7.3 与圆相关的计算
正多边形
?1.各边相等， 也相等的多边形是正多边形
?2.每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的 ，外接
圆的半径叫正多边形的 一般用字母R表示，每边所对的圆心角叫 ，用α表示，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的 ?，用r表示.
?3.每一个正几边形都被它的半径分成一个全等的 三角形，被它的半径和边心距分成一个全等的 三角形.
圆内正多边形的计算
正三角形：正三角形的有关计算在Rt△ABC中进行：OD:BD:OB= ；
正四边形：四边形的有关计算在Rt△OAE中进行，OE:AE:OA= ：
正六边形：六边形的有关计算在Rt△OAB中进行，AB:OB:OA= .
扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
扇形：
（1）弧长公式： ；
（2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
圆柱：
（1）圆柱的侧面积：
（2）圆柱的面积：
（3）圆柱的体积：
圆锥
（1）圆锥的侧面积：
（2）圆锥的面积：
（3）圆锥的体积：
注意：
（1）圆柱的高有 条，圆锥的高有 条
（2）圆锥的高h，母线长R，底面半径r满足关系? ?????.
（3）注意圆锥的侧面展开圆中扇形的半径R是圆锥的 ,扇形的弧长是圆锥的 .
（4）圆锥的母线为R，底面半径为r，侧面展开图扇形的圆心角度数为n.若R=2r，则n= ；?R=3r,则n= ；R=4r则n=?????.2·1·c·n·j·y
考点一：正多边形和圆
（2016秋?莘县期末）已知⊙O的面积为3π，则其内接正方形的边长为（ ）
A．3 B． C． D．
【分析】如图，作辅助线，根据圆的面积公式求出半径；根据勾股定理求出边长问题即可解决．
【解答】解：如图，四边形ABCD为⊙O的内接正方形，连接AC、BD；
设⊙O的半径为λ，则πλ2=3π，
∴λ=；
又∵∠ABC=90°，
∴AC为⊙O的直径，AC=2λ=2；
设正方形ABCD的边长为μ，由勾股定理得：
，
∴μ=，
故选B．
【点评】该题主要考查了圆内接正多边形的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理，大胆推测、科学论证、准确解答．
变式跟进1（2016秋?潮州期末）已知正六边形的边长为2，则它的边心距为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
（2017?永春县模拟）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（ ）
A．cm B．cm C．cm D．1cm
【分析】连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长．
【解答】解：连接AC，过B作BD⊥AC于D；
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AD=CD；
∵此多边形为正六边形，
∴∠ABC==120°，
∴∠ABD==60°，
∴∠BAD=30°，AD=AB?cos30°=2×=，
∴a=2cm．
故选A．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．
变式跟进2（2017?福田区一模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为6，则阴影部分的面积为（ ）21·cn·jy·com
A．12π B．6π C．9π D．18π
考点二：弧长的计算
（2017?中山市校级模拟）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于（ ）
A． B． C．π D．2π
【分析】由“凸轮”的外围是以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，然后根据弧长公式计算出三段弧长，三段弧长之和即为凸轮的周长．
【解答】
解：∵△ABC为正三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，
∴====，
根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和，
即凸轮的周长=++=3×=π．
故选C．
【点评】此题考查了弧长的计算以及等边三角形的性质，熟练掌握弧长公式是解本题的关键．
变式跟进3（2016?越秀区一模）如图，正方形ABCD的边长AB=4，分别以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，则CE弧的长是（ ）
A． B．π C． D．
考点三：扇形面积的计算
（2017?龙湖区模拟）已知圆心角为120°的扇形面积为12π，那么扇形的弧长为（ ）
A．4 B．2 C．4π D．2π
【分析】设扇形的半径为R，先根据扇形的面积公式得到12π=，解得R=6，然后根据扇形的弧长公式求解．
【解答】解：设扇形的半径为R，
根据题意得12π=，
解得R=6，
所以扇形的弧长==4π．
故选C．
【点评】本题考查了弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了扇形的面积公式．
变式跟进4（2016?东莞市二模）圆心角为240°的扇形的半径为3cm，则这个扇形的面积是（ ）
A．πcm2 B．3πcm2 C．9πcm2 D．6πcm2
变式跟进5（2016?深圳校级二模）在△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm，把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1（如图所示），则线段AB所扫过的面积为（ ）
A．5 B．πcm2 C．πcm2 D．5πcm2
考点四：圆锥的计算
（2017?庆云县模拟）如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长均为1厘米，则这个圆锥的底面半径为（ ）厘米．
A． B． C． D．
【分析】易得扇形的半径，进而利用弧长公式可求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】解：扇形的半径为=2厘米，
∴扇形的弧长为=π厘米，
∴这个圆锥的底面半径为π÷2π=厘米，
故选B．
【点评】用到的知识点为：扇形的弧长公式为；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．
变式跟进6（2016?广州一模）如图，一个圆锥形漏斗的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥漏斗的侧面积是（ ）
A．30cm2 B．30πcm2 C．60πcm2 D．120cm2
考点五：圆柱的计算
（2017?德州三模）矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以AB为轴旋转一周得到圆柱，则它的表面积是（ ）
A．60π B．56π C．32π D．24π
【分析】表面积=侧面积+两个底面积=底面周长×高+2πr2．
【解答】解：∵以直线AB为轴旋转一周得到的圆柱体，得出底面半径为4cm，母线长为3cm，
∴圆柱侧面积=2π?AB?BC=2π?3×4=24π（cm2），
∴底面积=π?BC2=π?42=16π（cm2），
∴圆柱的表面积=24π+2×16π=56π（cm2）．
故选B．
【点评】此题主要考查了圆柱的表面积的计算公式，根据旋转得到圆柱体，利用圆柱体的侧面积等于底面圆的周长乘以母线长是解决问题的关键．21·世纪*教育网
变式跟进7（2017秋?宜兴市期中）已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为6cm，则圆柱的侧面积是（ ）
A．36cm2 B．36π cm2 C．18cm2 D．18π cm2
一．选择题
1．（2015?广州）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．3 B．9 C．18 D．36
2．（2017?株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
3．（2015?滨湖区二模）已知圆锥的侧面积为10πcm2，侧面展开图的圆心角为36°，则该圆锥的母线长为（ ）
A．100cm B．cm C．10cm D．cm
4．（2016?成都）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
5．（2015?广东）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2017?兰州）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣2
二．填空题
7．（2015?眉山）已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半径是 cm．
8．（2017?广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线l= ．【来源：21cnj*y.co*m】
9．（2016?德州）如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是 ．
10．（2016?广东）如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA=13cm，则扇形AOC中的长是 cm（计算结果保留π）．
11．（2017?凉山州）如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ= ．
三．解答题
12．（2016?梅州）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
13．（2017?深圳）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是上任意一点，AH=2，CH=4．
（1）求⊙O的半径r的长度；
（2）求sin∠CMD；
（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE?HF的值．
14．（2015?安顺）如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC=PG．2-1-c-n-j-y
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2=BF?BO．求证：点G是BC的中点；
（3）在满足（2）的条件下，AB=10，ED=4，求BG的长．
15．（2016?苏州）如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）证明：∠E=∠C；
（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG?ED的值．
16．（2015?广东）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG、CP、PB．21世纪教育网版权所有
（1）如图1，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；
（2）如图2，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；
（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB．
一．选择题
1．（2016?澄海区一模）如图，圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，则这个扇形的面积为（ ）21教育网
A．300π B．150π C．200π D．600π
2．（2017秋?房山区月考）一个圆柱的高是10分米，底面积为6.28平方分米，把它截成两个同样的小圆柱后，表面积比原来增加了（ ）平方分米．www.21-cn-jy.com
A．6.28 B．9.42 C．10 D．12.56
3．（2017?龙华区二模）如图，已知五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，且⊙O 的半径为1．则图中阴影部分的面积是（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B. C． D．
4．（2016?宝安区二模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，将△ABC绕点B按顺时针方向转动一个角到△A′BC′的位置，使点A、B、C′在同一条直线上，则图中阴影部分的周长是（ ）21*cnjy*com
A．4π+4 B．4π C．2π+4 D．2π
5．（2017?青山区一模）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，=，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4
6．（2016?福田区二模）如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，线段OQ所扫过过的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2016秋?碑林区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，a＞b，以AB边为轴将矩形绕其旋转一周形成圆柱体甲，再以BC边为轴将矩形绕其旋转一周形成圆柱体乙，记两个圆柱体的体积分别为V甲、V乙，侧面积分别为S甲、S乙，则下列式子正确的是（ ）
A．V甲＞V乙，S甲=S乙 B．V甲＜V乙，S甲=S乙
C．V甲=V乙，S甲=S乙 D．V甲＞V乙，S甲＜S乙
8．（2016?深圳模拟）如图，已知直线l的表达式为y=x，点A1的坐标为（1，0），以O为圆心，OA1为半径画弧，与直线l交于点C1，记长为m1；过点A1作A1B1垂直x轴，交直线l于点B1，以O为圆心，OB1为半径画弧，交x轴于C2，记的长为m2；过点B1作A2B1垂直l，交x轴于点A2，以O为圆心，OA2为半径画弧，交直线l于C3，记的长为m3…按照这样规律进行下去，mn的长为（ ）【版权所有：21教育】
A． B．
C． D．
6．（2017?东莞市三模）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中弧FK1，弧K1K2，弧K2K3，弧K3K4，弧K4K5，弧K5K6，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为L1，L2，L3，L4，L5，L6，…．当AB=1时，L2016等于（ ）21教育名师原创作品
A． B． C． D．．
二．填空题
10．（2017?天河区校级一模）正三角形的外接圆半径、边心距之比为 ．
11．（2016?当涂县一模）已知扇形的半径为6cm，圆心角的度数为120°，则此扇形的弧长为 cm．21cnjy.com
12．（2017?越秀区校级一模）已知圆锥的底面直径和母线长都是10 cm，则圆锥的面积为 ．（结果保留π）．21*cnjy*com
13．（2016?桐城市模拟）如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为 ．
14．（2017?广东模拟）如图，菱形OABC中，∠A=120°，OA=1，将菱形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°，则图中阴影部分的面积是 ．
15．（2016?深圳二模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 ．
16．（2016秋?深圳校级期中）如图，是一个立体图形的三视图，由图形显示的数据得这个立体图形的体积是 （用含π的式子表示）．
17．（2017?广东模拟）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为 ．
18．（2017春?揭西县校级期中）如图，将扇形AOC围成一个圆锥的侧面．已知围成的圆锥的高为12，扇形AOC的弧长为10π，则圆锥的侧面积为 ．
19．（2016?汕头校级自主招生）如图，直线y=x﹣与x轴、y轴分别交于点A，B两点．点M为x轴上一点，以M为圆心，2为半径作圆，⊙M恰好与直线y=x﹣相切，切点为C．设⊙M与x轴、y轴分别交于D、E、G、F，H为⊙M上一点，连结HC交x轴于点I．给出下列结论：①OA=5；②∠BAO=30°；③点M的坐标为（1，0）；④CD=2；⑤若EI：IC=3：2，则cos∠HCD=．其中正确的有 ．
三．解答题
20．（2017?广东模拟）如图，扇形OAB的圆心角∠AOB=120°，半径OA=6cm．
（1）请你用尺规作图的方法作出扇形的对称轴（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求弧AB的长及扇形OAB的面积．
21．（2016秋?金平区校级期末）如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，求这个圆锥的侧面积和表面积．
22．（2017?潮阳区模拟）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连EC，CD
（1）试猜想直线AB于⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC2=BD?BE；
（3）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求△OAB的面积．
23．（2017?广东模拟）如图，AB是⊙O的直径，点P在AB上，C，D是圆上的两点，OE⊥PD，垂足为E，若∠DPA=∠CPB，AB=12，DE=4．
（1）求OE的长；
（2）求证：PD+PC=2DE；
（3）若PC=3，求DP的长和sin∠CPB的值．
24．（2017?东莞市三模）如图，已知AB是⊙O的切线，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F【出处：21教育名师】
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）求证：△CFP∽△CPD；
（3）如果CF=1，CP=2，sinA=，求O到DC的距离．
25．（2017?和平县校级一模）如图1，OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD且⊙O于点D，连结AD交DC于点E．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：CD=CE；
（2）如图2，若将图1中的半径OB所在直线向上平移，交OA于F，交⊙O于B′，其他条件不变，求证：∠C=2∠A；
（3）如图3，在（2）的条件下，若CD=13，sinA=，求DE的长．
7.3 与圆相关的计算
正多边形
?1.各边相等， 各角 也相等的多边形是正多边形
?2.每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的 外心，外接
圆的半径叫正多边形的 半径 ，一般用字母R表示，每边所对的圆心角叫 中心角，用α表示，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的 边心距 ?，用r表示
?3.每一个正几边形都被它的半径分成一个全等的 直角 三角形，被它的半径和边心距分成一个全等的 直角 三角形
圆内正多边形的计算
正三角形：正三角形的有关计算在Rt△ABC中进行：OD:BD:OB=1：:2；
正四边形：四边形的有关计算在Rt△OAE中进行，：
正六边形：六边形的有关计算在Rt△OAB中进行，.
扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
扇形：
（1）弧长公式：；
（2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
圆柱：
（1）圆柱的侧面积：S侧=2πrh
（2）圆柱的面积： =
（3）圆柱的体积：
圆锥
（1）圆锥的侧面积：S侧=πRr
（1）圆锥的面积：=
（2）圆锥的体积：
注意：
（1）圆柱的高有 无数 条，圆锥的高有 1 条
（2）圆锥的高h，母线长R，底面半径r满足关系?R2=h2+r2?????.
（3）注意圆锥的侧面展开圆中扇形的半径R是圆锥的 母线长 ,扇形的弧长是圆锥的 底面周长 .21*cnjy*com
（4）圆锥的母线为R，底面半径为r，侧面展开图扇形的圆心角度数为n.若R=2r，则n= 180 ；?R=3r,则n= 120 ；R=4r则n=???90???.
考点一：正多边形和圆
（2016秋?莘县期末）已知⊙O的面积为3π，则其内接正方形的边长为（ ）
A．3 B． C． D．
【分析】如图，作辅助线，根据圆的面积公式求出半径；根据勾股定理求出边长问题即可解决．
【解答】解：如图，四边形ABCD为⊙O的内接正方形，连接AC、BD；
设⊙O的半径为λ，则πλ2=3π，
∴λ=；
又∵∠ABC=90°，
∴AC为⊙O的直径，AC=2λ=2；
设正方形ABCD的边长为μ，由勾股定理得：
，
∴μ=，
故选B．
【点评】该题主要考查了圆内接正多边形的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理，大胆推测、科学论证、准确解答．
变式跟进1（2016秋?潮州期末）已知正六边形的边长为2，则它的边心距为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由正六边形的性质得出AC=BC=AB=1，∠AOB=60°，得出∠AOC=30°，求出OC即可．
【解答】解：如图所示：
连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
则∠OCA=90°，AC=BC=AB=1，∠AOB=60°，
∴∠AOC=30°，
∴OC=AC=；
故选C．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数等知识；熟练掌握正六边形的性质，求出AC是解决问题的关键．
（2017?永春县模拟）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（ ）
A．cm B．cm C．cm D．1cm
【分析】连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长．
【解答】解：连接AC，过B作BD⊥AC于D；
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AD=CD；
∵此多边形为正六边形，
∴∠ABC==120°，
∴∠ABD==60°，
∴∠BAD=30°，AD=AB?cos30°=2×=，
∴a=2cm．
故选A．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．
变式跟进2（2017?福田区一模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为6，则阴影部分的面积为（ ）
A．12π B．6π C．9π D．18π
【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．
【解答】解：如图所示：连接BO，CO，OA，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴△OAB，△OBC都是等边三角形，
∴∠AOB=∠OBC=60°，
∴S△ABC=S△OBC，
∴S阴=S扇形OBC
∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC==6π．
故选B．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S扇形OBC是解题关键．
考点二：弧长的计算
（2017?中山市校级模拟）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于（ ）
A． B． C．π D．2π
【分析】由“凸轮”的外围是以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，然后根据弧长公式计算出三段弧长，三段弧长之和即为凸轮的周长．
【解答】
解：∵△ABC为正三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，
∴====，
根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和，
即凸轮的周长=++=3×=π．
故选C．
【点评】此题考查了弧长的计算以及等边三角形的性质，熟练掌握弧长公式是解本题的关键．
变式跟进3（2016?越秀区一模）如图，正方形ABCD的边长AB=4，分别以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，则CE弧的长是（ ）
A． B．π C． D．
【分析】根据条件可以得到△ABE是等边三角形，然后利用弧长公式即可求解．
【解答】解：连接AE、BE，
∵AE=BE=AB，
∴△ABE是等边三角形．
∴∠EBA=60°，
∴的长是=．
∵的长是=2π，
∴的长为：2π﹣π=π；
故选A．
【点评】本题考查了弧长的计算公式，正确得到△ABE是等边三角形是关键．
考点三：扇形面积的计算
（2017?龙湖区模拟）已知圆心角为120°的扇形面积为12π，那么扇形的弧长为（ ）
A．4 B．2 C．4π D．2π
【分析】设扇形的半径为R，先根据扇形的面积公式得到12π=，解得R=6，然后根据扇形的弧长公式求解．
【解答】解：设扇形的半径为R，
根据题意得12π=，
解得R=6，
所以扇形的弧长==4π．
故选C．
【点评】本题考查了弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了扇形的面积公式．
变式跟进4（2016?东莞市二模）圆心角为240°的扇形的半径为3cm，则这个扇形的面积是（ ）
A．πcm2 B．3πcm2 C．9πcm2 D．6πcm2
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：S扇形==6πcm2，
故选D．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
变式跟进5（2016?深圳校级二模）在△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm，把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1（如图所示），则线段AB所扫过的面积为（ ）
A．5 B．πcm2 C．πcm2 D．5πcm2
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再由扇形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm，
∴AB===5cm，
∴线段AB所扫过的面积是以点A为圆心，AB为半径，圆心角是90°扇形的面积==cm2．
故选B．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
考点四：圆锥的计算
（2017?庆云县模拟）如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长均为1厘米，则这个圆锥的底面半径为（ ）厘米．
A． B． C． D．
【分析】易得扇形的半径，进而利用弧长公式可求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】解：扇形的半径为=2厘米，
∴扇形的弧长为=π厘米，
∴这个圆锥的底面半径为π÷2π=厘米，
故选B．
【点评】用到的知识点为：扇形的弧长公式为；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．
变式跟进6（2016?广州一模）如图，一个圆锥形漏斗的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥漏斗的侧面积是（ ）
A．30cm2 B．30πcm2 C．60πcm2 D．120cm2
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算这个圆锥漏斗的侧面积．
【解答】解：圆锥的母线长==10，
所以圆锥的侧面积=?2π?6?10=60π（cm2）．
故选C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．21教育名师原创作品
考点五：圆柱的计算
（2017?德州三模）矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以AB为轴旋转一周得到圆柱，则它的表面积是（ ）
A．60π B．56π C．32π D．24π
【分析】表面积=侧面积+两个底面积=底面周长×高+2πr2．
【解答】解：∵以直线AB为轴旋转一周得到的圆柱体，得出底面半径为4cm，母线长为3cm，
∴圆柱侧面积=2π?AB?BC=2π?3×4=24π（cm2），
∴底面积=π?BC2=π?42=16π（cm2），
∴圆柱的表面积=24π+2×16π=56π（cm2）．
故选B．
【点评】此题主要考查了圆柱的表面积的计算公式，根据旋转得到圆柱体，利用圆柱体的侧面积等于底面圆的周长乘以母线长是解决问题的关键．
变式跟进7（2017秋?宜兴市期中）已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为6cm，则圆柱的侧面积是（ ）
A．36cm2 B．36π cm2 C．18cm2 D．18π cm2
【分析】圆柱侧面积=底面周长×高．
【解答】解：根据侧面积公式可得π×2×3×6=36πcm2，
故选B．
【点评】考查了圆柱的计算，掌握特殊立体图形的侧面展开图的特点，是解决此类问题的关键．
一．选择题
1．（2015?广州）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．3 B．9 C．18 D．36
【分析】解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．
【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2，高为3，
因而等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积=18，
故选C．
【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，这是需要熟记的内容．
2．（2017?株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】根据正多边形的中心角的度数即可得到结论．
【解答】解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，
故选A．
【点评】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的中心角的定义是解题的关键．
3．（2015?滨湖区二模）已知圆锥的侧面积为10πcm2，侧面展开图的圆心角为36°，则该圆锥的母线长为（ ）21·cn·jy·com
A．100cm B．cm C．10cm D．cm
【分析】圆锥侧面是一个扇形，扇形的面积公式=，代入求值即可．
【解答】解：设母线长为R，圆锥的侧面积==10π，
∴R=10cm
故选：C．
【点评】本题利用了扇形的面积公式求解．
4．（2016?成都）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．
【解答】解：∵∠OCA=50°，OA=OC，
∴∠A=50°，
∴∠BOC=100°，
∵AB=4，
∴BO=2，
∴的长为：=π．
故选：B．
【点评】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出∠BOC的度数是解题关键．
5．（2015?广东）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB=，计算即可．
【解答】解：∵正方形的边长为3，
∴弧BD的弧长=6，
∴S扇形DAB==×6×3=9．
故选D．
【点评】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式S扇形DAB=．
6．（2017?兰州）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣2
【分析】根据对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的，求出圆内接正方形的边长，即可求解．
【解答】解：连接AO，DO，
∵ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，
AD==2，
圆内接正方形的边长为2，所以阴影部分的面积=[4π﹣（2）2]=（π﹣2）cm2．
故选D．
【点评】本题考查正多边形与圆、正方形的性质、圆的面积公式、扇形的面积公式等知识，解题的关键是利用对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的，也可以用扇形的面积减去三角形的面积计算，属于中考常考题型．
二．填空题
7．（2015?眉山）已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半径是 2 cm．
【分析】首先求出∠AOB=×360°，进而证明△OAB为等边三角形，问题即可解决．
【解答】解：如图，
∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的周长长为12cm，
∴边长为2cm，
∵∠AOB=×360°=60°，且OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=AB=2，
即该圆的半径为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了正多边形和圆，以正多边形外接圆、正多边形的性质等几何知识点为考查的核心构造而成；灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答是关键．
8．（2017?广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线l= 3 ．
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【解答】解：圆锥的底面周长=2π×=2πcm，
则：=2π，
解得l=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．
9．（2016?德州）如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是 ﹣ ．
【分析】连接OM交AB于点C，连接OA、OB，根据题意OM⊥AB且OC=MC=，继而求出∠AOC=60°、AB=2AC=，然后根据S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB、S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM计算可得答案．
【解答】解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，
由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=，
在RT△AOC中，∵OA=1，OC=，
∴cos∠AOC==，AC==
∴∠AOC=60°，AB=2AC=，
∴∠AOB=2∠AOC=120°，
则S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB
=﹣××
=﹣，
S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM
=π×12﹣2（﹣）
=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．
10．（2016?广东）如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA=13cm，则扇形AOC中的长是 10π cm（计算结果保留π）．
【分析】根据的长就是圆锥的底面周长即可求解．
【解答】解：∵圆锥的高h为12cm，OA=13cm，
∴圆锥的底面半径为=5cm，
∴圆锥的底面周长为10πcm，
∴扇形AOC中的长是10πcm，
故答案为：10π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长，难度不大．
11．（2017?凉山州）如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ= 72° ．
【分析】连接OA、OB、OC，证明△OBP≌△OCQ，根据全等三角形的性质得到∠BOP=∠COQ，结合图形计算即可．
【解答】解：连接OA、OB、OC，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠AOB=∠BOC=72°，
∵OA=OB，OB=OC，
∴∠OBA=∠OCB=54°，
在△OBP和△OCQ中，
，
∴△OBP≌△OCQ，
∴∠BOP=∠COQ，
∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠BOP=∠QOC，
∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠POQ=∠BOC=72°．
故答案为：72°．
【点评】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解题的关键．
三．解答题
12．（2016?梅州）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；
（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠2=∠A=30°．
∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°．即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠A=30°，
∴∠1=2∠A=60°．
∴S扇形BOC=．
在Rt△OCD中，
∵，
∴．
∴．
∴图中阴影部分的面积为： ．
【点评】此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．
13．（2017?深圳）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是上任意一点，AH=2，CH=4．
（1）求⊙O的半径r的长度；
（2）求sin∠CMD；
（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE?HF的值．
【分析】（1）在Rt△COH中，利用勾股定理即可解决问题；
（2）只要证明∠CMD=△COA，求出sin∠COA即可；
（3）由△EHM∽△NHF，推出=，推出HE?HF=HM?HN，又HM?HN=AH?HB，推出HE?HF=AH?HB，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，连接OC．
∵AB⊥CD，
∴∠CHO=90°，
在Rt△COH中，∵OC=r，OH=r﹣2，CH=4，
∴r2=42+（r﹣2）2，
∴r=5．
（2）如图1中，连接OD．
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴==，
∴∠AOC=∠COD，
∵∠CMD=∠COD，
∴∠CMD=∠COA，
∴sin∠CMD=sin∠COA==．
（3）如图2中，连接AM．
∵AB是直径，
∴∠AMB=90°，
∴∠MAB+∠ABM=90°，
∵∠E+∠ABM=90°，
∴∠E=∠MAB，
∴∠MAB=∠MNB=∠E，
∵∠EHM=∠NHF
∴△EHM∽△NHF，
∴=，
∴HE?HF=HM?HN，
∵HM?HN=AH?HB，
∴HE?HF=AH?HB=2?（10﹣2）=16．
【点评】本题考查圆综合题、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．21cnjy.com
14．（2015?安顺）如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC=PG．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2=BF?BO．求证：点G是BC的中点；
（3）在满足（2）的条件下，AB=10，ED=4，求BG的长．
【分析】（1）连OC，由ED⊥AB得到∠FBG+∠FGB=90°，又PC=PD，则∠1=∠2，而∠2=∠FGB，∠4=∠FBG，即可得到∠1+∠4=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连OG，由BG2=BF?BO，即BG：BO=BF：BG，根据三角形相似的判定定理得到△BGO∽△BFG，由其性质得到∠OGB=∠BFG=90°，然后根据垂径定理即可得到点G是BC的中点；
（3）连OE，由ED⊥AB，根据垂径定理得到FE=FD，而AB=10，ED=4，得到EF=2，OE=5，在Rt△OEF中利用勾股定理可计算出OF，从而得到BF，然后根据BG2=BF?BO即可求出BG．
【解答】（1）证明：连OC，如图，
∵ED⊥AB，
∴∠FBG+∠FGB=90°，
又∵PC=PG，
∴∠1=∠2，
而∠2=∠FGB，∠4=∠FBG，
∴∠1+∠4=90°，即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）证明：连OG，如图，
∵BG2=BF?BO，即BG：BO=BF：BG，
而∠FBG=∠GBO，
∴△BGO∽△BFG，
∴∠OGB=∠BFG=90°，
即OG⊥BG，
∴BG=CG，即点G是BC的中点；
（3）解：连OE，如图，
∵ED⊥AB，
∴FE=FD，
而AB=10，ED=4，
∴EF=2，OE=5，
在Rt△OEF中，OF===1，
∴BF=5﹣1=4，
∵BG2=BF?BO，
∴BG2=BF?BO=4×5，
∴BG=2．
【点评】本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、勾股定理以及三角形相似的判定与性质．
15．（2016?苏州）如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）证明：∠E=∠C；
（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG?ED的值．
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；
（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；
（3）根据cosB=，得出AB的长，即可求出AE的长，再判断△AEG∽△DEA，求出EG?ED的值．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵CD=BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C；
（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD=180°﹣∠E，
又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，
∴∠CFD=∠E=55°，
又∵∠E=∠C=55°，
∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；
（3）解：连接OE，
∵∠CFD=∠E=∠C，
∴FD=CD=BD=4，
在Rt△ABD中，cosB=，BD=4，
∴AB=6，
∵E是的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE=90°，
∵AO=OE=3，
∴AE=3，
∵E是的中点，
∴∠ADE=∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴=，
即EG?ED=AE2=18．
【点评】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出AE，AB的长是解题关键．
16．（2015?广东）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG、CP、PB．
（1）如图1，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；
（2）如图2，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；
（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB．
【分析】（1）由垂径定理得出PG⊥BC，CD=BD，再由三角函数求出∠BOD=60°，证出AC∥PG，得出同位角相等即可；
（2）先由SAS证明△PDB≌△CDK，得出CK=BP，∠OPB=∠CKD，证出AG=CK，再证明AG∥CK，即可得出结论；
（3）先证出DH∥AG，得出∠OAG=∠OHD，再证OD=OH，由SAS证明△OBD≌△HOP，得出∠OHP=∠ODB=90°，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵点P为的中点，AB为⊙O直径，
∴BP=PC，PG⊥BC，CD=BD，
∴∠ODB=90°，
∵D为OP的中点，
∴OD=OP=OB，
∴cos∠BOD==，
∴∠BOD=60°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ODB，
∴AC∥PG，
∴∠BAC=∠BOD=60°；
（2）证明：由（1）知，CD=BD，
在△PDB和△CDK中，，
∴△PDB≌△CDK（SAS），
∴CK=BP，∠OPB=∠CKD，
∵∠AOG=∠BOP，
∴AG=BP，
∴AG=CK，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
又∵∠G=∠OBP，
∴AG∥CK，
∴四边形AGCK是平行四边形；
（3）证明：∵CE=PE，CD=BD，
∴DE∥PB，
即DH∥PB
∵∠G=∠OPB，
∴PB∥AG，
∴DH∥AG，
∴∠OAG=∠OHD，
∵OA=OG，
∴∠OAG=∠G，
∴∠ODH=∠OHD，
∴OD=OH，
在△OBD和△HOP中，，
∴△OBD≌△HOP（SAS），
∴∠OHP=∠ODB=90°，
∴PH⊥AB．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、圆周角定理、平行线的判定、三角函数、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过证明平行线得出角相等，再进一步证明三角形全等才能得出结论．
一．选择题
1．（2016?澄海区一模）如图，圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，则这个扇形的面积为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．300π B．150π C．200π D．600π
【分析】首先根据底面圆的面积求得底面的半径，然后结合弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求得侧面积即可．【出处：21教育名师】
【解答】解：∵底面圆的面积为100π，
∴底面圆的半径为10，
∴扇形的弧长等于圆的周长为20π，
设扇形的母线长为r，
则=20π，
解得：母线长为30，
∴扇形的面积为πrl=π×10×30=300π，
故选A．
【点评】本题考查了圆锥的计算及扇形的面积的计算，解题的关键是牢记计算公式．
2．（2017秋?房山区月考）一个圆柱的高是10分米，底面积为6.28平方分米，把它截成两个同样的小圆柱后，表面积比原来增加了（ ）平方分米．
A．6.28 B．9.42 C．10 D．12.56
【分析】根据题意可知，把原来的圆柱截成两个同样的小圆柱后，增加了两个圆面，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
把原来的圆柱截成两个同样的小圆柱后，增加了两个圆面，
故表面积比原来增加了6.28×2=12.56（平方分米），
故选D．
【点评】本题考查圆柱的计算，解答本题的关键是明确把原来的圆柱截成两个同样的小圆柱后，增加了两个圆面．
3．（2017?龙华区二模）如图，已知五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，且⊙O 的半径为1．则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B. C． D．
【分析】五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，推出===，由此可知S阴=S扇形OAC．
【解答】解：∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，
∴===，
易知△EOA≌△AOB≌△BOC≌△COD，
∴△AOE、△AOB、△BOC、△COD的面积相等，
∴S阴=S扇形OAC
=
=π，
故选B
【点评】本题考查正多边形与圆、扇形的面积的计算，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会把求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积．2·1·c·n·j·y
4．（2016?宝安区二模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，将△ABC绕点B按顺时针方向转动一个角到△A′BC′的位置，使点A、B、C′在同一条直线上，则图中阴影部分的周长是（ ）
A．4π+4 B．4π C．2π+4 D．2π
【分析】先根据Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4求出BC及AC的长，再根据弧长的计算公式求出、的长，那么阴影部分的周长=AC+的长+A′C′+的长，将数值代入计算即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，
∴∠ABC=60°，BC=AB=2，AC=BC=2，
∴∠CBC′=∠ABA′=180°﹣60°=120°，
∴的长==π，
的长==，
∴阴影部分的周长=AC+的长+A′C′+的长
=2++2+π
=4π+4．
故选A．
【点评】本题考查的是旋转的性质，弧长的计算，含30度角的直角三角形性质的应用，根据题意得出阴影部分的周长=AC+的长+A′C′+的长是解答此题的关键．
5．（2017?青山区一模）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，=，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4
【分析】连接OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣△ODC的面积，依此列式计算即可求解．
【解答】解：连接OC，如图所示：
∵在扇形AOB中∠AOB=90°，=，
∴∠COD=45°，
∴OD=CD，
∴OC==4，
∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣△ODC的面积
=﹣×（2）2=2π﹣4．
故选：A．
【点评】此题考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．
6．（2016?福田区二模）如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，线段OQ所扫过过的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由于OP的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得OQ=1，再由走过的角度代入弧长公式求得点Q走过的路径长，入会根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，
∴四边形ONPM是矩形，
又∵点Q为MN的中点，
∴点Q为OP的中点，
则OQ=1，
点Q走过的路径长==．
∴线段OQ所扫过过的面积=×1=，
故选B．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，弧长的计算，矩形的性质，解答本题的关键是根据矩形的性质得出点Q运动轨迹的半径，要求同学们熟练掌握弧长的计算公式．
7．（2016秋?碑林区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，a＞b，以AB边为轴将矩形绕其旋转一周形成圆柱体甲，再以BC边为轴将矩形绕其旋转一周形成圆柱体乙，记两个圆柱体的体积分别为V甲、V乙，侧面积分别为S甲、S乙，则下列式子正确的是（ ）
A．V甲＞V乙，S甲=S乙 B．V甲＜V乙，S甲=S乙
C．V甲=V乙，S甲=S乙 D．V甲＞V乙，S甲＜S乙
【分析】根据圆柱体的体积=底面积×高求解，再利用圆柱体侧面积求法得出答案．
【解答】解：V甲=π?b2×a=πab2，
V乙=π?a2×b=πba2，
∵πab2＜πba2，
∴V甲＜V乙，
∵S甲=2πb?a=2πab，
S乙=2πa?b=2πab，
∴S甲=S乙，
故选：B．
【点评】此题主要考查了面动成体，关键是掌握圆柱体的体积和侧面积计算公式．
8．（2016?深圳模拟）如图，已知直线l的表达式为y=x，点A1的坐标为（1，0），以O为圆心，OA1为半径画弧，与直线l交于点C1，记长为m1；过点A1作A1B1垂直x轴，交直线l于点B1，以O为圆心，OB1为半径画弧，交x轴于C2，记的长为m2；过点B1作A2B1垂直l，交x轴于点A2，以O为圆心，OA2为半径画弧，交直线l于C3，记的长为m3…按照这样规律进行下去，mn的长为（ ）21教育网
A． B．
C． D．
【分析】先找出弧的半径的变化规律，再求出圆心角的度数，最后根据弧长的计算公式代入计算即可．
【解答】解：∵点A1坐标为（1，0），
∴OC1=1，
∴OC2=OB1=，
∴OA2=OC3=2，
∴OC4=OB2=2，
∴OC5=OA3=4，
∴弧长为mn的弧的半径=（）n﹣1，
∵直线l的表达式为y=x，
∴弧长为mn的弧的圆心角=45°，
∴mn的长==（）n﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，关键是找出弧的半径的变化规律，用到的知识点是勾股定理、弧长公式、正比例函数．
6．（2017?东莞市三模）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中弧FK1，弧K1K2，弧K2K3，弧K3K4，弧K4K5，弧K5K6，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为L1，L2，L3，L4，L5，L6，…．当AB=1时，L2016等于（ ）
A． B． C． D．．
【分析】用弧长公式，分别计算出l1，l2，l3，…的长，寻找其中的规律，确定l2016的长．
【解答】解：根据题意得：l1==，
l2==，
l3===π，
则L2016=，
故选：B．
【点评】本题考查的是弧长的计算，先用公式计算，找出规律，求出l2016的长．
二．填空题
10．（2017?天河区校级一模）正三角形的外接圆半径、边心距之比为 2 ．
【分析】连接OB，AO，延长AO交BC于D，根据⊙O是等边三角形ABC的外接圆求出∠OBC=30°，推出OB=2OD，由此即可解决问题．
【解答】解：连接OB，AO，延长AO交BC于D，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴AD⊥BC，∠OBC=∠ABC=×60°=30°，
∴BD=2OD，
∴=2．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
11．（2016?当涂县一模）已知扇形的半径为6cm，圆心角的度数为120°，则此扇形的弧长为 4π cm．
【分析】在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l=nπR÷180．
【解答】解：∵扇形的半径为6cm，圆心角的度数为120°，
∴扇形的弧长为：=4πcm；
故答案为：4π．
【点评】本题考查了弧长的计算．解答该题需熟记弧长的公式l=．
12．（2017?越秀区校级一模）已知圆锥的底面直径和母线长都是10 cm，则圆锥的面积为 75πcm2 ．（结果保留π）．
【分析】圆锥的侧面积=圆周率π×底面圆的半径×母线长，圆锥的面积=圆锥的侧面积+圆锥的底面积，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：∵圆锥的底面直径和母线长都是10 cm，
∴圆锥的侧面积=π×5×10=50πcm2，
圆锥的面积=50π+π×52=50π+25π=75πcm2．
故答案为：75πcm2．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积和底面积的计算方法，掌握圆锥的全面积：S全=S底+S侧=πr2+πrl．
13．（2016?桐城市模拟）如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为 ．
【分析】B点从开始至结束所走过的路径长度为两段弧长，一段是以点C为圆心，BC为半径，圆心角为120°，第二段是以A为圆心，AB为半径，圆心角为120°的两段弧长，依弧长公式计算即可．
【解答】解：从图中发现：B点从开始至结束所走过的路径长度为两段弧长
即第一段=，第二段=．
故B点从开始至结束所走过的路径长度=+=．
【点评】本题的关键是从图中看出B点从开始至结束所走过的路径长度为两段弧长，然后依弧长公式计算．
14．（2017?广东模拟）如图，菱形OABC中，∠A=120°，OA=1，将菱形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°，则图中阴影部分的面积是 ．
【分析】连接OB、OB′，阴影部分的面积等于扇形BOB′的面积减去两个△OCB的面积和扇形OCA′的面积．根据旋转角的度数可知：∠BOB′=90°，已知了∠A=120°，那么∠BOC=∠A′OB′=30°，可求得扇形A′OC的圆心角为30°，进而可根据各图形的面积计算公式求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接OB、OB′，过点A作AN⊥BO于点N，
菱形OABC中，∠A=120°，OA=1，
∴∠AOC=60°，∠COA′=30°，
∴AN=，
∴NO==，
∴BO=，
∴S△CBO=S△C′B′O=×AO?2CO?sin60°=，
S扇形OCA′==，
S扇形OBB′==；
∴阴影部分的面积=﹣（2×+）=．
故答案为：．
【点评】此题考查了菱形的性质、扇形的面积公式、等边三角形的性质等知识点．利用已知得出S扇形OBB′的面积以及S△CBO，S△C′B′O的面积是解题关键．
15．（2016?深圳二模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 2﹣2 ．
【分析】连结AE，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=4，再根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED=90°，接着由∠AEB=90°得到点E在以AB为直径的⊙O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=2，从而得到CE的最小值为2﹣2．www.21-cn-jy.com
【解答】解：连结AE，如图1，
∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=，
∴AB=AC=4，
∵AD为直径，
∴∠AED=90°，
∴∠AEB=90°，
∴点E在以AB为直径的⊙O上，
∵⊙O的半径为2，
∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，
在Rt△AOC中，∵OA=2，AC=4，
∴OC==2，
∴CE=OC﹣OE=2﹣2，
即线段CE长度的最小值为2﹣2．
故答案为2﹣2．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的性质；会利用勾股定理计算线段的长．解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．21·世纪*教育网
16．（2016秋?深圳校级期中）如图，是一个立体图形的三视图，由图形显示的数据得这个立体图形的体积是 24πcm2 （用含π的式子表示）．
【分析】根据三视图得到这个立体图形为圆柱，圆柱的底面直径为4cm，高为6cm，然后根据圆柱的体积公式进行计算．
【解答】解：根据题意得这个立体图形为圆柱，圆柱的底面直径为4cm，高为6cm，
所以圆柱的体积=π?（）2?6=24π（cm2）．
故答案为24πcm2．
【点评】本题考查了圆柱的计算：圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长；圆柱的体积=底面积×高．也考查了三视图．
17．（2017?广东模拟）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为 2a2 ．
【分析】△ABC是等腰直角三角形，斜边长是a，据此解求得△ABC的面积，则阴影部分的面积即可求解．
【解答】解：△ABC是等腰直角三角形，且AB=a，
则AC=BC=a，
则S△ABC=AC?BC=×?=，
中间的正方形的面积是：a2，
则阴影部分的面积是：4×+a2=2a2．
故答案是：2a2．
【点评】本题考查了正多边形的计算，正确求得三角形ABC的面积是关键．
18．（2017春?揭西县校级期中）如图，将扇形AOC围成一个圆锥的侧面．已知围成的圆锥的高为12，扇形AOC的弧长为10π，则圆锥的侧面积为 65π ．
【分析】求出圆锥的底面半径，根据勾股定理求出圆锥的母线长，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：∵扇形AOC的弧长为10π，
∴圆锥的底面半径为：=5，
∴圆锥的母线长为：=13，
则圆锥的侧面积为：×10π×13=65π，
故答案为：65π．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握弧长公式、扇形面积公式、圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
19．（2016?汕头校级自主招生）如图，直线y=x﹣与x轴、y轴分别交于点A，B两点．点M为x轴上一点，以M为圆心，2为半径作圆，⊙M恰好与直线y=x﹣相切，切点为C．设⊙M与x轴、y轴分别交于D、E、G、F，H为⊙M上一点，连结HC交x轴于点I．给出下列结论：①OA=5；②∠BAO=30°；③点M的坐标为（1，0）；④CD=2；⑤若EI：IC=3：2，则cos∠HCD=．其中正确的有 ①②③④ ．
【分析】①正确．求出点A坐标即可判断．
②正确．求出tan∠BAO的值即可判断．
③正确．在Rt△AMC中，根据30度角性质求出AM，即可解决问题．
④正确．只要证明△MCD是等边三角形即可．
⑤错误．由△EIH∽△CID，得到==，求出EH，再根据cos∠HCD=cos∠HED==即可判断．
【解答】解：如图，连接CD、HD、EH．
∵直线y=x﹣与x轴、y轴分别交于点A，B两点，
令x=0，则y=﹣，令y=0则x=5，
∴A（5，0），B（0，﹣），
∴OA=5，OB=故①正确，
∵tan∠BAO==，
∴∠BAO=30°．故②正确
∵⊙M与AB相切于点C，
∴CM⊥AC，
∴∠ACM=90°，∵∠CAM=30°，
∴AM=2CM=4，
∴OM=OA﹣AM=1，
∴点M坐标（1，0）故③正确，
∵∠AMC=90°﹣∠CAM=60°，MC=DM，
∴△MCD是等边三角形，
∴CD=CM=2，故④正确，
∵∠HEI=∠DCI，∠EIH=∠CID，
∴△EIH∽△CID，
∴==，
∴=，
∴EH=3，
∵ED是直径，
∴∠EHD=90°，
∴cos∠HCD=cos∠HED==，
故⑤错误．
故答案为①②③④．
【点评】本题考查圆综合题、一次函数、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．2-1-c-n-j-y
三．解答题
20．（2017?广东模拟）如图，扇形OAB的圆心角∠AOB=120°，半径OA=6cm．
（1）请你用尺规作图的方法作出扇形的对称轴（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求弧AB的长及扇形OAB的面积．
【分析】（1）连接AB，作弦AB的垂直平分线即可作出扇形的对称轴；
（2）利用弧长的计算公式和扇形的面积公式可得结果．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）的长度：=4π（cm）；
S扇形==12π（cm2）．
【点评】本题主要考查与扇形有关的计算，熟记弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）和扇形的面积公式S扇形=是解答此题的关键．
21．（2016秋?金平区校级期末）如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，求这个圆锥的侧面积和表面积．【来源：21cnj*y.co*m】
【分析】应先利用勾股定理求得圆锥的母线长，圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解；
圆锥的表面积=圆锥的侧面积+圆锥的底面积=圆锥的侧面积+π×底面半径2，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，
∴圆锥的母线长为10cm，
∴S侧=π×6×10=60πcm2；
∵圆锥的底面积=π×62=36π，
∴S表=60π+36π=96πcm2．
【点评】此题考查圆锥的侧面积和全面积的计算公式；用到的知识点为：圆锥的底面半径，高，母线长组成以母线长为斜边的直角三角形．
22．（2017?潮阳区模拟）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连EC，CD
（1）试猜想直线AB于⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC2=BD?BE；
（3）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求△OAB的面积．
【分析】（1）连接OC，根据OA=OB，CA=CB，可以证明OC⊥AB，利用切线的判定定理，经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，得到AB是⊙O的切线；
（2）根据ED是直径，直径所对的圆周角是直角，以及圆的切线垂直于过切点的半径，利用等量代换得到∠E=∠BCD，又∠B公共，可以证明△BCD∽△BEC，然后利用相似三角形的性质，对应线段的比相等得到BC2=BD?BE．
（3）根据△BCD∽△BEC，得BD与BC的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出OA的长．在直角三角形AOC中，由勾股定理求得AC边的长度；最后由三角形的面积公式即可求得△OAB的面积．
【解答】（1）解：直线AB是⊙O的切线．理由如下：
如图，连接OC．
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB．
又∵OC是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）证明一：∵ED是⊙O的直径，
∴∠ECD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠E+∠EDC=90°（直角三角形的两个锐角互余）．
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E．
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC．
∴=，
∴BC2=BD?BE；
证明二：由（1）知，BC是⊙O的切线．
∵BDE是⊙O的割线，
∴BC2=BD?BE；
（3）∵tan∠CED=，
∴=．
由（2）知，△BCD∽△BEC，则==，
∴BC=2BD．
设BD=x，BC=2x．又BC2=BD?BE，∴（2x）2=x?（x+6），
解得x1=0，x2=2，
∵BD=x＞0，
∴BD=2，
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．
在Rt△OAC中，OA=5，OC=3，则根据勾股定理求得AC=4．
∴AB=2AC=8，
∴S△OAB=AB?OC=×8×3=12，即△OAB的面积是12．
【点评】本题考查了圆的综合题．其中涉及到的知识点有：
①切线的判定，例如：第（1）题，是利用等腰三角形底边上的中线也是底边上的高，得到OC⊥AB，证明AB是⊙O的切线；21*cnjy*com
②相似三角形的判定与性质．例如：第（2）题，是根据题意证明两个三角形相似，利用相似三角形的性质，得到线段BC，BD和BE的数量关系；【版权所有：21教育】
③三角形的面积公式；
④等腰三角形的性质．
23．（2017?广东模拟）如图，AB是⊙O的直径，点P在AB上，C，D是圆上的两点，OE⊥PD，垂足为E，若∠DPA=∠CPB，AB=12，DE=4．
（1）求OE的长；
（2）求证：PD+PC=2DE；
（3）若PC=3，求DP的长和sin∠CPB的值．
【分析】（1）首先连接OD，由OE⊥PD，AB=12，DE=4，直接利用垂径定理求解即可求得答案；
（2）首先延长CP交⊙O于点F，过点O作OG⊥PF于点G，连接OF，易证得Rt△OEP≌Rt△OGP，Rt△OED≌Rt△OGD，即可得PE=PG，DE=FG，继而证得结论；
（3）由PD+PC=2DE，可求得PD的长，然后由勾股定理求得OP的长，继而求得答案．
【解答】（1）解：连接OD，
∵AB=12，
∴OD=6，
∵OE⊥PD，DE=4，
∴OE==2；
（2）证明：延长CP交⊙O于点F，过点O作OG⊥PF于点G，连接OF，
∴FG=CG，
∵∠DPA=∠CPB=∠FPA，
∴OE=OG，
在Rt△OEP和Rt△OGP中，
，
∴Rt△OEP≌Rt△OGP（HL），
同理：Rt△OED≌Rt△OGF，
∴PE=PG，DE=FG，
∴PD=PF，
∴PD+PC=PF+PC=FC=2FG=2DE；
（3）∵PC=3，PD+PC=2DE，
∴PD+3=8，
∴PD=5，
∴PE=PD﹣DE=5﹣4=，
∴OP==，
∴sin∠CPB=sin∠EPD===．
【点评】此题属于圆的综合题．考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数的知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．21世纪教育网版权所有
24．（2017?东莞市三模）如图，已知AB是⊙O的切线，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）求证：△CFP∽△CPD；
（3）如果CF=1，CP=2，sinA=，求O到DC的距离．
【分析】（1）连接OD，证OD⊥DE即可．易证∠ADB=90°，又点E为AB的中点，得DE=EB．根据等腰三角形性质可证∠ODE=∠OBE=90°，得证；
（2）可证∠A=∠DBC，所以要求BC需先求DC．结合已知条件，证明△PDC与△FPC相似．
（3）根据△PCF∽△DCP，得出CD的长度，进而求出O到DC的距离即可．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵BC为直径，
∴△BDC为直角三角形．
在Rt△ADB中，E为AB中点，
∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB．
又∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
∵∠OBD+∠ABD=90°，∴∠ODB+∠EDB=90°．
∴ED是⊙O的切线．
（2）证明：∵PF⊥BC，
∴∠FPC=90°﹣∠BCP（直角三角形的两个锐角互余）．
∵∠PDC=90°﹣∠PDB（直径所对的圆周角是直角），∠PDB=∠BCP（同弧所对的圆周角相等），
∴∠FPC=∠PDC（等量代换）．
又∵∠PCF是公共角，
∴△PCF∽△DCP．
（3）解：过点O作OM⊥CD于点M，
∵△PCF∽△DCP，
∴PC2=CF?CD（相似三角形的对应边成比例）．
∵CF=1，CP=2，
∴CD=4．
可知sin∠DBC=sinA=sin∠MOC=，
∴=，即=，
∴直径BC=5，
∴=，
∴MC=2，
∴MO=，
∴O到DC的距离为．
【点评】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识点，综合性较强，根据相似三角形的性质得出CD的长度是解题关键．
25．（2017?和平县校级一模）如图1，OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD且⊙O于点D，连结AD交DC于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）如图2，若将图1中的半径OB所在直线向上平移，交OA于F，交⊙O于B′，其他条件不变，求证：∠C=2∠A；
（3）如图3，在（2）的条件下，若CD=13，sinA=，求DE的长．
【分析】（1）连接OD，由OA⊥OB得出∠A+∠AEO=90°，由切线的性质得出∠CDE+∠ODE=90°，由∠A=∠ODE，证出∠AEO=∠CDE，由对顶角相等得出∠CDE=∠CED，即可得出CD=CE；
（2）同（1）可证：CD=CE，作CM⊥AD于M，由等腰三角形的三线合一性质得出∠ECM=∠DCM=∠DCE，∠CME=90°，由角的互余关系和对顶角相等得出∠A=∠ECM，即可得出∠DCE=2∠A；
（3）连接OD，作CM⊥AD于M，利用CD=CE，∠DCE=2∠A，由三角函数求出DM，得出DE的长即可．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵OA⊥OB，
∴∠AOE=90°，
∴∠A+∠AEO=90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC=90°，即∠CDE+∠ODE=90°，
又∵OA=OD，
∴∠A=∠ODE，
∴∠AEO=∠CDE，
∵∠CED=∠AEO，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE；
（2）证明：连接OD，作CM⊥AD于M，如图2所示：
同（1）可证：CD=CE，
则∠ECM=∠DCM=∠DCE，DE=2DM，∠CME=90°，
∴∠ECM+∠CEM=90°，
∵∠A+∠AEF=90°，∠AEF=∠CEM，
∴∠A=∠ECM，
∴∠A=∠DCE，即∠DCE=2∠A；
（3）解：连接OD，作CM⊥AD于M，如图3所示：
由（1）（2）可知：CD=CE，∠DCE=2∠A，
∴DM=CD?sinA=13×=5，
∴DE=2DM=10．
【点评】本题考查了圆的综合、切线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线求出DM的长是解题关键．www-2-1-cnjy-com
