第五章图形与变换第29节相似三角形
■知识点一：比例线段
1.比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2.比例的基本性质 (1)基本性质：? ad＝bc；（b、d≠0）
(2)合比性质：?＝；（b、d≠0）
(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)?
＝k.（b、d、···、n≠0）
3.平行线分线段成比例定理及推论
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则.21cnjy.com
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
4.黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
■知识点二：图形的相似
（1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
■知识点三：相似多边的定义和性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
■知识点四：相似三角形的性质与判定
1.相似三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF.
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中
若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证
明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等
或找底、腰对应成比例.
2.相似三角形的性质
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比
3.相似三角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.
■考点1.比例线段
◇典例：
1.（2017?通辽）志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（ ）21·世纪*教育网
A．540元 B．1080元 C．1620元 D．1800元
【分析】根据题意可知版面的边长都扩大为原来的3倍后的面积，然后根据每平方厘米的广告费即可求出答案．
解：∵一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，
∴每平方厘米的广告费为：180÷50=元，
∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为：30×15×=1620元
故选（C）
2.（2017?六盘水）矩形的长与宽分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
A．a=4，b=+2 B．a=4，b=﹣2 C．a=2，b=+1 D．a=2，b=﹣1
【考点】黄金分割；矩形的性质．
【分析】根据黄金矩形的定义判断即可．
解：∵宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，
∴=，
∴a=2，b=﹣1，
故选D．
3.（2017?阜新）如图，在△ABC中，若DE∥BC，=，DE=4，则BC的长是 ．
【分析】因为DE∥BC，可利用平行线分线段成比例定理求出BC的长．
解：∵DE∥BC，
∴=，
又∵=，
∴=，
∴=，
∴BC=10cm．
故答案为：10cm．
◆变式训练
1.（2016?山西）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
2.（2017?杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（ ）
A． B． C． D．
3.（2016?兰州）如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（ ）
A． B． C． D．
■考点2.相似多边的定义和性质
◇典例
（2013?莆田）下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
【考点】相似图形．
【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意； D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意． 故选：D．【来源：21·世纪·教育·网】
◆变式训练
（2007?宁波）如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．
（1）求AD的长；
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
■考点3.相似三角形的性质与判定
◇典例
1.（2017?随州）在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】若A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则=或=，分情况进行讨论后即可求出AE的长度．2-1-c-n-j-y
解：当=时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
此时AE===；
当=时，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
此时AE===；
故答案为：或．
2.（2017?重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选A
3.（2017?绵阳）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（ ）【来源：
A．10m B．12m C．12.4m D．12.32m
【分析】根据题意得出△ABC∽△EDC，进而利用相似三角形的性质得出答案．
解：由题意可得：AB=1.5m，BC=0.5m，DC=4m，
△ABC∽△EDC，
则=，
即=，
解得：DE=12，
故选：B．
◆变式训练
1.（2016?兰州）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（ ）
A． B． C． D．
2.（2017?恩施州）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD：BD=5：3，CF=6，则DE的长为（ ）【出处：21教育名师】
A．6 B．8 C．10 D．12
3.（2017?铜仁市）如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是 米．【版权所有：21教育】
1.（2015?嘉兴）如图是百度地图的一部分（比例尺1：4000000）．按图可估测杭州在嘉兴的南偏西 度方向上，杭州到嘉兴的图上距离约2cm，则杭州到嘉兴的实际距离约为 .
2.（2017?连云港）如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
3.（2017?兰州）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE=BC=0.5米，A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB约为（ ）
A．8.5米 B．9米 C．9.5米 D．10米
4.（2015?大庆）已知=，则的值为 ．
5.（2015年浙江省金华市）如图，直线是一组等距离的平行线，过直线上的点A作两条射线，分别与直线，相交于点B，E，C，F. 若BC=2，则EF的长是
6.（2017?潍坊）如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件： ，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）21·cn·jy·com
7.（2017?北京）如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．若S△CMN=1，则S四边形ABNM= ．
8.（2017?铜仁市）如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
求证：△ABC∽△AED．
9.（2015?厦门）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．
10.（2017?宿迁）如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
1.（2015年浙江宁波市慈溪市 一模）如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x为（ ）
A．144° B．135° C．136° D．108°
2.（2015年浙江宁波市慈溪市 一模）已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3，则下列结论正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．AB是A′B′的3倍 B．A′B′是AB的3倍
C．∠A是∠A′的3倍 D．∠A′是∠A的3倍
3.（2017年浙江省宁波市七校联考 一模）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
4.（2017年浙江宁波市鄞州区 模拟） 如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
5.（2016年浙江省金华市）在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
6.（2016年浙江省杭州市）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．1
7.（浙江省八年级竞赛）如图，矩形ABCD两邻边分别为3、4，点P是矩形一边上任意一点，则点P到两条对角线AC、BD的距离之和PE+PF为_____________.21教育名师原创作品
8.（2016年浙江台州市仙居县 一模）如图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为 ．
9.（2017年浙江省宁波市七校联考 一模）赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x轴和y轴，大正方形的顶点B1、C1、C2、C3、…、Cn在直线y=﹣x+上，顶点D1、D2、D3、…、Dn在x轴上，则第n个阴影小正方形的面积为 ．21*cnjy*com
10.（2016年浙江杭州市 模拟命题比赛）正方形ABCD的边长为acm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm2．
11.（2016年浙江舟山市）如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是多少？
12.（2016年浙江省杭州市）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
13.（浙江杭州市萧山区质量检测）如图，△ABC是等边三角形，D、E在BC边所在的直线上，且BC2=BD?CE.
（1） 求∠DAE的度数
（2）求证:AD2=DB?DE
14.（2017年浙江省宁波市七校联考 一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE?CA．
（1）求证：BC=CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB=OB，CD=2，求⊙O的半径．
15.（2017年浙江杭州市清河中学 模拟）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．
（1）若AE=CF；
①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；
②若AE=2，试求AP?AF的值；
（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．
第五章图形与变换第29节相似三角形
■知识点一：比例线段
1.比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2.比例的基本性质 (1)基本性质：? ad＝bc；（b、d≠0）
(2)合比性质：?＝；（b、d≠0）
(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)?
＝k.（b、d、···、n≠0）
3.平行线分线段成比例定理及推论
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则.
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
4.黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
■知识点二：图形的相似
（1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
■知识点三：相似多边的定义和性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
■知识点四：相似三角形的性质与判定
1.相似三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF.
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中
若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证
明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等
或找底、腰对应成比例.
2.相似三角形的性质
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比
3.相似三角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.
■考点1.比例线段
◇典例：
1.（2017?通辽）志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（ ）
A．540元 B．1080元 C．1620元 D．1800元
【分析】根据题意可知版面的边长都扩大为原来的3倍后的面积，然后根据每平方厘米的广告费即可求出答案．
解：∵一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，
∴每平方厘米的广告费为：180÷50=元，
∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为：30×15×=1620元
故选（C）
2.（2017?六盘水）矩形的长与宽分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
A．a=4，b=+2 B．a=4，b=﹣2 C．a=2，b=+1 D．a=2，b=﹣1
【考点】黄金分割；矩形的性质．
【分析】根据黄金矩形的定义判断即可．
解：∵宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，
∴=，
∴a=2，b=﹣1，
故选D．
3.（2017?阜新）如图，在△ABC中，若DE∥BC，=，DE=4，则BC的长是 ．
【分析】因为DE∥BC，可利用平行线分线段成比例定理求出BC的长．
解：∵DE∥BC，
∴=，
又∵=，
∴=，
∴=，
∴BC=10cm．
故答案为：10cm．
◆变式训练
1.（2016?山西）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF中，DF==
∴FG=
∴CG=﹣1
∴=
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选D．
2.（2017?杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意得出△ADE∽△ABC，进而利用已知得出对应边的比值．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵BD=2AD，
∴===，
则=，
∴A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
3.（2016?兰州）如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．
解：∵DE∥BC，
∴==，
故选C．
■考点2.相似多边的定义和性质
◇典例
（2013?莆田）下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
【考点】相似图形．
【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意； D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意． 故选：D．
◆变式训练
（2007?宁波）如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．
（1）求AD的长；
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
【考点】相似多边形的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）矩形DMNC与矩形ABCD相似，对应边的比相等，就可以得到AD的长；
（2）相似比即为是对应边的比．
解：（1）由已知得MN=AB，MD=AD=BC，
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
，
∵MN=AB，DM=AD，BC=AD，
∴AD2=AB2，
∴由AB=4得，AD=4；
（2）矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为=．
■考点3.相似三角形的性质与判定
◇典例
1.（2017?随州）在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】若A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则=或=，分情况进行讨论后即可求出AE的长度．
解：当=时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
此时AE===；
当=时，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
此时AE===；
故答案为：或．
2.（2017?重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选A
3.（2017?绵阳）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（ ）21教育名
A．10m B．12m C．12.4m D．12.32m
【分析】根据题意得出△ABC∽△EDC，进而利用相似三角形的性质得出答案．
解：由题意可得：AB=1.5m，BC=0.5m，DC=4m，
△ABC∽△EDC，
则=，
即=，
解得：DE=12，
故选：B．
◆变式训练
1.（2016?兰州）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答．
解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，
∴△ABC与△DEF对应中线的比为，
故选：A．
2.（2017?恩施州）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD：BD=5：3，CF=6，则DE的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】由DE∥BC可得出∠ADE=∠B，结合∠ADE=∠EFC可得出∠B=∠EFC，进而可得出BD∥EF，结合DE∥BC可证出四边形BDEF为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出DE=BF，由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出BC=DE，再根据CF=BC﹣BF=DE=6，即可求出DE的长度．
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B．
∵∠ADE=∠EFC，
∴∠B=∠EFC，
∴BD∥EF，
∵DE∥BF，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴DE=BF．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴===，
∴BC=DE，
∴CF=BC﹣BF=DE=6，
∴DE=10．
故选C．
（2017?铜仁市）如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是 米．
【分析】先证得=，然后根据相似三角形的判定定理即可证得结论．
证明：∵AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
∴==1.2，==1.2，
∴=，
∵∠BAC=∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
1.（2015?嘉兴）如图是百度地图的一部分（比例尺1：4000000）．按图可估测杭州在嘉兴的南偏西 度方向上，杭州到嘉兴的图上距离约2cm，则杭州到嘉兴的实际距离约为 .
【考点】比例线段；方向角．
【分析】先根据方向角得到杭州在嘉兴的方位，再量出杭州到嘉兴的图上距离，再根据比例尺的定义即可求解．
解：测量可知杭州在嘉兴的南偏西45度方向上， 杭州到嘉兴的图上距离约2cm， 2×4000000=8000000cm=80km． 故答案为：45，80km．
2.（2017?连云港）如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是（ ）
A．= B．=C．= D．=
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
解：∵△ABC∽△DEF，
∴=，A不一定成立；
=1，B不成立；
=，C不成立；
=，D成立，
故选：D．
3.（2017?兰州）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE=BC=0.5米，A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB约为（ ）
A．8.5米 B．9米 C．9.5米 D．10米
【分析】只要证明△ACG∽△FEG，可得=，代入已知条件即可解决问题．
解：由题意∠AGC=∠FGE，∵∠ACG=∠FEG=90°，
∴△ACG∽△FEG，
∴=，
∴=，
∴AC=8，
∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米．
故选A．
4.（2015?大庆）已知=，则的值为 ．
【分析】根据已知设x=k，y=3k，代入求出即可．
解：∵=，
∴设x=k，y=3k，
∴==﹣，
故答案为：﹣．
5.（2015年浙江省金华市 ）如图，直线是一组等距离的平行线，过直线上的点A作两条射线，分别与直线，相交于点B，E，C，F. 若BC=2，则EF的长是
【分析】依题意得到后计算出结果
解：∵直线是一组等距离的平行线，
∴，即.
又∵∥，∴. ∴.
∵BC=2，
∴.
6.（2017?潍坊）如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件： ，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）21教育网
【分析】结论：DF∥AC，或∠BFD=∠A．根据相似三角形的判定方法一一证明即可．
解：DF∥AC，或∠BFD=∠A．
理由：∵∠A=∠A，==，
∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，
∴△FBD∽△AED．
故答案为DF∥AC，或∠BFD=∠A．
7.（2017?北京）如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．若S△CMN=1，则S四边形ABNM= ．
【分析】证明MN是△ABC的中位线，得出MN∥AB，且MN=AB，证出△CMN∽△CAB，根据面积比等于相似比平方求出△CMN与△CAB的面积比，继而可得出△CMN的面积与四边形ABNM的面积比．最后求出结论．21·世纪*教育网
解：∵M，N分别是边AC，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AB，且MN=AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴=（）2=，
∴=，
∴S四边形ABNM=3S△CMN=3×1=3．
故答案为：3．
8.（2017?铜仁市）如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
求证：△ABC∽△AED．
【分析】先证得=，然后根据相似三角形的判定定理即可证得结论．
证明：∵AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
∴==1.2，==1.2，
∴=，
∵∠BAC=∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
9.（2015?厦门）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出=，再根据AD=3，AB=5，即可得出答案．
解：∵DE∥BC，
∴=，
∵AD=3，AB=5，
∴=
10.（2017?宿迁）如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的内角和和平角的定义得到∠BDE=∠CEF，于是得到结论；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB，
∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB，
∵∠DEF=∠B，
∴∠BDE=∠CEF，
∴△BDE∽△CEF；
（2）∵△BDE∽△CEF，
∴，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴，
∵∠DEF=∠B=∠C，
∴△DEF∽△ECF，
∴∠DFE=∠CFE，
∴FE平分∠DFC．
1.（2015年浙江宁波市慈溪市 一模）如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x为（ ）
A．144° B．135° C．136° D．108°
【考点】 黄金分割．
【分析】由题意得到x与y的比值应为黄金比，根据黄金比为0.6，得到x与y比值为0.6，即为3：5，又根据扇子的圆心角与余下的圆心角刚好构成周角，即x与y之和为360，根据比例性质即可求出x的值．2-1-c-n-j-y
解：由扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，黄金比为0.6，
根据题意得：x：y=0.6=3：5，
又∵x+y=360，
则x=360×=135．
故选B．
【点评】此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x与y的关系式．
2.（2015年浙江宁波市慈溪市 一模）已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3，则下列结论正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．AB是A′B′的3倍 B．A′B′是AB的3倍
C．∠A是∠A′的3倍 D．∠A′是∠A的3倍
【考点】 相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比以及对应角相等即可求解．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3，
∴=3，∠A=∠A′，故C与D都错误；
∴AB=3A′B′，故A正确，B错误．
故选A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边的比等于相似比，相似三角形的对应角相等，比较简单，熟记性质是解题的关键．21*cnjy*com
3.（2017年浙江省宁波市七校联考 一模）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 21*cnjy*com
解：根据题意得：AB==，AC=，BC=2，
∴AC：BC：AB=：2： =1：：，
A．三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选C．
4.（2017年浙江宁波市鄞州区 模拟） 如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可得出结论．
解：∵DE∥BC，DF∥BE，
∴，△ADE∽△ABC，，，，
∴，
∴选项A．B、C正确，D错误；
故选：D．
5.（2016年浙江省金华市 ）在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
【考点】相似三角形的判定与性质；函数的图象；线段垂直平分线的性质．
【分析】由△DAH∽△CAB，得=，求出y与x关系，再确定x的取值范围即可解决问题．
解：∵DH垂直平分AC，
∴DA=DC，AH=HC=2，
∴∠DAC=∠DCH，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DAH=∠BAC，∵∠DHA=∠B=90°，
∴△DAH∽△CAB，
∴=，
∴=，
∴y=，
∵AB＜AC，
∴x＜4，
∴图象是D．
故选D．
6.（2016年浙江省杭州市）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．1
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解．
解：∵a∥b∥c，
∴==．
故选B．
7.（浙江省八年级竞赛）如图，矩形ABCD两邻边分别为3、4，点P是矩形一边上任意一点，则点P到两条对角线AC、BD的距离之和PE+PF为_____________.21世纪教育网版权所有
【考点】相似三角形的性质；矩形的性质
【分析】首先设未知线段为未知数，然后根据矩形的性质求出相似三角形，进而求解．
解：设PE=x，PF=a，PB=y． ∵∠PBF=∠ABD，∠PFB=∠DAB
∴△ABD∽△FBP， ∴， 同理可证， ∴a+x=×3=． 故答案为：．
8.（2016年浙江台州市仙居县 一模）如图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为 ．
【考点】 菱形的性质；平移的性质．
【分析】首先得出△MEC∽△DAC，则=，进而得出=，即可得出答案．
解：∵ME∥AD，
∴△MEC∽△DAC，
∴=，
∵菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，
∴AE=1cm，EC=3cm，
∴=，
∴=，
∴图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为： =．
故答案为：．
9.（2017年浙江省宁波市七校联考 一模）赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x轴和y轴，大正方形的顶点B1、C1、C2、C3、…、Cn在直线y=﹣x+上，顶点D1、D2、D3、…、Dn在x轴上，则第n个阴影小正方形的面积为 ．www-2-1-cnjy-com
【考点】 相似三角形的判定与性质；一次函数的性质．
【分析】设第n个大正方形的边长为an，则第n个阴影小正方形的边长为an，根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出直线y=﹣x+与y轴的交点坐标，进而即可求出a1的值，再根据相似三角形的性质即可得出an=a1=，结合正方形的面积公式即可得出结论．【来源：21cnj*y.co*m】
解：设第n个大正方形的边长为an，则第n个阴影小正方形的边长为an，
当x=0时，y=﹣x+=，
∴=a1+a1，
∴a1=．
∵a1=a2+a2，
∴a2=，
同理可得：a3=a2，a4=a3，a5=a4，…，
∴an=a1=，
∴第n个阴影小正方形的面积为==．
故答案为：．
10.（2016年浙江杭州市 模拟命题比赛）正方形ABCD的边长为acm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm2．
【考点】 正方形的性质．
【分析】连接BD，可看出阴影部分的面积等于正方形的面积+一个三角形的面积，用相似求出三角形的面积，阴影部分的面积可证．
解：连接BD，EF．
∵阴影部分的面积=△ABD的面积+△BDG的面积 （G为BF与DE的交点），
∴△ABD的面积=正方形ABCD的面积=a2．
∵△BCD中EF为中位线，
∴EF∥BD，EF=BD，
∴△GEF∽△GBD，
∴DG=2GE，
∴△BDE的面积=△BCD的面积．
∴△BDG的面积=△BDE的面积=△BCD的面积=?a2=a2．
∴阴影部分的面积=a2+a2=a2．
故答案为： a2．
11.（2016年浙江舟山市）如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是多少？
【考点】 相似三角形的判定与性质．
【分析】根据题意，易得△CDF与四边形AFEB的面积相等，再根据相似三角形的相似比求得它们的面积关系比，从而求DF的长，
解：∵△ABC与△DEC的面积相等，
∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∵AB∥DE，
∴△CEF∽△CBA，
∵EF=9，AB=12，
∴EF：AB=9：12=3：4，
∴△CEF和△CBA的面积比=9：16，
设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积=7k，
∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∴S△CDF=7k，
∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，
∴面积比等于底之比，
∴DF：EF=7k：9k，
∴DF=7．
故答案为7．
12.（2016年浙江省杭州市）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
【考点】 相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可．
（2）利用相似三角形的性质得到=，由此即可证明．
（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，
∴∠ADF=∠C，
∵=，
∴△ADF∽△ACG．
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴=，
又∵=，
∴=，
∴=1．
13.（浙江杭州市萧山区质量检测）如图，△ABC是等边三角形，D、E在BC边所在的直线上，且BC2=BD?CE.【版权所有：21教育】
（1） 求∠DAE的度数
（2）求证:AD2=DB?DE
解：（1）△ABC是等边三角形
BC2=BD?CE.
△ABD∽△ECA
△ABD∽△EAD
AD2=DB?DE
14.（2017年浙江省宁波市七校联考 一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE?CA．www.21-cn-jy.com
（1）求证：BC=CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB=OB，CD=2，求⊙O的半径．
【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．
【分析】（1）由DC2=CE?CA和∠ACD=∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，于是利用等腰三角形的判定可得BC=DC；
（2）连结OC，如图，设⊙O的半径为r，先证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到==2，则PC=2CD=4，然后证明△PCB∽△PAD，利用相似比得到=，再利用比例的性质可计算出r的值．
（1）证明：∵DC2=CE?CA，
∴=，
而∠ACD=∠DCE，
∴△CAD∽△CDE，
∴∠CAD=∠CDE，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠CDB=∠CBD，
∴BC=DC；
（2）解：连结OC，如图，设⊙O的半径为r，
∵CD=CB，
∴=，
∴∠BOC=∠BAD，
∴OC∥AD，
∴===2，
∴PC=2CD=4，
∵∠PCB=∠PAD，∠CPB=∠APD，
∴△PCB∽△PAD，
∴=，即=，
∴r=4，
即⊙O的半径为4．
15.（2017年浙江杭州市清河中学 模拟）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．
（1）若AE=CF；
①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；
②若AE=2，试求AP?AF的值；
（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）①证明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；②利用勾股定理求得AF的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值，即可以得到答案．
（2）当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案．点F靠近点B时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；
（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，
又∵AE=CF，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．
∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．
②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，
∴，即，所以AP?AF=12
（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．
①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，
∴∠AOB=120°，
又∵AB=6，
∴OA=，
点P的路径是．
②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为：．
所以，点P经过的路径长为或3．
