《定义与命题》第一课时同步练习
1.下列句子中,不是命题的是( )
A.三角形的内角和等于180度 B.对顶角相
C.过一点作已知直线的平行线 D.两点确定一条直线
2.下列句子中,是命题的是( )
A.今天的天气好吗 B.作线段AB∥CD C.连接A、B两点 D.正数大于负数
3.下列命题是真命题的是( )
A.如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角 B.两互补的角一定是邻补角
C.如果a2=b2,那么a=b D.如果两角是同位角,那么这两角一定相等
4.下列命题是假命题的是( )
A.如果a∥b,b∥c,那么a∥c B.锐角三角形中最大的角一定大于或等于60°
C.两条直线被第三条直线所截,内错角相等 D.矩形的对角线相等且互相平分
5.下列叙述错误的是( )
A.所有的命题都有条件和结论 B.所有的命题都是定理;
C.所有的定理都是命题 D.所有的公理都是真命题.
二、1.写出下列命题的条件和结论:
（1）两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补。
（2）如果两个三角形全等,那么它们对应边上的高也相等。
2.判断下列命题的真假:
（1）一个三角形如果有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形。
（2）如果│a│=│b│,那么a3=b3
3.举出反例说明“如果AB=BC,那么点C是AB的中点”是个假命题。
三、指出下列命题的条件和结论,并判断命题的真假,如果是假命题,请举出反例.
如果等腰三角形的两条边长为5和7,那么这个等腰三角形的周长为17。
四、在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时,甲认为:这不是命题,因为这句话是错误的。乙认为:这是命题,因为它作出了判断,只不过这一判断是错误的,所以它是假命题,你认为谁的说法是正确的?
五、把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式。
同角或等角的余角相等。
六、我们知道任何一个命题都由条件和结论两部分组成,如果我们把一个命题的条件变结论,结论变条件,那么所得的是不是一个命题?试举例说明。
答案与解析
1.C 2.D 3.A 4.C 5.B
二、1. （1）条件:两条直线被第三条直线所截结论:同旁内角互补
（2）条件:两个三角形全等
结论:对应边上的高相等
2. （1）真命题 （2）假命题
3.当A、B、C三点不在同一条直线上时
三、条件:等腰三角形的两条边长为5和7；
结论:等腰三角形的周长为17；
是假命题；反例:当腰长为7,底边长为5时,周长为19。
四、乙的说法正确
五、如果两个角是同一个角或相等角的余角,那么这两个角相等。
六、是一个命题,例如“对顶角相等”条件结论互换就变为“相等的角是对顶角”。
《定义与命题》第二课时同步练习
九江三中 徐乐
一、训练平台
1．下列命题中是真命题的是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．两直线平行，同旁内角相等
C．两个角相等，这两个角一定是对顶角D．相等的两个角是平行线所得的内错角
2．下列语句中不是命题的是（ ）
A．延长线段AB; B．自然数也是整数
C．两个锐角的和一定是直角 D．同角的余角相等
3．下列语句中是命题的是（ ）
A．这个问题 B．这只笔是黑色的 C．一定相等 D．画一条线段
4．下列命题是假命题的是（ ）
A．互补的两个角不能都是锐角 B．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c
C．乘积是1的两个数互为倒数 D．全等三角形的对应角相等
二、提高训练
1．（2003·上海）下列命题中正确的是（ ）
A．有限小数是有理数; B．无限小数是无理数
C．数轴上的点与有理数一一对应; D．数轴上的点与实数一一对应
2．（2003·黑龙江）现有下列命题，其中真命题的个数是（ ）
①（-5）2的平方根是-5；②近似数3.14×103有3个有效数字；
③单项式3x2y与单项式-2xy2是同类项；④正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2003·四川）下列命题中，真命题是（ ）
A．有两边相等的平行四边形是菱形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四个角相等的菱形是正方形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4．某工程队，在修建兰定高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明这样做能缩短路程（ ）
A．直线的公理 B．直线的公理或线段最短公理
C．线段最短公理 D．平行公理
5．证明：两条平行线被第三条直线所截，则它们的一对同位角的平分线互相平行。（要求画图，写出已知、求证、证明）
6．在一次数学竞赛中，A，B，C，D，E五位同学分别得到了前五名（没有并列同一名次的）。关于各人的名次大家作出了下面的猜测：
A说：“第二名是D，第三名是B。” B说：“第二名是C，第四名是E。”
C说：“第一名是E，第五名是A。” D说：“第三名是C，第四名是A。”
E说：“第二名是B，第五名是D。”
结果每人都只猜对了一半，请判断他们的名次如何。
7. 如图所示，ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程。（推理过程中用到平行四边形和角平分线这两个条件）
中考演练
（2004·天津）下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是菱形; B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形; D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
答案与解析
一、1．A 2．A 3．B 4．B
二、1．AD 2．B 3．C 4．C
5．如图所示，已知a∥b，AB，CD分别是∠EAC和∠FCG的平分线，求证AB∥CD．证明略．
6．E，C，B，A，D
7.可得出△APB是直角三角形，△ABP≌△CDM，四边形PQMN是矩形，等等，证明略。
《定义与命题》
第1课时 定义与命题
学生在以前的学习中接触了不少的几何知识，对很多名词、概念有了很深刻的认识，本节课将对学生传授定义与命题的基本含义，学生对本节课将要采取的讨论、举例说明等学习方式有了比较深刻的认识。
【知识与能力目标】
1、了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题 。
2、会判断命题的真假，及命题的条件和结论 。
【过程与方法目标】
用比较数学化的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征。
【情感态度价值观目标】
通过对某些语句特征的判断学会严谨的思考习惯。
通过从具体例子中提炼数学概念，使学生体会数学与实践的联系。
【教学重点】
命题的概念。
【教学难点】
命题的概念的理解。
几名学生表演引入部分。
老师准备多媒体课件。
一、情景引入（由学生表演）
活动内容：
小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》。
小亮说：……
小刚说：“是的，现在因特网广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便，但……”
小亮说：“……”
小刚说：“……”
小亮说：“哈！，这个黑客终于被逮住了。”……
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着：
一人说：“这黑客是个小偷吧？”
另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼。”……
一人说：“那因特网肯定是一张很大的网。”
另一人说：“估计可能是英国造的特殊的网。”……（表演结束）
教师提出问题：在这个小品中，你得到什么启示？
（人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行.为此，我们需要给出它们的定义。）
1、关于“黑客”对话的片断来引入生活中交流时必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行；
2、对定义含义的解释；
3、 举例说明生活中和数学学习中所熟知的定义（学生举例，看哪个小组的举例又多又好）；
二、探究新知
1、根据情境得出定义的概念，并让学生举例已经学过的定义。
2、议一议。
下面的语句中,哪些语句对事情作出了判断,哪些没有?与同伴进行交流。
(1)任何一个三角形一定有一个角是直角。
(2)对顶角相等.
(3)无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数。
(4)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
(5)你喜欢数学吗？
(6)线段AB=CD。
判断一件事情的句子，叫做命题。例如（1）（2）（3）（4）对事情进行了判断，都是命题。
如果一个句子没有对一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.例如（5）（6）都不是命题。
3、想一想
（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等;
(2)如果a=b,那么a2=b2;
(3) 如果两个三角形有两边和一个角相等，那么这两个三角形全等;
这些命题有什么共同的结构特征？-----“如果……那么……”
如果两个三角形有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等；
已知事项 由已知事项推断出来的事项
归纳:一般，每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。
命题都可以写成“如果……那么……”的形式；其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。
4、做一做
指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果ab,bc,那么ac；
（3）全等三角形的面积相等；
（4）三角形三个内角的和等于1800 。
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。
要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称为反例。
5、练一练
指出下列各命题的条件和结论,并判断真假.真的用“√”， 假的用“× 表示,并通过反例说明其中的假命题。
（1）同旁内角互补 （2）一个角的补角大于这个角
（3）相等的两个角是对顶角 （4）两点可以确定一条直线
（5）两点之间线段最短 （6）同角的余角相等
（7）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直
三、当堂练习
1.下列描述不属于定义的是( )
A.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
B.正三角形是特殊的等腰三角形
C.在同一平面内三条线段首尾顺次连接得到的图形叫做三角形
D.含有未知数的等式叫做方程
2.下列语句不是命题的为( )
A.同角的余角相等
B.作直线AB的垂线
C.若a－c＝b－c则a＝b
D.两条直线相交，只有一个交点
3.下列命题是真命题的是( )
A.如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
B.两互补的角一定是邻补角
C.如果a2＝b2，那么a＝b
D.如果两角是同位角，那么这两角一定相等
4. 判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例。
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2)若a＋b＝0，则ab＝0；
(3)若ab＝0，则a＋b＝0。
解：(1)假命题．如：两条直线平行，内错角相等
(2)假命题。如：a＝3，b＝－3。
(3)假命题。如：a＝5和b＝0。
四、课堂小结
活动内容：
1、 定义的含义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的定义；
2、命题的含义：判断一件事情的句子，叫做命题，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。
结构：如果……那么…
分类：真命题、假命题。
《定义与命题》
第2课时 定理与证明
学生在以前的学习中接触了不少的几何知识，对很多定理、证明过程有了很深刻的认识，本节课将对定理及定理的证明严格规范。
【知识与能力目标】
1.通过实例感受证明的过程与格式。?
2.初步感受公理化思想。
3.感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。
【过程与方法目标】
初步感受公理化思想。
感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。
【情感态度价值观目标】
初步感受公理化思想。
感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。
【教学重点】
命题的概念。
【教学难点】
命题的概念的理解。
几名学生表演引入部分。
老师准备多媒体课件。
一、回顾引入
活动内容：
什么叫做定义？举例说明；
什么叫命题？举例说明。
学生举手发言，提问个别学生。
我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？用以前学过的观察、实验、验证特例等方法来证明可靠吗？能不能根据已经知道的真命题证实呢？那已经知道的真命题又是如何证实的？
二、探究新知—读一读
① 介绍《几何原本》、公理、定理等知识。
在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题．公元前3世纪，人们已经积累了大量知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（公元前300前后）编写了一本书，书名叫《原本》，为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创新，挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其它命题的起始依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理，除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理，而证明所需要的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面。
《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍象《原本》这样编排，因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作。
② 公理、定理、概念和证明的关系。
?
?
?
③ 介绍本教材的公理。
1.两点确定一条直线。
2.两点之间线段最短。
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
8.三边对应相等的两个三角形全等。
此八条基本事实前面已详细探索过，不必验证它们的正确性，可以直接用来证实其它命题的正确性，另外一条我们将在以后认识它。此外等式和不等式的有关性质也可看作公理．比如：如果a=b，b=c，那么a=c。
④ 读一读《原本与几何原本》
三、举例讲解
例 已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角。
求证：∠AOC=∠BOD。
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴ ∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义)。
∴ ∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(外角的定义)。
∴ ∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）。
四、当堂练习
1.“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）
A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
2.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（ ）
A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
3.下列命题中，属于定义的是（ ）
A.两点确定一条直线；
B.同角的余角相等；
C.互补的两个角是邻补角；
D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
4.下列句子中，是定理的是（ ），是公理的是（ ）。
A.若a=b，b=c，则a=c；
B.对顶角相等
C.全等三角形的对应边相等，对应角相等
课件24张PPT。小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》。这个黑客终于被逮住了。是的,现在的因特网广泛运用于我们的生活中,给我们带来了方便,但…….这个黑客是个小偷吧？可能是个喜欢穿黑衣服的贼。坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄地议论着。导入新课讲授新课交流必须对某些名称和术语有共同的语言认识 才能进行。根据上面的情境，你能得出什么结论？要对名称和术语的含义加以描述，作出明确规定.也就是给出它们的定义。
请你举出你所熟知的一些定义例子例如:
1.“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民” 是“中华人民共和国公民”的定义。
2. “两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离” 是“两点之间的距离”的定义。
3.“在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程” 是“一元一次方程”的定义。你还能举出曾学过的“定义”吗?
1.无限不循环小数称为无理数；
2.两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
3.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；
4. 一般的，如果在某个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y有唯一确定的值与它对应，那么我们称y是x的函数。议一议
下面的语句中,哪些语句对事情作出了判断,哪些没有?与同伴进行交流。
(1)任何一个三角形一定有一个角是直角。
(2)对顶角相等。
(3)无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数。
(4)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
(5)你喜欢数学吗？
(6)线段AB=CD。
判断一件事情的句子，叫做命题。
例如（1）（2）（3）（4）对事情进行了判断，都是命题。
如果一个句子没有对一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。例如（5）（6）都不是命题。1.如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等;
2.如果a=b,那么a2=b2;
3. 如果两个三角形有两边和一个角相等，那么这两个三角形全等;
这些命题有什么共同的结构特征？观察下列命题：“如果……那么……”条件结论已知事项由已知事项推断
出来的事项 如果两个三角形有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等；
命题都可以写成“如果……那么……”的形式；其中“如果”引出的部分是条件 “那么”引出的部分是结 论。归纳:一般，每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。我们把正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。假命题假命题真命题真命题说明假命题的方法：举反例使之具有命题的条件，而不具有命题的结论。 （1）同旁内角互补（ ） （4）两点可以确定一条直线（ ） （7）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（ ） （2）一个角的补角大于这个角（ ） （5）两点之间线段最短（ ） （3）相等的两个角是对顶角（ ）√ （6）同角的余角相等（ ）√√√练一练指出下列各命题的条件和结论,并判断真假。真的用“√”，
假的用“× 表示,并通过反例说明其中的假命题。×××1.下列描述不属于定义的是( )
A.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
B.正三角形是特殊的等腰三角形
C.在同一平面内三条线段首尾顺次连接得到的图形叫做三角形
D.含有未知数的等式叫做方程
2.下列语句不是命题的为( )
A.同角的余角相等
B.作直线AB的垂线
C.若a－c＝b－c则a＝b
D.两条直线相交，只有一个交点当堂练习3.下列命题是真命题的是( )
A.如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
B.两互补的角一定是邻补角
C.如果a2＝b2，那么a＝b
D.如果两角是同位角，那么这两角一定相等
4. 判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2)若a＋b＝0，则ab＝0；
(3)若ab＝0，则a＋b＝0解：(1) 假命题。如：两条直线平行，内错角相等
(2) 假命题。如：a＝3，b＝-3
(3) 假命题。如：a＝5和b＝0 定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的定义。 命题的含义：判断一件事情的句子叫做命题，如果一个句子没有对某 一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。
结构：如果……那么……
分类：真命题、假命题
课堂小结如何证实一个命题是真命题呢？用我们以前学过的观察,实验,验证特例等方法。那已经知道的真命题又是如何证实的?能不能根据已经知道的真命题证实呢?导入新课 了解《原本》与《几何原本》；了解古希腊数学家欧几里得(Euclid,公元前300前后)；找出下列各个定义并举例。
1.原名:某些数学名词称为原名。
2.公理:公认的真命题称为公理。
3.证明:除了公理外,其他真命题的正确性都
通过推理的方法证实。推理的过程称为证明。
4.定理:经过证明的真命题称为定理。思考：如何证实一个命题是真命题呢？讲授新课证实其他命
题的正确性 推 理推理的过程叫证明原名、公理一些条件+总结归纳经过证明的真命题叫定理本套教科书选用九条，我们已经认识了其中的八条:
1.两点确定一条直线；
2.两点之间线段最短；
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这 两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）；
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
8.三边分别相等的两个三角形全等。公理等式的有关性质和不等式的有关性质（以后将会学到）都可以看作公理。
“在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替”。这一性质也看作公理,简称为“等量代换”。其他公理典例精析证明定理“对顶角相等。”
例1：已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角. 求证：∠AOC =∠BOD，
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴ ∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义)。
∴ ∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(外角的定义)。
∴ ∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）。1.“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）
A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
2.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（ ）
A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
3.下列命题中，属于定义的是（ ）
A.两点确定一条直线；
B.同角的余角相等；
C.互补的两个角是邻补角；
D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
4.下列句子中，是定理的是（ ），是公理的是（ ）
A.若a=b，b=c，则a=c；
B.对顶角相等
C.全等三角形的对应边相等，对应角相等
当堂练习课堂小结
