课件29张PPT。鲁教版数学八年级下册第八章第一节一元二次方程
第1课时一个伟大的设想数学问题 首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题；其次，把所有的数学问题转化为代数问题；最后，把所有的代数问题转化为方程问题。 －－－笛卡儿(法国)2x+3=02x+3y=6?方程大家庭2x+3=02x+3y=0一元一次方程二元一次方程分式方程2x+3=02x+3y=6?方程大家庭2x+3=02x+3y=0一元一次方程二元一次方程分式方程2x+3=02x+3y=6?方程大家庭2x+3=0一元一次方程定义：只含有一个未知数，
未知数的次数是一次的整式方程。探究新知 分享快乐走近生活 问题1 请列出方程：源于生活 幼儿园活动教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？如果设所求的宽度为xm,那么你能列出怎样的方程？ 问题1 请列出方程：源于生活 幼儿园活动教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，如果设所求的宽度为xm,那么你能列出怎样的方程？xxxx (8－2x)(5－2x)=18 即2X2-13x+11=0 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．当梯子的顶端下滑1m时，梯子的底端向外滑动多少米？设梯子的底端向外滑动xm, 那么你能列出怎样的方程？72＋(X＋6)2=102xm8m10m7m6m10m1m问题2：即：x2+12 x -15 = 0类比：2x+3=0方程 ①②有何特点?② 72＋(X＋6)2=102 x2+12x-15=0① (8－2x)(5－2x)=18 2X2-13x+11=0一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数是一次的整式方程。方程 ①②有何特点?② 72＋(X＋6)2=102 x2-12x-15=0① (8－2x)(5－2x)=18 2X2-13x+11=0一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数是一次的整式方程。一元二次方程 ①方程两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的最高次数是2次一元二次方程 ①方程两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的最高次数是2次方程 ①②有何特点?② 72＋(X＋6)2=102 x2-12x-15=0① (8－2x)(5－2x)=18 2X2-13x+11=0 像这样，两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次,这样的方程叫做 一元二次方程.(a≠0,a,b,c为常数）ax2+ bx +c =0二次项：ax2 一次项：bx 常数项：c
一元二次方程的一般形式(a≠0,a,b,c为常数）ax2+ bx +c =0二次项：ax2 一次项：bx 常数项：c
一元二次方程的一般形式 想一想
为什么要限制a≠01.当b=0时a≠02.当c=0时3.当b=0，c=0时ax2+c=0ax2+bx=0ax2=0b、c可以为零吗？ ?例1：下列方程是一元二次方程的是：应用新知（4） （3） （2） （1） 判断下列方程是否为一元二次方程：① 10x2=9 ( ) ②x2= x2- 4x ( )
③ 2xy-7=0 ( ) ④ ( ) ⑤ ax2 + bx +c=0（ ）慧眼找对错例2：把下列方程化成一般形式,并指出二次项系数,一次项系数和常数项.一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0) 应用新知X2-4x-3=01 - 4 -3 0.5 0 ?3x2-2x-1=03 -2 -1 ?-4-3抢答注意1、整理后书写一元二次方程时，通常降幂排列。
一般情况下，二次项系数应化为正数。
2、系数前面的符号不能丢。已知关于x的方程(k2-1)x2 +2(k-1)x+3=0(2)请你写出一个K的值，使原方程为一元一次方程这样的K值唯一吗？(1)请你写出一个k的值，使原方程为一元二次方程，这样的K值有多少个？
K可以取任意实数吗？若不是，K要受到什么条件的限制？比一比，哪个小组合作最佳？k2-1≠0 即K≠±1即K=-1 k2-1＝0 K-1≠0例3：关于x的方程 (a-2)x|a| -bx+3=0,
a,b为何值，此方程为一元二次方程
拓展延伸解:(1) a-2≠0|a|=2∴a=-2，b是任意实数时是一元二次方程；a≠2
a=± 2新知
注意困惑
感悟 预测方向1.一元二次方程的概念 2.一元二次方程的一般形式 (a≠0，a,b,c为常数）数学问题转化实际问题方程思想的应用4.两种思想：类比一元二次方程①方程两边都是整式②只含有一个未知数
③未知数的最高次数是2次3.根据定义确定字母系数的值一元一次方程1.请问下列方程哪些是一元二次方程?若是，指出各项的系数(1)2x2－5xy＋6y＝0(4)x2＋2x－3＝1＋x2 你认识一元二次方程了吗？2、你能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？解：设五个连续整数中第一个数为x,则后面四个数依次为_____、_____
_____、______。根据题意可得方程为：
—————————————————————X+1X+2X+3X+4堂清检测 3.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：3x2-5x+1=0x2-10=0x2-4x=0311-50-41-1004、选做：
关于x的方程(m-2)x|m|+3mx+1=0是
一元二次方程，则?m= . 堂清检测-2?
必做题：配套练习册P60-62
选做题：5
作业目的：1、进一步巩固一元二次方程的定义及一般形式。2、一元二次方程的实际应用。
作业要求：独立用心完成，保证准确率。 给我最大快乐的，不是已懂的知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。
---- 高斯Thank you !本节课选自鲁教版八年级数学下册第八章第一节《一元二次方程》的第1课时，本章内容共需要14个课时完成。方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型,是解决问题的重要工具之一,它既与现实生活密切联系,又贯穿于整个初中阶段数学的学习。在初中数学中占有重要地位。一元二次方程的学习，是一元一次方程、方程组及不等式知识的延续和深化，也是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。这节课是一元二次方程的概念课，通过丰富的实例，抽象出一元二次方程的概念。本节课的教学不仅使学生进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，而且提高了学生分析、比较、抽象和概括的能力。为接下来的学习起到很好的铺垫作用。
概念教学总是遵循这样的规律：引入概念、形成概念、巩固概念、运用概念和深化概念，在设计教学中也是遵循这一规律，首先通过三个问题让学生建立一元二次方程顺利引入到新课；然后通过交流探究归纳出一元二次方程的概念，使学生体会到学习一元二次方程的必要性，探讨一元二次方程的一般形式及相关概念，并学会利用方程解决实际问题，从而获得本课的新知识；再次是通过两个例题达到巩固、运用概念的作用；最后通过总结与检测来深化学生所学知识，并运用到实际问题中去，使学生熟练掌握所学知识。教学过程中，强调自主学习，注重合作交流，让学生与学生的交流合作在探究过程中进行，使他们在自主探究的过程中理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式，并获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新能力。
本节课通过一元一次方程的引入，培养学生分析问题能力和类比化归思想。引入问题是加深学生对一元二次方程的概念的理解，巩固训练是加深学生正确识别一般式中的“项”及“系数”的理解，促进学生对学习过程的进行反思。在整个教学过程中，本人利用多种教学方法，使学生在实验中提出问题，解决问题的途径，而不知不觉地进入学习氛围，把学生从被动学习步入主动想学的习惯。总之，在本节教学中，我始终坚持以学生为主体，教师为主导，致力启用学生已掌握的知识，充分调动学生的兴趣和积极性，使他们最大限度地参与到课堂的活动中，在整个教学过程中我以启发学生，挖掘学生潜力，培养学生应用意识，提高学生学习数学素养。数学教学是师生之间、学生之间交往互动与共同参与发展的过程。本节课立足于学生的认知基础来确定适当的起点与目标，内容安排从等式的基本性质到合并同类项、移项的发现和运用，逐步展示知识的过程，使学生的思维层层展开，逐步深入。在教学设计时，利用多媒体辅助教学，使学生体会到数学无处不在，运用数学无时不有。以动代静，使课堂气氛活跃，面向全体学生，给基础好的学生充分的空间，满足他们的求知欲，同时注重利用学生的好奇心，培养学生的创新能力，引导学生从数学角度发现和提出问题，并用数学方法探索、研究和解决，体现《新课标》的教学理念。
本节课的评价要让学生体会到参与学习的重要性，获得成绩的喜悦，从而激发学习动力。在这节的数学课，如要获得最直接的反馈，就要尽量让学生多思考、多练习，多说，对于学生提出的问题和解决问题的方法，教师都要给予鼓励和引导，并随时观察解决，将评价及时反馈给学生，树立学习数学的自信心，促进学生的进一步发展，为下一步教学提供重要依据。不足：本堂课如果前面能更紧一些，最后有足够的时间让学生加大练习量就更好了。
总之，这节课最大的特点是处处站在学生的立场上去对待问题的发现和处理，整节课流畅又不失起伏，学生的参与意识被充分地调动起来，使得整节课激情四射、高潮迭起、精彩纷呈；同时注意对重、难点知识采用“欲扬先抑”的方法，让学生在错误中醒悟，在争论中抓住问题的本质；精心设计的问题巧妙地串起每个知识点，使得整节课有一气呵成之感！
课题：一元二次方程 第一课时
教学目标：1、理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式。
2.正确认识二次项系数、一次项系数及常数项．
3.会根据题意列一元二次方程，体会方程的模型思想。
教学重点：一元二次方程的概念及一般形式。
教学难点：1.由实际问题向数学问题的转化过程。
2.正确识别一般式中的“项”及“系数”。
教法:1.创设以学生为中心，采用小组讨论，大组竞赛等多种形式，合作探究。利用投影仪辅助教学，突破教学难点2、让学生自己去尝试发现问题，总结方法，而不是被动的回答老师的问题、接受老师的答案。3、授课中通过一系列问题，给学生充分的时间尝试和思考，充分表达自己的想法，使学生自主学习真正成为可能,在此基础上解决问题并得出结论。
学法：本节课充分发挥学生的主观能动性。学生通过解决实际问题的解决中发现新问题，引发认知冲突，进而通过独立思考、合作交流等方式，充分经历“观察——尝试——解决——归纳”的全过程，学生充分体验到研究问题，解决问题，最后得出一般结论的过程，加深学生对一元二次方程的认识及能力。同时也促进了学生的思维能力的提高。
一、导入新课：数学之所以其乐无穷，是因为它能解决许多实际问题，数学家迪卡尔就曾经提出过一个伟大的设想：首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题；其次，把所有的数学问题转化为代数问题；最后，把所有的代数问题转化为方程问题。只要解决了方程，一切问题都将迎刃而解，现在就让我们一起走入方程大家庭，重温我们那些熟悉的小伙伴。
【设计意图】以一个伟大的设想，引起学生的学习兴趣.
二、方程大家庭：
①2x+3=0,② 2x+3y=0,③ 这是我们学过的哪些方程？能够用元和次来描述的都是整式方程。其中一元一次方程：只含有 个未知数，未知数的次数是 次的方程
【设计意图】引导学生复习一元一次方程的概念,为后面学习一元二次方程的有关内容做好铺。
过渡语：下面让我们继续畅游在方程的大家庭中，不忘老朋友，结识新朋友。一起走近生活、 探究新知、分享快乐。
三、走近生活 探究新知 分享快乐
1、问题1 请列出方程：幼儿园活动教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？如果设所求的宽度为xm,那么你能列出怎样的方程？
则可列方程为： 整理化简得： .
2、问题2 ：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，
梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，当梯子的顶端下滑1m时，梯子的底端向外滑动多少米？设梯子的底端向外滑动xm, 那么你能列出怎样的方程？
（1）把实际问题数学化，当看到直角三角形中斜边为10，直角边为8，会想到什么(另一直角边为6，大家对直角三角形的 三边的关系掌握得非常熟练)（2）大家继续观察在梯子滑动的过程中梯子的长度是否变化？梯子顶端下滑1m后，变为7m,构造出一个新的直角三角形，由勾股定理可得方程 整理化简得: .
【设计意图】通过问题串引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．
同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位
3、合作探究解决问题：要求小组之间把上述问题相互讨论解决由学生观察归纳这3个方程的特征,给出名称并类比一元一次方程的定义,得出一元二次方程的定义.
?活动中教师应重点关注:(1)?引导学生观察所列出的2个方程的特点;
?(2)?让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义.
?(3)?强调定义中体现的3个特征:
?①整式;②一元;③2次.由学生以抢答的形式来完成此题,并让学生找出错误理由.
4、你所列的方程 ①②有何特点?(类比前面的一元一次方程)
一元二次方程的定义：两边都是 ,只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 次,这样的方程叫做一元二次方程.
【设计意图】：学生已熟练掌握了一元一次方程等概念，所以从未知数的个数及最高次数提问，引导学生自主观察、比较、归纳在概念教学中类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。
4、一元二次方程的一般形式 其中二次项是 一次项是 常数项是 二次项系数一次项系数常数项
问题：说出2x2-13x+11=0二次项是 一次项是 常数项是 注意符号
想一想：为什么要限制a≠0，b、c可以为零？
当b=0时方程为
当b≠0 c=0时方程为 当b=0，c=0时方程为
【强调】方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0时就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。此环节让学生通过自主探究,类比一元一次方程一般形式,得出一元二次方程一般形式和项,系数的概念,从而达到真正理解并掌握的目的.
小结：学习了一元二次方程的定义、了解了一元二次方程的一般形式。
四、精讲点拨：
要求： 1、先自已独立做，再小组合作解决问题。
2、小组内成员要积极发言，并推选中心发言人。
【设计意图】这组题训练学生解题过程的严密性，故采取学生亲自动手做，及时巩固所学知识。
学生活动：由学生独立完成是为了培养学生的解方程的速度和能力，及时发现问题，及时解决。
例1下列方程是一元二次方程的是( )
（1）3x+2=5-3y (2) (3)(4)
慧眼找错：判断下列方程是否为一元二次方程：
10x2=9 ( ) ②x2= x2-4x ( )
③2xy-7=0 ( ) ④ ( ) ⑤ ax2 + bx + c=0
自己编一个一元二次方程（说出二次项、一次项、常数项）
3、例2:把下列方程化成一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.
【设计意图】 通过例2的学习，一是使学生进一步掌握一元二次方程的一般形式，并注意强调二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号；二是使学生进一步了解方程的变形过程。注意:
1.要先化成 ax2+bx+c=0 （a≠0）的形式。
2.若方程中含有整式乘法，要先利用法则展开再进行等式变形。
3.在写一元二次方程一般式时，通常按未知数次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项。写系数时，要带上前面的符号。
4、一般情况下，二次项系数应化为正数。
4、抢答：
【设计意图】：此问题采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性。其目的是为了及时巩固一元二次方程的概念，同时让学生知道判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断。
过渡语：我们掌握了一元二次方程的定义，化成一般形式后能找到二次项、一次项、常数项，那能不能根据定义确定字母系数的值呢？在学习的过程中，你不是孤单的，总有热心的小伙伴与你一起前行，下面大家就充分利用集体的智慧来解决问题。
五.比一比，哪个小组合作最佳？
1、已知关于x的方程(k2-1)x2 +2(k-1)x+3=0,
(1)你能写出一个k的值，使原方程为一元二次方程吗？这样的K值有多少个？K可以取任意实数吗？若不是，K要受到什么条件的限制？(2)你能写出一个K的值，使原方程为一元一次方程吗？这样的K值唯一吗？
【设计意图】：此题仍涉及字母系数问题,难度加大,通过小组合作以达到让学生掌握本节课重难点的目的.
过渡语：通过这个题反映出大家对定义掌握的很好，其实只我们牢固掌握所学的基本知识，就能解决遇到的问题。下面我们通过例3来再次规范过程。
2、例3:方程（a—2）x|a| —bx+3=0, a,b为何值，此方程为一元二次方程？此方程为一元一次方程？
六、【体会分享 畅谈收获】，你的收获，感悟，困惑及预测方向
1、a≠0是ax2+bx+c=0成为一元二次方程的必要条件，否则，方程ax2+bx+c=0变为bx+c=0，就不是一元二次方程。 2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。 3、 实际问题数学问题方程思想的应用
【设计意图】：引导学生回顾本节课的学习内容，加强知识的形成。
结束语：
同学们非常棒，已经用自己的实际行动验证了数学家迪卡尔先生的话，学会了用方程思想解决生活中的实际问题，这也说明大家都具有成为数学家的潜质，但想成为真正的数学家还需要不断的努力、探索。剩下的时间，让我们静下心来把今天学到的知识在脑子中梳理一遍，对照着老师给的堂清自测，来检验一下本堂课学习成果。
七、堂清检测
1、请问下列方程哪些是一元二次方程?若是，指出各项的系数
(1)2x2－5xy＋6y＝0 (2)2x2－ －1 ＝0
(3) (4)x2＋2x－3＝1＋x2
2、你能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？设五个连续整数中第一个数为x, 则后面四个数依次为_____、_____ _____、______。根据题意可得方程为：
3.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
方 程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
3x2=5x-1
(x+2)(x -2)=6
4x-x2=0
4、选做：方程(m-2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则?m=
【设计意图】通过检测反馈，发现学生存在的问题，进一步巩固本节课的知识点
八、板书设计：
一元二次方程
1.概念 3、根据定义确定字母系数的值
(8-2x)(5-2x)=0 例3
要素：1、整式2、一元3、二次
2、一般形式：
ax2 + bx + c=0（a≠0， a,b,c为常数）
注意：1、2、
【设计意图】板书是教学的聚焦点，在教学中起着画龙点睛的作用，更能展示教学思路，引导思维的方法，
九、作业布置：
必做题：配套练习册P60-62 选做题：5
作业目的：1、进一步巩固一元二次方程的定义及一般形式。2、一元二次方程的实际应用。作业要求：（1）独立用心完成，保证准确率。
（2）书写要正规、认真。
作业指导：先巩固课本上学习的内容再准确作业。
【设计意图】分层次布置作业，尊重学生的个体差异，激发学生学习积极性。
结束语：给我最大快乐的，不是已懂的知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。希望同学们可以在学数学、用数学这条路上一直快乐前行。
1、慧眼找错：判断下列方程是否为一元二次方程：
10x2=9 ( ) ②x2= x2-4x ( )
③2xy-7=0 ( ) ④ ( ) ⑤ ax2 + bx + c=0
2、自己编一个一元二次方程（说出二次项、一次项、常数项）
3、抢答：
4、小组交流：
已知关于x的方程(k2-1)x2 +2(k-1)x+3=0,(1)你能写出一个k的值，使原方程为一元二次方程吗？这样的K值有多少个？K可以取任意实数吗？若不是，K要受到什么条件的限制？(2)你能写出一个K的值，使原方程为一元一次方程吗？这样的K值唯一吗？
堂清检测
1、请问下列方程哪些是一元二次方程?若是，指出各项的系数
(1)2x2－5xy＋6y＝0 (2)2x2－ －1 ＝0
(3) (4)x2＋2x－3＝1＋x2
2、你能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？设五个连续整数中第一个数为x, 则后面四个数依次为_____、_____ _____、______。根据题意可得方程为：
3.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
方 程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
3x2=5x-1
(x+2)(x -2)=6
4x-x2=0
4、选做：方程(m-2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则?m=
