《为什么要证明》同步练习
1、观察下列等式：
12×231=132×21；
13×341=143×31，23×352=253×32；
34×473=374×43，62×286=682×26；
…
根据上述等式填空：
①52× = ×25；
② ×396=693× 。
1、已知n为正整数，你能肯定2n+4﹣2n一定是30的倍数吗？
2、当n为整数时，（n+1）2﹣（n﹣1）2的值一定是4的倍数吗？
3、先观察再验证：（如图）
（1）图（1）中黑色的边是直的还是弯曲的？
（2）图（2）中两条线a与b哪一条更长？
（3）图（3）中的直线AB与直线CD平行吗？
4、如果|a|=3，|b|=5，那么|a+b|=8吗？为什么？
1、如图，A，B，C，D，E五人围坐在圆桌旁，为A祝贺生日，小华问他们当时的座位。
A说：“我在B的旁边。”
B说：“我的左边不是C就是D。”
C说：“我在D的旁边。”
D说：“不，C在B的右边是错的。”
只有E作了如实回答：“除B说正确之外，A，C，D都说错了。”
你能确定他们的位置吗？
2、王慧同学不但会学习，而且也很会安排时间干好家务活，煲饭、炒菜、擦窗等样样都行，是爸爸妈妈的好帮手，某一天放学回家后，她完成各项家务活及所需时间如表：王慧同学完成以上各项家务活，至少需要 分钟。（注：各项工作转接时间忽略不计）
家务项目
擦窗
洗菜
洗饭煲、洗米
炒菜（用煤气炉）
煲饭（用电饭煲）
完成各项家务所需时间
5分钟
4分钟
3分钟
20分钟
30分钟
答案与解析
1、 275，572，63，36
1、解：2n+4﹣2n=2n（24﹣1）=15×2n，由n为正整数，得到2n为2的倍数，则15×2n为30的倍数，即2n+4﹣2n一定是30的倍数。
2、 解：原式=[（n+1）+（n﹣1）][（n+1）﹣（n﹣1）]
=4n，则结果一定为4的倍数。
3、 解：观察可能得出的结论是：
（1）中的实线是弯曲的；
（2）a更长一些；
（3）AB与CD不平行。
用科学的方法验证可发现：
（1）中的实线是直的；
（2）a与b一样长；
（3）AB与CD平行
1、解：如图，有两种可能。
2、解：因为用煲饭的三十分钟可同时完成擦窗、洗菜、炒菜，
所以王慧同学完成以上五项家务活，至少需要3+30=33（分钟）。
故答案为：33。
《为什么要证明》
《为什么要证明》是北师大版《数学》八年级上册第七章第一节的内容。本节是在前面对几何结论已经有了一定直观认识的基础上编排的。本章中所涉及的很多结论在前面已由学生通过一些直观的方法进行了探索，学生了解这些结论,这里则依据学生平时的观察、实验、归纳、类比等方法得出一种猜想，从而让学生感受这种猜想未必一定正确，所以需要我一步一步有根有据地去验证.此外，教材还注意渗透数学思想方法，如特殊结论到一般结论的归纳思想、类比、转化的思想方法等。从本节课起,学生开始从有条理的口头表述逐渐过渡到书写自己的理由，要求证明的每一步都要有依据,进行严格的形式化证明。因此本节课的学习对发展学生逻辑推理能力是非常重要的，对培养学生的创新意识也非常有利。
【知识与能力目标】
1、体会通过观察、猜想、归纳等得到的结论不一定正确，使学生对由这些方法得到的结论产生怀疑，从而认识到证明的必要性 。
2、 理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法：实验验证、举出反例、推理证明等，理解数学的严谨性。
【过程与方法目标】
通过观察、猜想、推理的过程，发展学生的探索意识与合作交流的意识。
【情感态度价值观目标】
发展学生的探索意识以及合作交流的习惯，关注现实，培养学生进行 思考的能力和质疑精神。
【教学重点】
理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明，理解并掌握应用实践进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法。
【教学难点】
体会数学推理的重要性和必要性。
学生每人准备好草稿纸、铅笔、直尺；
教师准备课件，图片。
本节课的教学思路为：验证活动（1）——猜想并验证活动（2）——猜想并验证活动（3）——经验总结——学生练习——课堂小结——巩固练习
第一环节：验证活动（1）
活动内容：
某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n， n2-n+11的值都是质数。你认为呢？与同伴交流。
参考答案：列表归纳为
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
n2-n+11
11
11
13
17
23
31
41
53
67
83
101
121
是否为质数
是
是
是
是
是
是
是
是
是
是
是
不是
活动目的：
对现在结论进行验证，让学生感受到知识有时具有一定的迷惑性（欺骗性），从而对不完全归纳的合理性产生怀疑，为下一步的学习提供必要的精神准备。
注意事项：
学生通过列表归纳，根据自己以往的经验判断，在n=10以前都一直认为n2-n+11是一个质数，但当n=10时，找到了一个反例，进而发现不能根据少数几个现象轻易肯定某个数学结论的正确性。
第二环节：猜想并验证活动（2）
活动内容：
如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？
参考答案：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道之间的间隙为 ：
它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头。
活动目的：
通过理性的计算，验证了很难想像到的结论，让学生产生思维上的碰撞，进而对自己的直观感觉产生怀疑，再次为论证的合理性提供素材。
注意事项：
要充分让学生发表自己的见解，首先让学生对自己的结论确信无疑，再进一步计算，结果与学生的感觉产生矛盾，切忌直接进行计算，把结论告诉学生，这样就达不到预想的要求，不能让学生留下深刻的印象。
第三环节：猜想并验证活动（3）
活动内容：
如图，四边形ABCD四边的中点E、F、G、H，度量四边形EFGH的边和角，你能发现什么结论？改变四边形ABCD的形状，还能得到类似的结论吗？
参考答案：连接AC。
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD四边中点，
∴EF∥AC，EF=AC；GH∥AC，GH=AC；
∴EF平行且等于GH，
∴四边形EFHG为平行四边形。
活动目的：
通过对图形的直观感受得出结论，但要使学生清楚地知道对几何结论的验证，通常是用严谨的逻辑推理来论述。
注意事项：
让学生大胆地进行预测，但要让学生说清理由，让学生了解几何证明的必要性.
第四环节：归纳与总结
活动内容：
1. 通过以上三个数学活动，使学生对每一个问题的结论的正确性有了怀疑，从而知道了由观察、猜想等渠道得到的结论还必须经过有效的证明才能对其进行肯定．也即：要判断一个数学结论是正确，仅观察、猜想、实验还不够，必须经过一步一步， 有根有据的推理。
2. 举例说明“推理意识”与推理方法。
活动目的：
使学生理解仅有对图形的直观感受是不够的，从而帮助学生建立推理意识。
注意事项：
让学生用自己的语言进行叙述，培养学生的表达能力。
第五环节：反馈练习
活动内容：1.如图中两条线段a与b的长度相等吗？请你先观察，再度量一下。
答案：a与b的长度相等。
第1小题图 第2小题图
2.如图中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下。
答案：线段b与线段d在同一直线上.
3.当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？
答案：经验证：当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数。
第六环节：课堂小结
活动内容：
今天这节课你学到了什么知识？
参考答案：1、要说明一个数学结论是否正确，无论验证多少个特殊的例子，也无法保证其正确性。
2、要确定一个数学结论的正确性，必须进行一步一步、有根有据的推理。
活动目的：
通过学生的总结，使学生对证明的必要性有一个清楚的认识，数学杜绝随意性，数学是严密的科学。
注意事项：
通过前三个例题的感受以及反馈练习，学生都清楚地知道推理、论证的必要性，了解了数学不是一种直观感受，而是一种严密的科学。
第七环节 巩固练习
课本第217页习题6.1第2，3题。
本节课的教学设计是建立在“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”的教育理念上，融入了新课标的思想内涵，尊重学生的直观感觉，并从学生的直观感觉出发逐步将学生的思维引向严密性、逻辑证明等方面，不是一味地强调证明的必要性，而是通过几个事实的说明来让学生意识到证明的必要性，设计中突出体现了学生的主体地位。
在教学设计中，力求让学生学会将生活问题数学化，用一个有趣的生活问题：“用一根铁丝将地球赤道围起来”引起学生的兴趣并进行猜测，然后通过计算得出一个令人很意外的结果，同时也培养了学生“用数学”的意识，并且使得学生有一种感受：数学来源于生活，服务于生活，同时也要用数学的眼光看世界，切勿盲信于自己的直观感觉。
本节课通过事例让学生体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理等.符合学生的认识特点和知识水平。有助于培养学生理解问题、分析问题、解决问题的能力。
课件18张PPT。观察与思考图中的四边形是正方形吗？平行线:不敢相信图中的横线是平行的,不过它们就是平行线 ! 你觉得观察得到的结论正确吗？ 判断一个数学结论是否正确，仅观察、猜想、
实验还不够。 必须经过一步一步、 有根有据的推理。请举例说明，你用到过的推理一、数学的结论必须经过严格的论证 线段a与线段b哪个
比较长？谁与线段d在一条直线上？考考你的眼力aba=b检验你的结论做一做 如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？（地球看成球形）能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？ 解：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道
之间的间隙为 ： 它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头。?举出反例是检验错误数学结论的有效方法。大数学家也有失误归纳总结 这个故事告诉我们：
学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度。
没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确。
要证明一个结论是错误的，举反例就是一种常用方法。【类型一】 实验验证例1：先观察再验证。(1)图①中实线是直的还是弯曲的？
(2)图②中两条线段a与b哪一条更长？
(3)图③中的直线AB与直线CD平行吗？二、验证数学结论的常用方法解：观察可能得出的结论是：
(1)实线是弯曲的
(2)a更长一些
(3)AB与DC不平行
而我们用科学的方法验证后发现：
(1)实线是直的
(2)a与b一样长
(3)AB平行于CD方法归纳 有时视觉受周围环境的影响，往往误导我们，让我们得出错误的结论，所以仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论。【类型二】 推理证明例2：当n为正整数时，代数式(n2－5n＋5)2的值都
等于1吗？解：当n＝1时，(n2－5n＋5)2＝12＝1
当n＝2时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1
当n＝3时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1
当n＝4时，(n2－5n＋5)2＝12＝1
当n＝5时，(n2－5n＋5)2＝52＝25≠1
所以当n为正整数时，(n2－5n＋5)2不一定等于1。【方法总结】验证特例是判断一个结论错误的最好方法。【类型三】 举出反例例3：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD。
(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数；
(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度数；
(3)由(1)、(2)你发现了什么？
(4)你能肯定上述的发现吗？分析：图中∠AOB、∠COD均与∠BOC互余，根据角的和、差关系，可求得∠AOB与∠COD的度数。通过计算发现∠AOB＝∠COD，于是可以归纳∠AOB＝∠COD。1.下列结论中你能肯定的是（ ）
A.今天下雨，明天必然还下雨
B.三个连续整数的积一定能被6整除
C.小明在数学竞赛中一定能获奖
D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人
2.下列问题用到推理的是（ ）
A.根据a=10，b=10,得到a=b
B.观察得到三角形有三个角
C.老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘
D.由经验可知过两点有且只有一条直线BA三、当堂练习4.某超级市场失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走，三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：
①罪犯不在A,B,C三人之外；②C作案时总得有A作从犯；
③B不会开车。在此案中肯定的作案对象是（ ）
A.嫌疑犯A B.嫌疑犯B C.嫌疑犯C D.嫌疑犯A和CD 3.顺次连接等腰梯形四边中点，所得到的四边形是（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形D5. 有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且：
（1）红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里”；
（2）黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里”；
（3）蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里”；
已知(1),(2),(3)中只有一句是真的，苹果在哪个箱子里？解：我们发现（1）与（3）互相矛盾，可两件矛盾的事不能都是真的，必有一假；题设真话只有一句.这样（2）必是假话，从而苹果在黄箱子里。为什么要证明数学结论必须经过严格的论证实验验证举出反例推理证明论证方法四、课堂小结
