2.2 二次函数的图象与性质（4）一课一测

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2.2 二次函数的图象与性质
第四课时检测
（时间45分钟 满分100分）　　　
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．（2017 弥勒市二模）已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象是（　　）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )　
2．（2017 胶州市一模）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+2x+b（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）www-2-1-cnjy-com
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )　
3．（2017 宁波）抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限　
4．（2017 陕西）已知抛物线y=x2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（　　）
A．（1，﹣5） B．（3，﹣13） C．（2，﹣8） D．（4，﹣20）
5．（2017 河北区模拟）二次函数y=x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（　　）
A．（2，﹣8） B．（2，8） C．（﹣2，8） D．（﹣2，﹣8）
6．（2017 包头三模）二次函数y=mx2﹣nx﹣2过点（1，0），且函数图象的顶点在第三象限，当m+n为整数时，则mn的值为（　　）【版权所有：21教育】
A．﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣1 B．﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣2 C．﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣2 D． ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣2　
7．（2017 苏州一模）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，且经过点（3，0），则a﹣b+c的值为（　　）21*cnjy*com
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．（2017秋 上杭县期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤b2＞4ac．其中正确的结论的有（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（2017 攀枝花）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列命题中正确的是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．a＞b＞c
B．一次函数y=ax+c的图象不经第四象限
C．m（am+b）+b＜a（m是任意实数）
D．3b+2c＞0　
10．（2017 澧县三模）若抛物线y=x2﹣2x+m的最低点的纵坐标为n，则m﹣n的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2017 兰州）如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为　 　．
( http: / / www.21cnjy.com )
12．（2017 广陵区校级一模）如果抛物线y=﹣2x2+bx+3的对称轴是x=1，那么b=　 　．　
13．（2017 青浦区二模）抛物线y=﹣ax2+2ax+3（a≠0）的对称轴是　 　．
14．（2017 台安县模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（ ( http: / / www.21cnjy.com )，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是　 　．
( http: / / www.21cnjy.com )
15．（2017 孝感模拟）抛物线y=ax ( http: / / www.21cnjy.com )2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确的结论有　 　（填序号）．
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16．（2015 玄武区一模）如图为函数： ( http: / / www.21cnjy.com )y=x2﹣1，y=x2+6x+8，y=x2﹣6x+8，y=x2﹣12x+35在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是y=x2﹣6x+8的图象的序号是　 　．
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三．解答题（共20分）
17．（10分）（2017 齐齐哈尔模拟）已知二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点A（3，﹣4）．
（1）求a的值；
（2）求二次函数图象的顶点坐标；
（3）直接写出函数y随x增大而减小的自变量x的取值范围．
　
18．（10分）（2017春 邳州市校级月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣3（m＞0）与x轴的交点为A，B．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，求m的取值范围；
（3）若抛物线在﹣1＜x＜0位于x轴下方，在3＜x＜4位于x轴上方，求m的值．
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2.2 二次函数的图象与性质
第四课时检测
（时间45分钟 满分100分）　　
参考答案与试题解析
　
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．（2017 弥勒市二模）已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象是（　　）21教育名师原创作品
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】根据抛物线开口向下确定出a＜0，再根据对称轴确定出b，然后根据一次函数的性质确定出函数图象即可得解．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )＞0，
∴b＞0，
∴函数y=ax+b的图象经过第二四象限且与y轴正半轴相交，
故选B．
　
2．（2017 胶州市一模）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+2x+b（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+2x+b的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，且交y轴同一点，故本选项正确．
故选D．
　
3．（2017 宁波）抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先根据抛物线的顶点式求出抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点坐标，再根据各象限内点的坐标特点进行解答．
【解答】解：∵y=x2﹣2x+m2+2=（x﹣1）2+（m2+1），
∴顶点坐标为：（1，m2+1），
∵1＞0，m2+1＞0，
∴顶点在第一象限．
故选A．
　
4．（2017 陕西）已知 ( http: / / www.21cnjy.com )抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（　　）
A．（1，﹣5） B．（3，﹣13） C．（2，﹣8） D．（4，﹣20）
【分析】先利用配方法求得点M的坐标，然后利用关于原点对称点的特点得到点M′的坐标，然后将点M′的坐标代入抛物线的解析式求解即可．
【解答】解：y=x2﹣2mx﹣4=x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4=（x﹣m）2﹣m2﹣4．
∴点M（m，﹣m2﹣4）．
∴点M′（﹣m，m2+4）．
∴m2+2m2﹣4=m2+4．
解得m=±2．
∵m＞0，
∴m=2．
∴M（2，﹣8）．
故选C．
　
5．（2017 河北区模拟）二次函数y=x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（　　）
A．（2，﹣8） B．（2，8） C．（﹣2，8） D．（﹣2，﹣8）
【分析】把二次函数化成顶点式，可得出二次函数的顶点坐标．
【解答】解：∵y=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8，
∴其顶点坐标为（2，﹣8），
故选A．
　
6．（2017 包头三模）二次函数y=mx2﹣nx﹣2过点（1，0），且函数图象的顶点在第三象限，当m+n为整数时，则mn的值为（　　）21·cn·jy·com
A．﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣1 B．﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣2 C．﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣2 D． ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣2
【分析】首先根据题意确定m、n的符号，然后进一步确定m的取值范围，根据m+n为整数确定m、n的值，从而确定答案．21*cnjy*com
【解答】解：依题意知m＞0，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )＜0，m﹣n﹣2=0，
故n＜0，且n=m﹣2，m+n=m+m﹣2=2m﹣2，
于是0＜m＜2，
∴﹣2＜2m﹣2＜2，
又∵m+n为整数，
∴2m﹣2=﹣1，0，1，
故m= ( http: / / www.21cnjy.com )，1， ( http: / / www.21cnjy.com )，
n=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣1，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴mn=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )或﹣1．
故选A．
　
7．（2017 苏州一模）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，且经过点（3，0），则a﹣b+c的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据二次函数对称性可求出点（3 ( http: / / www.21cnjy.com )，0）关于对称轴直线x=1的对称点为（﹣1，0），然后把（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c即可求出答案．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，
∴根据二次函数的对称性得：点（3，0）的对称点为（﹣1，0），
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0，
∴a﹣b+c的值等于0．
故选B．
　
8．（2017秋 上杭县期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：21cnjy.com
①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤b2＞4ac．
其中正确的结论的有（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定解答．21·世纪*教育网
【解答】解：开口向下，则a＜0，
与y轴交于正半轴，则c＞0，
∵﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )＞0，
∴b＞0，
则abc＜0，①正确；
∵﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=1，
则b=﹣2a，
∵a﹣b+c＜0，
∴3a+c＜0，②错误；
∵x=0时，y＞0，对称轴是x=1，
∴当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，③正确；
∵b=﹣2a，
∴2a+b=0，④正确；
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，⑤正确．
故选：C．
　
9．（2017 攀枝花）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列命题中正确的是（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com )
A．a＞b＞c
B．一次函数y=ax+c的图象不经第四象限
C．m（am+b）+b＜a（m是任意实数）
D．3b+2c＞0
【分析】由抛物线的开口方向判断a与 ( http: / / www.21cnjy.com )0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=﹣1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：A、由二次函数的图象开口向上可得a＞0，由抛物线与y轴交于x轴下方可得c＜0，由x=﹣1，得出﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣1，故b＞0，b=2a，则b＞a＞c，故此选项错误；
B、∵a＞0，c＜0，∴一次函数y=ax+c的图象经一、三、四象限，故此选项错误；
C、当x=﹣1时，y最小，即a﹣b﹣c最小，故a﹣b+c＜am2+bm+c，即m（am+b）+b＞a，故此选项错误；
D．由图象可知x=1，a+b+c＞0，
∵b=2a，
∴a= ( http: / / www.21cnjy.com )b，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )b+b+c＞0
∴3b+2c＞0，故选项正确；
故选：D．
　
10．（2017 澧县三模）若抛物线y=x2﹣2x+m的最低点的纵坐标为n，则m﹣n的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】依据二次函数求最值的纵坐标公式，可得 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=n，进而有m﹣1=n，于是m﹣n=1．
【解答】解：∵y=x2﹣2x+m，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=n，
即m﹣1=n，
∴m﹣n=1．
故选C．
　
二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2017 兰州）如图，若抛 ( http: / / www.21cnjy.com )物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为　（﹣2，0）　．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】直接利用二次函数的对称性得出Q点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，
∴P，Q两点到对称轴x=1的距离相等，
∴Q点的坐标为：（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
　
12．（2017 广陵区校级一模）如果抛物线y=﹣2x2+bx+3的对称轴是x=1，那么b=　4　．
【分析】由抛物线的对称轴是直线x=1，可得出 ( http: / / www.21cnjy.com )=1，解之即可得出b值．
【解答】解：∵抛物线y=﹣2x2+bx+3的对称轴是直线x=1，
∴﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=1，
解得：b=4．
　
13．（2017 青浦区二模）抛物线y=﹣ax2+2ax+3（a≠0）的对称轴是　直线x=1　．
【分析】直接利用抛物线对称轴公式求出答案．
【解答】解：抛物线y=﹣ax2+2ax+3（a≠0）的对称轴是：直线x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=1．
故答案为：直线x=1．
　
14．（2017 台安县模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（ ( http: / / www.21cnjy.com )，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是　①②④　．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】根据图象分别求出a、b、c的符号，即 ( http: / / www.21cnjy.com )可判断①；根据对称轴求出b=2a，代入2a﹣b即可判断②；把x=2代入二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可判断③；求出点（﹣5，y1）关于直线x=﹣1的对称点的坐标，根据对称轴判断y1和y2的大小，即可判断④．
【解答】解：①∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，
∴c＜0，
∵对称轴是直线x=﹣1，
∴﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣1，
∴b=2a＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
②∵b=2a，
∴2a﹣b=0，
故②正确；
③∵抛物线的对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0），
∴抛物线与x轴另一交点为（1，0）．
∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴当x=2时y＞0，即4a+2b+c＞0，
故③错误；
④∵（﹣5，y1）关于直线x=﹣1的对称点的坐标是（3，y1），
又∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，3＞ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴y1＞y2，
故④正确；
故答案为：①②④．
　
15．（2017 孝感模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确的结论有　②③④　（填序号）．21教育网
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【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣1得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；
∵顶点为D（﹣1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），
∴a﹣b+c=2，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣1，
∴b=2a，
∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；
∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，
即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
故答案为②③④．
　
16．（2015 玄武区 ( http: / / www.21cnjy.com )一模）如图为函数：y=x2﹣1，y=x2+6x+8，y=x2﹣6x+8，y=x2﹣12x+35在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是y=x2﹣6x+8的图象的序号是　第三个　．2·1·c·n·j·y
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【分析】根据二次函数的对称轴：x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，可得答案．
【解答】解：y=x2﹣1对称轴是x=0，图象中第二个，
y=x2+6x+8对称轴是x=﹣3，图象中第一个，
y=x2﹣6x+8对称轴是x=3，图象中第三个，
y=x2﹣12x+35对称轴是x=6，图象中第四个，
故答案为：第三个．①②③④
　
三．解答题（共20分）
17．（10分）（2017 齐齐哈尔模拟）已知二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点A（3，﹣4）．21世纪教育网版权所有
（1）求a的值；
（2）求二次函数图象的顶点坐标；
（3）直接写出函数y随x增大而减小的自变量x的取值范围．
【分析】（1）将点A（3，﹣4）代入y=ax2+4x+2，即可求出a的值；
（2）利用配方法将一般式化为顶点式，即可求出此函数图象抛物线的顶点坐标；
（3）根据二次函数的增减性即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点A（3，﹣4），
∴9a+12+2=﹣4，
∴a=﹣2；
（2）∵y=﹣2x2+4x+2=﹣2（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4）；
（3）∵y=﹣2x2+4x+2中，a=﹣2＜0，
抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∴当x＞1时，函数y随自变量增大而减小．
　
18．（10分）（2017春 邳州市校级月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣3（m＞0）与x轴的交点为A，B．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，求m的取值范围；
（3）若抛物线在﹣1＜x＜0位于x轴下方，在3＜x＜4位于x轴上方，求m的值．
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【分析】（1）利用配方法即可解决问题．
（2）由于抛物线y=mx2﹣2mx+m ( http: / / www.21cnjy.com )﹣3（m＞0）的对称轴为直线x=1，线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，于是得到整数为﹣1，0，1，2，3，列不等式组即可得到结论；2-1-c-n-j-y
（3）根据抛物线y=mx2﹣2mx+m ( http: / / www.21cnjy.com )﹣3（m＞0）的对称轴为直线x=1，而在3＜x＜4位于x轴上方，得到抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于x轴的上方，根据已知条件得到抛物线过点（﹣1，0），把（﹣1，0）代入y=mx2﹣2mx+m﹣3即可得到结论．【出处：21教育名师】
【解答】解：（1）∵y=mx2﹣2mx+m﹣3=m（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标（1，﹣3）；
（2）∵抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣3（m＞0）的对称轴为直线x=1，
线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，这些整数为﹣1，0，1，2，3，
∴x=2时，y＜0；x=4时，y＞0；
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3）∵抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣3（m＞0）的对称轴为直线x=1，
而在3＜x＜4位于x轴上方，
∴抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于x轴的上方，
∵在﹣1＜x＜0位于x轴下方，
∴抛物线过点（﹣1，0），
把（﹣1，0）代入y=mx2﹣2mx+m﹣3得m+2m+m﹣3=0，
解得m= ( http: / / www.21cnjy.com )．
　
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