《三角形的内角和定理》同步练习
第1课时三角形的内角和定理
1.如图所示,BC⊥AD,垂足是C,∠B=∠D,则∠AED与∠BED的
关系是( )
A.∠AED>∠BED
B.∠AED<∠BED；
C.∠AED=∠BED
D.无法确定
2.关于三角形内角的叙述错误的是( )
A.三角形三个内角的和是180°； B.三角形两个内角的和一定大于60°
C.三角形中至少有一个角不小于60°； D.一个三角形中最大的角所对的边最长
3.下列叙述正确的是 ( )
A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和；
B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角；
C.三角形中至少有两个锐角；
D.三角形中至少有一个锐角.
4.△ABC中,∠A+∠B=120°,∠C=∠A,则△ABC是( )
A.钝角三角形 B.等腰直角三角形； C.直角三角形 D.等边角形
5.在△ABC中,∠A-∠B=35°,∠C=55°,则∠B等于( )
A.50° B.55° C.45° D.40°
6.三角形中最大的内角一定是( )
A.钝角 B.直角； C.大于60°的角 D.大于等于60°的角
1.直角三角形的两个锐角___________。
2.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,则△ABC是________三角形。
3.在△ABC中,∠A=∠B=∠C,则∠C=_______。
4.在△ABC中,∠A+∠B=120°,∠A-∠B+∠C=120°,则∠A=_______,∠B=______。
5.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,则∠B=∠________,∠C=∠________。
6.在一个三角形中,最多有______个钝角,至少有______个锐角。
1.如图,已知:∠A=∠C。
求证:∠ADB=∠CEB。
2.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=65°,AE⊥BC于E,AD平分∠BAC,求∠DAE的度数。
3.如图,在正方形ABCD中,已知∠AEF=30°,∠BCF=28°,求∠EFC的度数。
4、如图,一块梯形玻璃的下底及两腰的一部分被摔碎,量得∠A=120°,∠D=105°,你能否求出两腰的夹角∠P的度数。
5、小明在证明“三角形内角和等于180°”时用了如图所示的辅助线的方法,即延长BC到D,延长AC到E,过点C作CF∥AB,你能接着他的辅助线的做法证明出来吗?
6、请你利用“三角形内角和定理”证明“四边形的内角和等于360°”.四边形ABCD如图所示。
7、我们已经证明了“三角形的内角等于180°”,易证“四边形的内角和等于360°=2×180°五边形的内角和。等于540°=3×180°……”试猜想一下十边形的内角等于多少度?n边形的内角和等于多少度?
答案与解析
1.C 2.B 3.C 4.D 5.C 6.D
1.互余 2.直角 3.150° 4.90°,30° 5.∠DAC;∠BAD 6.1;2
1.∵∠A+∠B+∠ADB=∠C+∠B+∠CEB
又∵∠A=∠C,∠B=∠B
∴∠ADB=∠CEB2.∵∠B+∠C+∠BAC=180°
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-66°=84°
又∵AD平分∠BAC
∴∠DAC=∠BAC=×84°=42°
∵AE⊥BC
∴∠EAC=90°-∠C=90°-66°=24°
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=42°-24°=18°
3.∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=90°
∴∠AFE=90°-∠AEF=90°-30°=60°
∠BFC=90°-∠BCF=90°-28°=62°
∴∠EFC=180°-∠AFE-∠BFC=180°-60°-62°=58°
4、∵∠PAD+∠BAD=180° ∠PDA+∠ADC=180°
∴∠PAD=180°-∠BAD=180°-120°=60°
∠PDA=180°-∠ADC=180°-105°=75°
又∵∠P+∠PAD+∠PDA=180°
∴∠P=180°-∠PAD-∠PDA=180°-60°-75°=45°
5、∵AB∥CF
∴∠A=∠ACF ∠B=∠FCD
又∵∠ACB=∠DCE
∴∠A+∠B+∠C=∠ACF+∠FCD+∠DCE=180°
6、连接AC ∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°
∠D+∠DAC+∠ACD=180°
∴(∠B+∠BAC+∠ACB)+(∠D+∠DAC+∠ACD)=180°+180°
∴∠B+∠D+(∠BAC+∠DAC)+(∠ACB+∠ACD)=360°
∴∠B+∠C+∠BAD+∠BCD=360°
即四边形ABCD的内角和等于360°.
7、十边形的内角和:(10-2)×180°=1440°
n边形的内角和:(n-2)×180°。
《三角形的内角和定理》同步练习
第2课时 三角形的外角
1. 三角形的外角指的是 所形成的角. 并自己画一个三角形的外角。
2. 三角形的外角的性质：(1)三角形的一个外角等于 ；
(2) 三角形的一个外角大于 ；，并用符号语言表示出来。
3. 如图1，△ABC中，点D在AC上，点E在BD上。
（1）∠ADE是△______和△_______的外角，∠CDE是△_______的外角；
（2）若∠A=60°，∠ABD=20°，∠DCE=30°，则∠BDC=_______，
∠BEC=______。
4.根据图2中已知角的度数，求∠α的度数.
图2（a）中的∠α=_______，图2（b）中的∠α=_______，图2（c）中的∠α=_______。
1．三角形的外角和是指三角形所有外角的和。( )
2．三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ ）
3．三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ）
4．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（ ）
5．三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ）
6．三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（ ）
1.如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°， ∠ BAC=70°.求：⑴∠B的度数；⑵ ∠C的度数。
2. 判断∠1与∠3的大小，并说明理由。
3. 如图，∠α，∠β，∠γ是△ABC的3个外角，随着△ABC的形状改变，∠α，∠β，
∠γ的大小也会发生改变，这3个外角中，会不会出现锐角？如果会，最多会有几个？为什么？
4..如图，类似于三角形，我们称∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4为四边形的外角和，已知四边形的内角和为360o，你用今天所学的方法计算四边形的外角和？
答案与解析
1.三角形的内角的一条边与另一条边的反向延长线
2.和它不相邻的两个内角的和 任何一个和它不相邻的内角
3.BCD EDC ABD 80° 110°
4.70° 60° 35°
1.错 2.对 3.错 4.对 5. 错 6.对
1.
∵∠B=∠BAD，∠ADC=80°
∴∠B=∠BAD =40°
∵∠ BAC=70°
∴∠DAC=30°
∴∠C=180°-∠ADC-∠DAC=70°
2. ∵∠1+∠BAC=∠2，
∠2+∠ADE=∠3
∴∠1+∠BAC+∠ADE=∠3
∴∠1小于∠3
3. 会 最多会是一个，因为三角形的内角中最多有一个钝角。
4. ∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4=360°
《三角形的内角和定理》
第1课时·三角形内角和定理的证明
本节是北师大版教材八年级上册第七章《平行线的证明》第五节的内容。通过上一节课的学习，学生对于平行线的判定定理和性质定理以及与平行线相关的简单几何证明是比较熟悉的，他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力。本节课旨在利用平行线的相关知识来证明三角形的内角和定理以及灵活运用这个定理解决相关问题，使学生突破原有的形象思维限制，引入几何证明中的重要方法——添加辅助线法，从而为下一节三角形外角的学习作好铺垫，同时也为以后继续学习几何证明打下良好的基础。因此，本节课的内容在教材编排上起着承上启下的重要作用。
【知识与能力目标】
掌握三角形内角和定理的证明，灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。
【过程与方法目标】
经历探索与证明的过程，培养学生探索、归纳的能力，一题多解的能力、转化知识并解决问题的能力，发展学生的推理能力。
【情感态度价值观目标】
初步体会思维的多向性，引导学生个性发展，使学生体验到解决问题的成就感，体会“合作双赢”的理念。
【教学重点】
探索三角形内角和定理的证明过程及其简单的应用。
【教学难点】
在三角形内角和定理的证明过程中正确添加辅助线。
教师准备课件，学生准备三角形纸片。
本节课的设计分为五个环节：情境引入、探索求知——合作学习、证明定理——例题解析、活用知识——反馈练习、拓展延伸——课堂小结、布置作业。
第一环节：情境引入、探索求知
开场白：同学们，今天我们来学习《三角形的内角和定理》。或许有同学会说：“老师，老掉牙了，地球人都知道！”没错，今天的内容确实很简单。但如果大家能在特别简单的知识中挖掘出更有价值的知识，那么你们将是最棒的！下面我们一起来进入今天的学习中来。
活动内容：
旧知回顾、引入新课：
问题1：你知道三角形的三个内角之间存在怎样的关系吗？（由于学生在以前学过这个知识点，所以很轻松地就可以答出。）
问题2：你还记得这个结论的探索过程吗?
设计意图：爱因斯坦说过：“问题的提出往往比解答问题更重要”，上课开始，我通过提出问题，激发学生的学习热情。
教学效果：学生能够很快进入学习状态，从心理上感知这节课的内容很简单，排除学生对几何证明的胆怯情绪。
2、动手操作、初步感知：（让学生分小组讨论：有什么办法可以验证得出这样的结论。学生会提出度量、撕拼或折叠的方法，然后让每个学生用准备好的三角形卡片将它的内角撕下，试着拼折看。通过小组合作交流最后师生共同归纳总结拼图方法。）
实验1：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。（指名同学上台展演，其他同学互相展示；对于不同拼法要给于鼓励和肯定。等撕拼展示的同学完成后，还可让其他同学对照模型图抽象出几何图形，培养学生的理性思维意识和细心观察、善于发现问题之关键的能力。）
撕拼验证三角形的内角和为180°的基本方法如下所示：
由以上拼法可以让学生抽象出三种几何图形，使学生由形象思维过渡到理性思维（实际上是三种证法），为第二环节定理的证明做好充分准备：
实验2：将三角形的三个角折拼成一个平角。（小组交流后再展示，指定一位同学带领大家一块儿完成折叠过程。老师故意折错，使三个顶点不重合在一起，旨在让学生理解折叠的实质在于折痕与底边是平行的，进而为添加辅助线——作平行线埋下伏笔。）
具体方法：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果。（试用自己的语言说明这一结论的证明思路）
（1） （2） （3） （4）
设计意图：对比度量、撕纸、拼折等探索过程，让学生体会思维实验和符号化的理性作用。将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难。但撕拼图和折拼示意图中的平行线为学生搭建了一个台阶，使学生想到把平行线的判定定理逆变成性质定理——作平行线构造同位角、内错角、同旁内角或平角来证明。
教学效果：说理过程是学生所熟悉的，因此，学生能比较熟练地说出用度量、撕纸、折叠的方法可以验证三角形内角和定理的原因——构造一个平角，为后面添加辅助线证明定理做好铺垫。
第二环节：合作学习，证明定理
活动内容：教是为学服务的，教的最终目的是为了不教，教给学生学习方法比单纯教给学生证明更有效。教师设问：从刚才的活动过程中，你能说出证明：“三角形内角和等于180°”这个结论的正确方法吗？（1）、把你的想法与同伴交流。（2）、各小组派代表展示说理方法。（3）、请同学们让小明的想法变成现实。
探究：刚才的撕纸、折纸都是把三角形的三个内角移到一起，如果不实际移动∠A和∠B，你有什么方法可达到同样的效果？根据前面的公理和定理，你能用自己的语言比较简捷的写出这一证明过程吗？与同伴交流，比比哪一个小组的方法好？
已知：△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
（在证明中，当原来的条件不够时，可添加辅助线，从而构造新图形，形成新关系，找到已知与未知桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况，这是解决问题常用的方法之一，辅助线通常画成虚线。）
方法总结：
方法1：（作平行线，构造内错角、平角）
过A点作DE∥BC
∵DE∥BC
∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C
（两直线平行，内错角相等）
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°
∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)
方法2：（作平行线，构造内错角、同位角、平角）
作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA
∵CE∥BA
∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）
∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）
∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)
3、课本“想一想”中小明的想法已经变为现实，由此你受到什么启发?你有新的证法吗?
添加辅助线思路：构造平角或平行线 （学生讲解或老师讲解，了解即可）
方法3：（作平行线，构造内错角、同旁内角）
过点A作AD∥BC（如图）
∵AD∥BC，
∴∠1=∠C，∠DAB+∠ABC=180°
∴∠BAC+∠B+∠C=∠DAB+∠ABC=180°
方法4：（作平行线，构造同位角、内错角、平角）
如图，在BC边上任取一点D，过D作DE∥AB
交AC于E，作DF∥AC交AB于F
∵DE∥AB
∴∠1=∠B，∠2=∠4
∵DF∥AC
∴∠3=∠C，∠A=∠4
∴∠2=∠A
又∵∠1+∠2+∠3=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°
方法5：（作平行线，构造内错角、同旁内角）
如图，过点A任作一条射线AD，
再作BE∥AD，CF∥AD
∵BE∥AD∥CF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠EBC+∠BCF=180°
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠EBC+∠BCF=180°
设计意图：通过小组讨论，让学生各抒已见，畅所欲言，鼓励学生倾听他人的方法，从中获益；有意识地培养学生的说理能力、逻辑推理能力、语言表达能力以及一题多思、一题多解的创新精神，让学生体会数学辅助线的桥梁作用，在潜移默化中渗透初中阶段一个重要数学思想―――转化思想，为学好初中数学打下坚实的基础。
教学效果：添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的。
第三环节：例题解析、活用知识
活动内容：
例题1：如图，在△ABC中，∠B=38°,∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数？
A
B D
分析：要求∠ADB的度数，根据三角形内角和定理可知道∠B和∠BAD的度数，∠BAD的度数可以由∠BAC的度数得到，而∠BAC又可以由△ABC的内角和来得到。
设计意图：通过例题的解析，让学生体会分析问题的基本方法，渗透初中阶段另一数学思想―――数形结合思想，灵活运用三角形内角和定理来解决问题，达到活用知识的目的。
教学效果：学生对于三角形内角和定理的掌握是非常熟练，因此，学生能较好地解决与三角形内角和定理相关的问题，但书写过程可能会不尽人意。
第四环节：反馈练习、拓展延伸
活动内容：
（1）、△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？
（2）、∠A=50°，∠B=∠C，则△ABC中∠B=？
（3）、三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角。
（4）、任何一个三角形中，至少有____个锐角；至多有____个锐角。
（5）、三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个角各为多少度？
（6）、已知：△ABC中，∠C=∠B=2∠A。
(a)、求∠B的度数；
(b)、若BD是AC边上的高，求∠DBC的度数？
设计意图：通过习题，巩固三角形内角和知识，培养学生思维的广阔性；通过讨论一个三角形中最多有几个直角、钝角，至少有几个锐角，以及知道角度之比求角的度和需要学生数形结合解决第（6）小题等，为学生提供充分从事数学活动的时间、空间，让学生在自主探索、合作交流的氛围中，有机会分享学友的想法，培养学生之间良好的人际关系，拓展了三角形内角和是180°的知识外延。教师能全面了解学生对三角形内角和定理内容是否清楚，能否灵活运用三角形内角和定理，以便教师能及时地进行查缺补漏。
教学效果：学生对于三角形内角和定理的掌握是非常熟练，因此，学生能较好地解决与三角形内角和定理相关的问题，可能会在书写过程方面需要老师指导或提醒。
第五环节：课堂小结、布置作业
（一）、课堂小结：采用先让学生归纳补充，然后教师再补充的方式进行：⑴这节课我们学了哪些知识？⑵你有什么收获？
1、证明三角形内角和定理有哪几种方法？（度量、撕拼、折叠、证明）
2、辅助线的作法技巧：添加辅助线的实质是通过平行线来移动角——构造平行线间的内错角、同位角、同旁内角，构造平角。
3、三角形内角和定理的简单应用。
《三角形的内角和定理》
第2课时 · 三角形内角和定理的证明
本节是北师大版教材八年级上册第七章《平行线的证明》第五节的内容。通过上一节课的学习，学生对于平行线的判定定理和性质定理以及与平行线相关的简单几何证明是比较熟悉的，他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力。本节课旨在利用平行线的相关知识来证明三角形的内角和定理以及灵活运用这个定理解决相关问题，使学生突破原有的形象思维限制，引入几何证明中的重要方法——添加辅助线法，从而为下一节三角形外角的学习作好铺垫，同时也为以后继续学习几何证明打下良好的基础。因此，本节课的内容在教材编排上起着承上启下的重要作用。
【知识与能力目标】
1.掌握三角形外角的两条性质；
2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧．
【过程与方法目标】
经历探索与证明的过程，培养学生探索、归纳的能力，一题多解的能力、转化知识并解决问题的能力，发展学生的推理能力。
【情感态度价值观目标】
通过在数学活动中进行教学使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣。
【教学重点】
1.了解并掌握三角形的外角的定义；(重点)
2．掌握三角形内角和定理的两个推论，利用这两个推论进行简单的证明和计算．(难点)
【教学难点】
掌握三角形内角和定理的两个推论，利用这两个推论进行简单的证明和计算．(难点)
教师准备课件，学生预习课本内容。
第一环节：情境引入
活动内容：
在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．
活动目的：
引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣。
注意事项：
教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角形的外角的角度进行思考。
第二环节：探索新知
活动内容：
1． 三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角， 结合图形指明外角的特征有三：
(1)顶点在三角形的一个顶点上。
(2)一条边是三角形的一边。
(3)另一条边是三角形某条边的延长线。
2．两个推论及其应用
由学生探讨三角形外角的性质：
问题1：如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？
问题2：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？
?
由学生归纳得出：
推论1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
例1、已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角。
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°
分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证。
证明：(略)．
例2、已知：D是AB上一点,E是AC上一点，BE、CD相交于F,∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°。求：(1)∠BDC度数；(2)∠BFD度数。
解：(略)。
活动目的：
通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考。
第三环节：课堂练习
活动内容：
1. 已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．求证：AD∥BC
分析：要证明AD∥BC,只需证明“同位角相等”,即需证明∠DAE=∠B.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠B=∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAE=∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
想一想，还有没有其他的证明方法呢？
这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠C=∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAC=∠C（等量代换）
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠C=∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAC=∠EAC
∴∠DAC=∠C（等量代换）
∵∠B+∠BAC+∠C=180°
∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°
即：∠B+∠DAB=180°
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
2. 已知：如图，在三角形ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1>∠2．
证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知）
∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵∠ACB是△CDE的一个外角（已知）
∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠1>∠2（不等式的性质）
3. 如图，求证：（1）∠BDC>∠A.
（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.
如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？
［分析］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论.
证法一：（1）连接AD，并延长AD，如图，则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角。
∴∠1>∠3
∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）
即：∠BDC>∠BAC
（2）连结AD，并延长AD，如图。
则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角。
∴∠1=∠3+∠B
∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC
证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图.
则∠BDC是△CDE的一个外角。
∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）
∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠BDC>∠A（不等式的性质）
（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.
∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵∠DEC是△ABE的一个外角
∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代换）
活动目的：
让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习．
注意事项：
学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明第2小题中，要引导学生找到一个过渡角∠ACB，由∠1>∠ACB，∠ACB>∠2，再由不等关系的传递性得出∠1>∠2。
第四环节：课堂反思与小结
活动内容：
由学生自行归纳本节课所学知识：
推论1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
课件12张PPT。动手操作 初步感知 实验1：取一张三角形纸片，把它的三个角剪开，拼在一起，看看得到什么？撕拼验证：三角形的三个内角和是180°图1图2 图3ABCAABBCC实验2：折叠验证三角形的三个内角和是180°先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果。
（1） （2） （3） （4）
试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，如果只剪下一个角呢？三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB∵ CE∥AB
∴ ∠1=∠A(两直线平行,内错角相等)∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等)又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义)∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换) 你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°已知：如图,△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：过A点作DE∥BC
∵DE∥BC（已作）
∴∠2=∠B，∠1=∠C
（两直线平行，内错角相等）
∵∠1+∠2+∠3=180° (1平角=180°)
∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)
D三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°证明：
过顶点A作BC的平行线AD
∴ ∠C=∠1(两直线平行,内错角相等)
∠1+∠BAC+∠B=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴ ∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换)三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°如图，在BC边上任取一点D，过D作DE∥AB
交AC于E，作DF∥AC交AB于F你能解释这种证法吗？和同伴交流一下。三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°如图，过点A任作一条射线AD，再作BE∥AD，CF∥AD 你能解释这种证法吗？和同伴交流一下。例题解析 活用知识例题1：
如图，在△ABC中，∠B=38°,∠C=62°，AD是△ABC的角平分线
求∠ADB的度数？
练习反馈 拓展延伸1.△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？
2.∠A=50°，∠B=∠C，则△ABC中∠B=？
3.三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角。
4.任何一个三角形中，至少有____个锐角；至多有____个锐角。
5.三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个角各为多少度？
6.已知：△ABC中，∠C=∠B=2∠A。
(a) 求∠B的度数；
(b) 若BD是AC边上的高，求∠DBC的度数？说说你的 收获 1.证明三角形内角和定理有哪几种方法？（度量、撕拼、折叠、证明）
2.辅助线的作法技巧：添加辅助线的实质是通过平行线来移动角——构造平行线间的内错角、同位角、同旁内角，构造平角。
3.三角形内角和定理的简单应用。课件20张PPT。三角形内角和定理三角形三个内角和等于1800
△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:
∠A=1800 –(∠B+∠C)
∠B=1800 –(∠A+∠C)
∠C=1800 –(∠A+∠B)
∠A+∠B=1800-∠C
∠B+∠C=1800-∠A
∠A+∠C=1800-∠B这里的结论,以后可以直接运用。 回顾思考三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角。如图，∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其它角有什么关系?∠1+∠4=1800
∠1>∠2，∠1>∠3
∠1=∠2+∠3证明 ∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理)
∠1+∠4=1800(平角的意义)
∴∠1= ∠2+∠3(等量代换)
∴∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分)能证明你的结论吗?三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。三角形内角和定理的推论:
推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。推论：由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论。推论可以当作定理使用。 例1 已知: 如图，在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C 。
求证: AD∥BC。证明: ∵∠EAC=∠B+∠C
∠B=∠C
∴∠DAC=∠C
∴ AD∥BC∵ AD平分∠EAC
∴∠DAC= ∠EAC还有其它方法吗？∴∠C = ∠EAC例2 已知: 如图,P 是△ABC内一点,链接PB，PC 。
求证: ∠ BPC ＞ ∠A。你还有其他的
证明方法吗？例3 已知：如图,在△ABC中, ∠1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE。
求证: ∠1>∠2。证明：∵ ∠1>∠3
∠3>∠2
∴ ∠1>∠21.知：如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°
求：∠B和∠ACB的大小。解：∵ ∠DCA= ∠A+∠B
∠DCA=100°,∠A=45°
∴ ∠B=100°-45°=55°
又∵∠DCA+∠BCA=180°
∴ ∠ACB=180°-1000=80°100°45°练一练已知：如图所示。
求证：(1)∠BDC>∠A；
(2)∠BDC=∠A+∠B+∠C。(1) ∵∠BDC>∠DEC
∴∠DEC>∠A
∴∠BDC>∠A证明：延长BD交AC于点E。(2) ∴∠BDC =∠C+∠CED
∴∠DEC=∠A+∠B
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C变式1: 如果点D在线段BC的另一侧,结论会怎样呢?∠BDC=360°-(∠A+∠B+∠C)变式2
如图：在△ABC中，P是∠ B 、∠ C角平分线的交点，∠BPC与∠A有怎样的大小关系？（两内角角平分线）变式3 如图：在△ABC中，P是∠ B 、∠ C外角的角平分线的交点， ∠BPC与∠A有怎样的大小关系？ （两外角角平分线）变式4 如图：在△ABC中，P是∠ B的角平分线 和∠ C外角的角平分线的交点，∠BPC与∠A有怎样的大小关系？ （一内角角平分线和一外角角平分线）1.两内角平分线3.一内一外角平分线2.两外角平分线我们知道：“在三角形的每个顶点处各取一个外角，它们的和就是这个
三角形的外角和”。
（1）三角形的外角和是多少度？
（2）如果将三角形三条边都向两边延长，并且在每条线上任取两点连接起来，
那么在原三角形外又得到三个新三角形，如图所示，
猜想：∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的和是多少？
请用（1）的结论证明你的猜想。∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=3600如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点。 1.当点P移动到AB、CD之间时，如图（1），这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系？
证明你的结论。 2.当点P移动到AB的外侧时，如图（2），是否仍有（1）的结论？如果不是，
请写出你的猜想（不要求证明）。 3.当点P移动到如图（3）的位置时，∠P与∠A、∠C又有怎样的关系？证明你的结论 。
4.如图4,证明 ∠P、∠A、∠C、 ∠AOC之间的关系。3.已知：国旗上的正五角星形如图所示。
求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。解：∵∠1=∠B+∠D∠2=∠C+∠E
又∵∠A+∠1+∠2=180
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？思维拓展三角形内角和定理 ：
推论1：
推论2：
推论3：
三角形三个内角的和等于1800三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角直角三角形的两锐角互余三角形的外角和为360°N边形的外角和为360°三角形外角和定理：三角形外角和定理推论：小结
