《数据的离散程度》
第2课时
平均数，方差的实际应用
在学生对极差、方差、标准差等概念都有了一定的认识之后，学生对这些刻画数据离散程度的三个统计量的认识上还存在一个误区，那就是认为方差或标准差越小越好。因此，本节课安排了学生对一些实际问题的辨析，从而使学生对这三个统计量有一个更深刻的认识。
【知识与能力目标】
进一步了解极差、方差、标准差的求法；会用极差、方差、标准差对实际问题做出判断。
【过程与方法目标】
经历对统计图中数据的读取与处理，发展学生初步的统计意识和数据处理能力。根据极差、方差、标准差的大小对实际问题作出解释，培养学生解决问题能力。
【情感态度价值观目标】
通过解决现实情境中的问题，提高学生数学统计的素养，用数学的眼光看世界。通过小组活动，培养学生的合作意识和交流能力。
【教学重点】
进一步了解极差、方差、标准差的求法；会用极差、方差、标准差对实际问题做出判断。
【教学难点】
用极差、方差、标准差对实际问题做出判断。
教师准备课件，学生阅读课本相关材料。
本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：合作探究；第三环节：运用提高；第四环节：课堂小结
第一环节：情境引入
内容：（1）回顾：什么是极差、方差、标准差？方差的计算公式是什么？一组数据的方差与这组数据的波动有怎样的关系？
（2）计算下列两组数据的方差与标准差：
①1，2，3，4，5；
②103，102，98，101，99。
第二环节：合作探究
内容1：试一试：
如图是某一天A、B两地的气温变化图，请回答下列问题：
（1）这一天A、B两地的平均气温分别是多少？
（2）A地这一天气温的极差、方差分别是多少？B地呢？
（3）A、B两地的气候各有什么特点？
EMBED
Flash.Movie
内容2：我们知道，一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，那么，是不是方差越小就表示这组数据越好呢？
我们通过实例来探讨。
议一议：某校从甲、乙两名优秀选手中选一名选手参加全市中学生运动会跳远比赛，该校预先对这两名选手测试了10次，测试成绩如下表：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选手甲的成绩（cm）
585
596
610
598
612
597
604
600
613
601
选手乙的成绩（cm）
613
618
580
574
618
593
585
590
598
624
（1）他们的平均成绩分别是多少？
（2）甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少？
（3）这两名运动员的运动成绩各有什么特点？
（4）历届比赛表明，成绩达到596cm就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？
（5）如果历届比赛表明，成绩达到610cm就能打破记录，你认为为了打破记录应选谁参加这项比赛？
内容3：做一做：（1）两人一组，在安静的环境中，一人估计1分钟的时间，另一人记下实际时间，将结果记录下来。
（2）在吵闹的环境中，再做一次这样的试验。
（3）将全班的结果汇总起来，并分别计算安静状态和吵闹环境中估计结果的平均值和方差。
（4）两种情况下的结果是否一致？说明理由。
第三环节：运用提高
内容：1.
甲、乙、丙三人的射击成绩如图所示：
请回答：三人中，谁射击成绩更好，谁更稳定？你是怎么判断的？
2.某校从甲乙两名优秀选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛（100米记录为12.2秒，通常情况下成绩为12.5秒可获冠军）。该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：
1
2
3
4
5
6
7
8
选手甲的成绩（秒）
12.1
12.4
12.8
12.5
13
12.6
12.4
12.2
选手乙的成绩（秒）
12
11.9
12.8
13
13.2
12.8
11.8
12.5
根据测试成绩，请你运用所学过的统计知识做出判断，派哪一位选手参加比赛更
第四环节：课堂小结
课前准备
教学过程
B地
A地(共16张PPT)
第七章·
平行线的证明
数据的离散程度
第1课时
极差，方差，标准差
学习目标
1.了解极差的意义，掌握极差的计算方法。（重点）
2.理解方差、标准差的意义，会用样本方差、标准差
估计总体的方差、标准差。（重点、难点）
导入新课
观察与思考
我们知道，接受检阅的仪仗队必须精挑细选，整齐划一，所以特注重队员的身高。下面有两组仪仗队，准备抽取其中一组参与检阅。已知这两组仪仗队队员的身高（单位：cm）如下：
甲队
178
177
179
178
178
177
178
178
177
179
乙队
178
177
179
176
178
180
180
178
176
178
乙队
甲队
你认为哪支仪仗队更为整齐？你是怎么判断的？
讲授新课
一、极差
问题：为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分。某外贸公司要出口一批规格为75
g的鸡腿，现有2个
厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿品质相近。
质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，
质量（单位：g）如下：
甲厂：
75
74
74
76
73
76
75
77
77
74
74
75
75
76
73
76
73
78
77
72
乙厂：
75
78
72
77
74
75
73
79
72
75
80
71
76
77
73
78
71
76
73
75
(1)你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取的鸡腿的平均质量吗？
(2)在图中画出表示平均质量的直线。
解：(1)甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量大约是75g；
(2)直线如图所示。
(3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最小值又是多少？它们相差几克？乙厂呢？
(4)如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪个厂家的鸡腿？
解：甲厂：最大值78g，最小值72g，相差6g；
乙厂：最大值80g，最小值71g，相差9g；
解：平均质量只能反映总体的集中趋势,并不能反映个体的变化情况。从图中看,甲厂的产品更符合要求。
归纳总结
现实生活中，除了关心数据的“平均水平”外，人们还关注数据的离散程度，即它们相对于平均水平的偏离情况。极差就是刻画数据离散程度的一个统计量。
极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。
极差越大,偏离平均数越大,产品的质量(性能)越不稳定。
二、方差与标准差
如果丙厂也参与了竞争，从该厂也抽查20只鸡腿，
（1）丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？
平均数:
极差:
(3)在甲、丙两厂中你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求 为什么？
(2)如何刻画丙厂这20只鸡腿质量与其平均数的差距？分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与其平均数的差距。
数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差来刻画。
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,
即
一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据就越稳定。
其中，
是x1,,x2,……，xn的平均数，s2是方差，而标准差就是方差的算术平方根。
例1:（1）分别计算出从甲、丙两厂抽取的20只鸡腿质量的方差？
（2）根据计算的结果，你认为哪家的产品更符合规格？
丙厂
:
4.2
解：（1）甲厂
:
2.5
（2）甲厂更符合规定。
例2:
小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如下表
所示.谁的成绩较为稳定？为什么？
测试次数
1
2
3
4
5
小明
10
14
13
12
13
小兵
11
11
15
14
11
1
2
3
4
5
求平方和
小明
每次测试成绩
10
14
13
12
13
（每次成绩－
平均成绩）2
5.76
2.56
0.36
0.16
0.36
9.2
小兵
每次测试成绩
11
11
15
14
11
（每次成绩－
平均成绩）2
1.96
1.96
6.76
2.56
1.96
15.2
计算可得：
小明5次测试成绩的标准差为
1.84；
小兵5次测试成绩的标准差为
3.04。
所以根据结果小明的成绩比较稳定。
数据的离散程度
极差
课堂小结
方差
标准差(共14张PPT)
第七章·
平行线的证明
数据的离散程度
第2课时
平均数，方差的实际应用
温故知新
什么是极差、方差、标准差？
方差的计算公式是什么？
一组数据的方差与这组数据的波动有怎样的关系？
温故知新
极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。
标准差就是方差的算术平方根。
方差的计算公式为：
一组数据的方差、标准差越小，这组数据就越稳定。
温故知新
解:
(1)S2
=
2；
(2)S2
=
3.8；
计算下列两组数据的方差与标准差：
(1)
1，2，3，4，5；
(2)103，102，98，101，99。
试一试
如图是某一天A、B两地的气温变化图，请回答下列问题：
(1)这一天A、B两地的平均气温分别是多少？
(2)A地这一天气温的极差、方差分别是多少？B地呢？
(3)A、B两地的气候各有什么特点？
解:
(1)
A地的平均气温是20.42℃，
B地的平均气温是21.35℃；
(2)
A地的极差是9.5℃，方差是7.76，
B地的极差是6℃，方差是2.78；
(3)
A、B两地的平均气温相近，但A地
的日温差较大，B地的日温差较小。
试一试
我们知道，一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，那么，是不是方差越小就表示这组数据越好？
议一议
某校从甲、乙两名优秀选手中选一名选手参加全市中学生运动会跳远比赛。该校预先对这两名选手测试了10次，测试成绩如下表
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选手甲的成绩(cm)
585
596
610
598
612
597
604
600
613
601
选手乙的成绩(cm）
613
618
580
574
618
593
585
590
598
624
(1)他们的平均成绩分别是多少？
(2)甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少？
(3)这两名运动员的运动成绩各有什么特点？
议一议
(4)历届比赛表明，成绩达到596cm就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？
(5)如果历届比赛表明，成绩达到610cm就能打破记录，你认为为了打破记录应选谁参加这项比赛？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选手甲的成绩(cm)
585
596
610
598
612
597
604
600
613
601
选手乙的成绩(cm）
613
618
580
574
618
593
585
590
598
624
议一议
解:
(1)
甲的平均成绩是：601.6cm，
乙的平均成绩是599.3cm；
(2)
甲的方差是65.84，
乙的方差是284.21；
(3)
答案可多样化；
(4)
选甲去；
(5)
选乙去。
议一议
(1)两人一组，在安静的环境中，一人估计1分钟的时间，
另一人记下实际时间，将结果记录下来。
(2)在吵闹的环境中，再做一次这样的试验。
(3)将全班的结果汇总起来并分别计算安静状态和吵闹环境中
估计结果的平均值和方差。
(4)两种情况下的结果是否一致？
说明理由。
做一做
1.甲、乙、丙三人的射击成绩如下图：
三人中，谁射击成绩更好，谁更稳定？你是怎么判断的？
练一练
2.某校从甲乙两名优秀选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛
(100米记录为12.2秒，通常情况下成绩为12.5秒可获冠军)。该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：
1
2
3
4
5
6
7
8
选手甲的成绩（秒）
12.1
12.4
12.8
12.5
13
12.6
12.4
12.2
选手乙的成绩（秒）
12
11.9
12.8
13
13.2
12.8
11.8
12.5
根据测试成绩，请你运用所学过的统计知识做出判断，派哪一位选手参加比赛更好？为什么？
练一练
在本节课的学习中，你对方差的大小有什么新的认识？
新认识：方差越小表示这组数据越稳定，但不是方差越小就表示这组数据越好，而是对具体的情况进行具体分析才能得出正确的结论。
小结《数据的离散程度》
第1课时
极差，方差，标准差
本节课在学生在有了初步的统计意识，并能对数据进行相应的处理和分类的基础上，又安排学生怎样对数据进行分析，力图使学生在统计意识和方法上再上一个台阶。通过对现实生活中的某外贸公司对几个不同的厂家鸡腿的质量进行分析，引出极差、方差、标准差等相关概念，从而培养学生的统计应用能力
【知识与能力目标】
了解刻画数据离散程度的三个量度极差、标准差和方差，能借助计算器求出相应的数值。
【过程与方法目标】
经历表示数据离散程度的几个量度的探索过程，通过实例体会用样本估计总体的统计思想，培养学生的数学应用能力。
【情感态度价值观目标】
通过小组合作活动，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系。
【教学重点】
了解极差的意义，掌握极差的计算方法。
【教学难点】
理解方差、标准差的意义，会用样本方差、标准差估计总体的方差、标准差。
教师准备课件，学生阅读课本相关材料。
第一环节：情境引入
内容：为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分，某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿．现有2个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质也相近。
质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：g）如下：
甲厂：75
74
74
76
73
76
75
77
77
74
74
75
75
76
73
76
73
78
77
72
乙厂：75
78
72
77
74
75
73
79
72
75
80
71
76
77
73
78
71
76
73
75
把这些数据表示成下图：
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网"
（1）你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量是多少？
（2）求甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量，并在图中画出表示平均质量的直线。
（3）从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最小值又是多少？它们相差几克？从乙厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值又是多少？最小值呢？它们相差几克？
（4）如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪家公司的鸡腿？说明你的理由。
在学生讨论交流的的基础上，教师结合实例给出极差的概念：
极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。它是刻画数据离散程度的一个统计量。
第二环节：合作探究
内容1：
如果丙厂也参与了竞争，从该厂抽样调查了20只鸡腿，它们的质量数据如下图：
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网"
（1）丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？
（2）如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距？分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与其相应平均数的差距。
（3）在甲、丙两厂中，你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求？为什么？
数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差刻画。
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即：
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网"
注：HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网"是这一组数据x1，x2，…，xn的平均数，s2是方差，而标准差就是方差的算术平方根。一般说来，一组数据的极差、方差、标准差越小，这组数据就越稳定。
说明：标准差的单位与已知数据的单位相同，使用时应当标明单位；方差的单位是已知单位的平方，使用时可以不标明单位。
第三环节：运用提高
内容：1、甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：cm）如下：
甲队：178
177
179
179
178
178
177
178
177
179
乙队：178
177
179
176
178
180
180
178
176
178
哪支仪仗队队员的身高更为整齐？你是怎么判断的？
学生在正确计算出两队的方差后，可判断出方差较小的仪仗队更为整齐。
目的：通过学生的反馈练习，使教师及时了解学生对刻画数据离散程度的三个量度极差、标准差和方差的理解情况，以便教师及时对学生进行矫正。
注意事项：教师要及时对学生的学习情况进行评价。
第四环节：课堂小结。
课前准备
教学过程《数据的离散程度》同步练习
1、填空题
( http: / / www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )；
（1）一组数据：，，0，，1的平均数是0，则=
。
方差
。
（2）如果样本方差，那么这个样本的平均数为
。样本容量为
。
（3）已知的平均数10，方差3，则的平均数为
，方差为
。
2、选择题
( http: / / www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )：
（1）样本方差的作用是（
）
A、估计总体的平均水平
B、表示样本的平均水平
C、表示总体的波动大小
D、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小
（2）一个样本的方差是0，若中位数是，那么它的平均数是（
）
A、等于
B、不等于
C、大于
D、小于
（3）已知样本数据101，98，102，100，99，则这个样本的标准差是（
）
A、0
B、1
C、
D、2
（4）如果给定数组中每一个数都减去同一非零常数，则数据的（
）
A、平均数改变，方差不变
B、平均数改变，方差改变
C、平均数不变，方差不变
A、平均数不变，方差改变
3、为了考察甲、乙两种农作物的长势，分别从中抽取了10株苗，测得苗高如下：（单位：mm）
甲：9，10，11，12，7，13，10，8，12，8
乙：8，13，12，11，10，12，7，7，9，11
请你经过计算后回答如下问题
( http: / / www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )：
（1）哪种农作物的10株苗长的比较高？
（2）哪种农作物的10株苗长的比较整齐？
拓展思考：某校要从甲、乙两名跳高运动员中挑选一人参加一项校际比赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（单位：m）如下：
甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67
乙：
1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75
（1）他们的平均成绩分别是多少？
（2）哪个人的成绩更为稳定？
（3）经预测，跳高1.65m就很可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，可能选哪位运动员参赛？若预测跳高1.70m方可获得冠军呢？
火眼金睛：小飞在求一组数据的方差时，觉得运用公式求方差比较麻烦，善于动脑的小飞发现求方差的简化公式，你认为小飞的想法正确吗？请你就时，帮助小飞证明该简化公式。
答案与解析
1、（1）2
（2）2
，4
（3）20
，12
2、（1）D
（2）A（3）C
（4）A
3、（1）
，
，甲、乙两种农作物的苗长得一样高
（2），
，甲比较整齐
拓展思考：（1）1.69m
，1.68m
（2）甲、乙两名运动员8次比赛成绩的方差分别是0.0006和0.00315，因此甲的成绩较稳定
（3）可能选甲运动员参赛，因为甲运动员8次比赛成绩都超过1.65m，而乙运动员有3次成绩低于1.65m；可能选乙运动员，因为甲运动员仅有3次成绩超过1.70m
。
当然学生也可以有不同看法，只要有道理，就应给予肯定。
火眼金睛：
填空题
选择题
解答题
填空题
选择题
解答题《数据的离散程度》同步练习
如图是甲、两位同学5次数学考试成绩的折线统计图，你认为成绩较稳定的是（
）
A.甲
B.乙
C.甲、乙的成绩一样稳定
D.无法确定
人数相等的甲。乙两班学生参加了同一次数学测验，班级平均分和方差如下：
=80，=80，s=240，s
=180，则成绩较为稳定的班级为（
）
A.甲班
B.乙班
C.两班成绩一样稳定
D.无法确定
下列统计量中，能反映一名同学在7～9
年级学段的学习成绩稳定程度的是
（
）
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
某车间6月上旬生产零件的次品数如下（单位：个）：0，2，0，2，3，0，2，
3，1，2则在这10天中该车间生产零件的次品数的（
）
A.众数是4
B.中位数是1.5
C.平均数是2
D.方差是1.25
在甲、乙两块试验田内，对生长的禾苗高度进行测量，分析数据得：甲试验田内禾苗高度数据的方差比乙实验田的方差小，则（
）
A.甲试验田禾苗平均高度较高
B.甲试验田禾苗长得较整齐
C.乙试验田禾苗平均高度较高
D.乙试验田禾苗长得较整齐
6.
5名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：cm）：0，2，－2，－1，1，则这组数据的极差为_______cm。
7.五个数1，2，4，5，a的平均数是3，则a=
，这五个数的方差为
。
8.已知一组数据1，2，1，0，－1，－2，0，－1，则这组数据的平均数为
，中位数为
，方差为
。
9.某校高一新生参加军训，一学生进行五次实弹射击的成绩（单位：环）如下：8，6，10，7，9，则这五次射击的平均成绩是____环，中位数_____环，方差是______。
10.已知数据a。b。c的方差是1，则4a，4b，4c的方差是
。
11.某学生在一学年的6次测验中语文。数学成绩分别为（单位：分）：
语文：80，84，88，76，79，85
数学：80，75，90，64，88，95
试估计该学生是数学成绩稳定还是语文
成绩稳定？
12.在某次体育活动中，统计甲。乙两班学生每分钟跳绳的成绩（单位：次）情况如下表：
班级
参加人数
平均次数
中位数
方差
甲班
55
135
149
190
乙班
55
135
151
110
下面有三种说法：（1）甲班学生的平均成绩高于乙班的学生的平均成绩；（2）甲班学生成绩的波动比乙班成绩的波动大；（3）甲班学生成绩优秀的人数比乙班学生成绩优秀的人数（跳绳次数≥150次为优秀）少，试判断上述三个说法是否正确？请说明理由。
答案与解析
1.A
2.B
3.D
4.C
5.B
填空题
6.4
7.3
2
8.0
0
1。5
9.8
8
2
10.16
11.略。
12.略。
选择题
填空题
解答题
选择题
解答题
