课件24张PPT。正方形的判定三个角是直角四条边相等一个角是直角 对角线相等一组邻边相等对 角线垂直一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系动手做一做：
你能否利用手中的矩形纸片折出一个正方形呢？请与同学交流一下，你能说说理由吗？正方形的判定有一个角是直角的菱形是正方形. 求证:四边形ABCD是正方形. 证明:∵∠A=900
∴四边形ABCD是矩形.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形
∵AB=BC,
∴四边形ABCD是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900.对角线相等的菱形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.证明:
∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.
∵AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形.
∵AB=BC,
∴四边形ABCD是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD.正方形的判定对角线互相垂直的矩形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.证明:∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形∴ AB=BC
∴四边形ABCD是正方形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD.正方形的判定正方形的判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形.定理：对角线相等的菱形是正方形.定理：对角线互相垂直的矩形是正方形.∵四边形ABCD是菱形,∠A=900
∴菱形ABCD是正方形.
∵四边形ABCD是菱形,AC=BD
∴菱形ABCD是正方形.
∵四边形ABCD矩形,AC ⊥ BD
∴矩形ABCD是正方形.
一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等
1.四个角都相等的四边形是正方形.
2.四条边都相等的四边形是正方形.
3.对角线垂直且相等的四边形是正方形.
4.四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形.
╳╳╳√火眼金睛辨对错在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BCC已知:矩形ABCD中, BE平分∠ABC, CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.例题解析证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°,
∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB,
∴∠1= 45°, ∠2 = 45°,
∴ ∠ 1 =∠ 2 .
∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 .
在△EBC中
∵ ∠1= 45°,∠2 = 45°,
∴∠BEC = 90°,
∴菱形BECF是正方形.证明：连接AC
∵ E、F分别是AB、BC边的中点
∴EF∥AC且EF＝ AC
同理：HG ∥ AC且HG ＝ AC
∴EF ∥ HG且EF ＝ HG
∴四边形EFGH为平行四边形。EFGHABCD 顺次连接任意四边形各边中点所成的四边形是（ ）形?平行四边顺次连接平行四边形、矩形、菱形、正方形各边的中点能得到一个什么图形？先观察并猜一猜,再证明.我探究，我快乐中点四边形的形状与原图形的（ ）有关系我总结，我提高课堂小结谈谈本节课的收获，与同伴进行交流。1.探究正方形的判定方法3.类比、归纳等数学思想方法的应用。2.综合运用菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理探究中点四边形。三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结严谨性之于数学，犹如道德之于人。已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC， DF⊥AC，垂足分别为E、F． 求证： 四边形CFDE是正方形． 相信你一定行必做：在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别在ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ`＝ＢＢ`＝ＣＣ`＝ＤＤ`.四边形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形吗？为什么？课后作业选做：在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E,F.
1)试说明:DE=DF
2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
并说明理由《正方形的性质与判定（二）》教学反思
整节课紧随新课堂教学理念，将课堂交给学生，让学生始终都在体验、观察、操作、感受、讨论、探究、论证、归纳总结的过程中磨练和成长。让学生从实际生活的情境中进入课堂，感受数学知识和现实生活的紧密联系，带着问题去学习新知，充分激发了学生的好奇心和求知欲。在整个教学设计过程中，学生将经历知识产生、形成的过程，体会类比、事物之间互相联系和学以致用的思想，实现学生自己动手、主动探究、合作交流的学习方式的转变；提升学生自主观察问题、分析问题、解决问题的能力。本节课的设计体现了“学会学习、为终身学习做准备”的教育理念，突出学生在活动过程中的参与意识、探究方式、表达能力及合作交流意识，最大限度的实现学生的主体地位，使数学教学成为一种“过程”教学，让学生在数学活动中获得数学的思想方法、能力素质，同时体验数学的美感，和获得对数学的情感。教师分派学生小组讨论，教师适宜的参与到学生讨论中，有针对性的启发和指导，鼓励学生提出问题，请小组代表说说讨论的结论并总结方法，培养学生团结合作精神。教师在整节课的活动中，一直扮演的是引导者、合作者、支持者和赞赏者的角色。本堂课基本达到了教学目标，重难点突出，学生课堂上思维活跃，课堂效率高，学生在本节课学习中积极认真，效果良好。本节课主要是让学生从不同的角度寻求正方形的判定方法，并能有效地解决问题。
不足之处：本节课新授课由于是留给学生时间去探索，上台展示，但是大都是说思路，没有写出完整的证明过程。在学生应用判定定理做习题中，也没有能够有足够的时间巡视学生做题中出现的共性问题进行讨论，只是做个别指导。而作为学生，解题步骤的讨论往往是最重要的。
补救措施：在本节课展示过程中，没有采用逻辑推理证明的题目利用课余时间写出规范的证明过程。同时，在平时的学习中，师生都应注意用数学语言来阐述自己的观点。学会倾听，规范自己及他人的数学语言。
【正方形的性质与判定（二）】教学设计
义务教育教科书（鲁教版）_数学_八年级下_第六章_特殊平行四边形_第三节正方形的性质与判定_第二课时
一、教学目标：
知识目标：1.掌握正方形的判定方法。2.综合运用平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理探究中点四边形问题。
能力目标：1.让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，让其逻辑推理能力有进一步的提升。2.灵活运用正方形的判定，培养学生的思维能力。
情感态度与价值观：1.通过对平行四边形、菱形、矩形等判定方法的类比，进一步领悟类比的数学思想。 2.理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点。3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、归纳、推理等数学思想。
二、教学重点与难点
重点：正方形的判定方法。
难点：合理恰当地利用特殊四边形的性质和判定进行有关的论证和推理。
三、教学方法：
教法设计：针对本节课的特点，采用"创设情境-合作交流-应用迁移-类比归纳-整理反思"为主线的探究式教学方法。
学法设计：独立思考—合作探究—快乐展示
本节课重点以培养学生探索精神和分析归纳总结能力为出发点，着重指导学生动手、观察、思考、分析、总结得出结论。在小组讨论中通过互相学习、讨论交流，让学生体验合作学习的乐趣，享受成功的喜悦。
四、教学时间：1课时
五、教学课型：新授
六、教学过程：
（一）创设情境，引入新知
师：我们已学习了矩形、菱形、正方形，它们都是特殊的平行四边形。怎样判定一个四边形是矩形？怎样判定一个四边形是菱形？
生：快速回顾并回答。
【设计意图】系统复习矩形、菱形的判定方法，让学生通过框架图理清思考方法，为正方形的判定做准备。
师：在矩形的基础上给正方形定义为：一组邻边相等的矩形叫做正方形。正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，它具有矩形和菱形所有的性质，它四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直。如果一个四边形已经是矩形或菱形，那么再添加什么条件能变成正方形呢？这节课我们一起探究正方形的判定方法。（板书课题：正方形的判定）
（二）探究一 正方形的判定方法
动手做一做
师：你能否利用手中的矩形纸片折出一个正方形呢？请与同学交流一下，你能说说理由吗？
生：独立操作，然后分组交流，教师适宜的参与到学生讨论中，鼓励学生上台演示不同的做法。总结出正方形的判定方法。
【设计意图】目的在于让学生通过操作自己发现判定正方形的方法，体现学生的主体性，以及培养学生的合作交流能力.
师：刚才同学们得出的这些结论是否是真命题呢?还需要经过严谨的证明。以小组为单位讨论如何证明这些命题。
生到台前讲解证明的思路方法。
师：经过严谨的证明，我们发现这些命题都是真命题，它们都可以作为正方形的判定定理。总结正方形的判定思路，可以在矩形的基础上添加条件，也可以在菱形的基础上添加条件。
生：理解记忆判定定理。
【设计意图】在前面感性认识的基础之上上升为理性认识，锻炼学生的逻辑思维能力。要让学生明确定理的获得不能靠猜想，还需要严谨的证明。
应用新知
1.火眼金睛辨对错
（1）四个角都相等的四边形是正方形.
（2）四条边都相等的四边形是正方形.
（3）对角线垂直且相等的四边形是正方形.
（4）四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形.
2. 思考
在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
生独立完成后小组交流，订正答案。
【设计意图】巩固正方形的判定方法以及学生的分析能力和灵活应用能力。
例题解析：已知:矩形ABCD中, BE平分∠ABC, CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.
生独立完成后，台前展示不同的证明方法，一题多解。教师强调解题步骤。
【设计意图】进一步巩固正方形的判定方法，强化解题格式的正确性，培养学生一题多解的能力。
（三）探究二：中点四边形问题
师：引导学生回顾顺次连接任意四边形各边中点所得四边形的形状。
生：回顾探索过程、思路。连接四边形的对角线，运用三角形的中位线得出结论。
【设计意图】回顾探究过程，为后面的探究打下基础。
我探究 我快乐
依次连接平行四边形、矩形、菱形、正方形各边的中点能得到一个什么图形？先观察并猜一猜,再证明。
小组交流并展示，得出特殊四边形的中点四边形的形状。
【设计意图】综合运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理探究特殊四边形的中点四边形的形状。
我总结 我提高
对于一般的四边形的中点四边形可能是平行四边形、菱形、矩形、正方形吗？若有可能，应具备的条件是什么？
小组交流总结发现：中点四边形的形状与原图形的对角线有关系，当对角线既不相等又不垂直时，中点四边形是平行四边形；当对角线相等时，中点四边形是菱形；当对角线垂直时，中点四边形是矩形；当对角线既相等又垂直时，中点四边形是正方形。
原四边形的对角线
中点四边形
不相等也不垂直
平行四边形
相等
菱形
互相垂直
矩形
相等且垂直
正方形
【设计意图】让学生经历由“特殊到一般”的过程，总结出一般性的规律，引导学生积极探索，合作交流，培养学生善于归纳总结的学习习惯。
（四）课堂小结
师：经过这节课的探究，相信同学们一定收获不小，谈谈本节课的收获，与同伴进行交流。
生：先独立反思，然后与同伴交流。
生：1.探究了正方形的判定定理；2.综合运用菱形、矩形、正方形的性质定理与判定定理探究中点四边形问题；3、类比、归纳等数学思想的渗透。
师：一起归纳知识点、思想方法，让学生知道数学是严谨的学科，仅仅靠猜想是不行的，还必须经过严谨的证明，培养学生严谨的学习态度。
【设计意图】回顾和巩固本节内容，师生共同总结，不仅使学生掌握了知识，又培养了学生的总结能力，充分体现了师生的互动关系。
（五）课堂小测
【设计意图】了解学生对正方形的判定的掌握情况。
（六）课后作业
1.必做：在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别在ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ`＝ＢＢ`＝ＣＣ`＝ＤＤ`.四边形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形吗？为什么？
2.选做：在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC,垂足分别是E,F.
1)试说明:DE=DF
2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.并说明理由
【设计意图】巩固正方形判定的灵活运用，同时也照顾到不同层次的学生。
板书设计：
正方形的判定
矩形 对角线垂直 正方形
一组邻边相等
菱形 对角线相等 正方形
一个角是直角
《正方形的性质与判定（二）》评测练习
一、火眼金睛辨对错
1.四个角都相等的四边形是正方形.
2.四条边都相等的四边形是正方形.
3.对角线垂直且相等的四边形是正方形.
4.四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形.
二、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
三、例题解析：已知:矩形ABCD中, BE平分∠ABC, CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.
四、已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC， DF⊥AC，垂足分别为E、F．
求证： 四边形CFDE是正方形．
1.必做：在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别在ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ`＝ＢＢ`＝ＣＣ`＝ＤＤ`.四边形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形吗？为什么？
2.选做：在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC,垂足分别是E,F.
1)试说明:DE=DF
2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.并说明理由
《正方形的性质与判定（二）》教材分析
一、教材地位作用
《正方形的判定》是山东教育出版社出版，八年级下册第六章第三节第二课时内容。本节课注重新旧知识的联系与类比，注重图形的分析、判别；在学生学习了平行四边形、菱形、矩形的判定之后，接触正方形的性质的基础上，引入了正方形的判定，这一节课既是前面所学知识的延续，又是对平行四边形、菱形、矩形的判定进行综合的不可缺少的环节。教材对正方形的判定方法的得到处理比较简单，从内容到练习都主要针对正方形的判定在数学问题和实际问题当中的应用。通过研究中点四边形的问题，综合应用菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理，要求学生进一步学习说理和简单的推理，提高数学思维能力，同时又让学生感受到数学来源于生活，又服务于生活的基本事实，激发学生的学习兴趣，积累活动经验。
二、教学目标
根据上述教材分析，考虑学生已有的认知结构和心理特征，制定如下教学目标：
知识目标：1.掌握正方形的判定方法。2.综合运用平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理解决问题。
能力目标：1.让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，让其逻辑推理能力有进一步的提升。2.灵活运用正方形的判定，培养学生的思维能力。
情感态度与价值观：1.通过对平行四边形、菱形、矩形等判定方法的类比，进一步领悟类比的数学思想。 2.理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点。3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、归纳、推理等数学思想。
三、教学重点与难点
重点：正方形的判定方法。
难点：合理恰当地利用特殊四边形的性质和判定进行有关的论证和推理。
