第六章概率与统计第30节频率与概率
■知识点一：概率及公式
1.定义：表示一个事件发生的可能性大小的数．概率公式P(A)＝ (m表示试验中事件A出现的次数，n表示所有等可能出现的结果的次数)．
2.用频率可以估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p＝.
3.事件的类型及其概率
事件类型
概率
确定性事件
1或0
必然事件
1
不可能事件
0
不确定性事件(随机事件)
0
■知识点二：随机事件概率的计算
随机事件概率的计算方法 (1)一步完成：直接列举法，运用概率公式计算；
(2)两步完成：列表法、画树状图法；
(3)两步以上：画树状图法
■知识点三：几何概率的计算
几何概率的计算方法 求出阴影区域面积与总面积之比即为该事件发生的概率.
■考点1. 概率及公式
◇典例：
1.（2017?葫芦岛）下列事件是必然事件的是（ ）
A．乘坐公共汽车恰好有空座 B．同位角相等
C．打开手机就有未接电话 D．三角形内角和等于180°
【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别．根据实际情况即可解答．
解：A．乘坐公共汽车恰好有空座，是随机事件；
B．同位角相等，是随机事件；
C．打开手机就有未接电话，是随机事件；
D．三角形内角和等于180°，是必然事件．
故选D．
2.（2017?阿坝州）对“某市明天下雨的概率是75%”这句话，理解正确的是（ ）
A．某市明天将有75%的时间下雨
B．某市明天将有75%的地区下雨
C．某市明天一定下雨
D．某市明天下雨的可能性较大
【考点】概率的意义．
【分析】根据概率的意义进行解答即可．
解：“某市明天下雨的概率是75%”说明某市明天下雨的可能性较大，
故选：D．
3.（2016年浙江省杭州市）已知一包糖果共有5种颜色（糖果只有颜色差别），如图是这包糖果分布百分比的统计图，在这包糖果中任意取一粒，则取出糖果的颜色为绿色或棕色的概率是 ．
【考点】 概率公式；扇形统计图．
【分析】先求出棕色所占的百分比，再根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：棕色所占的百分比为：1﹣20%﹣15%﹣30%﹣15%=1﹣80%=20%，
所以，P（绿色或棕色）=30%+20%=50%=．
故答案为：．
◆变式训练
1.（2017?乐山）下列说法正确的是（ ）
A．打开电视，它正在播广告是必然事件
B．要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用抽样调查
C．在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确
D．甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲2=2，S乙2=4，说明乙的射击成绩比甲稳定
2.（2017?天水）下列说法正确的是（ ）
A．不可能事件发生的概率为0
B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
3.（2017年浙江宁波市江北区 模拟试卷）一个不透明的布袋里装有6个黑球和3个白球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出一个球，是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
■考点2 .随机事件概率的计算
◇典例
1.（2016年浙江省丽水市）箱子里放有2个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出两个球，恰好为1个黑球和1个红球的概率是 ．
【考点】 列表法与树状图法．
【分析】根据题意可以列出相应的树状图，从而可以得到恰好为1个黑球和1个红球的概率．
解：由题意可得，
故恰好为1个黑球和1个红球的概率是：，
故答案为；．
2.（2017?青岛）小华和小军做摸球游戏：A袋装有编号为1，2，3的三个小球，B袋装有编号为4，5，6的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同．从两个袋子中分别随机摸出一个小球，若B袋摸出小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为偶数，则小华胜，否则小军胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．21·cn·jy·com
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字的差为偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．21*cnjy*com
解：不公平，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，数字的差为偶数的有4种情况，
∴P（小华胜）=，P（小军胜）=，
∵≠，
∴这个游戏对双方不公平．
◆变式训练
1.（2016年浙江省台州市）不透明袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率是 ．2-1-c-n-j-y
2.（2017年浙江宁波市 模拟试卷（二））A．B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有3，5，它们除数字外没有任何区别．21教育名师原创作品
（1）随机地从A中抽取一张，求抽到数字为2的概率；
（2）随机地分别从A．B中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？
■考点3.几何概率的计算
◇典例：
1.（2017?东营）如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形
是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概率；几何体的展开图．
【分析】根据正方形表面展开图的结构即可求出判断出构成这个正方体的表面展开图的概率．
解：设没有涂上阴影的分别为：A、B、C、D、E、F、G，如图所示，
从其余的小正方形中任取一个涂上阴影共有7种情况，
而能够构成正方体的表面展开图的有以下情况，D、E、F、G，
∴能构成这个正方体的表面展开图的概率是，
故选（A）
2.（2016?扬州）如图所示的六边形广场由若干个大小完全相同的黑色和白色正三角形组
成，一只小鸟在广场上随机停留，刚好落在黑色三角形区域的概率为 ．
【考点】几何概率．
【分析】刚好落在黑色三角形上的概率就是黑色三角形面积与总面积的比值，从而得出答案．
解：∵黑色三角形的面积占总面积的=，
∴刚好落在黑色三角形区域的概率为；
故答案为：．
◆变式训练
1.（2017?辽阳）如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每
块方砖大小、质地完全一致，那么它最终停留在黑色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
2.（2017?宁夏）如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞
镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．
考点4.利用频率估计概率
◇典例：
（2015?南通）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为（ ）21世纪教育网版权所有
A．12 B．15 C．18 D．21
【考点】利用频率估计概率．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．www-2-1-cnjy-com
解：由题意可得，×100%=20%，
解得，a=15．
故选：B．
变式训练
在一只不透明的袋中装有红球、白球若干个，这些球除颜色外形状大小均相同．八（2）班同学进行了“探究从袋中摸出红球的概率”的数学活动，下表是同学们收集整理的试验结果：
试验次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到红球的次数m
68
111
136
345
564
701
0.68
0.74
0.68
0.69
0.705
0.701
根据表格，假如你去摸球一次，摸得红球的概率大约是??????（结果精确到0.1）．
1.（2017?葫芦岛）下列事件是必然事件的是（ ）
A．乘坐公共汽车恰好有空座 B．同位角相等
C．打开手机就有未接电话 D．三角形内角和等于180°
2.（2015年浙江省金华市）如图的四个转盘中，C，D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ）21教育网
A． B． C． D．
3.（2017?湖州）一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球都是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4.（2017?兰州）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
5.（2016年浙江宁波市）一个不透明布袋里装有1个白球、2个黑球、3个红球，它们除颜色外均相同．从中任意摸出一个球，则是红球的概率为（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
6.（2016年浙江省温州市）一个不透明的袋中，装有2个黄球、3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7.（2016年浙江省金华市）小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（ ）
A． B． C． D．
8.（2017年浙江省金华市）某校举行“激情五月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是（ ）
A． B． C． D．
9.（2016年浙江舟山市）一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为 ．
10.（2016年浙江省衢州市）为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图；
（2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？
（3）已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？www.21-cn-jy.com
1.（2017?新疆）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．购买一张彩票，中奖
B．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
C．明天一定是晴天
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
2.（2017?长沙）下列说法正确的是（ ）
A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查
B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
D．“367人中有2人同月同日出生”为必然事件
3.（2017年浙江嘉兴市）红红和娜娜按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列命题中错误的是（?? ）2·1·c·n·j·y
A．红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为
B、红红胜或娜娜胜的概率相等
C、两人出相同手势的概率为
D、娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率一样
4.（2017?北京）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；【来源：21cnj*y.co*m】
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．
其中合理的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①③
5.（2017年浙江义乌、绍兴、金华市）在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6.（2017年浙江省宁波市）一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7.（2017年浙江省衢州市）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里摸出1个球，则摸到红球的概率是 ．【来源：21·世纪·教育·网】
8.（2017?葫芦岛）如图是由若干个全等的等边三角形拼成的纸板，某人向纸板上投掷飞
镖（每次飞镖均落在纸板上），飞镖落在阴影部分的概率是 ．
9.（2017年浙江台州市）三名运动员参加定点投篮比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，由于某种原因，要求这三名运动员用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率为________
10.（2017年浙江省丽水市）如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 ．【出处：21教育名师】
11.（2017?眉山）一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球．若
红球个数是黑球个数的2倍多40个．从袋中任取一个球是白球的概率是________
（1）求袋中红球的个数；
（2）求从袋中任取一个球是黑球的概率．
12.（2017?通辽）小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面
积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由．【版权所有：21教育】
13. （2016年浙江杭州市 模拟命题比赛2）一个不透明的口袋里装有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色不同外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，从中任意捧出1球是红球的概率为．21*cnjy*com
（1）试求袋中绿球的个数；
（2）第1次从袋中任意摸出1球（不放回），第2次再任意摸出1球，请你用画树状图或列表格的方法，求两次都摸到红球的概率．
14.（2017年浙江温州市）为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门）．
（1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图．根据该统计图，请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数．
（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的A，B，C三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在A班，求他和小慧被分到同一个班的概率．（要求列表或画树状图）
15.（2017年浙江省宁波市七校联考 一模）宁波轨道交通4号线已开工建设，计划2020年通车试运营．为了了解镇民对4号线地铁票的定价意向，某镇某校数学兴趣小组开展了“你认为宁波4号地铁起步价定为多少合适”的问卷调查，并将调查结果整理后制成了如下统计图，根据图中所给出的信息解答下列问题：21·世纪*教育网
（1）求本次调查中该兴趣小组随机调查的人数；
（2）请你把条形统计图补充完整；
（3）如果在该镇随机咨询一位居民，那么该居民支持“起步价为2元或3元”的概率是
（4）假设该镇有3万人，请估计该镇支持“起步价为3元”的居民大约有多少人？
第六章概率与统计第30节频率与概率
■知识点一：概率及公式
1.定义：表示一个事件发生的可能性大小的数．概率公式P(A)＝ (m表示试验中事件A出现的次数，n表示所有等可能出现的结果的次数)．
2.用频率可以估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p＝.
3.事件的类型及其概率
事件类型
概率
确定性事件
1或0
必然事件
1
不可能事件
0
不确定性事件(随机事件)
0■知识点二：随机事件概率的计算
随机事件概率的计算方法 (1)一步完成：直接列举法，运用概率公式计算；
(2)两步完成：列表法、画树状图法；
(3)两步以上：画树状图法
■知识点三：几何概率的计算
几何概率的计算方法 求出阴影区域面积与总面积之比即为该事件发生的概率.
■考点1. 概率及公式
◇典例：
1.（2017?葫芦岛）下列事件是必然事件的是（ ）
A．乘坐公共汽车恰好有空座 B．同位角相等
C．打开手机就有未接电话 D．三角形内角和等于180°
【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别．根据实际情况即可解答．21世纪教育网版权所有
解：A．乘坐公共汽车恰好有空座，是随机事件；
B．同位角相等，是随机事件；
C．打开手机就有未接电话，是随机事件；
D．三角形内角和等于180°，是必然事件．
故选D．
2.（2017?阿坝州）对“某市明天下雨的概率是75%”这句话，理解正确的是（ ）
A．某市明天将有75%的时间下雨
B．某市明天将有75%的地区下雨
C．某市明天一定下雨
D．某市明天下雨的可能性较大
【考点】概率的意义．
【分析】根据概率的意义进行解答即可．
解：“某市明天下雨的概率是75%”说明某市明天下雨的可能性较大，
故选：D．
3.（2016年浙江省杭州市）已知一包糖果共有5种颜色（糖果只有颜色差别），如图是这包糖果分布百分比的统计图，在这包糖果中任意取一粒，则取出糖果的颜色为绿色或棕色的概率是 ．21*cnjy*com
【考点】 概率公式；扇形统计图．
【分析】先求出棕色所占的百分比，再根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：棕色所占的百分比为：1﹣20%﹣15%﹣30%﹣15%=1﹣80%=20%，
所以，P（绿色或棕色）=30%+20%=50%=．
故答案为：．
◆变式训练
1.（2017?乐山）下列说法正确的是（ ）
A．打开电视，它正在播广告是必然事件
B．要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用抽样调查
C．在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确
D．甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲2=2，S乙2=4，说明乙的射击成绩比甲稳定
【考点】随机事件；全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量； 方差．
【分析】根据随机事件的概念、全面调查和抽样调查的关系、方差的性质判断即可．
解：A、打开电视，它正在播广告是随机事件，A错误；
B、要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用全面调查，B错误；
C、在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确，C正确；
D、甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲2=2，S乙2=4，说明甲的射击成绩比乙稳定，D错误；
故选：C．
2.（2017?天水）下列说法正确的是（ ）
A．不可能事件发生的概率为0
B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
【考点】概率的意义．
【分析】根据不可能事件是指在任何条件下不会发生，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，发生的机会大于0并且小于1，进行判断．21教育网
解：A、不可能事件发生的概率为0，故本选项正确；
B、随机事件发生的概率P为0＜P＜1，故本选项错误；
C、概率很小的事件，不是不发生，而是发生的机会少，故本选项错误；
D、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，是随机事件，正面朝上的次数不确定是多少次，故本选项错误；
故选A．
3.（2017年浙江宁波市江北区 模拟试卷）一个不透明的布袋里装有6个黑球和3个白球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出一个球，是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】 概率公式．
【分析】直接根据概率公式即可得出结论．
解：∵个不透明的布袋里装有6个黑球和3个白球，
∴中任意摸出一个球，是白球的概率==．
故选B．
■考点2 .随机事件概率的计算
◇典例
1.（2016年浙江省丽水市）箱子里放有2个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出两个球，恰好为1个黑球和1个红球的概率是 ．
【考点】 列表法与树状图法．
【分析】根据题意可以列出相应的树状图，从而可以得到恰好为1个黑球和1个红球的概率．
解：由题意可得，
故恰好为1个黑球和1个红球的概率是：，
故答案为；．
2.（2017?青岛）小华和小军做摸球游戏：A袋装有编号为1，2，3的三个小球，B袋装有编号为4，5，6的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同．从两个袋子中分别随机摸出一个小球，若B袋摸出小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为偶数，则小华胜，否则小军胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字的差为偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解：不公平，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，数字的差为偶数的有4种情况，
∴P（小华胜）=，P（小军胜）=，
∵≠，
∴这个游戏对双方不公平．
◆变式训练
1.（2016年浙江省台州市）不透明袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率是 ．
【考点】 列表法与树状图法．
【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是黄球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是黄球的结果数为4，
所以两次摸出的球都是黄球的概率=．
故答案为．
2.（2017年浙江宁波市 模拟试卷（二））A．B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有3，5，它们除数字外没有任何区别．
（1）随机地从A中抽取一张，求抽到数字为2的概率；
（2）随机地分别从A．B中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？
【考点】 游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】（1）根据概率的定义列式即可；（2）画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．
解：（1）P=；
（2）由题意画出树状图如下：
一共有6种情况，
甲获胜的情况有4种，P==，
乙获胜的情况有2种，P==，
所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．
■考点3.几何概率的计算
◇典例：
1.（2017?东营）如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形
是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是（ ）【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
【考点】几何概率；几何体的展开图．
【分析】根据正方形表面展开图的结构即可求出判断出构成这个正方体的表面展开图的概率．
解：设没有涂上阴影的分别为：A、B、C、D、E、F、G，如图所示，
从其余的小正方形中任取一个涂上阴影共有7种情况，
而能够构成正方体的表面展开图的有以下情况，D、E、F、G，
∴能构成这个正方体的表面展开图的概率是，
故选（A）
2.（2016?扬州）如图所示的六边形广场由若干个大小完全相同的黑色和白色正三角形组
成，一只小鸟在广场上随机停留，刚好落在黑色三角形区域的概率为 ．
【考点】几何概率．
【分析】刚好落在黑色三角形上的概率就是黑色三角形面积与总面积的比值，从而得出答案．
解：∵黑色三角形的面积占总面积的=，
∴刚好落在黑色三角形区域的概率为；
故答案为：．
◆变式训练
1.（2017?辽阳）如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每
块方砖大小、质地完全一致，那么它最终停留在黑色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概率．
【分析】先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
解：∵由图可知，黑色方砖4块，共有16块方砖，
∴黑色方砖在整个区域中所占的比值==，
∴它停在黑色区域的概率是；
故选B．
2.（2017?宁夏）如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞
镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．
【考点】几何概率．
【分析】直接利用阴影部分÷总面积=飞镖落在阴影区域的概率，即可得出答案．
解：由题意可得：阴影部分有4个小扇形，总的有10个小扇形，
故飞镖落在阴影区域的概率是：=．
故答案为：．
考点4.利用频率估计概率
◇典例：
（2015?南通）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
【考点】利用频率估计概率．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
解：由题意可得，×100%=20%，
解得，a=15．
故选：B．
变式训练
在一只不透明的袋中装有红球、白球若干个，这些球除颜色外形状大小均相同．八（2）班同学进行了“探究从袋中摸出红球的概率”的数学活动，下表是同学们收集整理的试验结果：
试验次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到红球的次数m
68
111
136
345
564
701
0.68
0.74
0.68
0.69
0.705
0.701
根据表格，假如你去摸球一次，摸得红球的概率大约是??????（结果精确到0.1）．
【考点】利用频率估计概率.
【分析】利用频率估计概率结合表格中数据得出答案即可.
解：根据随着实验的次数不断增加，摸得红球的概率大约是0.7．
1.（2017?葫芦岛）下列事件是必然事件的是（ ）
A．乘坐公共汽车恰好有空座 B．同位角相等
C．打开手机就有未接电话 D．三角形内角和等于180°
【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别．根据实际情况即可解答．【来源：21·世纪·教育·网】
解：A．乘坐公共汽车恰好有空座，是随机事件；
B．同位角相等，是随机事件；
C．打开手机就有未接电话，是随机事件；
D．三角形内角和等于180°，是必然事件．
故选D．
2.（2015年浙江省金华市）如图的四个转盘中，C，D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
【考点】几何概率
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，
解：∵四个转盘中，A．B、C、D的面积分别为转盘的，
∴A．B、C、D四个转盘指针落在阴影区域内的概率分别为.
∴指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是A．
故选A．
3.（2017?湖州）一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球都是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出红球情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次摸出红球的有9种情况，
∴两次摸出红球的概率为；
故选D．
4.（2017?兰州）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
【考点】利用频率估计概率．
【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值．
解：根据题意得=30%，解得n=30，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选D．
5.（2016年浙江宁波市）一个不透明布袋里装有1个白球、2个黑球、3个红球，它们除颜色外均相同．从中任意摸出一个球，则是红球的概率为（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
【考点】 概率公式．
【分析】让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．
【解答】解：1个白球、2个黑球、3个红球一共是1+2+3=6个，从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是3÷6=．21·世纪*教育网
故选：C．
6.（2016年浙江省温州市）一个不透明的袋中，装有2个黄球、3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】 概率公式．
【分析】由题意可得，共有10可能的结果，其中从口袋中任意摸出一个球是白球的有5情况，利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：∵从装有2个黄球、3个红球和5个白球的袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，
其中摸出的球是白球的结果有5种，
∴从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是=，
故选：A．
7.（2016年浙江省金华市）小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】 列表法与树状图法．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出小明、小华两名学生参加社会实践活动的情况数，即可求出所求的概率；
解：可能出现的结果
小明
打扫社区卫生
打扫社区卫生
参加社会调查
参加社会调查
小华
打扫社区卫生
参加社会调查
参加社会调查
打扫社区卫生
由上表可知，可能的结果共有4种，且他们都是等可能的，其中两人同时选择“参加社会调查”的结果有1种，
则所求概率P1=，
故选：A．
8.（2017年浙江省金华市）某校举行“激情五月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】 列表法与树状图法．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式即可求出该事件的概率．21教育名师原创作品
解：画树状图得：
∴一共有12种等可能的结果，甲、乙同学获得前两名的有2种情况，
∴甲、乙同学获得前两名的概率是=；
故选D．
9.（2016年浙江舟山市）一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为 ．
【考点】 概率公式．
【分析】确定出偶数有2个，然后根据概率公式列式计算即可得解．
解：∵标号为1，2，3，4，5的5个小球中偶数有2个，
∴P=．
故答案为：．
10.（2016年浙江省衢州市）为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图；
（2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？
（3）已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？
【考点】 条形统计图；扇形统计图；概率公式．
【分析】（1）根据C类人数有15人，占总人数的25%可得出总人数，求出A类人数，进而可得出结论；
（2）直接根据概率公式可得出结论；
（3）求出“实践活动类”的总人数，进而可得出结论．
【解答】解：（1）总人数=15÷25%=60（人）．
A类人数=60﹣24﹣15﹣9=12（人）．
∵12÷60=0.2=20%，
∴m=20．
条形统计图如图；
（2）抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率==；
（3）∵800×25%=200，200÷20=10，
∴开设10个“实验活动类”课程的班级数比较合理．
1.（2017?新疆）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．购买一张彩票，中奖
B．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
C．明天一定是晴天
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【考点】随机事件．
【分析】根据随机事件与必然事件的定义即可求出答案．
解：（A）购买一张彩票中奖是随机事件；
（B）根据物理学可知0℃以下，纯净的水结冰是必然事件；
（C）明天是晴天是随机事件；
（D）经过路口遇到红灯是随机事件；
故选（B）
2.（2017?长沙）下列说法正确的是（ ）
A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查
B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
D．“367人中有2人同月同日出生”为必然事件
【考点】可能性的大小；全面调查与抽样调查；中位数；随机事件．
【分析】根据可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．www.21-cn-jy.com
解：A、检测某批次灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，应采用抽样调查，此选项错误；
B、可能性是1%的事件在一次试验中可能发生，此选项错误；
C、数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，此选项错误；
D、“367人中有2人同月同日出生”为必然事件，此选项正确；
故选：D．
3.（2017年浙江嘉兴市）红红和娜娜按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列命题中错误的是（?? ）www-2-1-cnjy-com
A．红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为
B、红红胜或娜娜胜的概率相等
C、两人出相同手势的概率为
D、娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率一样
【考点】 概率的意义，概率公式
【分析】用树状图列出所有等可能的情况是9种，再找出红红胜的情况，娜娜胜的情况，分别求出她们获胜的概率，再比较. 21*cnjy*com
解：如下树状图，
一共有9种等可能的情况，
其中红红胜的概率是P=,
娜娜胜的概率是P=,
两人出相同手势的概率为P=,
故A错误.
故选A．
4.（2017?北京）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．
其中合理的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①③
【考点】利用频率估计概率．
【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
解：当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：308÷500=0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误，
随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确，
若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误，
故选B．
5.（2017年浙江义乌、绍兴、金华市）在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】 概率公式．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
解：∵在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的4个红球和3个黑球，
∴从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是．
故选B．
6.（2017年浙江省宁波市）一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【分析】让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是．
故选：C．
7.（2017年浙江省衢州市）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里摸出1个球，则摸到红球的概率是 ．
【考点】 概率公式．
【分析】由一个不透明的箱子里共有1个白球，2个红球，共3个球，它们除颜色外均相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解：∵一个不透明的箱子里有1个白球，2个红球，共有3个球，
∴从箱子中随机摸出一个球是红球的概率是；
故答案为：．
8.（2017?葫芦岛）如图是由若干个全等的等边三角形拼成的纸板，某人向纸板上投掷飞
镖（每次飞镖均落在纸板上），飞镖落在阴影部分的概率是 ．
【考点】几何概率．
【分析】确定阴影部分的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖落在阴影区域的概率．
解：如图：阴影部分的面积占6份，总面积是16份，∴飞镖落在阴影部分的概率是=；
故答案为：．
9.（2017年浙江台州市）三名运动员参加定点投篮比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，由于某种原因，要求这三名运动员用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率为________
【考点】 列表法与树状图法
【分析】依题可得甲、乙、丙三人出场顺序的情况有：甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共6种情况，符合条件的有乙丙甲，
丙甲乙这2种情况,从而得出答案.
解：依题可得甲、乙、丙三人出场顺序的情况有：甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共6种情况，符合条件的有乙丙甲，
丙甲乙这2种情况，所以P==， 故答案为.
10.（2017年浙江省丽水市）如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 ．
【考点】 利用轴对称设计图案；列表法与树状图法．
【分析】直接利用已知得出涂黑后是轴对称图形的位置，进而得出答案．
解：由题意可得：空白部分一共有6个位置，白色部分只有在1或2处时，
黑色部分的图形是轴对称图形，故黑色部分的图形是轴对称图形的概率是：=．
故答案为：．
11.（2017?眉山）一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球．若
红球个数是黑球个数的2倍多40个．从袋中任取一个球是白球的概率是．
（1）求袋中红球的个数；
（2）求从袋中任取一个球是黑球的概率．
【考点】概率公式．
【分析】（1）先根据概率公式求出白球的个数为10，进一步求得红、黑两种球的个数和为280，再根据红球个数是黑球个数的2倍多40个，可得黑球个数为（280﹣40）÷（2+1）=80个，进一步得到红球的个数；2-1-c-n-j-y
（2）根据概率公式可求从袋中任取一个球是黑球的概率．
解：（1）290×=10（个），
290﹣10=280（个），
（280﹣40）÷（2+1）=80（个），
280﹣80=200（个）．
故袋中红球的个数是200个；
（2）80÷290=．
答：从袋中任取一个球是黑球的概率是．
12.（2017?通辽）小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面
积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】首先依据题先用树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可．
解：这个游戏对双方是公平的．
如图，
∴一共有6种情况，和大于4的有3种，
∴P（和大于4）==，
∴这个游戏对双方是公平的．
13. （2016年浙江杭州市 模拟命题比赛2）一个不透明的口袋里装有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色不同外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，从中任意捧出1球是红球的概率为．
（1）试求袋中绿球的个数；
（2）第1次从袋中任意摸出1球（不放回），第2次再任意摸出1球，请你用画树状图或列表格的方法，求两次都摸到红球的概率．
【考点】 列表法与树状图法；概率公式．
【分析】（1）此题的求解方法是：借助于方程求解；
（2）此题需要两步完成，所以采用树状图或者列表法都比较简单．
解：（1）设绿球的个数为x．由题意，得=（2分）
解得x=1，经检验x=1是所列方程的根，所以绿球有1个；
（2）根据题意，画树状图：
由图知共有12种等可能的结果，
即（红1，红2），（红1，黄），（红1，绿），（红2，红1），（红2，黄），（红2，绿），（黄，红1），（黄，红2），（黄，绿），（绿，红1），（绿，红2），（绿，黄），其中两次都摸到红球的结果有两种（红，红），（红，红）．21·cn·jy·com
∴P（两次都摸到红球）==；
或根据题意，画表格：
第1次
第2次
红1
红2
黄
绿
红1
（红2，红1）
（黄，红1）
（绿，红1）
红2
（红1，红2）
（黄，红2）
（绿，红2）
黄
（红1，黄）
（红2，黄）
（绿，黄）
绿
（红1，绿）
（红2，绿）
（黄，绿）
由表格知共有12种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有两种，
∴P（两次都摸到红球）==．
14.（2017年浙江温州市）为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门）．
（1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图．根据该统计图，请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数．
（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的A，B，C三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在A班，求他和小慧被分到同一个班的概率．（要求列表或画树状图）
【考点】 列表法与树状图法；用样本估计总体；条形统计图．
【分析】（1）利用样本估计总体，用480乘以样本中选“数学故事”的人数所占的百分比即可估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数；21cnjy.com
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出他和小慧被分到同一个班的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）480×=90，
估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数为90人；
（2）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中他和小慧被分到同一个班的结果数为2，
所以他和小慧被分到同一个班的概率==．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
15.（2017年浙江省宁波市七校联考 一模）宁波轨道交通4号线已开工建设，计划2020年通车试运营．为了了解镇民对4号线地铁票的定价意向，某镇某校数学兴趣小组开展了“你认为宁波4号地铁起步价定为多少合适”的问卷调查，并将调查结果整理后制成了如下统计图，根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）求本次调查中该兴趣小组随机调查的人数；
（2）请你把条形统计图补充完整；
（3）如果在该镇随机咨询一位居民，那么该居民支持“起步价为2元或3元”的概率是
（4）假设该镇有3万人，请估计该镇支持“起步价为3元”的居民大约有多少人？
【考点】 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式．
【分析】（1）根据5元在扇形统计图中的圆心角和人数可以解答本题；
（2）根据（1）中的答案和统计图中的数据可以求得条形统计图中的未知数据，从而可以将条形统计图补种完整；
（3）根据统计图中的数据可以得到该居民支持“起步价为2元或3元”的概率；
（4）根据前面求得的数据可以估计该镇支持“起步价为3元”的居民人数．
解：（1）由题意可得，
同意定价为5元的所占的百分比为：18°÷360°×100%=5%，
∴本次调查中该兴趣小组随机调查的人数为：10÷5%=200（人），
即本次调查中该兴趣小组随机调查的人数有200人；
（2）由题意可得，
2元的有：200×50%=100人，
3元的有：200﹣100﹣30﹣10=60人，
补全的条形统计图如右图所示；
（3）由题意可得，
该居民支持“起步价为2元或3元”的概率是：，
故答案为：；
（4）由题意可得，
（人），
即该镇支持“起步价为3元”的居民大约有9000人．
