勾股定理的应用举例教学设计
山东教育出版社 数学
七年级 上册 第三章 第三节
【教材分析】
教材的地位和作用：勾股定理是现实生活中广泛存在的一种现象。本节课的内容是对勾股定理内容的进一步拓广与发展。同时在教学中让学生学会观察、操作、实验、合作与交流。因而，本节课在整个几何学习中起着桥梁和纽带的作用。
【教学目标】
知识与技能目标：
将实际问题抽象成数学问题，利用数学中的建模思想构造直角三角形，会用勾股定理解决实际问题；已知直角三角形一条边的长和另外两条边的关系，能用勾股定理列出方程。
能力与情感目标：培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力；通过运用勾股定理知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力。
数学思考：在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．经历将实际问题抽象成数学问题的过程，在操作、观察、分析过程中培养学生主动探究的习惯。
【教学重点】勾股定理的应用。
【教学难点】将实际问题转化为数学问题。
【教法学法】
教法
引导—探究—归纳
本节课的教学对象是初二学生，他们的参与意识教强，思维活跃，为了实现本节课的教学目标，我力求以下三个方面对学生进行引导：
（1）从创设问题情景入手，通过知识再现，孕育教学过程；
（2）从学生活动出发，顺势教学过程；
（3）利用探索研究手段，通过思维深入，领悟教学过程．
学法
演示法：把媒体课件演示给学生看，利用拱门和小汽车平面图形演示，使学生直观、具体、形象地感知图形。
实验法：让学生动手操作，通过拼和画来学习勾股定理的应用。
讨论法：在学生进行了自主探索之后，让他们进行合作交流，使他们互相促进、共同学习。
练习法：精心设计当堂测验和课后作业，使学生的知识水平得到恰当的发展和提高。
课前准备
教具：教材、电脑、多媒体课件．
学具：用矩形泡沫纸片做成的拱门、小汽车、男孩女孩pk台，笑脸。
【教学过程】
一、巧设问题，引入课题：
“大家喜欢旅游吗？”与学生的对话激发学生对勾股定理的应用探知的需求！本节课带领学生到烟台的一座小城去游玩，由第一站护城河引出芦苇题，第二站到博物馆引出旗杆练习题，第三站到美食一条街引出汽车过单行道拱门的题。小热身砸金蛋游戏环节复习常见的勾股数：10以内数字打头的勾股数你知道有谁吗？夯实基础，为应用题的计算快捷提供依据。
二、新知学习：
1、第一站：
河边上有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向
岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?
解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为
AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺.
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2.
即 52+ x2=（x+1）2.
25+x2= x2+2x+1.
2x=24.
∴ x=12，x+1=13．
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．
2、第二站： (学生自做，计时5分钟竞赛)
你想知道博物馆旗杆的高度，而又不能把旗杆放倒测量，当地工作人员发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多2米，当他们把绳子下端拉开8米后，绳子刚好斜着拉直下端接触地面，你能算算旗杆的高度吗?
3、第三站：
美食街是个单行车道，你乘坐的车要通过一个拱门，此拱门的截面是一个半径为3.9m的半圆形，你乘坐的车高3.5m、宽3m，你能顺利通过该拱门吗？
（本环节是教学重点：1、我通过演示拱门和汽车模型进行分析，通过演示，让学生明白汽车过拱门单行道走中间。2、学生会根据立体图形画出几何图形，进行合理探究。）
利用三种方法进行探究，方法一、先引导学生通过已知汽车宽度、半径、求出能通过的汽车的最大高度，与已知高度进行比较进行决策；方法二、利用已知高、宽求能通过的最小拱门的半径，再与已知半径进行比较进行决策（这是课本的方法）；方法三、利用已知高、半径求能通过的汽车的最大宽度，与已知宽度进行比较进行决策（学生自己总结此方法）。本环节主要探究第一种，其他两种孩子自然就很容易想到。
三、巩固练习，反馈矫正 ---------我就是最棒的！
当堂小测验（ 为选作题）
1.一根旗杆在离地面6米处折裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处.旗杆原来有（ ）米? (A类）
2.一根16米高的旗杆在某处折裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处.求断裂处距离地面的高度? (B类）
3.老师想用一条36cm长的绳子围成一个直角三角形，期中一条边长度为12cm,求另外两边的长度？
四、感悟与反思（学生来结本节课的内容即学有所得）
通过这节课的学习活动你有哪些收获？
师生相互交流总结：
1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．
五、 布置异步作业
1、（A）基础达标：
（1）在一棵树的10米高的D处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处,如果两只猴子所经过的直线距离相等,试问这棵树有多高?
（2）一大楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米处，升起云梯到失火的窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2.2米，则发生火灾的窗口距地面有多少米?
2、（B）拓展延伸：自编一道与勾股定理有关的应用题向与你水平相当的同学发出挑战。
六、教学设计反思
本节从生动有趣的问题情景出发，通过学生自主探究，运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，既巩固了基本知识点，又在将实际问题抽象成几何图形过程中，学会观察，提高分析能力，渗透数学建摸思想．在设计中，我注重以下两点：
1．要创造性的利用好教材提供的素材
教材是“汽车过隧道”，我将它改为“汽车如何过拱门”，是一个生动有趣的问题，让学生充满了探究的欲望，对发展学生的空间观念很有好处．
2．合理使用教材提供的练习
本节课通过“第二站”和“第三站”把教材中的练习与例题重组，使练习有梯度，既巩固了基本知识点，又训练了学生的应用能力．
3．突破重点、突破难点的策略
在教学过程中教师应通过情景创设，激发兴趣，鼓励引导学生经历探索过程，得出结论，从而发展学生的数学应用能力，提高学生解决实际问题的能力．
4．分层教学
根据本班学生实际情况可在教学过程中选择：当堂测试和异步作业都分出A、B组，差异教学渗透每一个环节！
5．评价方式
根据新课标的评价理念，在教学过程中应关注学生的参与程度，关注活动中所反映出的思维水平，关注对实际问题的理解水平，关注学生对基本知识的掌握情况和应用勾股定理及逆定理解决实际问题的意识和能力．在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的回答教师应给予恰当的评价与鼓励，并帮助学生树立学习数学的自信，充分发挥教育的价值．因此我设立了男孩女孩pk台,事实鼓励评价。
教 材 分 析
教材的地位和作用：勾股定理是现实生活中广泛存在的一种现象。本节课的内容是对勾股定理内容的进一步拓广与发展。同时在教学中让学生学会观察、操作、实验、合作与交流。因而，本节课在整个几何学习中起着桥梁和纽带的作用。
在教学中我充分尊重了课本，同时也从实际生活中引入了一定的例子，采取旅游的方式进行三站式学习，使本节课的教学内容更加丰富多彩，学生的参与热情 也倍加高涨，抓住时机对学生进行了一定的安全教育和情感教育，逐步培养了学生的数学表达能力和发现问题，解决问题的能力。因此，我认为本节课的【教学重点】是勾股定理的应用。【教学难点】是将实际问题转化为数学问题。
评 测 练 习
当堂达标：
巩固练习，反馈矫正 ---------我就是最棒的！
当堂小测验（ 为选作题）
1.一根旗杆在离地面6米处折裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处.旗杆原来有（ ）米? (A类）
2.一根16米高的旗杆在某处折裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处.求断裂处距离地面的高度? (B类）
3.老师想用一条36cm长的绳子围成一个直角三角形，期中一条边长度为12cm,求另外两边的长度？
布置异步作业
1、（A）基础达标：
（1）在一棵树的10米高的D处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处,如果两只猴子所经过的直线距离相等,试问这棵树有多高?
（2）一大楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米处，升起云梯到失火的窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2.2米，则发生火灾的窗口距地面有多少米?
2、（B）拓展延伸：自编一道与勾股定理有关的应用题向与你水平相当的同学发出挑战。
《勾股定理应用举例》教学反思
本节从生动有趣的问题情景出发，通过学生自主探究，运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，既巩固了基本知识点，又在将实际问题抽象成几何图形过程中，学会 观察，提高分析能力，渗透数学建摸思想．在设计中，我注重以下两点：
1．要创造性的利用好教材提供的素材
教材是“汽车过隧道”，我将它改为“汽车如何过拱门”，是一个生动有趣的问题，让学生充满了探究的欲望，对发展学生的空间观念很有好处．
2．合理使用教材提供的练习
本节课通过“第二站”和“第三站”把教材中的练习与例题重组，使练习有梯度，既巩固了基本知识点，又训练了学生的应用能力．
3．突破重点、突破难点的策略
在教学过程中教师应通过情景创设，激发兴趣，鼓励引导学生经历探索过程，得出结论，从而发展学生的数学应用能力，提高学生解决实际问题的能力．
4．分层教学
根据本班学生实际情况可在教学过程中选择：当堂测试和异步作业都分出A、B组，差异教学渗透每一个环节！
5．评价方式
根据新课标的评价理念，在教学过程中应关注学生的参与程度，关注活动中所反映出的思维水平，关注对实际问题的理解水平，关注学生对基本知识的掌握情况和应用勾股定理及逆定理解决实际问题的意识和能力．在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的回答教师应给予恰当的评价与鼓励，并帮助学生树立学习数学的自信，充分发挥教育的价值．因此我设立了男孩女孩pk台,实施鼓励评价。
课件15张PPT。勾股定理应用举例鲁教版七年级上册烟台福山城关中学 黄玉秀3456789小热身常见的勾股数：10以内数字打头的勾股数你知道有谁吗？ 河边上有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?水池第一站解：设水深AC为χ尺，则芦苇长AB=AD= χ+1（尺）。又水池水面BE长为10尺，所以BC=5（尺）
在Rt△ABC中，根据勾股定理，有
AC2+BC2=AB2
即 χ2+52=（ χ+1）2
整理得 2 χ =52-1
解得 χ=12
又 12+1=13（尺）
答：水池的水深12尺，芦苇长13尺。ABCDE 你想知道博物馆旗杆的高度，而又不能把旗杆放倒测量，当地工作人员发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多2米，当他们把绳子下端拉开8米后，绳子刚好斜着拉直下端接触地面，你能算算旗杆的高度吗？图（1）图（2）第二站答：旗杆的高度为15米。ABC第二站 美食一条街是个单行车道，拱门的截面是一个半径为3.9m的半圆形，我们乘坐的车高3.5m、宽3m，思考：咱乘坐的车能顺利通过该拱门吗？第三站分析：右图是客车B从拱门的正中间通过时的截面示意图。长方形ABCD表示客车，车宽3m，AB的中点恰好是拱门截面半圆的圆心，半径为3.9m,因为车宽3m<直径7.8m,说明拱门的宽度是一般没问题的，该车能否通过该拱门取决于客车的高度。第三站图1 解：在Rt△OBC中，由勾股定理得：
BC2=OC2_OB2
BC2=3.92 _1.52 =3.62 = 12.96
整理得 BC =3.6> 3.5
或写成： BC2= 12.96 > 12.25(我们的
客车高3.52 )
答：我们乘坐的车可以沿着拱门的中间顺利通过。 你能说说运用勾股定理的知识可以
解决实际生活中哪些问题?
同学们,想一想,这节课你有什么收获?感悟与收获 1、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。
2、题型：
（1）、在直角三角形中，只知道一边的长度，另外两边只知道它们的关系时，运用勾股定理列方程方法求解。
（2）、直角三角形已知两边求第三边，合理决策。学有所获当堂测验1、（A）基础达标：
在一棵树的10米高的D处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处,如果两只猴子所经过的直线距离相等,试问这棵树有多高?
2、（B）拓展延伸：自编一道与勾股定理有关的应用题向与你水平相当的同学发出挑战。
异步作业：
一大楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米处，升起云梯到失火的窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2.2米，则发生火灾的窗口距地面有多少米?谢谢！
