2.3 确定二次函数的表达式（2）一课一测

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2.3 确定二次函数的表达式
第二课时检测
（时间45分钟 满分100分）　　　　
一．选择题（每小题3分，共50分）
1．已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC=2．则这条抛物线的解析式为（　　）21·cn·jy·com
A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2+x+2
C．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 D．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2
2．二次函数图象如图所示，则其解析式是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．y=﹣x2+2x+4 B．y=x2+2x+4 C．y=﹣x2﹣2x+4 D．y=﹣x2+2x+3
3．过点（1，0），B（3，0），C（﹣1，2）三点的抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1， ( http: / / www.21cnjy.com )） C．（﹣1，5） D．（2， ( http: / / www.21cnjy.com )）
4.如图，抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），与y轴交于点（0，﹣3）则此抛物线对此函数的表达式为（　　）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )
A．y=x2+2x+3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=x2+2x﹣3
5．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．y=x2+2 B．y=（x﹣2）2+2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣2
6．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+5x+4﹣a2的图象，那么a的值是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2 B．﹣2 C．﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) D．±2
7．由表格中信息可知，若设y=ax2+bx+c，则下列y与x之间的函数关系式正确的是（　　）
x ﹣1 0 1
ax2 1
ax2+bx+c 8 3
A．y=x2﹣4x+3 B．y=x2﹣3x+4 C．y=x2﹣3x+3 D．y=x2﹣4x+8
8．已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（　　）
A．y=2x2+x+2 B．y=x2+3x+2 C．y=x2﹣2x+3 D．y=x2﹣3x+2
9．若所求的二次函数图象与抛物线y=2x ( http: / / www.21cnjy.com )2﹣4x﹣1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
A．y=﹣x2+2x﹣5 B．y=ax2﹣2ax+a﹣3（a＞0）
C．y=﹣2x2﹣4x﹣5 D．y=ax2﹣2ax+a﹣3（a＜0）
10．如果抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，12），（0，5）和（2，﹣3），则a+b+c的值为（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．1
二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2017 百色）经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是　 　．　
12．抛物线y=x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
则抛物线的解析式是　 　．
13．（2017春 广饶县校级期中）若一个 ( http: / / www.21cnjy.com )二次函数的二次项系数为﹣1，且图象的顶点坐标为（0，﹣3）．则这个二次函数的表达式为 　．
14．已知二次函数y有最大值4，且图象与x ( http: / / www.21cnjy.com )轴两交点间的距离是8，对称轴为x=﹣3，此二次函数的解析式为　 　．　21教育名师原创作品
15．有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：
甲说：对称轴是直线x=2；
乙说：与x轴的两个交点距离为6；
丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，请你写出满足
上述全部条件的一条抛物线的解析式：　 　．　
16．如图，边长为1的正方形ABCO，以A为顶点，且经过点C的抛物线与对角线交于点D，点D的坐标为　 　．
( http: / / www.21cnjy.com )
三．解答题（共20分）
17．（10分）（2017 ( http: / / www.21cnjy.com ) 闵行区一模）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D是抛物线上一点，且点D的横坐标为﹣2，求△AOD的面积．
　
18．（10分）（2017 秦淮区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：21世纪教育网版权所有
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
（1）求该函数的表达式；
（2）当y＜5时，x的取值范围是　 　．
2.3 确定二次函数的表达式
第二课时检测
（时间45分钟 满分100分）　　　　
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，共50分）
1．已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC=2．则这条抛物线的解析式为（　　）【出处：21教育名师】
A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2+x+2
C．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 D．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2
【分析】首先由OC=2，可知C点的坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )是（0，2）或（0，﹣2），然后分别把A、B、C三点的坐标代入函数的解析式，用待定系数法求出．注意本题有两种情况．
【解答】解：抛物线与y轴交于点C，且OC=2，则C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），
当C点坐标是（0，2）时，图象经过三点，可以设函数解析式是：y=ax2+bx+c，
把（2，0），（﹣1，0），（0，2）分别代入解析式，
得到： ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
则函数解析式是：y=﹣x2+x+2；
同理可以求得当C是（0，﹣2）时解析式是：y=x2﹣x﹣2．
故这条抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2或y=x2﹣x﹣2．
故选C．
2．二次函数图象如图所示，则其解析式是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．y=﹣x2+2x+4 B．y=x2+2x+4 C．y=﹣x2﹣2x+4 D．y=﹣x2+2x+3
【分析】根据二次函数的性质，观察函 ( http: / / www.21cnjy.com )数图象，利用开口方向可淘汰B，利用对称性可淘汰C，利用抛物线与y轴的交点坐标可淘汰D，从而得到A为正确选项．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，所以B选项错误；
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )＞0，
∴b＞0，所以C选项错误；
∵抛物线与y轴的交点为（0，4），
∴c=4，所以D选项错误．
故选A．
3．过点（1，0），B（3，0），C（﹣1，2）三点的抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1， ( http: / / www.21cnjy.com )） C．（﹣1，5） D．（2， ( http: / / www.21cnjy.com )）
【分析】利用待定系数法求解．
【解答】解：设抛物线为y=ax2+bx+c，把（1，0），B（3，0），C（﹣1，2）代入得，
( http: / / www.21cnjy.com )
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=2， ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴顶点坐标是（2， ( http: / / www.21cnjy.com )）．
故选D．
4.如图，抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），与y轴交于点（0，﹣3）则此抛物线对此函数的表达式为（　　）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
A．y=x2+2x+3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=x2+2x﹣3
【分析】由抛物线与x轴的两交点坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )的横坐标，设出抛物线的两根形式y=a（x﹣x1）（x﹣x2），然后再把抛物线与y轴的交点坐标代入所设的解析式中，确定出a的值，进而得到抛物线的解析式，化为一般式即可．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：由抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），
设此抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
又抛物线与y轴交于（0，﹣3），
把x=0，y=﹣3代入y=a（x+1）（x﹣3）得：﹣3=a（0+1）（0﹣3），
即﹣3a=﹣3，解得：a=1，
则抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3．
故选B．
5．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．y=x2+2 B．y=（x﹣2）2+2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣2
【分析】已知二次函数的顶点坐标，设顶点式比较简单．
【解答】解：设这个二次函数的关系式为y=a（x+2）2﹣2，将（0，2）代入得
2=a（0+2）2﹣2
解得：a=1
故这个二次函数的关系式是y=（x+2）2﹣2，
故选D．
6．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+5x+4﹣a2的图象，那么a的值是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2 B．﹣2 C．﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) D．±2
【分析】根据图示知，抛物线y=ax2+5x+4﹣a2的图象经过（0，0），所以将点（0，0）代入方程，利用待定系数法求二次函数解析式．www.21-cn-jy.com
【解答】解：根据图示知，二次函数y=ax2+5x+4﹣a2的图象经过原点（0，0），
∴0=4﹣a2，
解得，a=±2；
又∵该函数图象的开口方向向下，
∴a＜0，
∴a=﹣2．
故选B．
7．由表格中信息可知，若设y=ax2+bx+c，则下列y与x之间的函数关系式正确的是（　　）
x ﹣1 0 1
ax2 1
ax2+bx+c 8 3
A．y=x2﹣4x+3 B．y=x2﹣3x+4 C．y=x2﹣3x+3 D．y=x2﹣4x+8
【分析】由图表可以得到：当x=﹣1时，y=a ( http: / / www.21cnjy.com )x2+bx+c=8；当x=0时，y=ax2+bx+c=3；当x=1时，ax2=1．根据以上条件代入得到：a﹣b+c=8，c=3，a=1，就可以求出解析式．21cnjy.com
【解答】解：将x=1，ax2=1，代入y=ax2，得a=1．
将x=﹣1，a=1分别代入ax2+bx+c=8，得1﹣b+c=8，
将x=0，a=1分别代入ax2+bx+c=3，得c=3，
则b=﹣4，
∴函数解析式是：y=x2﹣4x+3．
故选A．
8．已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（　　）
A．y=2x2+x+2 B．y=x2+3x+2 C．y=x2﹣2x+3 D．y=x2﹣3x+2
【分析】本题已知了抛物线上三点的坐标，可直接用待定系数法求解．
【解答】解：设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，把（1，0）、（2，0）和（0，2）代入得： ( http: / / www.21cnjy.com )，解之得 ( http: / / www.21cnjy.com )；21*cnjy*com
所以该函数的解析式是y=x2﹣3x+2．
故本题选D．
9．若所求的二次函数图象与 ( http: / / www.21cnjy.com )抛物线y=2x2﹣4x﹣1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（　　）
A．y=﹣x2+2x﹣5 B．y=ax2﹣2ax+a﹣3（a＞0）
C．y=﹣2x2﹣4x﹣5 D．y=ax2﹣2ax+a﹣3（a＜0）
【分析】先由顶点公式（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )）求出抛物线y=2x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（1，﹣3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，﹣3），且抛物线开口向下．再分别确定选项中的顶点坐标和开口方向即可求解．
【解答】解：抛物线y=2 ( http: / / www.21cnjy.com )x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（1，﹣3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，﹣3），且抛物线开口向下．
A、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，﹣4），故选项错误；
B、抛物线开口向上，顶点坐标是（1，﹣3），故选项错误；
C、抛物线开口向下，顶点坐标是（﹣1，﹣3），故选项错误；
D、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，﹣3），故选项正确．
故选D．
10．如果抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，12），（0，5）和（2，﹣3），则a+b+c的值为（　　）21*cnjy*com
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．1
【分析】将点（﹣1，12），（0，5） ( http: / / www.21cnjy.com )和（2，﹣3）代入y=ax2+bx+c，得到三元一次方程组，解这个方程组得a、b、c的值，即可求得a+b+c的值．
【解答】解：由题意得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
所以a+b+c=1﹣6+5=0
故选C．
二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2017 百色）经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是　y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )x+3　．
【分析】根据A与B坐标特点设出抛物线解析式为y=a（x﹣2）（x﹣4），把C坐标代入求出a的值，即可确定出解析式．
【解答】解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
则抛物线解析式为y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（x+2）（x﹣4）=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )x+3，
故答案为y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )x+3．
　
12．抛物线y=x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
则抛物线的解析式是　y=x2﹣4x+3　．
【分析】将x=0、y=3代入解析式求得c，再根据抛物线的对称轴x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=2可得b，即可得抛物线的解析式．21·世纪*教育网
【解答】解：将x=0、y=3代入y=x2+bx+c，得：c=3，
由表可知，抛物线的对称轴x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=2，
解得：b=﹣4，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3，
故答案为：y=x2﹣4x+3．
　
13．（2017春 广饶县校级期中）若 ( http: / / www.21cnjy.com )一个二次函数的二次项系数为﹣1，且图象的顶点坐标为（0，﹣3）．则这个二次函数的表达式为　y=﹣x2﹣3　．
【分析】已知顶点坐标利用顶点式求解比较简单．
【解答】解：图象顶点坐标为（0，﹣3），
可以设函数解析式是y=ax2﹣3，
又∵二次函数的二次项系数为﹣1，
∴a=﹣1，
因而解析式是：y=﹣x2﹣3，
故答案为y=﹣x2﹣3．
　
14．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x=﹣3，此二次函数的解析式为　y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（x+7）（x﹣1）　．【版权所有：21教育】
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线与x轴的两个交点坐标，然后把顶点坐标（﹣3，4）代入函数解析式y=a（x+7）（x﹣1）求得系数a的值．
【解答】解：∵该函数图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x=﹣3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标是（﹣7，0）、（1，0）．
故设该抛物线解析式为y=a（x+7）（x﹣1）（a≠0）．
把顶点（﹣3，4）代入得到：4=a（﹣3+7）（﹣3﹣1），
解得a=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
则该二次函数解析式为：y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（x+7）（x﹣1）．
故答案是：y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（x+7）（x﹣1）．
　
15．有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：
甲说：对称轴是直线x=2；
乙说：与x轴的两个交点距离为6；
丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，请你写出满足
上述全部条件的一条抛物线的解析式：　y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（x﹣2）2+3或y= ( http: / / www.21cnjy.com )（x﹣2）2﹣3　．
【分析】因为对称轴是直线x=2，与x轴的两个交点距离为6，所以与x轴的两个交点的坐标为（﹣1，0），（5，0）；2-1-c-n-j-y
因为顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，可得顶点的纵坐标为±3，得顶点坐标为（2，3）或（2，﹣3）；
所以利用顶点式求得抛物线的解析式即可．
【解答】解：根据题意得：抛物线与x轴的两个交点的坐标为（﹣1，0），（5，0），顶点坐标为（2，3）或（2，﹣3），
设函数解析式为y=a（x﹣2）2+3或y=a（x﹣2）2﹣3；
把点（5，0）代入y=a（x﹣2）2+3得a=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
把点（5，0）代入y=a（x﹣2）2﹣3得a= ( http: / / www.21cnjy.com )；
∴满足上述全部条件的一条抛物线的解析式为y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（x﹣2）2+3或y= ( http: / / www.21cnjy.com )（x﹣2）2﹣3．
　
16．如图，边长为1的正方形ABCO，以A为顶点，且经过点C的抛物线与对角线交于点D，点D的坐标为　（ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )）　．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】首先求得A、B、C的坐标，利用待 ( http: / / www.21cnjy.com )定系数法即可求得抛物线的解析式和直线OB的解析式，然后解OB的解析式与二次函数的解析式组成的方程组即可求解．
【解答】解：A的坐标是（1，0）、C坐标是（0，1），设出解析式是y=a（x﹣1）2，把C的坐标代入得：a（﹣1）2=1，
解得：a=1，
则抛物线的解析式是：y=（x﹣1）2；
∵B的坐标是（1，1），
设OB解析式的解析式是y=kx，则k=1，则OB的解析式是y=x．
根据题意得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )（舍去），或 ( http: / / www.21cnjy.com )．
则D的坐标是：（ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )）．
故答案为：（ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )）．
三．解答题（共20分）
17．（10分）（2017 闵行区一 ( http: / / www.21cnjy.com )模）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D是抛物线上一点，且点D的横坐标为﹣2，求△AOD的面积．
【分析】（1）把A，B，C三点坐标代入解析式求出a，b，c的值，即可求出函数解析式；
（2）把x=﹣2代入抛物线解析式求出y的值，确定出D坐标，由OA为底，D纵坐标绝对值为高，求出三角形AOD面积即可．
【解答】解：（1）把A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y=ax2+bx+c得：
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）把x=﹣2代入抛物线解析式得：y=5，即D（﹣2，5），
∵A（3，0），即OA=3，
∴S△AOD= ( http: / / www.21cnjy.com )×3×5= ( http: / / www.21cnjy.com )．
　
18．（10分）（2017 秦淮区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
（1）求该函数的表达式；
（2）当y＜5时，x的取值范围是　0＜x＜4　．
【分析】（1）根据表中的数据，可得该二次函数图象的顶点坐标（2，1），设函数的表达式为y=a（x﹣2）2+1，代入数据解得a，可的解析式；
（2）根据二次函数的对称性及已知数据可知该二次函数的对称轴为x=2，结合表格中所给数据可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得图象的顶点坐标为（2，1），
设函数的表达式为y=a（x﹣2）2+1．
由题意得函数的图象经过点（0，5），
所以5=a （﹣2）2+1．
所以a=1．
所以函数的表达式为y=（x﹣2）2+1（或y=x2﹣4x+5）；
（2）由所给数据可知当x=2时，y有最小值1，
∴二次函数的对称轴为x=2，
又由表格数据可知当y＜5时，对应的x的范围为0＜x＜4，
故答案为：0＜x＜4．
　
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