1.1分类加法计数原理、分步乘法计数原理
【教学目标】
（1）理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的问题；
（2）培养归纳概括能力；
（3）养成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习习惯
【教学重点】
分类计数原理与分步计数原理的应用
【教学难点】
分类计数原理与分步计数原理的准确理解
第一课时
问题1.1：从温州到杭州，可以乘汽车，也可以乘火车，一天之中，火车有2班，汽车有3班，那么一天中，乘坐这些交通工具从温州到杭州共有几种不同的走法？
问题1.2：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？
探究：你能说说以上两个问题的特征吗？
分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.21教育网
问题1.3：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：www-2-1-cnjy-com
A大学 B大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 信息技术学
物理学 法学
工程学
那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？
变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？21世纪教育网版权所有
探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？21·世纪*教育网
如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
分类加法计数原理
完成一件事，有n 类不同方案，在第1类方案中有m1 种不同方法，在第2类方案中有m2 种不同的方法，‥‥‥在第n类方案中有mn 种不同的方法， 那么完成这件事共有N种不同的方法： N=m1+m2+‥‥‥+mn 。21*cnjy*com
问题2.1：从温州到绍兴，没有直达的火车。但可以先乘火车到缙云，再搭汽车到绍兴。 一天之中，从温州到缙云的火车有3班（在中午之前），从缙云到绍兴的汽车有4班（在午后），那么一天中，乘坐这些交通工具从温州到绍兴共有几种不同的走法？
问题2.2：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以A1,A2,…，B1,B2,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
探究：你能说说这个问题的特征吗？
分步乘法计数原理
完成一件事需要分二个步骤，在第1步中有m种不同的方法，在第2步中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
问题2.3：书架上有不同的数学书3本，不同的语文书2本，不同的英语书4本，从书架上拿数学书、语文书、英语书各一本，共有多少种不同的拿法？
探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m11种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成 n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， ‥‥‥ 做第n步有mn种不同的方法, 那么完成这件事共有N种不同的方法。
N=m1×m2×‥‥‥×mn
思考：两个基本计数原理的联系与区别？
综合应用
问题3.1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.www.21-cn-jy.com
①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
分三类：计+文；计+体；文+体
变式：问题③中的“学科”两字去掉，如何解决？
方法一：在问题③的基础上再加三类：计+计；文+文；体+体
方法二：在总共9本书中直接取两本，但要除以2(分步中暗藏着顺序). (9×8)/2
问题3.2 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？2-1-c-n-j-y
问题3.3 某班有男生25人，女生23人，
①要选一人参加市级会议，又要选男女生各一人参加学校会议（同一人可以参加两个会议）。问：有多少种不同的选法？
②要选一人参加市级会议，又要选男女生各一人参加学校会议（同一人不可以参加两个会议）。问：有多少种不同的选法？【出处：21教育名师】
第二课时
问题4.1 电信局规定：我校的电话号码前四位数字都是8679，后四位数字则是0到9之间的任意一个数字，那么我校最多可以装几部不同的号码的电话机？【来源：21·世纪·教育·网】
问题4.2 4封信投入10 个不同的信箱中，有多少种不同的投法？
思考： 7名同学争夺三个体育项目的冠军，每人获得冠军的机会均等，那么产生三个项目的冠军共有几种可能的情况？21*cnjy*com
7名同学报名参加三个体育项目的比赛，要求每位同学限报一项比赛，问共有多少种不同的报名方法？
巩固练习
若集合A=｛a1，a2，a3，a4，a5｝，B=｛b1，b2｝,从集合A到集合B，可建立 32 个不同的映射，从B到A可建立 25 个不同的映射。21cnjy.com
问题5：(1995全国理)用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有(A)(A)24个 (B)30个 (C)40个 (D)60个【来源：21cnj*y.co*m】
巩固练习:
⑴用0，1，2， 3，4这5个数字组成无重复数字的五位数中，若按从小到大的顺序排列，那么12340应是(B )(A)第9个数 (B)第10个数(C)第11个数 (D)第12个数
⑵用1，2，3，4，5，6，7七个数字排列组成七位数，使其中偶位数上必定是偶数，那么可得七位数的个数是(B )(A)24 (B)144 (C)36 (D)
问题6：（2003广东省全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 72 种.（以数字作答）21教育名师原创作品
巩固练习:
⑴在如图的1×6矩形长条中涂上红、黄、蓝三种颜色，每种颜色限涂两格，且相邻两格不同色，则不同的涂色方案有_30___种.
⑵某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种1种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽法有_______种．
[解析]由于第1、2、3块两两相邻，我们先安排这三块，给第1、2、3块种花时分别有4、3、2种法，所以共有4×3×2=24种不同种法．【版权所有：21教育】
下面给第4块种花，若第4块与第6块同色，只有一种种植方法，则第5块只有2种种法，若第4块与第2块同色时，共有2×1=2种种法．若第4块与第6块不同色，但第4
块与第2块同色，则第6块有2种种植的方案，而第5块只有1种种法，共有2种不同的种植方法．
若第4块与第6块不同色，但第4块与第2块不同色，则第6块有1种种法，则第5块也有一种不同种法，所以第4块与第6块不同色时，有1种种法．2·1·c·n·j·y
综上共有24×(2＋2＋1)=120种不同的种植方法．
问题7.某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？20
解：由题意可知，在艺术组9人中，有且仅有一人既会钢琴又会小号（把该人称为“多面手”），只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把会钢琴、小号各1人的选法分为两类：
第一类：多面手入选，另一人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种．
第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号的1人也只能从只会小号的 2人中选出，放这类选法共有6×2＝12种， 21·cn·jy·com
故共有20种不同的选法．
1.2.1排列
教学目标：理解排列、排列数的概念；
了解排列数公式的推导；
能用“树型图”写出一个排列中所有的排列；
能用排列数公式计算。
教学重点：排列、排列数的概念。
教学难点：排列数公式的推导
第一课时
一、复习引入：
1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法
分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事 应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制
二、讲解新课：
1问题：
问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？21·cn·jy·com
分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的对象叫做元素【版权所有：21教育】
解决这一问题可分两个步骤：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 3×2=6 种，如图 1.2一1 所示．
把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是ab,ac,ba,bc,ca, cb,
共有 3×2=6 种．
问题2．从1,2,3,4这 4 个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定右边的数，从余下的2个数中取，有2种方法
由分步计数原理共有：4×3×2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法
显然，从 4 个数字中，每次取出 3 个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：
第 1 步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；
第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法；
第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法．
根据分步乘法计数原理，从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有
4×3×2=24
种不同的排法， 因而共可得到24个不同的三位数，如图1. 2一2 所示．
由此可写出所有的三位数：
123，124, 132, 134, 142, 143， 213，214, 231, 234, 241, 243，
312，314, 321, 324, 341, 342， 412，413, 421, 423, 431, 432 。
同样，问题 2 可以归结为：
从4个不同的元素a, b, c，d中任取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
所有不同排列是
abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc,
cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.
共有4×3×2=24种.
树形图如下
a b ｃ ｄ
ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｄ ａ ｂ ｄ ａ ｂ ｃ
2．排列的概念：
从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列21教育网
说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；
（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同
3．排列数的定义：
从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列2-1-c-n-j-y
4．排列数公式及其推导：
由的意义：假定有排好顺序的2个空位，从个元素中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数．由分步计数原理完成上述填空共有种填法，∴=
由此，求可以按依次填3个空位来考虑，∴=，
求以按依次填个空位来考虑，
排列数公式：
（）
说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个
少1，最后一个因数是，共有个因数；
（2）全排列：当时即个不同元素全部取出的一个排列
全排列数：（叫做n的阶乘）
另外，我们规定 0! =1 .
例1．用计算器计算： (1）； (2）; (3）.
解：用计算器可得：
由（ 2 ) ( 3 ）我们看到，．那么，这个结果有没有一般性呢？即
.
排列数的另一个计算公式：
=.
即 =
说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数中，且这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；
（2）公式常用来求值，特别是均为已知时，公式=，常用来证明或化简
第二课时
例1．(课本例2)．某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？【来源：21·世纪·教育·网】
解：任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是=14×13=182.
例2．(课本例3)．(1）从5本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？
(2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解：(1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是=5×4×3=60.
(2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3 名同学每人各 1 本书的不同方法种数是5×5×5=125.
例 8 中两个问题的区别在于： ( 1 ）是从 5 本不同的书中选出 3 本分送 3 名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而（ 2 ）中，由于不同的人得到的书可能相同，因此不符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘法计数原理进行计算．
例3．(课本例4)．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在本问题的。到 9 这 10 个数字中，因为。不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此。是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问题
解法 1 ：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是O，因此可以分两步完成排列．第1步，排百位上的数字，可以从1到9 这九个数字中任选 1 个，有种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个，有种选法（图1.2一 5) ．根据分步乘法计数原理，所求的三位数有
=9×9×8=648（个） .
解法 2 ：如图1.2 一6 所示，符合条件的三位数可分成 3 类．每一位数字都不是位数有 A 母个，个位数字是 O 的三位数有揭个，十位数字是 0 的三位数有揭个．根据分类加法计数原理，符合条件的三位数有
=648个．
解法 3 ：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为，其中 O 在百位上的排列数是，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求的三位数的个数是【来源：21cnj*y.co*m】
-=10×9×8-9×8=648.
对于例9 这类计数问题，可用适当的方法将问题分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解题方法．解法 1 根据百位数字不能是。的要求，分步完成选 3 个数组成没有重复数字的三位数这件事，依据的是分步乘法计数原理；解法 2 以 O 是否出现以及出现的位置为标准，分类完成这件事情，依据的是分类加法计数原理；解法 3 是一种逆向思考方法：先求出从10个不同数字中选3个不重复数字的排列数，然后从中减去百位是。的排列数（即不是三位数的个数），就得到没有重复数字的三位数的个数．从上述问题的解答过程可以看到，引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加简便、快捷地求解“从n个不同元素中取出 m (m≤n）个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题．
1.1节中的例 9 是否也是这类计数问题？你能用排列的知识解决它吗？
小结：排列的特征：一个是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列” ,“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同. 了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反过来剔”．前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。21cnjy.com
四、课堂练习：
1．若，则 （ ）
2． 若，则的值为 （ ）
3．计算： ；
4．已知，那么 ；
5．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？21教育名师原创作品
6．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？
第三课时
例1．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解：（1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：，所以，共有60种不同的送法
（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：，所以，共有125种不同的送法
说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从5本不同的书中选出3本分送给3位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算
例2．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有种；第二类用2面旗表示的信号有种；第三类用3面旗表示的信号有种，由分类计数原理，所求的信号种数是：，www-2-1-cnjy-com
例3．将位司机、位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？【出处：21教育名师】
分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从个不同元素中取出个元素排成一列，有种方法；21*cnjy*com
第二步：把位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有种方法，
利用分步计数原理即得分配方案的种数
解：由分步计数原理，分配方案共有（种）例4．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解法1：用分步计数原理：
所求的三位数的个数是：
解法2：符合条件的三位数可以分成三类：每一位数字都不是0的三位数有个，个位数字是0的三位数有个，十位数字是0的三位数有个，
由分类计数原理，符合条件的三位数的个数是：．
解法3：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为，其中以0为排头的排列数为，因此符合条件的三位数的个数是-．
说明：解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法直接法：通过对问题进行恰当的分类和分步，直接计算符合条件的排列数如解法1，2；间接法：对于有限制条件的排列应用题，可先不考虑限制条件，把所有情况的种数求出来，然后再减去不符合限制条件的情况种数如解法3．对于有限制条件的排列应用题，要恰当地确定分类与分步的标准，防止重复与遗漏
第四课时
例5．（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？
解：问题可以看作：7个元素的全排列＝5040．
（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？
解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040．
（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——=720．
（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有种；
第二步 余下的5名同学进行全排列有种，所以，共有=240种排列方法
（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有种方法，所以一共有＝2400种排列方法
解法2：（排除法）若甲站在排头有种方法；若乙站在排尾有种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有－＋=2400种．
说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑
例6.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？
解法一：（从特殊位置考虑）；
解法二：（从特殊元素考虑）若选：；若不选：，
则共有种；
解法三：（间接法）
第五课时
例7． 7位同学站成一排，
（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有种21世纪教育网版权所有
（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
解：方法同上，一共有＝720种
（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的4个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有＝960种方法
解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2种方法，2·1·c·n·j·y
所以，丙不能站在排头和排尾的排法有种方法
解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有＝960种方法．www.21-cn-jy.com
（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起
解：将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，时一共有2个元素，∴一共有排法种数：（种）
说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．
例8．7位同学站成一排，
（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
解法一：（排除法）；
解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有种方法，所以一共有种方法．21*cnjy*com
（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
解：先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有种方法，所以一共有＝1440种．
说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．
例9．5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列
解：（1）先将男生排好，有种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空挡”（包括两端）中，有种排法21·世纪*教育网
故本题的排法有（种）；
（2）方法1：；
方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法
故本题的结论为（种）
1.2.2组合
教学目标：
1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；
2.能正确认识组合与排列的联系与区别
教学重点：
理解组合的意义，掌握组合数的计算公式
第一课时
一、复习引入：
1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法
3．排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列
4．排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示
5．排列数公式：（）
6阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定．
7．排列数的另一个计算公式：=
8.提出问题：
示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．
二、讲解新课：
1组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
例1．判断下列问题是组合还是排列
（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？
（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？
（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？
（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？
问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？
（2）什么样的两个组合就叫相同的组合
2．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．www-2-1-cnjy-com
例2．用计算器计算．
解：由计算器可得
例3．计算：（1）； （2）；
（1）解： ＝35；
（2）解法1：＝120．
解法2：＝120．
第二课时
3．组合数公式的推导：
（1）从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢？
启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得，故我们可以考察一下和的关系，如下：21cnjy.com
组 合 排列
由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有种方法．由分步计数原理得：＝，所以，．21世纪教育网版权所有
（2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：
① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；
② 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝．
（3）组合数的公式：
或
规定: .
三、讲解范例：
例4． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：21教育网
(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．www.21-cn-jy.com
解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） . 2·1·c·n·j·y
(2）教练员可以分两步完成这件事情：
第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有种选法；
第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有种选法．
所以教练员做这件事情的方法数有
=136136（种）.
例5．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？
(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？
解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有21教育名师原创作品
（条）.
(2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有
（条）.
例6．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .
(1）有多少种不同的抽法？
(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？
(3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有
= 161700 （种）.
(2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有【出处：21教育名师】
=9506(种).
(3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有21*cnjy*com
+=9 604 （种） .
解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即
=161 700-152 096 = 9 604 （种）.
说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。
变式：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选；
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
例7．（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？
解：．
（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？21·cn·jy·com
解：问题可以分成2类：
第一类 2名男生和2名女生参加，有中选法；
第二类 3名男生和1名女生参加，有中选法
依据分类计数原理，共有100种选法
错解：种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多
例8．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？
解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有，，，
所以，一共有++＝100种方法．
解法二：（间接法）
第四课时
组合数的性质1：．
一般地，从n个不同元素中取出个元素后，剩下个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n ? m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n ? m个元素的组合数，即：．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想
说明：①规定：；
②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；
③此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化.
例如＝＝=2002；
④或．
2．组合数的性质2：＝+．
一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出m ?1个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．
证明：
∴＝+．
说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；21·世纪*教育网
②此性质的作用：恒等变形，简化运算
例9．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解：（1）,或，；（2）；（3）．
例10．计算：．
解：原式；
例11．第17届世界杯足球赛于2002年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有32支球队有幸参加，他们先分成8个小组循环赛，决出16强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强），这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？2-1-c-n-j-y
答案是：，这题如果作为习题课应如何分析
解：可分为如下几类比赛：
⑴小组循环赛：每组有6场，8个小组共有48场；
⑵八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据抽签规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；【来源：21·世纪·教育·网】
⑶四分之一淘汰赛：根据抽签规则，8强中每两个队比赛一场，可以决出4强，共有4场；
⑷半决赛：根据抽签规则，4强中每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；
⑸决赛：2强比赛1场确定冠亚军，4强中的另两队比赛1场决出第三、四名 共有2场.
综上，共有场
小结：
1注意区别“恰好”与“至少”
从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种
2特殊元素（或位置）优先安排
将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种21*cnjy*com
3“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”
七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种
4、混合问题，先“组”后“排”
对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？【版权所有：21教育】
5、分清排列、组合、等分的算法区别
(1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?
(2) 今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法?
(3) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法?
6、分类组合,隔板处理
从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?
四、课堂练习：
1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：
（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？
（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？
2．名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ）
． ． ． ．
3．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ）
．对 ．对 ．对 ．对
4．设全集，集合、是的子集，若有个元素，有个元素，且，求集合、，则本题的解的个数为 （ ）【来源：21cnj*y.co*m】
． ． ． ．
5．从位候选人中选出人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法
6．从位同学中选出人去参加座谈会，有 种不同的选法
7．圆上有10个点：
（1）过每2个点画一条弦，一共可画 条弦；
（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形
8．（1）凸五边形有 条对角线；（2）凸五边形有 条对角线
9．计算：（1）；（2）．
10．个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？
11．空间有10个点，其中任何4点不共面，（1）过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？
12．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？
13．写出从这个元素中每次取出个的所有不同的组合
答案：1. （1）组合, （2）排列 2. B 3. A 4. D 5. 30 6. 15
7. （1）45 （2） 120 8. （1）5（2）
9. ⑴455； ⑵ 10. ⑴10； ⑵20
11. ⑴； ⑵
12.
13. ； ； ； ；
1.3.1二项式定理
【教学目标】
（1）理解用组合的知识推导二项式定理；
（2）理解通项的意义并会灵活应用通项,能区分项的系数与二项式系数的不同；
（3）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
（4）充分体验归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
【教学重点】
二项式定理及通项公式的掌握及运用
【教学难点】
二项式定理及通项公式的掌握及运用
第一课时
一、复习引入：
⑴；
⑵
⑶的各项都是次式，
即展开式应有下面形式的各项：，，，，，
展开式各项的系数：上面个括号中，每个都不取的情况有种，即种，的系数是；恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，有都取的情况有种，的系数是，21教育网
∴．
二、讲解新课：
二项式定理：
⑴的展开式的各项都是次式，即展开式应有下面形式的各项：
，，…，，…，，
⑵展开式各项的系数：
每个都不取的情况有种，即种，的系数是；
恰有个取的情况有种，的系数是，……，
恰有个取的情况有种，的系数是，……，
有都取的情况有种，的系数是，
∴，
这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫的二项展开式，⑶它有项，各项的系数叫二项式系数，21·cn·jy·com
⑷叫二项展开式的通项，用表示，即通项．
⑸二项式定理中，设，则
三、讲解范例：
例1．展开．
解一： ．
解二：
．
例2．展开．
解：
．
第二课时
例3．求的展开式中的倒数第项
解：的展开式中共项，它的倒数第项是第项，
．
例4．求（1），（2）的展开式中的第项．
解：（1），
（2）．
点评：，的展开后结果相同，但展开式中的第项不相同
例5．（1）求的展开式常数项；
（2）求的展开式的中间两项
解：∵，
∴（1）当时展开式是常数项，即常数项为；
（2）的展开式共项，它的中间两项分别是第项、第项，
，
第三课时
例6．（1）求的展开式的第4项的系数；
（2）求的展开式中的系数及二项式系数
解：的展开式的第四项是，
∴的展开式的第四项的系数是．
（2）∵的展开式的通项是，
∴，，
∴的系数，的二项式系数．
例7．求的展开式中的系数
分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开21世纪教育网版权所有
解：（法一）
，
显然，上式中只有第四项中含的项，
∴展开式中含的项的系数是
（法二）：
∴展开式中含的项的系数是．
例8．已知 的展开式中含项的系数为，求展开式中含项的系数最小值
分析：展开式中含项的系数是关于的关系式，由展开式中含项的系数为，可得，从而转化为关于或的二次函数求解21cnjy.com
解：展开式中含的项为
∴，即，
展开式中含的项的系数为
，
∵， ∴，
∴
，∴当时，取最小值，但，
∴ 时，即项的系数最小，最小值为，此时．
第四课时
课堂练习：
1.求的展开式的第3项.
2.求的展开式的第3项.
3.写出的展开式的第r+1项.
4.求的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.
5.用二项式定理展开：
（1）；（2）.
6.化简：（1）；（2）
7．展开式中的第项为，求．
8．求展开式的中间项
答案：1.
2.
3.
4.展开式的第4项的二项式系数，第4项的系数
5.（1）；
（2）.
6. （1）；
（2）
7. 展开式中的第项为
8. 展开式的中间项为
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
●三维目标
1.知识与技能
(1)能认识杨辉三角，并能利用它解决实际问题．
(2)记住二项式系数的性质，并能解决相关问题．
2．过程与方法
通过观察、分析杨辉三角数表的特点，掌握二项式系数的性质．
3．情感、态度与价值观
通过“杨辉三角”的学习，了解中华民族的历史，增强爱国主义意识．
●重点、难点
重点：二项式系数的性质．
难点：杨辉三角的结构．
第一课时
【问题导思】
(1)观察“杨辉三角”发现规律
①第一行中各数之和为多少？
第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？
②观察第3行中2与第2行各数之间什么关系？
第4行中3与第2行各数之间什么关系？
第5行中的4、6与第4行各数之间有什么关系？
由此你能得出怎样的结论？
【提示】 (1)①20,21,22,23,24，第n行各数之和为2n－1.
②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相邻两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，设C表示任一不为1的数，则它“肩上”两数分别为C，C，所以C＝C＋C.21cnjy.com
1．杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.
2．二项式系数的性质
(1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C，C＝C，…，C＝C.www.21-cn-jy.com
(2)增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数Cn取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数Cn，Cn相等，且同时取得最大值．
3．二项式系数的和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n. (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
图1－3－1
例1 如图1－3－1所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值．21世纪教育网版权所有
【思路探究】 观察数列的特点、它在杨辉三角中的位置，或者联系二项式系数的性质，直接对数列求和即可．
【自主解答】 由题意及杨辉三角的特点可得：
S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)
＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)
＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(2＋3＋…＋9)
＝C＋
＝164.
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：
(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律．
(2)表达：将发现的规律用数学式子表达．
(3)结论：由数学表达式得出结论．
本例条件不变，若改为求S21，则结果如何？
【解】 S21＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋…＋(55＋11)＋66
＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C
＝(C＋C＋C＋……C)＋(2＋3＋…＋11)
＝C＋
＝286＋65
＝351.
第二课时
例1：设(1－2x)2 012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 012·x2 012(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 012的值．
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 011的值．
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 012|的值．
【思路探究】 先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解．
【自主解答】 (1)令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 012＝(－1)2 012＝1.①
(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a2 012＝32 012.②
①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 011)＝1－32 012，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 011＝.
(3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，
∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 012|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012＝32 012.
1．本题根据问题恒等式的特点采用“特殊值”法即“赋值法”，这是一种重要的方法，适用于恒等式．
2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
例2：已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7，a0＋a2＋a4＋a6.
【解】 (1)∵(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，
令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，①
令x＝0，得a0＝1，
∴a1＋a2＋…＋a7＝－2.
(2)令x＝－1，得
a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝37＝2187，②
由①、②得
a1＋a3＋a5＋a7＝－1 094，
a0＋a2＋a4＋a6＝1 093.
例3 已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【思路探究】 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”、“－”号．21教育网
【自主解答】 令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.21·cn·jy·com
∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)，或2n＝32，∴n＝5.
(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是
假设Tr＋1项系数最大，
则有
∴∴
∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4.
小结：1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2·1·c·n·j·y
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．【来源：21·世纪·教育·网】
练习：求(1＋2x)7的展开式中的二项式系数最大项与系数最大项．
【解】 在二项式系数C，C，C，…，C中，最大的是C与C，故二项式系数最大项是第4项与第5项，即T4＝C(2x)3＝280x3与T5＝C(2x)4＝560x4.21·世纪*教育网
设第r＋1项的系数最大，则由?
?由于r是整数，故r＝5，所以系数最大的是第6项，即T6＝C(2x)5＝672x5.
第三课时
例4 已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C＋C＋C＋…＋C的值为( )www-2-1-cnjy-com
A．28 B．28－1 C．27 D．27－1
【错解】 设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，
令A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋…，
由题意知B－A＝38.
令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，
∴(a0＋a2＋…)－(a1＋a3＋…)＝(－3)n
∴B－A＝(－3)n＝38，∴n＝8.
由二项式系数性质可得，a＋a＋…＋C＝2n＝28
【答案】 A
【错因分析】 误将C＋C＋…＋C看作是二项展开式各项二项式系数和，忽略了C.
【防范措施】 (1)解答本题应认真审题，搞清已知条件以及所要求的结论，避免失误．
(2)解决此类问题时，要对二项式系数的性质熟练把握，尤其是赋值法，要根据题目的要求，灵活赋给字母所取的不同值．2-1-c-n-j-y
【正解】 设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.21*cnjy*com
则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….
由已知可知：B－A＝38.令x＝－1，
得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，
即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－ (a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，
即：B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.
由二项式系数性质可得：
C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1.
【答案】 B
二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察——归纳——猜想——证明的数学方法，并且在归纳证明的过程中应用了函数、方程等数学思想，大致对应如下：
对称性应用了组合数的性质增减性与最大值应用了组合数公式、
分类讨论思想等系数和应用了赋值法、方程思想
1．(a＋b)7的各二项式系数的最大值为( )
A．21 B．35 C．34 D．70
【答案】 B
2．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是( )
A．第15项 B．第16项
C．第17项 D．第18项
【解析】 由二项式系数的性质知与第6项系数相等的项应为倒数第6项，即第16项．
【答案】 B
3．(1＋2x)2n的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是第________项．
【解析】 (1＋2x)2n的展开式中共有2n＋1项，中间一项的系数最大，即第n＋1项．
【答案】 n＋1
4．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14，试求：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a14；
(2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.
【解】 (1)在已知等式中令x＝1，则得：
a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝27＝128.①
(2)在已知等式中令x＝－1，则得：
a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝67.②
①－②得：
2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67＝－279 808.
因此，a1＋a3＋a5＋…＋a13＝－139 904.
