分式方程？
2.解分式方程的一般步骤是什么？
3.分式方程为什么是检验？
达标测评
①④⑤
②③⑥
达标测评
B
4
D
达标测评
达标测评
5.解方程
x＝－1是增根，原方程无解
布置作业
教材152页练习题．登陆21世纪教育 助您教考全无忧
15.3分式方程（1）
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．有下列方程：①2x+=10；②x-；③；④．属于分式方程的有（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
2．把分式方程化为整式方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3．关于 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程的解为x=1，则a的值为（ ）
A. 1 B. 3 C. -1 D. -3
4．关于x的方程＝a－1无解，则a的值是（ ）.
A.1 B.0 C. -1 D. 1或0
5．解关于的方程产生增根，则常数m的值等于（ ）
A. -1 B. -2 C. 1 D. 2
二、填空题(每小题6分，共30分)
6．方程=1的解是_____．
7．请选择一组a、b的值，写出一个关于 ( http: / / www.21cnjy.com )的形如 EMBED Equation.DSMT4 的分式方程，使它的解是x=1，这样的分式方程可以是_______.21世纪教育网版权所有
8．当x=_______时,分式与互为相反数.
9．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是__________．
10．规定，若，则x为________.
三、解答题(每小题20分，共40分)
11．.解方程：
(1)
(2)
12．以下是小明同学解方程的过程．
解：方程两边同时乘(x－3)，得
1－x＝－1－2. …………………………第一步
解得x＝4. ……………………………………第二步
检验：当x＝4时，x－3＝4－3＝1≠0. ………第三步
所以，原分式方程的解为x＝4. …………………第四步
(1)小明的解法从第_______步开始出现错误；
(2)写出解方程－2的正确过程．
参考答案
1．B
【解析】①2x+=10是整式方程，②x-是分式方程，③是分式方程，
④是整式方程，所以，属于分式方程的有②③．
故选：B．
2．C
【解析】方程两边同乘最简公分母x(x+1)，得：2（x+1）-x2=x（x+1），
故选C.
3．D
【解析】∵关于x的方程的解为x=1，
∴，解此关于a的分式方程得，经检验， 是此方程的根，
故选D.
4．D.
【解析】方程两边乘(x－1)，得2a＝(a－1)(x－1)，
即(a－1)x＝3a－1.
当a－1＝0时，方程无解，此时a＝1；
当a－1≠0时，x＝，若x＝1，则方程无解，此时＝1，解得a＝0.
综上所述，关于x的方程＝a－1无解，则a的值是1或0.
故选D.
5．B
【解析】方程两边都乘（x-1），得
x-3=m，
∵方程有增根，
∴最简公分母x-1=0，即增根是x=1，
把x=1代入整式方程，得m=-2．
故选B．
6．x=3
【解析】去分母得：x﹣1=2，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解，
故答案为：3.
7．
【解析】∵方程的解是，
∴，解得，
∴，即，
∴，即当a和b互为相反数时，方程的解是.
∴这样的方程可以是： （答案不唯一）.
8．4
【解析】解：根据题意得： ，去分母得：2﹣3x+50﹣10x=0，移项合并得：13x=52，解得：x=4，经检验x=4是分式方程的解．故答案为：4．
9．a≥1且a≠4.
【解析】分式方程去分母得：2（2x-a）=x-2，
去括号移项合并得：3x=2a-2，
解得： ，
∵分式方程的解为非负数，
∴且 ，
解得：a≥1 且a≠4 ．
10．-1
【解析】∵， ，
∴，
解此分式方程得； ，经检验： 是这个方程的根，
故的值是.
11．x=1 x=–2
【解析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；21教育网
（2）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
解：（1）去分母得：3(x-2)+x=-2，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解；
(2)去分母得：4+3x+9=7，
移项合并得：3x= 6，
解得：x= 2，
经检验x= 2是分式方程的解.
12．(1)一(2) x＝4
【解析】（1）去分母是，每一项都要乘以最简公分母.
(2)去分母，化为一元一次方程，解方程，检验.
解：(1)一
(2)方程两边同时乘(x－3)，得1－x＝－1－2x＋6，
解得x＝4.
检验：当x＝4时，x－3≠0.
所以，原分式方程的解为x＝4.
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