第10课 参数方程的概念
一、学习要求
1.了解参数方程的概念；
2.了解参数方程的意义。
二、先学后讲
1. 探究：
一架飞机在离灾区地面500高处以100的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机？
在经过的航线与垂直于地平
面的平面上建立直角坐标系，其
中地平面与该平面的交线为轴，
经过物资投出机舱点为轴。
设物资投出秒后的位置为
点。由于水平位移量与高度是两种不同的运动得到的，因此，直接建立，所满足的关系式并不易。
实际上，物资出船舱后，它的运动是由：①沿水平方向匀速直线运动；②沿垂直（向下）方向作自由落体运动，这两种运动的合成。
于是，物资出船舱后的时刻，有：
. ①
在的取值范围内，给定的一个值，由方程组①可以唯一确定的值，即当确定时，点的位置就唯一确定了。
2.参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标，都是某个变数的函数，
②
并且对于的每一个允许值，由方程组②所确定的点都在这条曲线上，那么方程组②就叫做这条曲线的参数方程，联系变数，的变数叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标关系的方程叫做普通方程。
【要点说明】
（1）参数方程是曲线上点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来。参数方程实际上是一个方程组，其中，分别为曲线上点的横坐标和纵坐标。
（2）参数方程中的参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显的意义；同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程的形式也不一样；在实际部量中要确定参数的取值范围。
（3）研究运动问题时，常选时间为参数。
三、问题探究
■合作探究
例1．已知曲线的参数方程是.（为参数）
（1）判断点，与曲线的位置关系；
（2）已知点在曲线上，求的值。
【要点说明】
① 判断点与曲线的位置关系，可转化为判断点的坐标是否满足曲线的方程。对于参数方程，判断点是否在曲线上，等价于是否存在参数的一个值，使点的坐标同时是参数方程中两个方程的解。
② 已知点在曲线上，则点的坐标必定满足曲线的方程，把点的坐标代入已知的方程（组），从而列出关于所求未知量的方程（组），通过解方程（组）来求出所求的未知数。
解：（1）∵点的坐标为，
∴，解得， ∴点在曲线上。
∵点的坐标为，
∴，方程组无解， ∴点不在曲线上。
（2）∵点在曲线上，
∴，解得，， ∴。
■自主探究
1．已知曲线的参数方程是（为参数，），点在曲线上.
（1）求的值；
（2）若点也在曲线上，求，两点间的距离。
解：（1）∵点在曲线上，
∴，解得 ，∴。
（2）由（1）可得，曲线的参数方程，
∵点在曲线上，
∴，解得，， ∴，
∴，两点间的距离为：.
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1.动点作匀速直线运动，它在轴和轴方向的分速度分别是3和4，直角坐标系的长度单位产1，点的起始位置在点处，求点的轨迹的参数方程。
解：设动点，运动时间为，则，，
∴点的轨迹的参数方程为：
.
第11课 圆的参数方程（1）
一、学习要求
1.掌握圆的参数方程；了解圆的参数方程中的参数的意义；
2.能根据圆的参数方程解决一些简单问题。
二、先学后讲
1.圆的参数方程
（1）圆心在原点，半径为的圆的参数方程:
（为参数）.
其中参数的几何意义是：绕点逆时针旋
转到的位置时，转过的角度。
它的普通方程是：.
（2）圆心在点，半径为的圆的参数方程:
（为参数）.
它的普通方程是：.
【要点说明】
（1）研究旋转问题，常选取旋转角为参数；
（2）把圆的参数方程转化为普通方程，通常利用进行消参；
（3）在利用圆的参数方程（为参数）研究圆的问题时，圆上的点的坐标可设为。
三、问题探究
■合作探究
例1．如图，圆的半径为2，是圆上的动点，是轴上的定点，是的中点。当点绕作匀速圆周运动时，求点的轨迹的参数方程。
解：设，，则
点的坐标为；
∵点是的中点，
∴
,
∴点的轨迹的参数方程为：（为参数）.
■自主探究
1．已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（为参数）.
（1）化圆的方程为普通方程；
（2）求直线被圆截得的弦长。
解：（1）由圆的参数方程可知，圆心为，半径为10，
∴圆的普通方程为：。
【另解】∵，∴，
∴，
∴圆的普通方程为：。
（2）直线的极坐标方程即，化为普通方程是。
∵圆的圆心，半径为10，
圆心到直线的距离为,
∴直线被圆截得的弦长为：。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1.圆（为参数，）的直径是4，则圆心坐标是。
解：由圆的参数方程可知：圆的半径为，圆心坐标是，
依题意，得，
∴圆心坐标为。
2.直线通过第一、二、四象限，则圆（为参数）的圆心位于（ ）。
.第一象限 .第二象限 .第三象限 .第四象限
解：∵直线通过第一、二、四象限，
∴，，
∴圆的圆心位于第二象限。
第12课 圆的参数方程（2）
一、学习要求
1.掌握圆的参数方程；了解圆的参数方程中的参数的意义；
2.能根据圆的参数方程解决一些简单问题。
二、先学后讲
1.圆的参数方程
（1）圆心在原点，半径为的圆的参数方程:
（为参数）.
它的普通方程是：.
（2）圆心在点，半径为的圆的参数方程:
（为参数）.
它的普通方程是：.
【要点说明】
利用参数方程，将问题转化为三角函数形式，可利用三角函数的有界性求最值。
三、问题探究
■合作探究
例1．已知实数，满足，求的最大值。
解：∵方程表示圆心为，半径为3的圆，
其参数方程为（为参数）.
∵实数，满足，
∴设点，是圆上任意一点，则
（为参数）.
∴
∵，
∴，
∴的最大值是。
■自主探究
1．已知实数，满足，求的最值。
解：∵方程表示圆心为，半径为1的圆，
其参数方程为（为参数）.
∵实数，满足，
∴设点，是圆上任意一点，则
（为参数）.
∴，
当时，取得最大值：；
当时，取得最小值：。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1.直线与圆（为参数）相切，则实数的值是。
解：由圆的参数方程可知圆心为，半径为1，
∵直线与圆相切，
∴，解得或。
2.直线与圆（为参数）的位置关系是（ ）。
.相切 .相离 .直线过圆心 .相交但直线不过圆心
解：由圆的参数方程可知圆心为，半径为，
第13课 参数方程与普通方程的互化
一、学习要求
1.掌握参数方程化为普通方程的常用方法；
2.能把参数方程化为普通方程，并说出是什么曲线。
二、先学后讲
1. 参数方程化为普通方程的常用方法：
（1）代入法：通过解参数方程求出参数（），然后代入消去参数；
（2）三角法：利用三角恒等式（如等）消去参数；
（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去参数。
【要点说明】
化参数方程为普通方程，一定要注意参数的取值范围，要在消参后使变量，的范围不发生变化。必须根据参数的取值范围，确定，的值域，从而得，的取值范围。
三、问题探究
■合作探究
例1．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：
（1）（为参数）； （2）（为参数）；
（3）（为参数）。
解：（1）由得，
代入得；
∵，∴即，
∴与参数方程等价的普通方程是：（）；
它表示以点为端点的一条射线（包括端点）。
（2）由得，
∴， ∴，
∴与参数方程等价的普通方程是：；
它表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆。
（3）由两边平方，得，即
代入得，
∵，∴，
∴与参数方程等价的普通方程是：（）；
它是抛物线的一部分。
■自主探究
1．参数方程（为参数）化为普通方程是。
解：由得，
∴，∴，
∴与参数方程等价的普通方程是：，
它表示以点为圆心，半径为1的圆。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1.把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：
（1）（为参数）； （2）（为参数）
（3）（为参数）； （4）（为参数）；
解：（1）由得，
①－②得：，
∴与参数方程等价的普通方程是：，
它表示过和两点的直线。
（2）∵，把代入得，
∵即，
∴与参数方程等价的普通方程是：（）
它是抛物线的一部分（是以，为端点的一段抛物线）。
（3）由得 ①
由得 ②
①－②得：，
∴与参数方程等价的普通方程是：，
它表示一条双曲线。
（4）由得， ∴，
∴与参数方程等价的普通方程是：，它表示一个椭圆。
第14课 椭圆的参数方程
一、学习要求
1. 掌握椭圆的参数方程；了解椭圆的参数方程中的参数的意义；
2.会把椭圆的参数方程与普通方程互化，并能解决一些简单问题。
二、先学后讲
1.椭圆的（普通）方程
定义：（为常数，且）
（1）焦点在轴：（）
长轴：.
短轴：.
焦点：，.
顶点：，，，.
离心率：（）.
（2）焦点在轴：（）
长轴：.
短轴：.
焦点：，.
顶点：，，
，.
离心率：（）.
2.椭圆的参数方程
（1）中心在原点，焦点在轴上的椭
圆的参数方程：
（为参数）.
（2）中心在原点，焦点在轴上的椭
圆的参数方程：
（为参数）.
（3）参数的几何意义：
圆的参数方程（为参数）中，参数是动点的旋转角。
椭圆的参数方程中参数不是动点的旋转角，是点所对应的圆的半径（或）的旋转角，称为离心角。
【要点说明】
①利用椭圆的参数方程（为参数）研究椭圆的问题时，椭圆上的点的坐标可设为；
②椭圆的参数方程化为普通方程的主要方法是：利用进行消参；
③利用椭圆的参数方程形式可以求最值。
三、问题探究
■合作探究
例1．已知椭圆的参数方程为（为参数），点在椭圆上，对应的参数，点为原点，求直线的方程。
解：∵点对应的参数，
∴点的坐标为，即，
∴，
∴直线的方程是：。
■自主探究
1．求曲线（为参数）的焦距和离心率。
解：曲线（为参数）的普通方程是，它表示焦点在轴上的椭圆。
∵，，∴，
∴焦距为；离心率为。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1.椭圆（为参数）的焦点坐标是，；长轴长为；离心率为。
解：由椭圆的参数方程可知椭圆的焦点在轴上，且，；
∴，
∴焦点坐标是，； 长轴长为；
离心率为。
2.已知点是椭圆（为参数）上一点，点是坐标原点，的倾斜角为，求的值。
解：椭圆（为参数）的普通方程为：，
∵直线的斜率为，
∴直线的方程为，
由解得，
∴。
第15课 直线的参数方程（1）
一、学习要求
1. 掌握直线的参数方程；了解直线的参数方程中的参数的意义；
2.会把直线的参数方程化为普通方程；
3.能利用直线的参数方程中的参数的意义求两点间的距离。
二、先学后讲
1.过点，倾斜角为（）的直线的普通方程：
.
2.直线的参数方程
（1）问题提出：
在直角坐标系中，给定一点以及倾斜角，可以唯一确定一条直线，也就是说，直线方程可以由点的坐标和倾斜角表示。
怎样建立直线的参数方程？也就是选择怎样的参数，才能使直线的任意一点的坐标，与点的坐标及倾斜角联系起来？
倾斜角可以与方向联系，点与点可以用距离或线段数量的大小联系，“方向”“有向线段数量大小”启发我们想到利用向量工具（向量的坐标表示）建立直线的参数方程。
（2）过点，倾斜角为（）的直线的的参数方程
（为参数）
参数的几何意义：是直线上任意一
点到的距离，即
.
若，则的方向向上；若，则的方向向下；若，则与重合。
【要点说明】 若直线（为参数）与曲线交于，两点，对应的参数分别为，.则
①曲线的弦的长为： ；
②线段的中点对应的参数的值为： 。（若中点恰好是直线的的参数方程中的已知点，则）
（3）直线参数方程的其它形式：
（为参数）
【要点说明】
①直线的斜率；
②这一形式与（为参数）的区别在于参数没有明确的几何意义，而且一般不成立。
三、问题探究
■合作探究
例1．设直线过点，倾斜角为.
（1）求的参数方程；
（2）设直线：，与交于点，求点与点的距离。
解：（1）由直线的参数方程，得直线的参数方程为：
（为参数），即（为参数）.
（2）【方法一】直线的参数方程化为直角坐标方程是：
由，解得，，
∴点的坐标为，
∴ 。
【方法二】把直线的参数方程中的，代入直线的方程，
得 ，解得，
由的几何意义，得 。
【点评】利用直线参数方程的几何意义，解决与直线有关的距离问题比较常用，较为方便。
■自主探究
1．过点，倾斜角为的直线的参数方程是。
（答案：（为参数））
2.若直线的参数方程为（为参数），则直线的斜率。
（答案：）
3.直线（为参数）与直线垂直，则常数。
解：直线（为参数）的普通方程为，
依题意，得，∴。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1. 设直线过点，倾斜角为.
（1）求的参数方程；
（2）设直线：，与交于点，求。
解：（1）由直线的参数方程，得直线的参数方程为：
（为参数），即（为参数）.
（2）【方法一】直线的参数方程化为直角坐标方程是：
,
由，解得，，
∴点的坐标为，
∴点与点的距离为：
。
【方法二】把直线的参数方程中的，代入直线的方程，
得 ，解得，
由的几何意义，得 。
第16课 直线的参数方程（2）
一、学习要求
1. 掌握直线的参数方程；了解直线的参数方程中的参数的意义；
2.能利用直线的参数方程中的参数的意义解决求两点间的距离、弦长等问题。
二、先学后讲
1.直线的参数方程
过点，倾斜角为（）的直线的的参数方程
（为参数）
① 参数的几何意义： （为直线上任意一点）；
②若直线（为参数）与曲线交于，两点，对应的参数分别为，.则
曲线的弦的长为： ；
线段的中点对应的参数的值为： 。（若中点恰好是直线的的参数方程中的已知点，则）
三、问题探究
■合作探究
例1．过点且倾斜角为的直线与曲线（为参数）相交于，两点，求线段的长度和点到，两点距离之积。
解：直线的参数方程为：
（为参数），即（为参数）.
曲线（为参数）的普通方程为：，
把直线的参数方程中的，代入曲线方程，
得，即，
解得， 则，
， ∴
由参数的几何意义，得
； .
.
■自主探究
1．过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，求线段的长度和点到，两点距离之积。
解：直线的参数方程为：
（为参数），即（为参数）.
把直线的参数方程中的，代入抛物线的方程，得
，
解得， 则，,
， ∴
∴；
. .
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1. 设直线经过点，倾斜角为.
（1）求直线的参数方程；
（2）求直线和直线的交点到点的距离；
（3）求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积。
解：（1）由直线的参数方程，得直线的参数方程为：
（为参数），即（为参数）.
（2）把直线的参数方程中的，代入直线，得
，解得，
∴由参数的几何意义，直线和直线的交点到点的距离为：；
（3）把直线的参数方程中的，代入圆方程，
得，即，
则，；
可知，均为负数，
∴直线和圆的两个交点到点的距离的和为：；
积为：。
第17课 直线的参数方程（3）
一、学习要求
1. 掌握直线的参数方程；了解直线的参数方程中的参数的意义；
2.能利用直线的参数方程中的参数的意义解决求两点间的距离、弦长等问题。
二、问题探究
■合作探究
例1．经过点作直线，交椭圆于， 两点，如果点恰好为，中点，求直线的方程。
解：设直线的参数方程为 （为参数），
把直线的参数方程中的，代入椭圆方程，整理得
，
设，两点对应的参数分别为，，则
，
∵为线段的中点，∴，即，
∴直线的斜率，
∴直线的方程是：，即。
三、问题过关
1. 经过点作直线交双曲线于，两点，如果点为线段的中点，求直线的方程。
解：设直线的参数方程为 （为参数），
把直线的参数方程中的，代入双曲线方程，整理得
，
设，两点对应的参数分别为，，则
，
∵为线段的中点，∴，即，
∴直线的斜率，
∴直线的方程是：，即。
2.求以椭圆内一点为中点的弦所在直线的方程。
解：设以点为中点的弦所在直线的参数方程为 ：
（为参数），
把直线参数方程中的，代入椭圆方程，整理得
，
设直线与椭圆的交点对应的参数分别为，，则
，
∵为弦的中点，∴，即，
∴直线的斜率，
∴所求直线的方程是：，即。
第18课 极坐标与参数方程（综合训练1）
一、学习要求
1.掌握极坐标与直角坐标互化公式，并能熟练地进行坐标互化；
2.能熟练地进行极坐标方程与直角坐标方程的互化；并能把极坐标问题转化为直角坐标问题来解决。
3.掌握直线、圆、椭圆的参数方程及简单应用，并能熟练地把它们的参数方程化为普通方程；
4.能利用直线的参数方程中的参数的意义解决求两点间的距离、弦长等问题。
二、问题探究
■合作探究
例1．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的的极坐标方程为.
（1）求和在直角坐标系下的普通方程；
（2）已知直线：和曲线交于,两点，求弦中点的极坐标。
解：（1）由，得，
∴，
∴的普通方程为：；
∵，
∴的普通方程为：.
（2）【解法一】设，，
由，得，
则，
∴,
∴弦中点的直角坐标为，化为极坐标为，
∴弦中点的极坐标为。
【解法二】设，，
由，解，，
∴弦中点的直角坐标为，化为极坐标为，
∴弦中点的极坐标为。
三、问题过关
1. 在极坐标系中，求曲线:上的动点与定点的距离的最小值。
解：曲线:的直角坐标方程是，它表示圆心，半径的圆。
点的直角坐标为；
∴，
又点在圆外，
∴点与定点的距离的最小值为：。
2. 在极坐标系中，设圆:上的点到直线：的距离为.
（1）求圆和直线的直角坐标方程；
（2）求的最大值。
解：（1）由，得，
∴圆的直角坐标方程为：；
由，得，
∴直线的直角坐标方程为：。
（2）∵圆心到直线的距离，圆的半径，
∴的最大值为。
第19课 极坐标与参数方程（综合训练2）
一、学习要求
1.掌握极坐标与直角坐标互化公式，并能熟练地进行坐标互化；
2.能熟练地进行极坐标方程与直角坐标方程的互化；并能把极坐标问题转化为直角坐标问题来解决。
3.掌握直线、圆、椭圆的参数方程及简单应用，并能熟练地把它们的参数方程化为普通方程；
4.能利用直线的参数方程中的参数的意义解决求两点间的距离、弦长等问题。
二、问题探究
■合作探究
例1．在椭圆上求一点，使点到直线的距离最小，并求出最小距离。
解：椭圆的参数方程为（为参数）；
设点（），则点到直线的距离为：
，
其中，。
当即时，取最小值。此时，
，，
∴当点位于时，点到直线的距离最小，最小距离为。
三、问题过关
1. 在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值。
解：∵椭圆的参数方程为（为参数）；
∴设（），则
，
当，即时，取得最大值2.
2. 在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离最小，并求出最小距离。
解：椭圆的参数方程为（为参数）；
设椭圆上动点（），则点到直线的距离为：
当，即时，取最小值。此时，
，，
∴椭圆上点到直线的距离最小，最小距离为。
第1课 极坐标系
一、学习要求
1. 在问题情境中了解可用距离与角度刻划平面上点的位置；
2.了解极坐标系、点的极坐标的概念；
3.能写出建立了极坐标系的平面内的点的极坐标。
二、先学后讲
1．日常生活中刻划平面上点的位置的方法
（1）用点的直角坐标；（2）经纬度；（3）用距离与角度。
2．极坐标系
在平面内取一个定点，叫做极点；
自极点引一条射线，叫做极轴；
再选定一个长度单位，一个角度单位
（通常取弧度）及其正方向（通常取逆
时针方向），这样就建立了一个极坐标系。
3．点的极坐标
设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为。
一般地，不作特殊说明时，我们
认为，可取任意实数。
如：写出图中，，，，
，，各点的极坐标（）
4．点的极坐标的唯一性
思考：在极坐标系中，极坐标、、、、表示的点有什么关系？
一个极坐标只表示一个点，但一个点的极坐标有无数种表示。
极坐标与（）表示同一个点；极点的坐标为（）。
如果规定：，那么除原点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时极坐标表示的点也是唯一确定的。
5.时极坐标的意义
若，则，
规定点与点
关于极点对称，即与
表示同一个点。
如：点与点关于极点对称；与表示同一个点。
即当时，点位于极角终边的反向延长线上。
三、问题探究
■合作探究
例1．以下各点坐标与点不同的是（ ）。
． ． ． ．
解：点的坐标为，
∵与的终边相同，
∴点可以表示为，故相同。
∵与或是终边在反向延长线上的角，
∴点可以表示为，，
故，相同。∴选。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1. 在极坐标系中，点到极点的距离为3，（逆时针方向），则点的极坐标为。 （答案：）
2. 在极坐标系中，与点重合的点是（ ）。
解：极坐标与（）表示同一个点。
，固选。
3.在极坐标系中，与点关于极轴对称点是（ ）。
解：关于极轴对称的点，极径没有发生变化，
极角应为（）。故选。
第20课 极坐标与参数方程（综合训练3）
一、学习要求
1.掌握极坐标与直角坐标互化公式，并能熟练地进行坐标互化；
2.能熟练地进行极坐标方程与直角坐标方程的互化；并能把极坐标问题转化为直角坐标问题来解决。
3.掌握直线、圆、椭圆的参数方程及简单应用，并能熟练地把它们的参数方程化为普通方程；
4.能利用直线的参数方程中的参数的意义解决求两点间的距离、弦长等问题。
二、问题探究
■合作探究
例1．在极坐标系中，圆与圆:关于直线（）对称.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）为圆上任意一点，求（其中为极点）的取值范围。
解：（1）圆:的直角坐标方程为：
.
直线（）的直角坐标方程为：，
圆心关于直线的对称点坐标为，
∴圆的圆心坐标为，
∴圆的直角坐标方程：.
把方程化为极坐标议程是,
∴所求的圆的极坐标方程为：。
（2）圆的参数方程为：（为参数），
设圆上任意一点，则
，，
∴，
∵，∴，
∴的取值范围是。
三、问题过关
1. 在直角坐标系中，曲线：（为参数）.
（1）写出曲线的直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；
（2）若是曲线上任意一点，求的取值范围。
解：（1）由，得，即,
∴
∴曲线的直角坐标方程是。
它表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆。
（2）∵点是曲线上任意一点，故设.
∴，
∵，∴，
∴的取值范围是。
第21课 极坐标与参数方程（综合训练4）
一、学习要求
1.掌握极坐标与直角坐标互化公式，并能熟练地进行坐标互化；
2.能熟练地进行极坐标方程与直角坐标方程的互化；并能把极坐标问题转化为直角坐标问题来解决。
3.掌握直线、圆、椭圆的参数方程及简单应用，并能熟练地把它们的参数方程化为普通方程；
4.能利用直线的参数方程中的参数的意义解决求两点间的距离、弦长等问题。
二、问题探究
■合作探究
例1．设，分别为椭圆：（为参数）的左、右焦点.
（1）若椭圆上的点到，的距离之和为4，写出椭圆的方程和焦点坐标；
（2）设是（1）中椭圆的动点，求线段的中点的轨迹参数方程，并写出它的普通方程。
解：（1）∵点到，的距离之和为4，
∴，即；
∵点在椭圆上，
∴，解得，
∴，∴；
∴椭圆的方程为；焦点坐标为，。
（2）由（1）知椭圆的参数方程为，
设，，则
，，
∴线段的中点的轨迹参数方程为；
由，得，两式两边平方相加，得
线段的中点的普通方程为。
三、问题过关
1. 已知动点，都在曲线：（为参数）上，对应参数分别为与（），为的中点。
（Ⅰ）求的轨迹的参数方程；
（Ⅱ）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点。
【解】（Ⅰ）依题意有，，
∴，
∴的轨迹的参数方程为： （为参数，）。
（Ⅱ）到坐标原点的距离：，
∵当时，，∴的轨迹过坐标原点。
2.已知曲线的参数方程为 (为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
（Ⅰ）把的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求与交点的极坐标（，）。
【解】（Ⅰ）将曲线的参数方程 (为参数）消去参数，
得曲线的普通方程为；
∵，
∴
即，
∴的极坐标方程为：。
（Ⅱ）将的极坐标方程为化为普通方程得：；
由，解得或；
∴与交点的极坐标，。
第22课 极坐标与参数方程（综合训练5）
一、学习要求
1.掌握极坐标与直角坐标互化公式，并能熟练地进行坐标互化；
2.能熟练地进行极坐标方程与直角坐标方程的互化；并能把极坐标问题转化为直角坐标问题来解决。
3.掌握直线、圆、椭圆的参数方程及简单应用。能熟练地把它们的参数方程化为普通方程；
4.能利用直线的参数方程中的参数的意义解决求两点间的距离、弦长等问题。
二、问题探究
■合作探究
例1．在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）.
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为，判断点与直线的位置关系；
（2）设点是曲线上的一个动点，求点到直线的距离的最小值。
解：（1）点的极坐标化为直角坐标是；
∵点的直角坐标是满足方程，
∴点在直线上。
（2）∵点在曲线上，∴设，
点到直线的距离为：
当时，取最小值，
∴点到直线的距离的最小值是。
三、问题过关
1. 设直线经过点，倾斜角为.
（1）求直线的参数方程；
（2）求直线和直线：的交点到的距离；
（3）求直线和圆的两个交点，到点的距离的和与积；
（4）求直线被圆截得的弦长。
解：（1）由直线的参数方程，得直线的参数方程为：
（为参数），即（为参数）.
（2）把直线的参数方程中的，代入直线的方程，
得 ，解得，
∴直线和直线：的交点到的距离为：
。
（3）把直线的参数方程中的，代入圆方程，得
，
化简，得，则
，，
∴两个交点，到点的距离的和为，
距离的积为。
（4）由（3）知，，，
∴直线被圆截得的弦长为：
。
2.已知点是圆上的动点.
（1）求的取值范围；
（2）若恒成立，求实数的取值范围。
解：（1）把圆方程配方，得，圆心，半径，
设圆的参数方程为（为参数）.
则，
∴
∵，∴，
∴的取值范围是。
（2）∵，
当时，，
∵恒成立，即恒成立，
∴，
∴实数的取值范围。
1．【10新课标（文23）】（本小题满分10分）已知直线：（为参数），：（为参数），
（Ⅰ）当时，求与的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点做的垂线，垂足为，为中点，当变化时，求点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。
【解】（Ⅰ）当时，的普通方程为，的普通方程为。由 ，解得，；
∴与的交点为，。
（Ⅱ）的普通方程为：。
∵与直线垂直，可得的方程为；
由解得点的坐标为：；
∵为中点，
∴当变化时，点的轨迹的参数方程为：
（为参数）；
∴点的轨迹的普通方程为。
∴点轨迹是圆心坐标为，半径为的圆。
2．【11新课标（文23）】 (本小题满分10分) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）。是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求。
【解】（Ⅰ）设，则由条件知。
∵点在上，
∴，即；
∴的参数方程为：（为参数）。
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为；曲线的极坐标方程为。
射线与的异于极点的交点为的极径为，
射线与的异于极点的交点为的极径为。
∴。
【另解】曲线的普通方程为；
曲线的普通方程为；
射线的普通方程为（）。
解方程组，得射线与的异于极点的交点为；
解方程组，得射线与的异于极点的交点为。
∴。
3．【12新课标（文23）】(本小题满分10分)已知曲线的参数方程是，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且，，，依逆时针次序排列，点的极坐标为。
（Ⅰ）求点，，，的直角坐标；
（Ⅱ）设为上任意一点，求的取值范围。
【解】（Ⅰ）∵点的极坐标为，且正方形的顶点，，，依逆时针次序排列，
∴点，，的极坐标分别为：，，。
∴点，，，的直角坐标分别为：，，，。
（Ⅱ）设。
∵点在曲线上，∴（为参数）。
∵，
∴，
∵，∴，
∴的取值范围是。
4．【13新课标Ⅰ（文23）】（本小题10分）已知曲线的参数方程为 (为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
（Ⅰ）把的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求与交点的极坐标（，）。
【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题。
【解】（Ⅰ）将曲线的参数方程 (为参数）消去参数，
得曲线的普通方程为；
∵，
∴
即，
∴的极坐标方程为：。
（Ⅱ）将的极坐标方程为化为普通方程得：；
由，解得或；
∴与交点的极坐标，。
5．【13新课标Ⅱ（文23）】（本小题满分10分）已知动点，都在曲线：（为参数）上，对应参数分别为与（），为的中点。
（Ⅰ）求的轨迹的参数方程；
（Ⅱ）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点。
【解】（Ⅰ）依题意有，，
∴，
∴的轨迹的参数方程为：（为参数，）。
（Ⅱ）到坐标原点的距离：，
∵当时，，∴的轨迹过坐标原点。
6．【14新课标Ⅰ（文23）】（本小题满分10分）已知曲线：，直线：(为参数）。
（Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值。
【解】（Ⅰ）曲线的参数方程为：(为参数），
直线的普通方程为：。
（Ⅱ）在曲线上任意取一点到的距离为：
，
∴，其中为锐角，且。
当时，取得最大值，最大值为；
当时，取得最小值，最小值为。
7．【14新课标Ⅱ（文23）】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程，。
（Ⅰ）求的参数方程；
（Ⅱ）设点在上，在处的切线与直线：垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定的坐标。
【解】（Ⅰ）∵半圆的极坐标方程为：，，
∴半圆的直角坐标方程为：（，）。
令，，，
∴半圆的参数方程为：（）。
（Ⅱ）∵曲线在处的切线与直线：垂直，
∴直线和直线平行，∴直线和直线斜率相等；
设点的坐标为，
∵，
∴，
解得，∵，∴。
∴点的坐标为。
8．【15新课标Ⅰ（文23）】在直角坐标系中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。
（Ⅰ）求，的极坐标方程。
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为（），设，的交点为，，求 的面积。
【解】（Ⅰ）∵，，
∴的极坐标方程为：；
的极坐标方程为：。
（Ⅱ）由，解得，，
∴，
∵圆的半径为1，
∴ 的面积为：。
9．【15新课标Ⅱ（文23）】在直角坐标系中,曲线：(为参数，且），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线：，：。
（Ⅰ）求与交点的直角坐标；
（Ⅱ）若与相交于点, 与相交于点，求最大值。
【解】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为：，
曲线的直角坐标方程为：。
由，解得或，
∴与交点的直角坐标为，。
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为：（，），其中；
∴点极坐标为，点极坐标为；
∴，
∵，∴，
∴当，即时，取得最大值，最大值为。
第2课 极坐标和直角坐标的互化
一、学习要求
1.了解极坐标与直角坐标互化的前提条件；
2.掌握极坐标与直角坐标的互化公式；
3.能进行极坐标与直角坐标的互化。
二、先学后讲
1．极坐标与直角坐标互化的的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；
②极轴与轴的正半轴重合；
③两坐标系中取相同的长度单位。
2.极坐标与直角坐标的互化公式
设平面内任意一点的直角坐标为，极坐标为，则
① ； ② .
【要点说明】
（1）已知点的极坐标，求直角坐标，使用公式①；已知点的直角坐标，求极坐标，使用公式②。
极坐标与直角坐标互化的常用方法：代入法、平方法、两边同乘以或除以等。
（2）把直角坐标化为极坐标时，通常有不同的表示法（极角相差的整数倍）。一般确定时，根据点所在的象限取最小正角，即。
三、问题探究
■合作探究
例1．已知点的极坐标分别为，，求这些点的直角坐标。
解：对于点，∵，，
∴， ，
∴点直角坐标为；
对于点，∵，，
∴， ，
∴点直角坐标为.
■自主探究
1．已知点的极坐标为，则点的直角坐标为。
（答案：）
■合作探究
例2．已知点的直角坐标分别为，，，求这些点的极坐标。
解：对于点，∵，，
∴， ，
∵点在第一象限，∴，
∴点极坐标为。
对于点，∵，，
∴， ，
∵点在第三象限，∴，
∴点极坐标为。
对于点，∵，，
∴， 的值不存在，
∵点在轴的负半轴上，∴，
∴点极坐标为。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1. 点的极坐标是，则点的直角坐标是。
（答案：）
2. 点的直角坐标是，则点的极坐标是。
（答案：）
3.已知，，则。 （答案： ）
第3课 极坐标系（习题训练）
一、学习要求
1.能熟练地写出点的极坐标；
2.掌握极坐标与直角坐标的互化公式；能熟练地进行极坐标与直角坐标的互化。
二、先学后讲
1．点的极坐标
2.极坐标系中两点间的距离公式
设，（），则
。
例1．已知两点的极坐标，，求。
解：根据极坐标的定义，得
，，，
∴
.
三、问题探究
■自主探究
1．仿照下例，写出图中每个点的4个
极坐标。
例：点：，，
，.
点： ， ， ， 。
点： ， ， ， 。
点： ， ， ， 。
点： ， ， ， 。
2.按下例格式，写对称（关于原点对称、
关于极轴所在的直线对称、关于过极点且
垂直于极轴的直线对称）的两个点的极坐
标。
例：点与点关于极轴所在的直线对称；，。
3.在极坐标系中，标出下列各点。
，，
，，
，，
，，
，，
，.
4.点的直角坐标化为极坐标是。
（答案：）
5. 点的直角坐标化为极坐标是。
（答案：）
6.点对应的复数是，则点.点的极坐标是。
（答案：）
7. 点的直角坐标化为极坐标是。
（答案：）
8. 点的极坐标化为直角坐标是。
（答案：）
第4课 曲线与方程
一、学习要求
1.了解曲线与方程的意；
2.掌握求简单曲线方程的步骤；
3.能运用“直接法”、“相关点法（转移法）”求简单曲线方程。
二、先学后讲
1．曲线与方程
在平面直角坐标系中，如果曲线与方程之间满足如下关系：
①曲线上任意一点的坐标都是方程的解；
②以方程的解为坐标的点都在曲线上，
则曲线叫做方程的曲线，方程叫做曲线的方程。
例如：如图，在直角坐标系中，圆心在原点，
半径为2的圆上任意一点满足的几何条件是：
设，根据两点间的距离公式，得
，即。
也就是说，方程就是圆上任意一点的坐标满足的条件；另一方面，可以验证，以方程的解为坐标的点都在圆上。
这时，我们把方程叫做圆的直角坐标方程，圆上叫做方程的曲线。
2．求曲线方程的常用方法
【方法一】直接法：
第一步：建立适当的直角坐标系（如果题目有坐标系，则利用已有的坐标系），并设动点的坐标为；
第二步：写出动点坐标所满足的条件（等式）；
第三步：用坐标表示动点所满足的关系式，列出方程；
第四步：化方程为最简形式；
第五步：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。（这一步可以省略，但在化简过程中要注意是否产生了增根或丢根现象，做到多去少补。）
【方法二】相关点法（转移法）：如果动点随着已知曲线上的另一动点运动而运动，且可用表示，则可将点的坐标代入已知曲线的方程，即得动点的方程。
第一步：建立适当的直角坐标系，并设要求轨迹的动点的坐标为，已知曲线上的动点的坐标为；
第二步：根据动点所满足的条件，写出与的关系式，并用来表示（即写出等式，）；
第三步：把含的点的坐标代入已知的曲线方程，得到关于动点的坐标的方程；
第四步：化方程为最简形式。
三、问题探究
■合作探究
例1．已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程。
解：设动点，。
∵，点为线段的中点，
∴，，
∴，，
∵点在圆上，
∴
∴，
整理得，所求线段的中点的轨迹方程为
，
即。
∴点的轨迹是以为圆心，半径长是1的圆。
■自主探究
1．已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹。
解：设动点，。
∵，点为线段的中点，
∴，， ∴，，
∵点在圆上， ∴
∴，
整理得，所求线段的中点的轨迹方程为
。
∴点的轨迹是以为圆心，半径长是1的圆。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1.求从原点作圆的弦的中点的轨迹方程。
解：任作一弦，设，的中点为。
则，即，
∵点在圆上，
∴，
∴，即，
∴弦的中点的轨迹方程为：。
第5课 曲线的极坐标方程
一、学习要求
1.了解曲线的极坐标方程；
2.能熟练地进行极坐标方程与直角坐标方程的互化。
二、先学后讲
1.曲线的极坐标方程
如图，在极坐标系中，经过极点，圆心在极轴上，半径为的圆上任意一点满足的几何条件是：
，
设，则
。
可以验证，点，的坐标也满足上述方程。
于是，方程就是圆上任意一点的坐标满足的条件；另一方面，可以验证，以方程的解为坐标的点都在圆上。
这时，我们把方程叫做圆的极坐标方程。
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线上，那么方程叫做曲线的极坐标方程。
2．极坐标方程与直角坐标方程的互化
（1）运用互化公式，。若不满足公式，可考虑将条件进行适当变形。
（2）几种变形方法：①两边平方；②两边同乘以；③两边同除以等。
三、问题探究
■合作探究
例1．把极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它是什么曲线。
解：∵，
两边同乘以，得，
∵，，，
∴直角坐标方程为：.
即，
∴曲线是以点为圆心，半径为的圆。
■自主探究
1．极坐标方程化为直角坐标方程是；
它表示的曲线是。
（答案：）
■合作探究
例2．把直角坐标方程化为极坐标方程。
解：∵，，
∴，
化简，得，
∴或，
∵满足， ∴极坐标方程为。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1.极坐标方程化为直角坐标方程是；
它表示的曲线是。
（答案：）
2.极坐标方程化为直角坐标方程是；它表示的曲线是。
（答案：）
3.直角坐标方程化为极坐标方程是
。
第6课 圆的极坐标方程
一、学习要求
1.掌握处理求曲线的极坐标方程的常用方法；
2.会求圆的极坐标方程。
二、先学后讲
1.求简单曲线的极坐标方程的常用方法
【方法一】直接法：
第一步：建立适当的直角坐标系（如果题目有坐标系，则利用已有的坐标系），并设动点的坐标为；
第二步：写出动点坐标所满足的几何条件；
第三步：用坐标表示几何条件，列出方程；
第四步：化方程为最简形式。
【方法二】相关点法（转移法）：如果动点随着已知曲线上的另一动点运动而运动，且可用表示，则可将点的坐标代入已知曲线的方程，即得动点的方程。
2.处理极坐标方程的常用方法
【方法一】在极坐标系中解决问题；
【方法二】（转化法）把已知的极坐标的条件都转化为直角坐标系中的条件，把极坐标问题转化为直角坐标问题来解决。
三、问题探究
■合作探究
例1．求圆心在，半径为的圆的极坐标方程。
【解法一】圆心化为直角坐标为，
又圆的半径为，
∴圆的直角坐标方程为：，
∴所求的圆的极坐标方程为：。
【解法二】如图，设点是圆上除
，外的任意一点。
连结，，则为直角三角形，
且。
∵，，
∴，即，
可以验证，点，也满足方程，
∴所求的圆的极坐标方程为：。
■自主探究
1．求以点（）为圆心且过极点的圆的极坐标方程。
【解法一】圆心化为直角坐标为，
又圆的半径为，
∴圆的直角坐标方程为：，
∴所求的圆的极坐标方程为：。
【解法二】如图，设点是圆上除
，外的任意一点。
连结，，则为直角三角形，
且。
∵，，
∴，即，
可以验证，点，也满足方程，
∴所求的圆的极坐标方程为：。
四、总结提升
（1）极点为圆心，半径为的圆的
极坐标方程为：；
（2）以点（）为圆心，
为半径的圆的极坐标方程为：；
（3）在极坐标系中求曲线的极坐标方程，就是求曲线上任意一点的坐标与的关系式，关键是找出动点的坐标所满足的几何条件。由于坐标中的“”是表示动点到极点的距离（线段的长度），“”是角度，因此，在寻找动点的坐标 与所满足的几何条件时，常考虑把，转移为某个三角形的边和角，利用三角形的边角关系，得到与所满足的几何条件，最后求出与的函数关系。
三角形的“边角关系”：
①在直角三角形中，，，；
②在一般三角形中，可用正弦定理：；
余弦定理：，
，
。
五、问题过关
1.求圆心在，半径为1的圆的极坐标方程。
【解法一】圆心化为直角坐标为，
又圆的半径为，
∴圆的直角坐标方程为：，
∴所求的圆的极坐标方程为：。
【解法二】如图，设点是圆上除
，外的任意一点。
连结，，则为直角三角形，且。
∵，，
∴，
可以验证，点，也满足方程，
∴所求的圆的极坐标方程为：。
第7课 直线的极坐标方程
一、学习要求
1.掌握处理求曲线的极坐标方程的常用方法；
2.会求直线的极坐标方程。
二、先学后讲
1.求简单曲线的极坐标方程的方法步骤：
（直接法）
第一步：建立适当的直角坐标系（如果题目有坐标系，则利用已有的坐标系），并设动点的坐标为；
第二步：写出动点坐标所满足的几何条件；
第三步：用坐标表示几何条件，列出方程；
第四步：化方程为最简形式。
三、问题探究
■合作探究
例1．求经过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程。
【解法一】极点的直角坐标为，又直线的斜率，
∴直线的直角坐标方程为：.
化为极坐标方程为：
当时，得，∴或（），
当时，也满足方程，
∴所求的直线的极坐标方程为：（）或（）。
【解法二】如图，射线上任意一点的极角都是，
∴射线的极坐标方程为：（）；
射线上任意一点的极角都是，
∴射线的极坐标方程为：（）；
∴所求的直线的极坐标方程为：（）或（）。
■自主探究
1．过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程为。（答案：（））
■合作探究
例2．求过点，并且倾斜角为的直线的极坐标方程。
【解法一】点化为直角坐标是。
∵直线的斜率，
∴直线的直角坐标方程为：.
∴所求的直线的极坐标方程为：.
即。
【解法二】如图，设是直线上
除点外的任意一。
∵在中， ，,,
,
∴根据正弦定理，得
，即，
化简，得所求的直线的极坐标方程为：。
四、总结提升
（1）过极点，并且倾斜角为的直线的
极坐标方程为：；
（2）过点（），且垂直于极
轴的直线的极坐标方程为：；
（3）过点（），且平行于极
轴的直线的极坐标方程为：。
五、问题过关
1.求过点，且平行于极轴的直线的极坐标方程。
【解法一】点化为直角坐标是。
∵直线的斜率，
∴直线的直角坐标方程为：.
∴所求的直线的极坐标方程为：。
【解法二】如图，设是直线上
除点外的任意一。
设直线与过极点且垂直于极轴的直线
交于点，则，。
在中，，即，
∴所求的直线的极坐标方程为：。
【解法三】如图，设是直线上
除点外的任意一。
在中，， ,
，，根据正弦定理，得
，即，即，
∴所求的直线的极坐标方程为：。
第8课 简单曲线线的极坐标方程（习题训练1）
一、学习要求
1.掌握处理求曲线的极坐标方程的常用方法；
2.会用“转化法”解决与极坐标有关的问题。
二、先学后讲
1.极坐标与直角坐标的互化公式
设平面内任意一点的直角坐标为，极坐标为，则
① ； ② .
2.直角坐标平面内两点间的距离公式
设直角坐标平面内两点，，则
.
3.直角坐标平面内点到直线的距离公式
设点，直线：，则点到直线的距离为：
.
4.直线的直角坐标方程
（1）点斜式：；
（2）一般式：（）
(3)特例：
① 过点，且垂直于轴（即平行于轴）
的直线方程为：；
② 过点，且垂直于轴（即平行于轴）
的直线方程为：。
三、问题探究
■合作探究
例1．已知曲线，的极坐标方程分别为，（，
），求曲线的交点的极坐标。
【解法一】极坐标方程化为直角坐标方程是：，
极坐标方程（，）化为直角坐标方程是：
（，）.
由，解得， ∴交点的直角坐标为；
点化为极坐标是，
∴曲线，的交点的极坐标是。
【解法二】由，得，
∵，∴，∴，∴，
∴曲线，的交点的极坐标是。
■自主探究
1．极点到直线的距离是.
解：直线的直角坐标方程是，极点的直角坐标是。
∴极点到直线的距离.
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1.把下列极坐标方程化为直角坐标方程：
（1）； （2）
（3）； （4）
（答案：（1）；（2）；（3）
（4） ）
2.在极坐标系中，求点到直线的距离。
解：点化为直角坐标是；
直线即的直角坐标方程是：
.
∴点到直线的距离.
第9课 简单曲线线的极坐标方程（习题训练2）
一、学习要求
1.掌握处理求曲线的极坐标方程的常用方法；
2.会用“转化法”解决与极坐标有关的问题。
二、先学后讲
1.直线与圆相交，求弦长的方法
【方法一】（几何法）如图，直线l：与圆交于，两点。
第一步：写出圆心坐标和圆的半径；
第二步：求出弦心距为；（）
第三步：求弦长：
由，得。
【方法二】（代数法）
第一步：解方程组，求出方程组的两组解，得到直线l与圆的两个交点，；
第二步：根据两点间的距离公式，求出弦长。
【方法三】（代数法）设直线l：与圆的交点分别为，，则
；（其中是直线的斜率）
或。
第一步：（联立方程组）由，消去得关于的一元二次方程：；（或消去得关于的一元二次方程：.）
第二步：设直线l与圆的交点分别为，；
第三步：根据韦达定理，得，并写出直线l的斜率的值；（或根据韦达定理，得，并写出直线l的斜率的值.）
第四步：代入公式，可求得弦长 。
三、问题探究
■合作探究
例1．求直线与圆相交于，两点，求。
【解法一】直线的直角坐标方程是，
圆的直角坐标方程是，圆心坐标为半径为1；
圆心到直线的距离为 ；
∴弦长。
【解法二】直线的直角坐标方程是，
圆的直角坐标方程是，
由，解得或，
∴， ，
∴。
四、问题过关
1.在极坐标系中，直线与圆交于，两点，则。
解：直线的直角坐标方程是：，
圆即的直角坐标方程是：
即，
∴圆的圆心坐标为，半径为1，则直线过圆心，
∴.
2.已知直线的极坐标方程是，点的极坐标为，则点到直线的距离为。
解：点化为直角坐标是；
直线的直角坐标方程是：.
∴点到直线的距离.
