3.1.1数系的扩充和复数的概念
一、学习要求
1. 在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；
2. 理解复数的基本概念；
3. 了解复数的代数表示法；了解复数集与实数集的关系。
二、先学后讲
1．引入复数的必要性
方程：在实数集无解。
2．复数的有关概念
（1）虚数单位：叫做虚数单位。
； ， ， ， 。
（2）复数：形如（，）的数叫做复数。
（3）复数的代数形式：（，）。其中叫做复数的实部；叫做复数的虚部。
3．复数集
全体复数所成的集合叫做复数集。记作，即
4.复数分类
复数（，） 。
常见数集的关系：.
三、问题探究
■合作探究
例1．实数取什么值时，复数是
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数。
解：（1）当，即时，复数是实数；
（2）当，即时，复数是虚数；
（3）当，即时，复数是纯虚数。
■自主探究
1．实数取什么值时，复数是
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数。
解：（1）当，即或时，复数是实数；
（2）当，即或时，复数是虚数；
（3）当，即时，复数是纯虚数。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1. 若复数（）的实部与虚部互为相反数，则的值为（ ）。
． ． ． ．
【解析】，∴，∴。故选．
2.若为纯虚数，则实数a的值为（ ）。
． ． ． ．或
【解析】∵为纯虚数，∴，
解得。故选．
3.若复数（是虚数单位）是实数，则实数（ ）。
． ． ． ．
【解析】∵复数是实数，
∴，∴。故选．
4.复数的虚部是（ ）。
． ． ． ．
【解析】根据复数的代数形式“”及复数的实部、虚部的定义，可知选。
【选修1-2】 第2课 3.1.1数系的扩充和复数的概念
一、学习要求
1. 理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；
2. 能运用复数的基本概念以及复数相等的充要条件解决有关问题。
二、先学后讲
1．复数相等的充要条件
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即如果，，，，那么 。
【要点说明】
（1）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，就不能比较它们的大小；
（2）复数的实部和虚部确定了，这个复数就唯一确定了。复数的实质是一有序实数对。由复数相等的定义可知：任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定。
（3）处理有关复数概念的问题时，首先要找准复数和实部和虚部（若复数为非标准的代数形式时，则应通过复数的代数运算化为标准形式），然后根据定义解题。
（4）利用复数相等列方程（组）求参数的值时，，，，是前提条件。
三、问题探究
■合作探究
例1．如果，求实数，的值。
解：∵，
∴根据复数相等的充要条件，得
，即，解得，。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1. 若则，。
解：根据复数相等的充要条件，得
，解得，。
2. 若（为虚数单位），则实数（ ）。
． ． ． ．或
解：根据复数相等的充要条件，得
，解得。故选．
3. 已知复数（），试求实数分别为什么值时，分别为：(1) 实数；(2) 虚数；(3) 纯虚数.
解：（1）当，即时，复数是实数；
（2）当，即且时，复数是虚数；
（3）当，即时，复数是纯虚数。
3.1.2复数的几何意义
一、学习要求
1. 了解复平面有关概念；
2. 掌握复数、复平面内的点、平面向量之间的对应关系；了解复数的模的意义。
二、先学后讲
1．复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。
原点既是实轴上的点，又是虚轴上的点，它是实轴与虚轴的唯一交点。
实轴上的点都表示实数；虚轴上的点（除原点外）都表示纯虚数。
2．复数的几何意义
任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定。
为了方便起见，常把复数说成点或说成向量（以原点为起点的向量），并且规定：相等的向量表示同一个复数。
【向量的坐标：设，.则
；
.】
3．复数的模
向量的模叫做复数的模，记作或（它是一个非负实数），有： 。（复数的模就是复数所对应的点与坐标原点之间的距离。）
三、问题探究
■合作探究
例1．在复平面内，是原点，向量对应的复数是。
（1）如果点关于实轴的对称点为；求向量对应的复数；
（2）如果（1）中点关于虚轴的对称点为，求点对应的复数。
解：（1）∵向量对应的复数是，∴点的坐标是；
∵点与点关于实轴的对称，∴点的坐标是；
∴向量对应的复数是：。
（2）由（1）知，点的坐标是，
∴点关于虚轴的对称点的坐标为，
∴点对应的复数是：。
■自主探究
1．在复平面内，是原点，向量对应的复数是。点关虚轴的对称点为，则向量对应的复数是（ ）。
． ． ． ．
解：∵向量对应的复数是，∴点的坐标是；
∵点与点关于虚轴的对称，∴点的坐标是，
∴向量对应的复数是：。故选。
■合作探究
例2．已知，复数。当为何值时：
（1）对应的点位于复平面第二象限；
（2）对应的点位于轴负半轴；
（3）对应的点位于复平面的上半平面（含实轴）；
（4）对应的点位于第四象限角平分线上；
（5）对应的点位于位于直线上。
解：（1）当，即时；对应的点位于复平面第二象限；
（2）当，即时，对应的点位于轴负半轴；
（3）当，即或时，对应的点位于复平面的上半平面（含实轴）；
（4）当，即时，对应的点位于第四象限角平分线上；
（5）当，即时，对应的点位于位于直线上。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1. 已知复数的实部为1，且，则复数的虚部为（ ）。
． ． ． ．
解：设，由得，解得。故选。
2.已知，，，则复数在复平面内对应的点位于（ ）。
．第一象限 ．第二象限 ．第三象限 ．第四象限
解：∵，∴，
∴复数在复平面内对应的点位于第四象限。
3.已知，若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）。
．第一象限 ．第二象限 ．第三象限 ．第四象限
解：∵为纯虚数，∴，解得，
∴，
∴复数在复平面内对应的点位于第四象限。
3.2复数代数形式的四则运算（1）
一、学习要求
1. 掌握复数代数形式的加、减法的运算法则，并能熟悉地进行复数加、减运算；
2. 掌握复数加、减法的几何意义，并能运用数形结合的思想方法解决有关问题。
二、先学后讲
1．复数的加法
（1）加法法则：；
实部与实部相加作为和的实部，虚部与虚部相加作为和的虚部。两个复数的和仍然是一个复数。
（2）加法满足的运算律：对任意，，．有
① 交换律 ；
② 结合律 。
（3）复数加法的几何意义：
任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定。
复数实数对点向量。
复数的加法可以按照向量的加法进行。
【向量加法的平行四边形法
则：；
向量加法的三角形法则：
；
向量减法的三角形法则： 。】
2．复数的减法
（1）减法法则：；
实部与实部相减作为差的实部，虚部与虚部相减作为差的虚部。两个复数的差仍然是一个复数。
（2）复数减法的几何意义：
复数是连接向量，的终点，方向指向被减向量的向量所对应的复数。
三、问题探究
■合作探究
例1．计算：
（1）；
（2）.
解:（1）；
；
（2）
.
■自主探究
1．计算：
（1）； （2）。
. .
■合作探究
例2．已知平行四边形的三个顶点，，对应的复数分别为，，，则
（1）表示的复数是；
（2）表示的复数是；
（3）等于。
解：（1）∵， 所对应的复数为，
∴表示的复数为：，即。
（2）∵，
又所对应的复数为，所对应的复数为，
∴表示的复数为：。
（3）∵，
∴对应的复数为：，
∴。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1. 。
解：。
2.已知复数满足，则。 （答案：）
解：∵，∴。
3.设是原点，向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是。
解：∵，
又向量，对应的复数分别是，，
∴表示的复数为：。
4.复数满足（，），则。
解：∵，
∴，
根据复数相等的充要条件，得
，解得，，
∴。
3.2复数代数形式的四则运算（2）
一、学习要求
1. 掌握复数代数形式的乘、除的运算法则，能熟练地进行复数乘、除法运算；
2. 理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；
3. 了解共轭复数的概念和性质。
二、先学后讲
1． 复数的乘法
（1）乘法法则：；
两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，把所得的结果中的“”换成，并且把实部与虚部分别合并即可。 两个复数的乘积仍然是一个复数。
（2）复数乘法满足的运算律
对任意，，．有
① 交换律：；
② 结合律：；
③ 乘法对加法的分配律：。
3．复数的除法
（1）共轭复数
两个复数的实部相等，虚部互为相反数，这两个复数叫做共轭复数。复数的共轭复数记作。
① 两个共轭复数的乘积是一个实数。设，，则
.
② 实数的共轭复数是它本身。即：若，则。
（2）除法法则：.
两个复数相除时，先把除式：写成分式：；然后把分式的分子和分母同时乘分母的共轭复数（即把分母实数化）；最后化简可得结果。
【要点说明】
进行复数的运算，除了应用四则运算法则外，对一些简单算式要知道它的结果，这样可以方便计算，简化运算过程。如：
； ； ； ；；等。
三、问题探究
■合作探究
例1．计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
解：（1） （2）
；
；
（3） （4）
； 。
■自主探究
1．计算：
（1）； （2）．
解（1） （2）
； 。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1. 复数的值是 。
解：。
2.复数的实部为，虚部为。
解：∵，∴复数的实部为1，虚部为。
3.复数的共轭复数是 。
解：∵，∴复数的共轭复数是。
4.若复数的实部和虚部互为相反数，则实数。
解：∵，依题意，得，∴。
