2.5 二次函数与一元二次方程（1）一课一测

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2.5 二次函数与一元二次方程
第一课时检测
（时间45分钟 满分100分）　　　　
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．（2017秋 上杭县期中）已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）21世纪教育网版权所有
A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4
2．（2017秋 上杭县期中）二次函数y=x2﹣2x+1的图象与x轴的交点情况是（　　）
A．一个交点 B．两个交点 C．没有交点 D．无法确定
3．（2017 广安）如图所示，抛物线y ( http: / / www.21cnjy.com )=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac=0；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3；其中正确的有（　　）个．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2017 枣庄）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（　　）
A．当a=1时，函数图象经过点（﹣1，1）
B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方
D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大
5．（2017 苏州）若二次函数y=ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1=0的实数根为（　　）2·1·c·n·j·y
A．x1=0，x2=4 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1= ( http: / / www.21cnjy.com )，x2= ( http: / / www.21cnjy.com ) D．x1=﹣4，x2=0　
6．（2017 随州）对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（　　）
A．它的图象与x轴有两个交点 B．方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3
C．它的图象的对称轴在y轴的右侧 D．x＜m时，y随x的增大而减小　
7．（2017 鄂州）如图抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB=OC，下列结论：①2b﹣c=2；②a= ( http: / / www.21cnjy.com )；③ac=b﹣1；④ ( http: / / www.21cnjy.com )＞0；其中正确的个数有（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2017 天津）已知抛物线y=x2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )4x+3与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（　　）
A．y=x2+2x+1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=x2﹣2x+1 D．y=x2﹣2x﹣1　
9．（2017 日照）已知抛物线y=ax2 ( http: / / www.21cnjy.com )+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b+c=0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．①②③ B．③④⑤ C．①②④ D．①④⑤
10．（2017 雨城区校 ( http: / / www.21cnjy.com )级自主招生）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=﹣1（a＜b）的两根，则实数x1，x2，a，b的大小关系是（　　）
A．a＜x1＜x2＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2 D．x1＜x2＜a＜b　
二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2017秋 上杭县期中）若二次函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是　 　．
12．（2017 武汉）已知关于x的二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数y=ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是 　．　
13．（2017 青岛）若抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是　 　．
14．（2017 株洲）如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2＞ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1；以上结论中正确结论的序号为 　．
( http: / / www.21cnjy.com )　
15．（2017 南通一模）抛物线y=ax2+3与x轴的两个交点分别为（m，0）和（n，0），则当x=m+n时，y的值为　 　．
16．（2017 河南模拟）抛物线L：y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（x+t）（x﹣t+4）与x轴只有一个交点，则抛物线L与x轴的交点坐标是　 　．
三．解答题（共20分）
17．（10分）（2017秋 上杭县期中）已知二次函数y=﹣x2+2x+k+2与x轴的公共点有两个．
（1）求k的取值范围；
（2）当k=1时，求抛物线与x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标；
（3）观察图象，当x取何值时y＞0．
18．（10分）（2017 荆州）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k为常数．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．
2.5 二次函数与一元二次方程
第一课时检测
（时间45分钟 满分100分）　　　　
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．（2017秋 上杭县期中）已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）21教育网
A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4
【分析】由于不知道函数是一次函数还是二次函数，需对k进行讨论．当k=3时，函数y=2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；21cnjy.com
当k≠3，函数y=（k﹣3）x2+2x+1是二次函数，当△≥0时，二次函数与x轴都有交点，解△≥0，求出k的范围．
【解答】解：当k=3时，函数y=2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；
当k≠3，函数y=（k﹣3）x2+2x+1是二次函数，
当22﹣4（k﹣3）≥0，
k≤4
即k≤4时，函数的图象与x轴有交点．
综上k的取值范围是k≤4．
故选D．
　
2．（2017秋 上杭县期中）二次函数y=x2﹣2x+1的图象与x轴的交点情况是（　　）
A．一个交点 B．两个交点 C．没有交点 D．无法确定
【分析】求出根的判别式的值，即可作出判断．
【解答】解：二次函数y=x2﹣2x+1，
∵△=4﹣4=0，
∴二次函数图象与x轴交点情况是一个交点．
故选A　
3．（2017 广安）如图所示，抛 ( http: / / www.21cnjy.com )物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：
①b2﹣4ac=0；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3
其中正确的有（　　）个．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．
【解答】解：抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，故①错误；
由于对称轴为x=﹣1，
∴x=﹣3与x=1关于x=﹣1对称，
∵x=﹣3时，y＜0，
∴x=1时，y=a+b+c＜0，故②错误；
∵对称轴为x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣1，
∴2a﹣b=0，故③正确；
∵顶点为B（﹣1，3），
∴y=a﹣b+c=3，
∴y=a﹣2a+c=3，
即c﹣a=3，故④正确；
故选（B）
　
4．（2017 枣庄）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（　　）
A．当a=1时，函数图象经过点（﹣1，1）
B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方
D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大
【分析】A、将a=1代入原函数解析 ( http: / / www.21cnjy.com )式，令x=﹣1求出y值，由此得出A选项不符合题意；B、将a=2代入原函数解析式，令y=0，根据根的判别式△=8＞0，可得出当a=﹣2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，即B选项不符合题意；C、利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标，令其纵坐标小于零，可得出a的取值范围，由此可得出C选项不符合题意；D、利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质，即可得出D选项符合题意．此题得解．
【解答】解：A、当a=1时，函数解析式为y=x2﹣2x﹣1，
当x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，
∴当a=1时，函数图象经过点（﹣1，2），
∴A选项不符合题意；
B、当a=﹣2时，函数解析式为y=﹣2x2+4x﹣1，
令y=﹣2x2+4x﹣1=0，则△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，
∴当a=﹣2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，
∴B选项不符合题意；
C、∵y=ax2﹣2ax﹣1=a（x﹣1）2﹣1﹣a，
∴二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1﹣a），
当﹣1﹣a＜0时，有a＞﹣1，
∴C选项不符合题意；
D、∵y=ax2﹣2ax﹣1=a（x﹣1）2﹣1﹣a，
∴二次函数图象的对称轴为x=1．
若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴D选项符合题意．
故选D．
　
5．（2017 苏州）若二次函数y=ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1=0的实数根为（　　）www-2-1-cnjy-com
A．x1=0，x2=4 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1= ( http: / / www.21cnjy.com )，x2= ( http: / / www.21cnjy.com ) D．x1=﹣4，x2=0
【分析】二次函数y=ax2+1的图象经过点（﹣2，0），得到4a+1=0，求得a=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，代入方程a（x﹣2）2+1=0即可得到结论．2-1-c-n-j-y
【解答】解：∵二次函数y=ax2+1的图象经过点（﹣2，0），
∴4a+1=0，
∴a=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴方程a（x﹣2）2+1=0为：方程﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（x﹣2）2+1=0，
解得：x1=0，x2=4，
故选A．
　
6．（2017 随州）对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（　　）
A．它的图象与x轴有两个交点
B．方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3
C．它的图象的对称轴在y轴的右侧
D．x＜m时，y随x的增大而减小
【分析】直接利用二次函数与x轴交点个数、二次函数的性质以及二次函数与方程之间关系分别分析得出答案．
【解答】解：A、∵b2﹣4ac=（2m）2+12=4m2+12＞0，
∴二次函数的图象与x轴有两个交点，故此选项正确，不合题意；
B、方程x2﹣2mx=3的两根之积为： ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣3，故此选项正确，不合题意；
C、m的值不能确定，故它的图象的对称轴位置无法确定，故此选项错误，符合题意；
D、∵a=1＞0，对称轴x=m，
∴x＜m时，y随x的增大而减小，故此选项正确，不合题意；
故选：C．
　
7．（2017 鄂州）如图抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB=OC，下列结论：21教育名师原创作品
①2b﹣c=2；②a= ( http: / / www.21cnjy.com )；③ac=b﹣1；④ ( http: / / www.21cnjy.com )＞0
其中正确的个数有（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a、b、c的符号以及它们之间的数量关系，即可得出结论．
【解答】解：据图象可知a＞0，c＜0，b＞0，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )＜0，故④错误；
∵OB=OC，
∴OB=﹣c，
∴点B坐标为（﹣c，0），
∴ac2﹣bc+c=0，
∴ac﹣b+1=0，
∴ac=b﹣1，故③正确；
∵A（﹣2，0），B（﹣c，0），抛物线线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）和B（﹣c，0）两点，
∴2c= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴2= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴a= ( http: / / www.21cnjy.com )，故②正确；
∵ac﹣b+1=0，
∴b=ac+1，a= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴b= ( http: / / www.21cnjy.com )c+1
∴2b﹣c=2，故①正确；
故选：C．
　
8．（2017 天津）已知抛物线y=x2﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )x+3与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（　　）
A．y=x2+2x+1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=x2﹣2x+1 D．y=x2﹣2x﹣1
【分析】直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A，B，M点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．
【解答】解：当y=0，则0=x2﹣4x+3，
（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3，
∴A（1，0），B（3，0），
y=x2﹣4x+3
=（x﹣2）2﹣1，
∴M点坐标为：（2，﹣1），
∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，
∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，
∴平移后的解析式为：y=（x+1）2=x2+2x+1．
故选：A．
　
9．（2017 日照）已知 ( http: / / www.21cnjy.com )抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①抛物线过原点；
②4a+b+c=0；
③a﹣b+c＜0；
④抛物线的顶点坐标为（2，b）；
⑤当x＜2时，y随x增大而增大．
其中结论正确的是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．①②③ B．③④⑤ C．①②④ D．①④⑤
【分析】①由抛物线的对称 ( http: / / www.21cnjy.com )轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b=﹣4a、c=0，即4a+b+c=0，结论②正确；③根据抛物线的对称性结合当x=5时y＞0，即可得出a﹣b+c＞0，结论③错误；④将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=0，即可求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；⑤观察函数图象可知，当x＜2时，yy随x增大而减小，结论⑤错误．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；
②∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，且抛物线过原点，
∴﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=2，c=0，
∴b=﹣4a，c=0，
∴4a+b+c=0，结论②正确；
③∵当x=﹣1和x=5时，y值相同，且均为正，
∴a﹣b+c＞0，结论③错误；
④当x=2时，y=ax2+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c）+b=b，
∴抛物线的顶点坐标为（2，b），结论④正确；
⑤观察函数图象可知：当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．
综上所述，正确的结论有：①②④．
故选C．
　
10．（2017 雨城区校级自主招生） ( http: / / www.21cnjy.com )若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=﹣1（a＜b）的两根，则实数x1，x2，a，b的大小关系是（　　）
A．a＜x1＜x2＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2 D．x1＜x2＜a＜b
【分析】因为x1和x2为方程的两根，所 ( http: / / www.21cnjy.com )以满足方程（x﹣a）（x﹣b）=﹣1，再由已知条件x1＜x2、a＜b结合图象，可得到x1，x2，a，b的大小关系．
【解答】解：用作图法比较简单，首先作出（x﹣a）（x﹣b）=0图象，随便画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），www.21-cn-jy.com
再向上平移一个单位，就是（x﹣a）（x﹣b）=﹣1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：
实数x1、x2、a、b的大小关系是：a＜x1＜x2＜b．
故选A．
( http: / / www.21cnjy.com )
　
二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2017秋 上杭县期中）若二次函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是　1　．
【分析】m≠0，则函数为二次函数．由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，且m不为0，即可求出m的值．
【解答】解：∵二次函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴△=4﹣4m=0，且m≠0，
解得 m=1．
故答案是：1．
　
12．（2017 武汉）已知关于x的二次函数y=ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是　 ( http: / / www.21cnjy.com )＜a＜ ( http: / / www.21cnjy.com )或﹣3＜a＜﹣2　．
【分析】先用a表示出抛物线与x轴的交点，再分a＞0与a＜0两种情况进行讨论即可．
【解答】解：∵y=ax2+（a2﹣1）x﹣a=（ax﹣1）（x+a），
∴当y=0时，x1= ( http: / / www.21cnjy.com )，x2=﹣a，
∴抛物线与x轴的交点为（ ( http: / / www.21cnjy.com )，0）和（﹣a，0）．
∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且2＜m＜3，
∴当a＞0时，2＜ ( http: / / www.21cnjy.com )＜3，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )＜a＜ ( http: / / www.21cnjy.com )；
当a＜0时，2＜﹣a＜3，解得﹣3＜a＜﹣2．
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com )＜a＜ ( http: / / www.21cnjy.com )或﹣3＜a＜﹣2．
　
13．（2017 青岛）若抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是　m＞9　．
【分析】利用根的判别式△＜0列不等式求解即可．
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点，
∴△=b2﹣4ac＜0，
∴（﹣6）2﹣4×1 m＜0，
解得m＞9，
∴m的取值范围是m＞9．
故答案为：m＞9．
　
14．（2017 株洲）如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2＞ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1；以上结论中正确结论的序号为　①④　．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】根据抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），可得c=﹣2，依此判断③；由抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），可得a﹣b﹣2=0，依此判断①②；由|a|=|b|可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x= ( http: / / www.21cnjy.com )，可得x2=2，比较大小即可判断④；从而求解．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：由A（﹣1，0），B（0，﹣2），得b=a﹣2，
∵开口向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )＞0，
∴﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )＞0，
∴a﹣2＜0，
∴a＜2；
∴0＜a＜2；
∴①正确；
∵抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），
∴c=﹣2，故③错误；
∵抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b﹣2=0，
∵0＜a＜2，
∴0＜b+2＜2，
﹣2＜b＜0，故②错误；
∵|a|=|b|，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，
∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴x2=2＞ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1，故④正确．
故答案为：①④．
　
15．（2017 南通一模）抛物线y=ax2+3与x轴的两个交点分别为（m，0）和（n，0），则当x=m+n时，y的值为　3　．21*cnjy*com
【分析】根据二次函数对称轴方程x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )可以求得m+n，即x的值．然后将x的值代入抛物线方程求得y的值．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：∵抛物线y=ax2+3与x轴的两个交点分别为（m，0）和（n，0），
∴该抛物线的对称轴方程为﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，即m+n=0，
∴x=m+n=0，
∴y=0+3=3，即y=3．
故答案是：3．
　
16．（2017 河南模拟）抛物线L：y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（x+t）（x﹣t+4）与x轴只有一个交点，则抛物线L与x轴的交点坐标是　（﹣2，0）　．21*cnjy*com
【分析】根据题意可知：﹣t=t﹣4，从而求出t的值，然后令y=0代入抛物线解析式即可求出与x轴的交点．
【解答】解：由于抛物线与x轴只有一个交点，
∴﹣t=t﹣4
∴t=2
∴令y=0代入y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（x+2）（x+2）
∴x=﹣2
∴抛物线L与x轴的交点坐标是（﹣2，0）
故答案为：（﹣2，0）
　
三．解答题（共20分）
17．（10分）（2017秋 上杭县期中）已知二次函数y=﹣x2+2x+k+2与x轴的公共点有两个．【出处：21教育名师】
（1）求k的取值范围；
（2）当k=1时，求抛物线与x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标；
（3）观察图象，当x取何值时y＞0．
【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点问题得到△=22﹣4×（﹣1）（k+2）＞0，然后解不等式即可．
（2）把k=1代入函数关系式，将该函数关系式转化为交点式和顶点式方程，根据方程来解题；
（3）根据图象直接写出答案．
【解答】解：（1）∵二次函数y=﹣x2+2x+k+2与x轴有两个交点．
∴△=22﹣4×（﹣1）×（k+2）＞0
解得：k＞﹣3；
（2）当k=1时，二次函数是y=﹣x2+2x+3，
令y=0，得﹣x 2+2x+3=0，
解得：x 1=﹣1，x 2=3
∴抛物线与X轴的公共点A、B的坐标分别是（﹣1，0）、（3，0），
∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4
∴抛物线的顶点C的坐标是（1，4）；
（3）由图象可知：当x=﹣1或x=3时，y=0；
当﹣1＜x＜3时，y＞0．
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18．（10分）（2017 荆州）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k为常数．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．
【分析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明；
（2）由于二次函数y=x2+（k﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，又△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=（k﹣3）2+12＞0，所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解；
（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据题意得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．
【解答】（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）解：∵二次函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，
∵二次项系数a=1，
∴抛物线开口方向向上，
∵△=（k﹣3）2+12＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点，
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，
∴x1+x2=5﹣k＞0，x1 x2=1﹣k≥0，
解得k≤1，
即k的取值范围是k≤1；
（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，
根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，
即x1 x2﹣3（x1+x2）+9＜0，
又x1+x2=5﹣k，x1 x2=1﹣k，
代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，
解得k＜ ( http: / / www.21cnjy.com )．
则k的最大整数值为2．
　
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