1.3.1函数的单调性与导数（1）
一、学习要求
1．理解函数的单调性与导数的关系；
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法；能利用导数求函数的单调区间。
二、先学后讲
1. 函数的单调性与其导数的关系
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减；如果恒有，那么函数在这个区间内为常函数。（函数的单调性的充分条件）
【要点说明】设函数在某个区间内可导，如果在该区间上为单调增（或递减），则在该区间内（或）。（函数的单调性的必要条件）
2．利用导数判断或证明函数的单调性的思路方法
利用导数判断或证明函数的单调性的实质就是证明不等式或恒成立。
第一步：求出函数的导数；
第二步：判断函的导数在给定区间上的正负。这时，一般先对导函数进行整理、化简、变形，然后根据不等式的相关知识，在给定区间上判断导数的正负，最后作出结论。
3．求函数的单调区间的步骤：
第一步：确定函数的定义域；
第二步：求出函数的导数；
第三步：解不等式或，求出函数的单调区间。
三、问题探究
■合作探究
例1．求证：函数在其定义域上是单调递减函数。
证明：函数的定义域上是：；
，
当时，，
∴，
∴函数在其定义域上是单调递减函数。
例2．函数的单调区间。
解：∵，函数的定义域是；
∴；
由且，解得；
由且，解得，
∴函数的单调递增区间是；单调递减区间是。
■自主探究
1．求函数单调区间。
解：∵，， ∴，
由，解得或；
由，解得，
∴函数的单调递增区间是，；单调递减区间是。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1. 求函数的单调区间。
解：∵，，
∴，
由即，解得或；
由即，解得，
∴函数的单调递增区间是，；单调递减区间是。
2. 设，则的单调增区间是（ ）。（答案： ）
． ． ． ．
【解析】由，且，解得。
3.求证：函数在区间内是减函数。
证明：∵，
∴，
当时，，，
∴，
∴函数在区间内是减函数。
1.3.1函数的单调性与导数（2）
一、学习要求
1．理解函数的导数大小与函数图象的关系；
2．能判断函数与其导函数的图象；
3．能利用导数求函数的单调区间。
二、先学后讲
1．函数的导数大小与函数图象的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，说明函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就比较“平缓”。
2.函数与其导数的图象的判定：
判断函数与其导函数的图象，关键是抓住的增减性与的正负的正确的对应关系（即：若单调递增，则；若单调递减，则。）
【识图：对函数的图象与其性质的认识应从以下几个方面观察分析
①观察函数的图象应从左往右看，从图象的左、右的分布范围，确定函数的定义域；从图象的上、下的分布范围，确定函数的值域。
②从左往右：若图象上升，则函数单调递增；若图象下降，则函数单调递减。
③若函数的图象关于原点对称，则函数是奇函数；若函数的图象关于轴对称，则函数是偶函数。【函数的奇偶性的必要条件是：定义域关于原点对称。是奇函数；是偶函数】
④若每隔相等的距离，函数的图象重复出现，则函数是周期函数。
⑤若函数的图象在轴上方，则；若函数的图象在轴下方，则；若函数的图象在轴左方，则；若函数的图象在轴右方，则。
反之，从函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，可描出函数的大致图象。】
三、问题探究
■自主探究
1.下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）。 （答案： ）
． ． ． ．
【解析】．，当时，，函数单调递减； ．在区间上单调递减； ．当时，，函数单调递增； ．在区间上单调递减。
■合作探究
例1．已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是 ( )。
A B C D
【解析】由的图象知， ，故函数为增函数，其图象从左往右“上升”，且在区间上增长速度越来越快，而在区间上增长速度越来越慢。故选。
例2．已知函数，是函数的导函数，则的大致图象是 （ ）。
A B
C D
【解析】本题可用排除法。
∵，,
∴函数为奇函数，其图象关于原点对称，∴B、D错误；
又，∴C错误。 故选。
■自主探究
1．若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是( ).
A ． B． C． D．
【解析】因为函数的导函数在区间上是增函数，即函数在区间上各点处的切线的斜率是递增的，由图易知A。而B中对应的导函数是单调递减的；C中为常数；D中导函数先增后减。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1. 函数的图像如图所示，则
A． B．
C． D．的符号不确定
【解析】由图像可知，函数在上单调递减，则在区间上有，所以。故选B。
2.函数的导函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间为_________。
【解析】由图像可知，函数在区
间,上有，故函数的单调递增区间为,。
3.函数的图象大致是（ A ）。
【解析】，令，即，解得或，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；又，即图像过原点，故选A。
4.设，则 （ ）。 （答案： ）
．既是奇函数又是减函数 ．既是奇函数又是增函数
．是有零点的减函数 ．是没有零点的减函数
【解析】函数的定义域为；∵，∴函数是奇函数；又,当时，，∴函数是增函数。
1.3.2函数的极值与导数（1）
一、学习要求
1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
2．理解极大值和极小值的概念；
3．掌握求可导函数极大值和极小值的方法与步骤。
二、先学后讲
1．函数的极值与极值点
设函数在点附近有定义，
如果对附近的所有点，都有
，我们就说是函数
的一个极大值，记作，点叫做函数的极大值点。
设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有，我们就说是函数的一个极小值，记作，点叫做函数的极小值点。
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为函数的极值点。
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，该画的是函数的局部性质。
2．函数的极值与导数
如果函数在点满足，而且在点附近的左侧，右侧，那么把叫做函数的极大值，点叫做函数的极大值点。
如果函数在点满足，而且在点附近的左侧，右侧，那么把叫做函数的极小值，点叫做函数的极小值点。
如果函数在点满足，而且在点附近的左右两侧符号不变，那么不是函数的极值。
【要点说明】可导函数的极值点一定是导数为零的点（即：若是函数的一个极值点，则）；但导数为零的点不一定是函数的极值点（即：若满足，则点不一定是函数的极值点）。
3．求函数极值的方法步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求函数的导数；
（3）解方程，求出使导数为零的点（即导数的零点）；
（4）以方程的根为端点，顺次把函数的定义域划分为若干个区间，并列表；
（5）判断在方程的根左右两侧的符号，作出结论：
“左正右负”是极大值点； “左负右正”是极小值点。
三、问题探究
■合作探究
例1．求函数的极值。
解：∵，∴,
令，解得，。
当变化时，，的变化情况如下表：
0
0
递增
递减
递增
∴当时，函数有极大值，极大值为；
当时，函数有极小值，极小值为。
■自主探究
1．求函数的极值。
解：∵，∴,
令，解得，。
当变化时，，的变化情况如下表：
0
0
递增
递减
递增
∴当时，函数有极大值，极大值为；
当时，函数有极小值，极小值为。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1. 函数的极大值为，极小值为。
解：，
令，解得或，
当时，；当时，；
当时，,
∴当时，函数有极大值，极大值为；
当时，函数有极小值，极小值为。
2. 若函数的导函数图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）。
．函数在区间上单调递增
．函数在区间上单调递减
．函数在区间上单调递增
．当时，有极小值
解：导函数大于零，则所对应区间上原函数单调增，导函数小于零，则所对应区间上原函数单调减。因此C正确。
3.下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是（ ）。 (答案：选)
． ． ． ．
1.3.2函数的极值与导数（2）
一、学习要求
1．理解函数的极值与导数的关系；
2．掌握求可导函数极大值和极小值的方法与步骤。
二、先学后讲
1．函数的极值与导数的关系
如果是可导函数的一个极值点，那么；
如果函数在点满足，而且在附近的左侧，右侧，那么叫做函数的极大值；若在附近的左侧，右侧，那么叫做函数的极小值。
三、问题探究
■自主探究
1．设函数，则（ ）。 （答案：选 ）
．是的极小值点 ．是的极小值点
．是的极大值点 ．是的极大值点
解：函数的定义域为，；令，解得。
当时，；当时，，
∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴是的极小值点。故选。
■合作探究
例1．已知函数在处有极小值，试确定，的值，并求的单调区间。
解：∵，∴；
由已知，得，即，
解得：，。
∴，；
令，解得或；
令，解得，
∴函数的单调递增区间是，；单调递减区间是。
■自主探究
2．若在处有极值，求的值。
解：∵，∴；
由已知，得，即，
解得或；
当，时，
，,
当时，；当时，，
∴当时，有极值；
当，时，
，函数单调递增，故不是有极值点，
∴，不合题意， ∴。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1. 函数在处有极值，则的值为（ ）。（答案：）
． ． ． ．
解：∵，∴；
依题意，得，∴。
2. 函数在处有极值，则，的值分别为（ ）。
．， ．， ．， ．，
解：∵，∴；
由已知，得，即，
解得：，。故选。
3.已知函数在区间上有极大值，求实数的值。
解：∵，∴；
令，解得或；
当变化时，，的变化情况如下表：
0
0
递增
极大值
递减
极小值
递增
∴是函数的极大值点，
∴，∴。
1.3.3函数的最大（小）值与导数（1）
一、学习要求
1．理解闭区间上的连续函数必有最大值、最小值；
2．掌握闭区间上连续、开区间上可导的函数的最大值、极小值的求法。
二、先学后讲
1．函数的最大值、最小值
如果在函数定义域内存在，使得对任意的，总有，则称为函数在定义域上的最大值。
如果在函数定义域内存在，使得对任意的，总有，则称为函数在定义域上的最小值。
【注意】函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的；
函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的。
2．求函数在区间上的最大值与最小值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。
求函数在区间上的最大值与最小值的步骤：
（1）求函数在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
特别地：
若函数在区间上单调递增，则函数的最小值是，最大值是；
若函数在区间上单调递减，则函数的最大值是，最小值是。
三、问题探究
■合作探究
例1．求函数在上的最大值与最小值。
解：∵，∴；
由，解得或（舍去）。
当变化时，与的变化情况如下表：
递减
递增
∴函数在上的最大值是22；最小值是。
■自主探究
1．求函数在上的最大值与最小值。
解：∵，∴；
由，解得或。
当变化时，与的变化情况如下表：
∴函数在上的最大值是54，最小值。
四、总结提升
利用导数求函数在闭区间内最大值与最小值时，通常情况下不必具体确定函数的极大值与极小值，只要把所有极值点与端点处的函数值计算出来，然后比较它们的大小即可。
五、问题过关
1. 求函数在区间上的最大值与最小值。
解：∵，∴；
由，解得，
又，，，
∴函数在上的最大值是，最小值。
2.函数在区间上的最大值是（ ）。
． ． ． ．
解：∵，∴； 令，解得，
又，，，，
∵，∴。故选。
3. 函数在上（ ）。 （答案：）
．有最大值18，无最小值 ．有最大值18，有最小值
．有最大值0，有最小值 ．无最大值，无最小值
解：，令，解得
或；又，，，。
1.3.3函数的最大（小）值与导数（2）
一、学习要求
1．掌握闭区间上连续、开区间上可导的函数的最大值、极小值的求法；
2．能利用最值求参数。
二、先学后讲
1．求函数在区间上的最大值与最小值的步骤
（1）求函数在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
2．利用最值求参数
解有关最值求参数的问题，要先根据题意找出最值点，然后依题设条件，列出参数的方程（组）求解。同时，要注意分类讨论和数形结合思想的运用。
三、问题探究
■合作探究
例1．已知函数（）在时取得最小值，则。
解：∵，∴；
∵函数（）在时取得最小值，
又，
∴必定是函数的极值点，
∴，即，解得。
（另解）∵，∴；
∵，，∴令，解得；
∵时，；时，，
∴是函数唯一极小值点，也是最小值点，
∴，∴。
例2．已知函数在区间上的最大值是3，最小值是，求，的值。
解：∵，∴；
令，解得或，
又，∴，
由题意知：，
若
∵时，；时，，
∴是函数极大值点，
又，，，
∴，
依题意，得即，解得，；
若
是函数极小值点，
又，，，
∴，
依题意，得即，解得，。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1. 已知为实数，函数，若在处取得极值，求在上的最大值和最小值。
解：∵,
∴；
依题意，得，即，解得；
∴，；
令，解得或，
又，，，，
∴在上的最大值是，最小值。
2. 已知（为常数）在上有最大值3，求函数在此区间上的最小值。
解：∵，∴；
令，得或；
∵时，，函数单调递增；
时， ，函数单调递减，
∴是函数最大值点，
∴，∴；
∴，，。
函数在区间上的最小值是。
1.3导数在研究函数中的应用（综合训练1）
一、学习要求
能综合运用导数的几何意义及函数的单调性、极值、最值与导数的关系，解决有关问题。
二、先学后讲
1．导数的几何意义
函数在点处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即。
【注意】“切点”既在曲线上，也在切线上。
2.导数与单调性的关系
若函数在给定区间单调递增(或单调递减)，则不等式（或）在区间上恒成立。
3．导数与极值的关系
若是可导函数的极值点，则。
三、问题探究
■合作探究
例1．设函数，其中，曲线在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）求函数的单调区间。
解：（1）∵，∴，
依题意，得，即.
（2）由（1），得，；
∵，
∴由，解得或；
由，解得，
∴的单调递增区间是，；单调递减区间是。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1. 已知函数的图象与轴相切于点.
（1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间；
（3）求函数在上的最值。
解：（1）∵，∴ 。
依题意，得，即，解得，，
∴。
（2）由（1）得，
令，解得或；
令，解得，
∴函数的单调递增区间是，；单调递减区间是。
（3）由（2）知，是极大值点，是极小值点；
又，，，，
∴函数在上的最大值是2，最小值是。
2.设函数，其中．
(Ⅰ)求的单调区间；
(Ⅱ)讨论的极值。
解：(Ⅰ)∵，∴，
令，解得，。
当时，，在上单调递增；
当时，，随的变化情况如下表：
递增
极大值
递减
极小值
递增
∴由表可知，函数的单调递增区间是，；单调递减区间是。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
当时，函数没有极值。
当时，函数在处取得极大值，极大值是1；在处取得极小值，极小值是.
1.3导数在研究函数中的应用（综合训练2）
一、学习要求
能综合运用导数的几何意义及函数的单调性、极值、最值与导数的关系，解决有关问题。
二、先学后讲
1．利用导数解决含有参数的问题
求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系。其中与二次函数相关的充分体现数形结合和分类思想方法的题目最为常见。
与二次函数有关的求解参数的题目，相当一部分题目都可以避开二次函数，使用分离变量，就是通过将两个变量构成的不等式变形，使两端的变量各自相同。
解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解中参数取值范围时，若已知其中一个变量的范围，求另一变量的范围，常用以下定理：
定理1：不等式恒成立（求解的最小值）；不等式恒成立（求解的最大值）。
定理2：不等式存在解（求解的最大值）；不等式存在解（求解的最小值）。
定理3：方程有解的范围的值域（求解的值域）。
解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域。
三、问题探究
■合作探究
例1．已知函数在上是单调增函数，求的取值范围。
解：∵，∴；
∵函数在上是单调增函数，
∴在上恒成立，即在上恒成立，
∵时，恒成立，
∴，即的取值范围是。
■自主探究
1．若函数在区间单调递增，则的取值范围是( )。
． ． ． ．
【解析】∵，∴；
∵函数在区间单调递增，
∴当时，恒成立，即恒成立，
∵时，，∴。故选。
■合作探究
例2．函数在内有极小值，则（ ）。
． ． ． ．
【分析】函数在内有极小值，则在内存在满足，且在点的左侧，右侧，故有两个不相等的实数根（）。
解：∵，∴；
∵函数在内有极小值，
∴有两个不相等的实数根，
∴，∴；
由，解得，，
又，∴。故选。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1. 函数在上是单调增函数，则的最大值是（ ）。
． ． ． ．
解：∵，∴；
∵函数在上是单调增函数，
∴在上恒成立，即在上恒成立，
∵时，恒成立，
∴，∴的最大值是3。故选。
2.函数在内有最小值，则（ ）。（答案：）
． ． ． ．
3. 函数在上为减函数，则（ ）。
． ． ． ．
解：∵，∴；
当时，，，函数在上为减函数；
当时，
∵函数在上为减函数，
∴在上恒成立，
∴即，解得，
综上所述，。故选。
1.3导数在研究函数中的应用（综合训练3）
一、学习要求
能综合运用导数的几何意义及函数的单调性、极值、最值与导数的关系，解决有关问题。
二、问题探究
■合作探究
例1．设函数．
（1）求的单调区间；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。
解：（1）函数的定义域是.
∵，∴，
由即，解得或；
由即，解得，
∴的单调递增区间是，；单调递减区间是。
（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，是函数的极小值点，
又，，，
∴当时，
∵时，不等式恒成立，
∴，即，
∴实数的取值范围是。
■自主探究
1．设函数．
（1）求的单调区间；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。
解：（1）函数的定义域是.
∵，∴，
由即，不等式无解；
由即，解得或，
∴的单调递减区间是。
（2）由（1）知，在上单调递减，
∴，
∵时，不等式恒成立，
∴，即，
∴实数的取值范围是。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1. 设，若函数（）有大于零的极值点，则（ ）。
． ． ． ．
解：∵，∴；
∵函数（）有大于零的极值点，
∴方程有正根，∴，此时,
由，得，∴。故选。
2.设函数，其中常数。
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围。
解：（1）∵，又
由，解得或；
由，解得。
∴函数的单调递增区间为，；函数的单调递减区间为。
（2）若，恒成立，等价于时，恒成立，即时，恒成立；
∵时， ， ∴，即实数的取值范围是.
1.3导数在研究函数中的应用（综合训练4）
一、学习要求
能运用导数证明不等式。
二、先学后讲
利用导数证明不等式：一般地,证明不等式()成立，通常构造辅助函数，转化为证明不等式成立。
（1）根据不等式构造出一个函数；
（2）求函数的导数；
（3）利用导数研究函数在其定义区间上的单调性、极值、最值；
（4）借助函数的单调性，比较函数在其定义区间上的函数值与某点（区间端点、极值点、最值点）处的函数值的大小，从而使不等式得以证明。
三、问题探究
■合作探究
例1．当时，证明不等式.
证明：令，，则。
∵当时，，函数单调递增，
∴，即；
当时，，函数单调递减，
∴，即，
综上所述，当时，不等式成立。
■自主探究
1．证明下列不等式：
（1）,； （2），。
证明：（1）令，，则；
∵当时，，∴，
∴函数在上单调递减，
∴，即。
（2）令，，则。
∵当时，，函数单调递增，
∴，即；
当时，，函数单调递减，
∴，即；
当时，，
综上所述，当时，不等式成立。
四、总结提升
本节课你主要学习了 。
五、问题过关
1. 证明不等式：，。
证明：令，，则。
∵当时，，函数单调递增，
∴，
∴ ，。
2. 已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线 在点处的切线斜率为.
（Ⅰ）求的值及函数的极值；
（Ⅱ）证明：当时，.
解：（Ⅰ）∵，∴.
依题意，得， ∴；
∴，，
令，解得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
∴当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值。
证明：（Ⅱ）令，，则。
由（Ⅰ）得：，
∴函数在上是增函数，
∴，即。
【补充】
1.函数是上的单调增函数，则实数取值范围是。
解：∵，∴.
∵是上的单调增函数，
∴当时，恒成立，
∴，∴.
2.若函数在内单调递减，则实数的取值范围为（ ）
． ． ． ．
解：∵，∴，
∵函数在内单调递减，
∴当时，恒成立，即恒成立；
又当时，，∴。故选。
3.求证：函数在区间上是单调递增函数。
【证明】∵，∴；
∵，∴，∴，
∴，
∴函数在区间上是单调递增函数。
4.设，其中为正实数．
（Ⅰ）当时，求的极值点；
（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。
解：∵，∴；
（Ⅰ）当时，，，
令，则，解得，或，
当变化时，，随的变化情况如下表：
递增
极大值
递减
极小值
递增
∴由表可知，是函数的极小值点；是函数的极大值点。
（II）∵为上的单调函数，
∴若为上的单调递增函数，则恒成立，
即在上恒成立。 ∵为正实数，即，
∴，即，。
∴的取值范围是。
5.已知函数，该函数图像在点x=1处的切线方程为。若时，y=f(x)有极值。
（1）求a, b, c的值；
（2）求y=f(x)在[-3, 1]上的最大值和最小值。
解：由，得，
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 （1）
当时，f (x)有极值，则
可得4a+3b+4=0 （2）
由（1）（2）解得a=2, b=-4。
由于切点的横坐标为x=1，
因此f(1)=4。
所以1+a+b+c=4。所以c=5。
所以a=2, b=-4, c=5。
（2）由（1）可知，
所以。
令，得,.
当x变化时，，，的变化情况如下表：
x
－3
-2
1
+
0
-
0
+
8
增
13
减
增
4
因此，y=f(x)在[－3，1]上的最大值为13，最小值为。
