2.4正态分布
教学内容分析：
教科书通过分析正态分布密度曲线的解析表达式，得到正态分布密度曲线的特点，借助对比不同参数的正态分布密度曲线的图象，得到两个参数的含义，并直接给出了正态分布随机变量分别取值在，，的概率。
学情分析：
学生已学习频率分布直方图，具有一定的学习基础
教学目标
：
知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用；
过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解；
情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质；
教学重点与难点
重点：1、正态分布密度曲线的特点；2、正态分布密度曲线所表示的意义；
难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质；
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学方法：
分析法，讨论法，归纳法
教学过程：
复习引入：
总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．
它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．
观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：
式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数与标准差，的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线
二、讲解新课：
1、一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足
,
则称
X
的分布为正态分布（normal
distribution
)
．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作．如果随机变量
X
服从正态分布，则记为X～
经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标
X
是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．
2、正态分布）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布
通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响
3、通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称
正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上
讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质
4、正态曲线的性质：
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交
（2）曲线关于直线x=μ对称
（3）当x=μ时，曲线位于最高点
（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数）
并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近
（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定
σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；
σ越小．曲线越“瘦高”，总体分布越集中：
五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学
5、标准正态曲线:当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，（-∞＜x＜+∞）
其相应的曲线称为标准正态曲线
标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位
任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题
6、原则：
通常认为服从正态分布的随机变量X只取之间的值，并简称之为原则
7、讲解范例：
例1、给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ
（１）
（２）
（３）
答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5
例2、求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．
解：利用等式有
==0.9772＋0.8413－1=0.
8151
三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容．
1)、正态曲线；
2）、正态分布；
3）、正态分布曲线的特点；
四、作业布置：2.2二项分布用其应用
2.2.1
条件概率
教学内容分析：
条件概率的概念在概率理论中占有十分重要的地位，本教科书中只是简单介绍条件概率的初等定义，更抽象的条件概率定义涉及测度论的知识，为便于学生理解，教科书一简单事例为载体，通过逐步探究，引导学生体会条件概率的思想。
学情分析：
本节知识对于学生会比较难理解，教学中要采用实例的方式进行引导探究
教学目标
：
知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义；
过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算；
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用
教学重点与难点
重点：条件概率定义的理解；
难点：概率计算公式的应用；
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学方法：
分析法，讨论法，归纳法
教学过程：
复习引入：
探究活动：
三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.
若抽到中奖奖券用“Y
”表示，没有抽到用“
”，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y，Y和
Y．用
B
表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”
,
则
B
仅包含一个基本事件Y．由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为.
思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？
因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y和Y．而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y.由古典概型计算公式可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为，不妨记为P（B|A
)
，其中A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”.
已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？
在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件
A
一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件
A
中，从而影响事件
B
发生的概率，使得
P
(
B|A
）≠P
(
B
)
.
思考活动：对于上面的事件A和事件B，P
(
B|A）与它们的概率有什么关系呢？
用表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即=｛Y,
Y,Y｝．既然已知事件A必然发生，那么只需在A={Y,
Y}的范围内考虑问题，即只有两个基本事件Y和Y．在事件
A
发生的情况下事件B发生，等价于事件
A
和事件
B
同时发生，即
AB
发生．而事件
AB
中仅含一个基本事件Y，因此
==.
其中n
(
A）和
n
(
AB）分别表示事件
A
和事件
AB
所包含的基本事件个数．另一方面，根据古典概型的计算公式，
其中
n（）表示中包含的基本事件个数．所以，
=.
因此，可以通过事件A和事件AB的概率来表示P（B|
A
)
二、讲解新课：
1、定义
设A和B为两个事件，P(A)>0，那么，在“A已发生”的条件下，B发生的条件概率（conditional
probability
).
读作A
发生的条件下
B
发生的概率．
定义为
.
由这个定义可知，对任意两个事件A、B，若，则有
.
并称上式微概率的乘法公式
2、P（B|A）的性质：
（1）非负性：对任意的Af.
；
（2）规范性：P（|B）=1；
（3）可列可加性：如果是两个互斥事件,则
.
更一般地,对任意的一列两两部相容的事件（I=1,2…），有
P
=
例题赏析：
例1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2
道题，求：
(l）第1次抽到理科题的概率；
(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3）在第
1
次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
(1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为
n（）==20.
根据分步乘法计数原理，n
(A）==12
．于是
.
(2）因为
n
(AB)＝=6
，所以
.
(3）解法
1
由（
1
)
(
2
）可得，在第
1
次抽到理科题的条件下，第
2
次抽到理科题的概
.
解法2
因为
n
(AB）=6
,
n
(A）=12
，所以
.
例2.一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
(1）任意按最后一位数字，不超过
2
次就按对的概率；
(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
解：设第i次按对密码为事件(i=1,2)
，则表示不超过2次就按对密码．
(1）因为事件与事件互斥，由概率的加法公式得
.
(2）用B
表示最后一位按偶数的事件，则
4、课堂练习：
1、抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，B={1，2，4，5，6}，求P（A），P（B），P（AB），P（A︱B）。
2、一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P（AB），P（A︱B）。
3、在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10和红球，10个白球。求第1个人摸出1个红球，紧接着第2个人摸出1个白球的概率。
三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容．
1)、条件概率的概念；
2）、条件概率的性质；
四、作业布置：
2.2.2
事件的相互独立性
教学内容分析：
在概率论中，独立性也是极其重要的概念，它的主要作用是简化概率计算，本节中引入独立性的概念主要是为了介绍二项分布的产生背景。
学情分析：
学生已学生条件概率，具有一定的知识基础
教学目标
：
知识与技能：理解两个事件相互独立的概念；
过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算；
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用
教学重点与难点
重点：独立事件同时发生的概率；
难点：有关独立事件发生的概率计算；
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学方法：
分析法，讨论法，归纳法
教学过程：
复习引入：
探究活动:
(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？
事件：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件：乙掷一枚硬币，正面朝上
(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？
事件：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件：从乙坛子里摸出1个球，得到白球
问题(1)、(2)中事件、是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）
问题(1)、(2)中事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率有无影响？（无影响）
思考活动：三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”,
事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”.
事件A的发生会影响事件B
发生的概率吗
显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A的发生不会影响事件B
发生的概率．于是
P（B|
A）=P(B）,
P（AB）=P(
A
)
P
(
B
|A）=P（A）P(B).
二、讲解新课：
1．相互独立事件的定义：
设A,
B为两个事件，如果
P
(
AB
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
,
则称事件A与事件B相互独立（mutually
independent
)
.
事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件
若与是相互独立事件，则与，与，与也相互独立
2．相互独立事件同时发生的概率：
问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件，同时发生，记作．（简称积事件）
从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有种等可能的结果同时摸出白球的结果有种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率
另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率．显然
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，
即
例题赏析：
例1：某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是
0
.
05
，求两次抽奖中以下事件的概率：
(1)都抽到某一指定号码；
(2)恰有一次抽到某一指定号码；
(3)至少有一次抽到某一指定号码．
解：
(1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A,
“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B
，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率
P
(
AB
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
=
0.
05×0.05
=
0.0025.
(2
)
“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A）U（B）表示．由于事件A与B互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为
P
(A）十P（B）=P（A）P（）+
P（）P（B
)
=
0.
05×(1-0.05
)
+
(1-0.05
)
×0.05
=
0.
095.
(
3
)
“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB
)
U
(
A）U（B）表示．由于事件
AB
,
A和B
两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为
P
(
AB
)
+
P（A）+
P（B
)
=
0.0025
+0.
095
=
0.
097
5.
例2：甲、乙二射击运动员分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：
（1）人都射中目标的概率；
（2）人中恰有人射中目标的概率；
（3）人至少有人射中目标的概率；
（4）人至多有人射中目标的概率？
解：记“甲射击次，击中目标”为事件，“乙射击次，击中目标”为事件，则与，与，
与，与为相互独立事件，
（1）人都射中的概率为：
，
∴人都射中目标的概率是．
（2）“人各射击次，恰有人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件发生）根据题意，事件与互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：
∴人中恰有人射中目标的概率是．
（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为．
（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，
2个都未击中目标的概率是，
∴“两人至少有1人击中目标”的概率为．
（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，
故所求概率为：
．
（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，
故所求概率为
例3：在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率
解：分别记这段时间内开关，，能够闭合为事件，，．
由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是
．
答：在这段时间内线路正常工作的概率是
4、课堂练习：
1、已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．
（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；
（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？
2、在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是(
)
3、从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，从两个口袋内各摸出1个球，那么等于（
）
2个球都是白球的概率
2个球都不是白球的概率
2个球不都是白球的概率
2个球中恰好有1个是白球的概率
4、电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（
）
0.128
0.096
0.104
0.384
5、某道路的、、三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是
（
）
6、棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，
（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为
；此穴无壮苗的概率为
．
（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为
；此穴有壮苗的概率为
．
7、一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.
三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容．
1)、相互独立事件的概念；
四、作业布置：
2.2.3
独立重复试验与二项分布
教学内容分析：
为导出二项分布，需要条件概率和事件独立性的概念，所以教科书分别先介绍条件概率和事件独立性的概念，最后介绍独立重复试验与二项分布。
学情分析：
学生已学生条件概率的概念和事件独立性的概念，具有一定的知识基础
教学目标
：
知识与技能：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题；
过程与方法：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算；
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美
,体现数学的文化功能与人文价值
教学重点与难点
重点：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题；
难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算；
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学方法：
分析法，讨论法，归纳法
教学过程：
复习引入：
1、相互独立事件同时发生的概率：
一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，
二、讲解新课：
1、独立重复试验的定义：
一般的，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验
2、独立重复试验的概率公式：
一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率，k=0，1,2,3，。。。，n
它是展开式的第项
3、离散型随机变量的二项分布:
在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
，（k＝0,1,2,…，n，）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
0
1
…
k
…
n
P
…
…
由于恰好是二项展开式
中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial
distribution
)，
记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)
4、例题赏析：
例1、某射手每次射击击中目标的概率是0
.
8.求这名射手在
10
次射击中，
(1)恰有8
次击中目标的概率；
(2)至少有
8
次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)
解：设X为击中目标的次数，则X～B
(10,
0.8
)
.
(1)在
10
次射击中，恰有
8
次击中目标的概率为
P
(X
=
8
)
＝.
(2)在
10
次射击中，至少有
8
次击中目标的概率为
P
(X≥8)
=
P
(X
=
8)
+
P
(
X
=
9
)
+
P
(X
=
10
)
.
例2、某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．
解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，
P(ξ=0)=(95%)=0.9025，P(ξ=1)=(5%)(95%)=0.095，
P()=(5%)=0.0025．
因此，次品数ξ的概率分布是
ξ
0
1
2
P
0.9025
0.095
0.0025
例3、重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．
解：依题意，随机变量ξ～B．
∴P(ξ=4)==，P(ξ=5)==．
∴P(ξ>3)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=
5、课堂练习：
1．每次试验的成功率为，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（
）
2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（
）
3．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是
（
）
答案：1.
C
2.
D
3.
A
三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容．
1)、独立重复试验的概念；
2）、二项分布的概念及公式；
四、作业布置：2.1.2离散型随机变量的分布列
教学内容分析：
教科书引入随机变量的目的是研究随机现象发生的统计规律，即所有随机事件发生的概率，那么如何通过随机变量来刻画这些规律？教科书通过掷骰子实验的例子来展示刻画的方法，并从中概括出离散型随机变量分布列的概念。
学情分析：
学生已学习随机变量，具有一定的知识基础
教学目标
：
知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布；
过程与方法：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性；
情感、态度与价值观：认识概率分布对于刻画随机现象的重要
教学重点与难点
重点：离散型随机变量的分布列的概念；
难点：求简单的离散型随机变量的分布列；
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学方法：
分析法，讨论法，归纳法
教学过程：
复习引入：
1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量
随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2.
离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量
3．连续型随机变量:
对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:
离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
若是随机变量，是常数，则也是随机变量
并且不改变其属性（离散型、连续型）
请同学们阅读课本P5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？
二、讲解新课：
1.
分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为
x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
2.
分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
⑴Pi≥0，i＝1，2，…；
⑵P1+P2+…=1．
对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和，即
3.两点分布列:
例1、在掷一枚图钉的随机试验中，令
如果针尖向上的概率为，试写出随机变量
X
的分布列．
解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（)
．于是，随机变量
X
的分布列是
ξ
0
1
P
像上面这样的分布列称为两点分布列．
两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布
(
two一point
distribution)，而称=P
(X
=
1）为成功概率
4.
超几何分布列：
例
2．在含有
5
件次品的
100
件产品中，任取
3
件，试求：
(1)取到的次品数X
的分布列；
（2）至少取到1件次品的概率．
解：
(1)由于从
100
件产品中任取3
件的结果数为，从100
件产品中任取3件，
其中恰有k
件次品的结果数为，那么从
100
件产品中任取
3
件，其中恰有
k
件次品的概率为
。
所以随机变量
X
的分布列是
X
0
1
2
3
P
(2)根据随机变量X
的分布列，可得至少取到
1
件次品的概率
P
(
X≥1
)
=
P
(
X
=
1
)
+
P
(
X
=
2
)
+
P
(
X
=
3
)
≈0.138
06
+
0.
005
88
+
0.
00006
=
0.
144
00
.
一般地，在含有M
件次品的
N
件产品中，任取
n
件，其中恰有X件次品数，则事件
{X=k｝发生的概率为
,
其中，且．称分布列
X
0
1
…
P
…
为超几何分布列．如果随机变量
X
的分布列为超几何分布列，则称随机变量
X
服从超几何分布（
hypergeometriC
distribution
)
例
3．在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率．
解：设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中
N
=
30
,
M=10,
n=5
．于是中奖的概率
P
(X≥3
)
=
P
(X
=3
)
+
P
(
X
=
4
）十
P
(
X
=
5
)
=≈0.191.
思考：如果要将这个游戏的中奖率控制在55%左右，那么应该如何设计中奖规则？
例4.已知一批产品共
件，其中
件是次品，从中任取
件，试求这
件产品中所含次品件数
的分布律。
解
显然，取得的次品数
只能是不大于
与
最小者的非负整数，即
的可能取值为：
0，1，…，，由古典概型知
此时称
服从参数为的超几何分布。
注
超几何分布的上述模型中，“任取
件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取
件”.如果是有放回地抽取，就变成了
重贝努利试验，这时概率分布就是二项分布.所以两个分布的区别就在于是不放回地抽样，还是有放回地抽样.若产品总数
很大时，那么不放回抽样可以近似地看成有放回抽样.因此，当
时，超几何分布的极限分布就是二项分布
例5．一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列．
分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值时的概率．
解：设黄球的个数为n，由题意知
绿球个数为2n，红球个数为4n，盒中的总数为7n．
∴ ，，．
所以从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为
ξ
1
0
－1
P
说明：在写出ξ的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1．
例6．某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：
ξ
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．
分析：“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ＝7”、“ξ＝8”、“ξ＝9”、“ξ＝10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，可以求得此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．
解：根据射手射击所得的环数ξ的分布列，有
P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22.
所求的概率为
P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88
三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容．
1)、分布列的概念及性质；
2）、两点分布和超几何分布；
四、作业布置：2.3.2
离散型随机变量的方差
教学内容分析：
离散型随机变量的方差是刻画随机变量取值的离散程度的指标，教学中，要把重点放在用方差解决实际问题上，在解决实际问题的过程中理解方差的含义
学情分析：
学生已学习分布列以及正确求解事件的概率，具有一定的学习基础
教学目标
：
知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差；
过程与方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差；
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美
,体现数学的文化功能与人文价值
教学重点与难点
重点：离散型随机变量的方差、标准差；
难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题；
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学方法：
分析法，讨论法，归纳法
教学过程：
一、复习引入：
1、
期望的一个性质:
2、若ξB（n,p），则Eξ=np
二、讲解新课：
1、
方差:
对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，…，那么,
＝＋＋…＋＋…
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望．
2、标准差:的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
3、方差的性质：
（1）；（2）；
（3）若ξ～B(n，p)，则np(1-p)
4、讲解范例：
例1、随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差
解：抛掷散子所得点数X
的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
从而
;
例2、有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元
1200
1400
1600
1800
获得相应职位的概率P1
0.4
0.3
0.2
0.1
乙单位不同职位月工资X2/元
1000
1400
1800
2000
获得相应职位的概率P2
0.4
0.3
0.2
0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
EX1
=
1200×0.4
+
1
400×0.3
+
1600×0.
2
+
1800×0.1
=
1400
,
DX1
=
(1200-1400)
2
×0.
4
+
(1400-1400
)
2×0.3
+
(1600
-1400
)2×0.2+(1800-1400)
2×0.
1=
40
000
;
EX2＝1
000×0.4
+1
400×0.3
+
1
800×0.2
+
2200×0.1
=
1400
,
DX2
=
(1000-1400)2×0.
4+(1
400-1400)×0.3
+
(1800-1400)2×0.2
+
(2200-1400
)2×0.l
=
160000
因为EX1
=EX2,
DX15、课堂练习：
1、设随机变量ξ的分布列为
ξ
1
2
…
n
P
…
求Dξ
解：（略）,
2、已知离散型随机变量的概率分布为
1
2
3
4
5
6
7
P
离散型随机变量的概率分布为
3．7
3．8
3．9
4
4．1
4．2
4．3
P
求这两个随机变量期望、均方差与标准差
解：；
；
；
=0.04,
三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容．
1)、随机变量方差的概念；
2）、随机变量方差的性质；
四、作业布置：2.1.1
离散型随机变量
教学内容分析：
教科书以学生熟悉的掷骰子实验和掷硬币实验为例引入随机变量的概念
学情分析：
学生第一次接触随机变量，学生中会有一定的困难
教学目标
：
知识与技能：1、理解随机变量的意义；
2、学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；
3、理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量；
过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。
情感、态度与价值观：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣
教学重点与难点
重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义；
难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义；
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学方法：
分析法，讨论法，归纳法
教学过程：
复习引入：
展示教科书章头提出的两个实际问题(有条件的学校可用计算机制作好课件辅助教学)，激发学生的求知欲
某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结果，即可能出现的结果可能由0，1，……10这11个数表示；
某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由0，1，2，3，4这5个数表示
在这些随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数来表示．这个数在随机试验前是否是预先确定的 在不同的随机试验中，结果是否不变
观察，概括出它们的共同特点
二、讲解新课：
思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1
,
2
，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？
掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和
0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1
)
.
在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．
定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random
variable
)．随机变量常用字母
X
,
Y，，，…
表示．
思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？
随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．
例如，在含有10件次品的100
件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X
将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0,
1,
2
,
3,
4
}
.
利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品”
,
{X
=4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X<
3
｝在这里表示什么事件吗？“抽出
3
件以上次品”又如何用
X
表示呢？
定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量
(
discrete
random
variable
)
.
离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数
X
是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0,
1,2，….
思考3：电灯的寿命X是离散型随机变量吗？
电灯泡的寿命
X
的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以
X
不是离散型随机变量．
在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000
小时，那么就可以定义如下的随机变量：
与电灯泡的寿命
X
相比较，随机变量Y的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．
连续型随机变量:
对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值
4、离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:
离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，=0，表示正面向上，=1，表示反面向上
若是随机变量，是常数，则也是随机变量
5、例题赏析：
例1．
写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果
(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5
现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；
(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η
解：(1)
ξ可取3，4，5
ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；
ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；
ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5
（2）η可取0，1，…,n，…
η=i，表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,…
例2．
抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>
4”表示的试验结果是什么？
答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点
6、课堂练习：
1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数；②长江上某水文站观察到一天中的水位；③某超市一天中的顾客量
其中的是连续型随机变量的是（
）
A．①； B．②； C．③； D．①②③
２.随机变量的所有等可能取值为，若，则（
）
A．； B．； C．； D．不能确定
3.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（
）
A．； B．； C．； D．
4.如果是一个离散型随机变量，则假命题是(
)
A.
取每一个可能值的概率都是非负数；B.
取所有可能值的概率之和为1；
C.
取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；
D.
在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容．
四、作业布置：2.3.1
离散型随机变量的均值
教学内容分析：
离散型随机变量的均值是刻画随机变量取值的平均水平的指标，教学中，要把重点放在用均值解决实际问题上，在解决实际问题的过程中理解均值的含义
学情分析：
学生已学习分布列以及正确求解事件的概率，具有一定的学习基础
教学目标
：
知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望；
过程与方法：理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξB（n,p），则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望；
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美
,体现数学的文化功能与人文价值
教学重点与难点
重点：离散型随机变量的均值或期望的概念；
难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望；
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学方法：
分析法，讨论法，归纳法
教学过程：
复习引入：
1、离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
，（k＝0,1,2,…，n，）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
0
1
…
k
…
n
P
…
…
称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)
二、讲解新课：
根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下
ξ
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望
根据射手射击所得环数ξ的分布列，
我们可以估计，在n次射击中，预计大约有
次得4环；
次得5环；
…………
次得10环．
故在n次射击的总环数大约为
，
从而，预计n次射击的平均环数约为
．
这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．
对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个（i=0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:
…．
1、
均值或数学期望:
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称
……
为ξ的均值或数学期望，简称期望．
2、均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
3、平均数、均值:
一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
4、
均值或期望的一个性质:
若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为
ξ
x1
x2
…
xn
…
η
…
…
P
p1
p2
…
pn
…
于是……
＝……)……)＝，
由此，我们得到了期望的一个性质:
5、若ξB（n,p），则E（ξ）=np
证明如下：
∵ ，
∴ 0×＋1×＋2×＋…＋k×＋…＋n×．
又∵
，
∴
＋＋…＋＋…＋．
故 若ξ～B(n，p)，则np
6、讲解范例：
例1、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望
解：因为，所以
总结：若X服从两点分布，则E(X)=P
例2、
一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分
学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~
B（20,0.9）,,
由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5
所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：
例3、根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元。
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。试比较哪一种方案好
7、课堂练习：
1、随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．
解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
所以
1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×
＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5．
抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值
2、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击次数的期望。(保留三个有效数字)
3、某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款期数ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元，分2期或3期付款，其利润为250元，分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润。
（1）求事件A：”购买该商品的3位顾客中，至少有一位采用1期付款”
的概率P(A)；
（2）求
η的分布列及期望E
三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容．
1)、随机变量的均值；
2）、随机变量的均值的性质；
四、作业布置：
