§2.1.1 合情推理(第一课时)
一、教学目标：
1、知识与技能：
掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
2、过程与方法：
通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。
3、情感、态度与价值观：
感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
二、教学重点：
归纳推理及方法的总结。
三、教学难点：
归纳推理的含义及其具体应用。
四、教学过程：
（一）问题情境：
1、引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”
①提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？
②探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？
从而引入两则小典故：
A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？
B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？
正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。
③思考：整个过程对你有什么启发？
④启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
2、数学皇冠明珠
追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。
这是世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是一位著名的数学家。据说哥德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，于是他对一些偶数进行验证，由此他大胆地猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想，它是数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。许多优秀的数学家都在努力证明这个猜想，而且也取得了很好的进展。
思考：哥德巴赫是如何提出这个猜想的？
学生交流、探讨：他是通过对一些偶数的验证，发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没有出现反例，从而提出这个猜想。21教育网
（二）推进新课
1、归纳推理的定义：
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。21cnjy.com
2、归纳推理的特点：
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
3、归纳推理的一般步骤：
4、例题讲解：
例1、前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.21·cn·jy·com
结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
例2、前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……
结论：凸n?边形的内角和是（n—2）×1800。
例3、
探究：上述结论都成立吗？
强调：归纳推理的结果不一定成立!
例 4、已知数列｛｝的第1项，且（n=1,2,3，…），试归纳出这个数列的通项公式．
分析：数列的通项公式表示的是数列{}的第n项与序号 n 之间的对应关系．为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项．21世纪教育网版权所有
解：当n=1时，;
当 n =2时，；
当n =3时，；
当n=4时，．
观察可得，数列的前 4 项都等于相应序号的倒数．由此猜想，这个数列的通项公式为
．
①思考：怎么求？组织学生进行探究，寻找规律。
②归纳：由学生讨论，归纳技巧：
有整数和分数时，往往将整数化为分数；
当分子分母都在变化时，往往统一分子 (或分母)，再寻找另一部分的变化规律。
在例4和例5中，我们通过归纳得到了关于数列通项公式的一个猜想．虽然猜想是否正确还有待严格的证明，但这个猜想可以为我们的研究提供一种方向．www.21-cn-jy.com
（三）课堂练习：
课本P77页练习1、2
（四）课堂小结：
1、归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。
2、归纳推理的一般步骤：
通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）。2·1·c·n·j·y
（五）布置作业：
课本P83页习题A组1、、2题。
§2.1.1 合情推理(第二课时)
一、教学目标：
（一）知识与能力：
了解类比推理的基本方法，并能用它进行简单的推理。
（二）过程与方法：
类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，得出的结论就越可靠。www.21-cn-jy.com
（三）情感态度与价值观：
1．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识。21·世纪*教育网
2．认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。
二、教学重点：
了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
三、教学难点：
用类比进行推理，做出猜想。
四、教学过程：
（一）导入新课：
除了归纳，在人们的创造发明活动中，还常常应用类比．例如，据说我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的齿牙，发明了锯；人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；等等。事实上，仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的。
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子。他的思路是这样的：
茅草是齿形的；
茅草能割破手。
我需要一种能割断木头的工具；
它也可以是齿形的。
这个推理过程有什么特点？
（二）推进新课：
1、我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质： 猜想不等式的性质：
(1) a=b?a+c=b+c; (1) a＞b?a+c＞b+c;
(2) a=b? ac=bc; (2) a＞b? ac＞bc;
(3) a=b?a2=b2;等等。 (3) a＞b?a2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积
圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
2、类比推理的定义：
由两个（两类）对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．2·1·c·n·j·y
3、类比推理的特点：
类比推理是由特殊到特殊的推理．
4、类比推理的一般步骤：
（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
（2）用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想。
在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比而提出新问题和作出新发现．
5、例3（课本例2）类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质．
分析：实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算，都满足一定的运算律，都存在逆运算，而且“0”和“1”分别在加法和乘法中占有特殊的地位因此我们可以从上述 4 个方面来类比这两种运算．【来源：21·世纪·教育·网】
解：(1)两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数．
(2)从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即
a + b = b + a ab=ba
(a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc)
(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使得方程
a + x=0 ax=1 (a≠0 )
都有唯一解
x=-a x=
(4)在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；乘法中的1与加法中的0类似，即任意实数与1的积都等于原来的数，即 2-1-c-n-j-y
a + 0= a a·1= a
运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象．例如，在立体几何中，为了研究四面体的性质，我们可以在平面几何中寻找一个研究过的对象，通过类比这个对象的性质，获得四面体性质的猜想以及证明这些猜想的思路．【出处：21教育名师】
6、探究：你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象？
可以从不同角度出发确定类比对象，如围成四面体的几何元素的数目、位置关系、度量等．从构成几何体的元素数目看，可以把三角形作为四面体的类比对象．【版权所有：21教育】
例4（课本例3）类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．
分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们可以选取有3个面两两垂直的个面是四面体，作为直角三角形的类比对象．21世纪教育网版权所有
直角三角形
?3个面两两垂直的四面体
∠C＝90°
3个边的长度a，b，c
2条直角边a，b和1条斜边c
?∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S
3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S
解：如图所示，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
.
于是，类比直角三角形的勾股定理，在四面体 P - DEF 我们猜想
.
7、合情推理的定义：
以上的推理过程概括为：
可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理、我们把它们统称为合情推理（plausible reasoning ）。在数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．下面再来看一个例子．
例5（课本例4）如图2 .1-2 所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．21·cn·jy·com
1．每次只能移动1个金属片；
2．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．
试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？
分析：我们从移动1, 2, 3, 4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动 n个金属片所需的次数．21*cnjy*com
解：当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号（13 )表示，共移动了1次．
当n=2 时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：【来源：21cnj*y.co*m】
(1)把第1个金属片从1号针移到 2 号针；
(2)把第2个金属片从1号针移到 3 号针；
(3)把第1个金属片从2号针移到 3 号针．
用符号表示为：(12 ) (13 ) (23 ) .
共移动了3 次．
当n=3 时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为n=2 的情形，移动顺序是：
(1)把上面两个金属片从1号针移到2号针；
(2)把第 3 个金属片从1号针移到3号针；
(3)把上面两个金属片从 2 号针移到3 号针．
其中（1）和（3）都需要借助中间针．用符号表示为：
( 13 ) (12 ) ( 32 ) ; ( 13 ) ; ( 21 ) ( 23 ) ( 13 ) . 21教育网
共移动了 7 次．
当n=4 时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：
(1)把上面3个金属片从1号针移到2号针；
(2)把第4个金属片从 1 号针移到3号针；
(3)把上面 3 个金属片从 2 号针移到 3 号针．用符号表示为：
( 12 ) ( 13 ) (23 ) (12 ) (31) (32 ) (12 ) ; (13 ) ; ( 23 ) (21 ) (31 ) (23 ) ( 12 ) (13 ) (23 ) . 21cnjy.com
共移动了15次．
至此，我们得到依次移动1, 2, 3, 4 个金属片所需次数构成的数列：1, 3, 7,15.
观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：
1 = 21- 1 ,
3 = 22 - 1,
7 = 23 -1,
15 = 24 -1.
由此我们猜想：若把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动次，则数列{}的通项公式为． ①
通过探究上述n=1,2,3,4时的移动方法，我们可以归纳出对n 个金属片都适用的移动方法．当移动n个金属片时，可分为下列3个步骤：www-2-1-cnjy-com
(1)将上面（n-1）个金属片从1号针移到2号针；
(2)将第 n 个金属片从1号针移到3号针；
(3)将上面（n -1）个金属片从2号针移到3号针．
这样就把移动n个金属片的任务，转化为移动两次（n-1）个金属片和移动一次第 n 个金属片的任务．而移动（n-1）个金属片需要移动两次（n-2）个金属片和移动一次第（n-1）个金属片，移动（n-2）个金属片需要移动两次（n-3）个金属片和移动一次第（n-2）个金属片… … 如此继续，直到转化为移动1个金属片的情形．根据这个过程，可得递推公式
从这个递推公式出发，可以证明通项公式①是正确的．
注：一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠. 例如，法国数学家费马观察到
= 5,
= 17 ,
= 257 ,
=65 537
都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如. () 的数都是质数．这就是著名的费马猜想．半个世纪之后，善于计算的欧拉（ Euler ）发现，第 5 个费马数
= 4 294 967 297 = 641×6 700 417
不是质数，从而推翻了费马的猜想．
（三）课堂练习：
课本P78页3
（四）课堂小结：
1、类比推理是由特殊到特殊的推理 ；
2、类比推理的一般步骤：
（五）布置作业：
课本P84页A、5
§2.1.2演绎推理
一、教学目标：
（一）知识与技能：了解演绎推理的含义。 （二）过程与方法：能正确地运用演绎推理 进行简单的推理。21cnjy.com
（三）情感、态度与价值观：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
二、教学重点：
正确地运用演绎推理 进行简单的推理
三、教学难点：
了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
四、教学过程：
（一）导入新课：
1、复习：合情推理
归纳推理 从特殊到一般
类比推理 从特殊到特殊
从具体问题出发——观察、分析、比较、联想——归纳、类比——提出猜想
问题情境：
观察与思考
①所有的金属都能导电，铀是金属，所以，铀能够导电；
②一切奇数都不能被2整除，(2100+1)是奇数， 所以(2100+1)不能被2整除；
③三角函数都是周期函数，tan是三角函数，所以tan是周期函数。
提出问题 ：上面的推理有什么特点？
分析：如： 所有的金属都能导电 —— 一般原理
铀是金属 —— 特殊情况
所以铀能够导电 —— 对特殊情况的判断
（二）推进新课：
1、演绎推理的定义：
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
2、演绎推理的特点：
是由一般到特殊的推理；
3、演绎推理的一般模式：“三段论”，包括
（1）大前提---已知的一般原理；
（2）小前提---所研究的特殊情况；
（3）结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
4、三段论的基本格式
M—P（M是P） （大前提）
S—M（S是M） （小前提）
S—P（S是P） （结 论）
5、三段论推理的依据,用集合的观点来理解:
若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
6、应用举例：
例1、把“函数的图象是一条抛物线”写成三段论的形式。
解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）
函数是二次函数 （小前提）
所以，的图象是一条抛物线 （结论）
例2、如图所示，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足
求证：AB的中点M到D，E的距离相等。
证明：
（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，
——大前提
在△ABC中，AD⊥BC，即∠ADB=90°
——小前提
所以△ABD是直角三角形。 ——结论
（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
——大前提
因为 DM是直角三角形斜边上的中线，
——小前提
所以 DM= AB ——结论
同理 EM=AB
所以 DM=EM。
由此可见，应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提．但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略．再来看一个例子．21世纪教育网版权所有
例3、证明函数在内是增函数．
分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间（a, b）内，如果，
那么函数在这个区间内单调递增。小前提是的导数在区间内满足，这是证明本例的关键．
证明：.
当时，有，
所以。
于是，根据“三段论”得，在内是增函数．
注：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的．
7、思考：
因为指数函数是增函数，——大前提
而是指数函数， ——小前提
所以是增函数． ——结论
(1)上面的推理形式正确吗？
(2)推理的结论正确吗？为什么？
上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为当时，指数函数是减函数），所以所得的结论是错误的．
8、思考：合情推理与演绎推理的主要区别是什么？
归纳和类比是常用的合情推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．21教育网
（三）课堂练习：
课本P81页1、2、3
（四）课堂小结：
1、演绎推理的定义
2、演绎推理的特点
3、演绎推理的一般模式
4、合情推理与演绎推理的区别
（五）布置作业：
课本P84页习题A组 6
综合法和分析法
一、教学目标：
（一）知识与技能：
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合
法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
（二）过程与方法:
培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；
（三）情感、态度与价值观：
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点：
了解分析法和综合法的思考过程、特点
三、教学难点：
分析法和综合法的思考过程、特点
四、教学过程:
（一）导入新课：
合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。
（二）推进新课：
1. 综合法
在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。例如：21教育网
已知a,b>0,求证
教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。
学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法
设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义
证明:因为，
所以。
因为，
所以。
因此 。
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。www.21-cn-jy.com
用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：
综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。21·世纪*教育网
例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列, 成等比数列,求证△ABC为等边三角形.www-2-1-cnjy-com
分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =； a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．21*cnjy*com
证明：由 A, B, C成等差数列，有 2B=A + C ． ①
因为A,B,C为△ABC的内角，所以 A + B + C=． ②
由①② ，得 B=． ③
由a, b，c成等比数列，有 ． ④
由余弦定理及③，可得
．
再由④，得 ．
即 ，
因此 ．
从而 A=C．
由②③⑤，得
A=B=C=．
所以△ABC为等边三角形．
注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．
例2、已知求证
分析：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设
，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设
故原不等式得证。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。【来源：21·世纪·教育·网】
2. 分析法
证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3，…… 直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。【出处：21教育名师】
例如：基本不等式 （a>0，b>0）的证明就用了上述方法。
要证
，
只需证
，
只需证
，
只需证
由于显然成立，因此原不等式成立。
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种方法叫做分析法。
分析法可表示为：
分析法的特点是：执果索因
例3、求证。
分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。
证明：因为都是正数，所以为了证明
，
只需明
，
展开得
，
只需证
，
因为成立，所以
成立。
在本例中，如果我们从“21〈25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。21世纪教育网版权所有
事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P‘．若由P‘可以推出Q‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．2·1·c·n·j·y
例4 、已知，且
①
②
求证：。
分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去。观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系，于是，由 ①2一2×② 得．把与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为,再与比较，发现只要把中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的．
证明：因为，所以将 ① ② 代入，可得
. ③
另一方面，要证
，
即证 ，
即证
，
即证
，
即证 。
由于上式与③相同，于是问题得证。
（三）课堂练习：
1、课本P89页 练习1、2、3
2、补充练习：
（四）课堂小结：
综合法和分析法的特点。
（五）布置作业：
课本P91页 1、2、3
§2.2.2反证法
一、教学目标：
1、知识与技能：
结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解
反证法的思考过程、特点。
2、过程与方法:
培养学生的辨析能力和分析问题、解决问题的能力；
3、情感、态度与价值观：
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点：
了解反证法的思考过程、特点
三、教学难点：
反证法的思考过程、特点
四、教学过程:
（一）导入新课：
1、复习综合法和分析法的思考过程和特点。
2、反证法 ???? 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。21cnjy.com
?? 在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法。
3、思考：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？21·cn·jy·com
学生尝试用直接证明的方法解释。
采用反正法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．2-1-c-n-j-y
（二）推进新课
1、反证法的特点：
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
2、例题讲解：
例1、已知直线和平面，如果，且，求证。
证明：因为,
所以经过直线a , b 确定一个平面。
因为，而，
所以 与是两个不同的平面．
因为，且，
所以.
下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a 与平面有公共点，则，即点是直线 a 与b的公共点，这与矛盾．所以 .
例2、求证：不是有理数
分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如（互质， ”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．【来源：21cnj*y.co*m】
证明：假设不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数，使得，从而有,
因此，，
所以 m 为偶数．于是可设 ( k 是正整数），从而有
，即
所以n也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！
由上述矛盾可知假设错误，从而是无理数．
注：正是的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。
例3、已知，求证：（且）
证明：假设不大于，即或.
∵a＞0，b＞0
∴由
又由
但这些都与已知条件，a＞b＞0相矛盾.
∴成立.
（三）课堂练习：
课本P91页 练习1、2
（四）课堂小结：
反证法的思考过程和特点。
（五）布置作业：
课本P91页 A组 4、B组1。
§2.3 数学归纳法（第一课时）
一、教学目标
1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力．
2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．
3．抽象思维和概括能力进一步得到提高．
二、教学重点与难点
重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。21世纪教育网版权所有
难点：1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；21教育网
2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
教学过程：
学生探究过程：
我们已经用归纳法得到许多结论，例如，等差数列的通项公式，
自然数平方和公式．这些命题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对所有的自然数逐一验证．
怎样证明一个与自然数有关的命题呢？
讨论以下两个问题的解决方案：
（1）在本章引言的例子中，因为袋子里的东西是有限的，迟早可以把它摸完，这样总可以得到一个肯定的结论．因此，要弄清袋子里究竟装了什么东西是一件很容易的事．但是，当袋子里的东西是无限多个的时候，那怎么办呢？21cnjy.com
（2）我们有时会做一种游戏，在一个平面上摆一排砖（每块砖都竖起），假定这排砖有无数块，我们要使所有的砖都倒下，只要做两件事就行了．第一，使第一块砖倒下；第二，保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖．21·cn·jy·com
一、复习引入：
问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？
方法一：把它倒出来看一看就可以了．
特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．
方法二：一个一个拿，拿一个看一个．
比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．
特点：有顺序，有过程．
问题2：在数列中，，先算出a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式．
过程：，，，由此得到：，
解决以上两个问题用的都是归纳法.
再请看数学史上的两个资料：
资料1: 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．但是，费马曾认为，当n∈N时，一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别为3,5,17,257,65537作了验证后得到的．www.21-cn-jy.com
18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了当n=5时，
=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．
有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！2·1·c·n·j·y
资料2：f（n）=n2+n+41，当n∈N时，f（n）是否都为质数？
f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，
f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，
f（10）=151，…? f（39）=1 601．
但是f（40）=1 681=412是合数
算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来．【来源：21·世纪·教育·网】
对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明 21·世纪*教育网
课件展示：多媒体课件(游戏：多米诺骨牌) ,多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：
（1）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒；
（2）第一张牌被推倒．
用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法．
数学运用
例1．用数学归纳法证明：等差数列中，为首项，为公差，则通项公式为．①
证：（1）当时，等式左边，等式右边，等式①成立．
（2）假设当时等式①成立，即，
那么，当时，有．
这就是说，当时等式也成立．
根据（1）和（2），可知对任何，等式①都成立．
注意：（1）这两个步骤是缺一不可的．数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证；www-2-1-cnjy-com
（2）在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步，即时为什么成立？时成立是利用假设时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出时成立，而不是直接代入，否则时也成假设了，命题并没有得到证明；
（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．2-1-c-n-j-y
数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．
理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k时命题成立这个条件 21*cnjy*com
变式：用数学归纳法证明：等比数列中，为首项，为公比，则通项公式为．
例2．用数学归纳法证明：当时，．
证：（1）当时，等式左边，等式右边，等式成立．
（2）假设当时等式成立，即，
那么，当时，有
．
这就是说，当时等式也成立．
根据（1）和（2），可知对任何，等式都成立．
例3．用数学归纳法证明：当时，．
证：（1）当时，，，结论成立．
（2）假设时，结论成立，即，
那么
．
所以当时，命题也成立．
根据（1）和（2），可知结论当时都成立．
变式：用数学归纳法证明：，
解：（1）当时，等式左边，等式右边，所以，等式成立．
（2）假设时，等式成立，即
那么，当时，
即时等式成立．
根据（1）和（2），可知对任何，等式都成立．
例4．已知数列,计算,根据计算结果,猜想的表达式,并用数学归纳法进行证明．
证：；
；
；
.
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数一致,分母可用项数表示为.于是可以猜想
.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当时，左边=,
右边=,
猜想成立．
（2）假设()时，猜想成立,即
,
那么
．
所以当时，猜想也成立．
根据（1）和（2），可知猜想对任何时都成立．
巩固练习：
课外作业：
1.对一切自然数n，猜出使成立的最小自然数t
2.平面上有n条直线，其中无两条平行，无三条共点，
问：(1)这n条直线共有几个交点f(n)？（
(2)这n条直线互相分割成多少条线段（或射线）？(条)
(3)平面被这n条直线分割成多少块区域？（）
3.已知数列｛an｝中，a1=, an+1=求a2, a3, a4，猜测通项公式an
§2.3 数学归纳法（第二课时）
一、教学目标
1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力．
2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．
3．抽象思维和概括能力进一步得到提高．
二、教学重点与难点
重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。21教育网
难点：1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；21·cn·jy·com
2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
教学过程：
教学过程:
1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：特殊→一般
2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.
3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.
完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.www.21-cn-jy.com
4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k?N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法【来源：21·世纪·教育·网】
5. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.21·世纪*教育网
6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；
(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
学生探究过程：数学归纳法公理；
用数学归纳法证明：当时．
数学运用
例1．设，．
（1）当时，计算的值；
（2）你对的值有何感想？用数学归纳法证明你的猜想．
解：（1）当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
（2）猜想：当时，能被8整除．
①当时，有能被8整除，命题成立．
②假设当时，命题成立，即能被8整除，
那么当时，有
．
这里，和均为奇数，它们的和必为偶数，从而能被8整除．又依归纳假设，能被8整除，所以能被8整除．这就是说，当时，命题也成立．2·1·c·n·j·y
根据（1）和（2），可知命题对任何都成立．
变式：求证当取正奇数时，能被整除。
证明：（1）时，，能被整除，命题成立。
（2）假设 (为正奇数)时，有能被整除,
当时，
∵以上两项均能被整除，∴能被整除，即当时命题仍成立。
由（1）、（2）可知，对一切正奇数，都有能被整除．
例2．在平面上画条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条直线不共点．问：这条直线将平面分成多少个部分？21世纪教育网版权所有
解：记条直线把平面分成个部分，我们通过画出图形观察的情况：
从图中可以看出
，
，
，
，
．
由此猜想
．
接下来用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当时，结论均成立；
（2）假设当时，结论成立，即，
当时，第条直线与前面的条直线都相交，有个交点，这个交点将这条直线分成段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分，21cnjy.com
所以，结论也成立．
根据（1）和（2），可知对，均有，即．
例3．已知，求证：．
证明：（1）当时，，即时命题成立．
（2）假设当时命题成立，即，
当时，
故当时，命题成立．
由（1）和（2）可知，对，不等式都成立．
巩固练习：1. 证明对，成立．
2． 课本练习
