3.1.1数系的扩充和复数的概念
一、教学目标：
1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i。
2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律。
3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。21世纪教育网版权所有
二、教学重点：
复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等。
三、教学难点：
虚数单位i的引进和复数的概念。
四、教学过程：
（一）导入新课
数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N。
随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展
为了解决测量、分配中遇到的将等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数。这样就把数集扩充到有理数集Q。显然NQ。把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ。
有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数。所谓无理数，就是无限不循环小数。有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R。21教育网
数集的每一次扩充，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾。21·cn·jy·com
但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1。由于解方程的需要，我们引入了一个新数，使得，并由此产生的了复数www.21-cn-jy.com
（二）讲解新课：
我们希望引入的新数和实数之间仍能进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律。因此，把实数a与相加，结果记作：a+i；把实数b与相乘，结果记作：bi；把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作：a+bi等等。所以实数系经过扩充后得到的新数集是C=｛a+bi︱a，b∈R｝。
1、复数的定义：形如的数叫复数，其中叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示
2、复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即，其中叫复数的实部，叫复数的虚部。
请说出复数和－2i+3.14的实部和虚部。
3、复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么就说这两个复数相等。即：如果a，b，c，d∈R，那么 a+bi=c+dia=c且b=d。2·1·c·n·j·y
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小。
4、复数的分类：
对于复数，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a=0且b≠0时，叫做纯虚数。【来源：21·世纪·教育·网】
5、复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.
6、例题讲解：
例1、实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是：
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
［分析］因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.21cnjy.com
解：(1)当m－1=0，即m=1时，复数z是实数；
(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数？；
(3)当m+1=0，且m－1≠0，即m=－1时，复数z是纯虚数。
例2、已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y。
解：由已知可得：
解得：x=，y=4
（三）课堂练习：
（四）课堂小结：
1、复数的定义；
2、复数的代数形式；
3、复数相等的充要条件；
4、复数的分类。
（五）课后作业：
课本第104页练习和106页习题3.1A组1～3。
3.1.2复数的几何意义
一、教学目标：
1.理解复平面、实轴、虚轴等概念.
2.理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用.
3.理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别与联系.
二、教学重点：
重点：理解并掌握复数的几何意义.
难点：复平面内的点的关系；复数模的问题.
三、教学过程
【使用说明与学法指导】
1.课前用20分钟预习课本P104-105内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.
2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.
【问题导学】
1. 复平面?
2.复数的几何意义？
3.复数的模？
4.复平面的虚轴的单位长度是1，还是i?
【合作探究】
问题1：复数与复平面内点的关系
1.复数对应的点在复平面的（ B ）
A. 第一象限内 B. 实轴上 C. 虚轴上 D. 第四象限内
2.在复平面内，复数对应的点位于（ D ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.在复平面内表示复数的点在直线上，则实数的值为 9 .
4.已知复数在复平面内的对应点位于第二象限，求实数的取值范围.
解：
问题2：复数与复平面内向量的关系
1.向量对应的复数是，向量对应的复数是，则+对应的复数是 0 .
2. 复数与分别表示向量与，则向量表示的复数是.
3.在复平面内，为原点，向量对应的复数为，若点关于直线的对称点为，求向量对应的复数.
解：向量对应的复数为：
问题3：复数模的计算与几何意义的应用
1.复数，且，则点Z的轨迹是 以为圆心，3为半径的圆 .
2.已知，且，
，求复数对应的点的轨迹.
解：设，则 即又且,
复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.
2. 设，满足下列条件的点的集合分别是什么图形？
(1) ;(2)
解：(1)以原点O为圆心，4为半径的圆.
(2)以原点O为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.
【深化提高】
1.若,对应的复数分别是，，则 5 .
2. 虚数的几何图形是 线段，其中点，但除去原点 .
3. 复数的几何图形是 线段，其中点 .
4.设复数满足且在复平面上对应的点在第二,四象限的角平分线上,,求和的值.
解：或，
【学习评价】
【小结与反思】
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
一、教学目标：
1.知识目标：掌握复数的加减法运算及理解其几何意义，
2.能力目标：通过类比实数的四则运算的规律或向量的运算规律，得到复数加减运算的法则，同时了解复数加减法运算的几何意义．21·cn·jy·com
3.情感态度价值观：通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比，理解复数加减的运算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律．2·1·c·n·j·y
二、重点难点：
重点:复数加减法运算及其应用．.
难点:复数加减法运算的几何意义．
三、学习新知：
阅读课本页, 找出疑惑之处，并自主探究下列问题：
1. 复数加减法运算的法则？
2.复数加法满足的运算律？
3. 复数加减法运算的几何意义？
四、教学过程：
【活动一】：探究复数代数形式的加法运算
问题1：复数的加法法则是如何规定的？
设，是任意两个复数，那么其和为？
问题2：两个复数的和仍然是复数吗？
问题3：复数的加法满足交换律、结合律吗？
对于任意，有
吗？
你能给出证明吗？
例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)（）
例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i)
你有几种方法计算该题？
【活动二】：探究复数加法的几何意义
阅读教材第56-57页的内容，思考以下问题：
问题4：复数与复平面内的向量有一一对应的关系，.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？21世纪教育网版权所有
由平面向量的坐标运算，有==（ ）
问题:5：复数加法的几何意义是什么呢？
【活动三】：探究复数的减法
问题6：复数是否有减法？如何理解复数的减法？
类比实数集中减法的意义，我们怎样规定复数的减法？
复数的减法法则是什么？
问题7：两个复数的差是一个确定的复数吗？.
【活动四】：探究复数减法的几何意义：
问题8类比复数加法的几何意义，你能给出复数减法的几何意义吗？
例3已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？（C级）21教育网
点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即所表示的复数是zB－zA. ，而所表示的复数是zA－zB，故切不可把被减数与减数搞错，尽管向量的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关21cnjy.com
例4 复数z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. www.21-cn-jy.com
请用两种方法计算，哪种思路好？
点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
一、教学目标：
１、知识与技能：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算；?理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质．?过程与方法：?
２、过程与方法：运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程；培养学生发散思维和集中思维的能力，以及问题理解的深刻性、全面性．
３、情感、态度与价值观：通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法．21教育网
二、重点难点：
重点: 掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．
难点: 复数除法的运算法则．
三、教学过程
【知识链接】
1.复数与的和的定义：；
2.复数与的差的定义：；
3.复数的加法运算满足交换律:；
4.复数的加法运算满足结合律: ；
5.复数的共轭复数为.
【问题探究】
探究一、复数的乘法运算
引导1:乘法运算规则
设、是任意两个复数，
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.21cnjy.com
引导2:试验证复数乘法运算律
（1）
（2）
（3）
点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.21·cn·jy·com
探究二、复数的除法运算
引导1：复数除法定义：
满足的复数叫复数除以复数 的商，记为：或者.
引导2：除法运算规则：
利用.于是将的分母有理化得：
原式=
.
∴(a+bi)÷(c+di)=.
点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法
【典例分析】
例1计算
引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.
点拨：在复数的乘法运算过程中注意将换成－1.
例2计算：（1） ； （2）.
引导:按照复数乘法运算展开即可.
点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等.21世纪教育网版权所有
例3计算
引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.
点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法.
例4计算
引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性.
点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.
【目标检测】
1.复数等于（ ）
A． B． C． D．
2.设复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3.复数的值是（ ）
A. B. C. D.1
4.已知复数与都是纯虚数，求.
提示：复数为纯虚数，故可设，再代入求解即可.
5.(1)试求的值.
(2)由（1）推测的值有什么规律？并把这个规律用式子表示出来.
提示：通过计算，观察计算结果，发现规律.
【总结提升】
复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.
