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湘教版数学九年级1.4二次函数与一元二次方程的联系教学设计
课题 1.4二次函数与一元二次方程的联系 单元 第一章二次函数 学科 数学 年级 九年级
学习目标 1、理解一元二次方程的根的几何意义（抛物线与x轴的公共点的横坐标）.2、掌握抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况.3、会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
重点 理解一元二次方程根的几何意义；掌握解抛物线与x轴的位置关系与一元二次方程根的情况之间的对应关系．
难点 掌握解抛物线与x轴的位置关系与一元二次方程根的情况之间的对应关系．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 我们学习了一元一次方程kx+b=0（k≠0）和一次函数y=kx+b（k≠0）后，讨论了它们之间的关系如下：当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0．一次函数kx+b=0（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解． 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）和二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），它们之间存在怎样的关系呢？ 回顾一元一次方程与一次函数之间的关系． 让学生感知一次函数与一元一次方程有密切的联系，为后面深入讨论二次函数与一元二次方程做好了铺垫．
讲授新课 一、探究一：画二次函数y=x2-2x-3的图象，如图所示：你能从图象中看出它与x轴的交点吗？二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0有怎样的关系呢？观察图象与x轴的交点坐标，，当x=-1时，y=___，即_______，也就是说x=-1是一元二次方程________的一个根．同理，当x=3时，y=0，即x2-2x-3=0，也就是说______是一元二次方程__________的一个根．结论：方程x2-2x-3=0的解就是抛物线y=x2-2x-3与x轴的两个交点的横坐标．因此，抛物线与一元二次方程之间是有密切联系的．即：若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个不同交点，坐标分别是A(x1，0），B（x2，0），则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根分别是x=x1、x=x2．二、探究二：观察二次函数y=x2-6x+9，y=x2-2x+2的图象，分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+2=0的根的情况．（1）抛物线y=x2-6x+9的图象与x轴有______交点，它们的横坐标是_____，此时函数值为0，所以而一元二次方程x2-6x+9=0的根是_________．（2）抛物线y=x2-2x+2的图象与x轴______交点，所以一元二次方程x2-2x+2=0______实根．在坐标系中画出二次函数y=x2-2x-3的图象，说出一元二次方程x2-2x-3=0的根的情况．抛物线y=x2-2x-3的图象与x轴有______交点，它们的坐标分别是___________________，此时函数值为0，所以而一元二次方程x2-2x-3=0的根是___________．观察以上三个函数的图像，说一说一元二次方程的根与二次函数与x轴交点有什么关系？一元二次方程的根与二次函数与x轴交点的关系：结论：一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：有两个不同的交点、有两个重合的交点、没有交点，对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：有两个不相等的实根、有两个相等的实根和没在实数根．反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数图象与x轴的位置关系．求一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是求二次函数y=ax2+bx+c在y=0时，自变量x的值，也就是二次函数与x轴交点的横坐标．因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根．由于作图或观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的．例1 求一元二次方程x2-2x-1=0的根的近似值（精确到0.1）．分析 一元二次方程x2-2x-1=0的根就是抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点的横坐标．因此我们可以先画出这条抛物线，然的从图象上找出它与x轴的交点的横坐标．这种解一元二次方程的方法叫作图象法．解 设二次函数y=x2-2x-1．作出二次y=x2-2x-1的图象，如图．可以发现抛物线与x轴的一个交点在-1和0之间，另一个交点在2和3之间．通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为-0.4或2.4，即一元二次方程x2-2x-1=0的实数根为x1≈-0.4，x2≈2.4．借助计算器也可以来分析所求方程的实数根．其方法是将二次函数y=x2-2x-1在-1至0范围内的部分x值所对应的y值列表如下：观察表格可以发现，当x=-0.5时，y=0.25>0；当x=-0.4时，y=-0.04<0．结合图象可以看出，使y=0的x的值一定在-0.5与-0.4之间，即-0.51、二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴的交点情况是（ ）A．一个交点 B．两个交点 C．没有交点 D．无法确定2、抛物线y=-x2-2x+3与坐标轴的交点个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3 3、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（ ）A．a＞0，b2-4ac＜0 B．a＞0，b2-4ac＞0C．a＜0，b2-4ac＜0 D．a＜0，b2-4ac＞4、下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是（ ）A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.35、已知二次函数y=ax2+2ax-3的部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+2ax-3=0的两个根分别是x1=1.3和x2=（ ）A．-1.3 B．-2.3 C．-0.3 D．-3.36、判断下列函数的图象与x轴的公共点情况，并说明理由．（1）y=2x2-3x； （2）y=-x2-4x-1； （3）y=x2+2x+5．7、在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度h（m） 与打出后飞行的时间t（s）之间的关系是h=7t-t2．（1）经过多少秒钟，球飞出的高度为10 m；（2）经过多少秒钟，球又落到地面． 学生先自主思考，完成后小组交流确定结果，最后上台展示成果． 通过练习加深对所学知识的理解．
课堂小结 一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知1、如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根．2、一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=m（m是实数）图象交点的横坐标． 回顾本节课所学知识． 通过小结，再次让学生认识到二次函数与一元二次方程的联系，强化了学生的学习成果．
板书 若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个不同交点，坐标分别是A(x1，0），B（x2，0），则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根分别是x=x1、x=x2．例1例2
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二次函数与
一元二次方程的联系
湘教版 九年级下
导入新知
我们学习了一元一次方程kx+b=0（k≠0）和一次函数y=kx+b（k≠0）后，讨论了它们之间的关系如下：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）和二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），它们之间存在怎样的关系呢？
当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0．一次函数kx+b=0（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解．
新知讲解
画二次函数y=x2-2x-3的图象，回答下列问题：
问题1：如图，你能从图象中看出它与x轴的交点吗？
二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标分别是（-1，0），（3，0）．
新知讲解
观察图象与x轴的交点坐标，当x=-1时，y=___，即________，也就是说x=-1是一元二次方程_________的一个根．同理，当x=3时，y=0，即x2-2x-3=0，也就是说______是一元二次方程__________的一个根．
问题2：二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0有怎样的关系呢？
0
x2-2x-3=0
x2-2x-3=0
x=3
x2-2x-3=0
新知讲解
结论：方程x2-2x-3=0的解就是抛物线y=x2-2x-3与x轴的两个交点的横坐标．因此，抛物线与一元二次方程之间是有密切联系的．
即：若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个不同交点，坐标分别是A(x1，0），B（x2，0），则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根分别是x=x1、x=x2．
新知讲解
观察二次函数y=x2-6x+9，y=x2-2x+2的图象，分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+2=0的根的情况．
（1）抛物线y=x2-6x+9的图象与x轴有______交点，它们的横坐标是_____，此时函数值为0，所以而一元二次方程x2-6x+9=0的根是_________．
（2）抛物线y=x2-2x+2的图象与x轴______交点，所以一元二次方程x2-2x+2=0______实根．
y=x2-6x+9
y=x2-2x+2
一个
3
x1=x2=3
没有
没有
新知讲解
在坐标系中画出二次函数y=x2-2x-3的图象，说出一元二次方程x2-2x-3=0的根的情况．
抛物线y=x2-2x-3的图象与x轴有______交点，它们的坐标分别是___________________，此时函数值为0，所以而一元二次方程x2-2x-3=0的根是___________．
两个
（-1，0），（3，0）
x1=-1，x2=3
y=x2-2x-3
观察以上三个函数的图像，说一说一元二次方程的根与二次函数与x轴交点有什么关系？
新知讲解
y=x2-6x+9
y=x2-2x+2
y=x2-2x-3
新知讲解
一元二次方程的根与二次函数与x轴交点的关系：
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的个数 判别式△=b2-4ac的符号 方程ax2+bx+c=0有实数根的个数 函数的图象
2个
1个
没有
△>0
△=0
△<0
两个不相等实根
两个相等实根
没有实根
新知讲解
求一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是求二次函数y=ax2+bx+c在y=0时，自变量x的值，也就是二次函数与x轴交点的横坐标．因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根．由于作图或观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的．
新知讲解
例1 求一元二次方程x2-2x-1=0的根的近似值（精确到0.1）．
一元二次方程x2-2x-1=0的根就是抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点的横坐标．因此我们可以先画出这条抛物线，然的从图象上找出它与x轴的交点的横坐标．这种解一元二次方程的方法叫作图象法．
新知讲解
解 设二次函数y=x2-2x-1．作出二次y=x2-2x-1的图象，如图．
可以发现抛物线与x轴的一个交点在-1和0之间，另一个交点在2和3之间．
通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为-0.4或2.4，即一元二次方程x2-2x-1=0的实数根为x1≈-0.4，x2≈2.4．
方法一：
新知讲解
借助计算器也可以来分析所求方程的实数根．其方法是将二次函数y=x2-2x-1在-1至0范围内的部分x值所对应的y值列表如下：
x -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0
y
2
1.61
1.24
0.89
0.56
0.25
-0.04
-0.31
-0.56
-0.79
-1
观察表格可以发现，
当x=-0.5时，y=0.25>0；
当x=-0.4时，y=-0.04<0．
结合图象可以看出，使y=0的x的值一定在-0.5与-0.4之间，即-0.5方法二：
新知讲解
要求把方程的根精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5作为所求的根均满足要求．当x=-0.4时，y=-0.04，比当x=-0.5时，y=0.25更接近于0，因此选x=-0.4．
试借助计算器，确定一元二次方程的另一个实数根x=2.4．
新知讲解
归纳 一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：
1、用描点法作二次函数的图象；
2、通过观察、测量或借助计算器估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；
3、确定一元二次方程的解．
新知讲解
例2 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．
（1）当铅球离地面的高度为2.1 m时，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5 m，它离初始位置的水平距离是多少？
（3）铅球离地面的高度能否达到3 m？为什么？
新知讲解
分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数 ，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值．
新知讲解
例如：
上面问题（1）可以转化为已知二次函数 的值为2.1，求自变量t的值．
可以解一元二次方程 ，即 x2-6x+5=0．
反过来，解方程x2-6x+5=0又可以看作已知二次函数
的值为0，求自变量x的值．
新知讲解
解：（1）由抛物线的表达式得
，
即 x2-6x+5=0，
解得 x1=1，x2=5．
2.1
1
5
即当铅球离地面的高度为2.1 m时，它离初始位置的水平距离是1 m或5 m．
新知讲解
（2）由抛物线的表达式得 ，
即 x2-6x+9=0，
解得 x1=x2=3．
当铅球离地面的高度为2.5 m时，它离初始位置的水平距离是3 m ．
新知讲解
（3）由抛物线的表达式得 ，
即 x2-6x+14=0，
因为△=（-6）2-4×1×14=-20<0，所以方程无实数根．
所以铅球离地面的高度不能达到3 m．
新知讲解
一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=m（m是实数）图象交点的横坐标．
已知二次函数y=ax2+bx+c的某一个函数值y=m，求对应的自变量的值
解一元二次方程ax2+bx+c=m的根
巩固提升
1、二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴的交点情况是（ ）
A．一个交点 B．两个交点
C．没有交点 D．无法确定
2、抛物线y=-x2-2x+3与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（ ）
A．a＞0，b2-4ac＜0
B．a＞0，b2-4ac＞0
C．a＜0，b2-4ac＜0
D．a＜0，b2-4ac＞
A
D
A
巩固提升
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16
4、下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是（ ）
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
5、已知二次函数y=ax2+2ax-3的部分图象（如图），由图象可知
关于x的一元二次方程ax2+2ax-3=0的两个根分别是x1=1.3和x2=（ ）
A．-1.3 B．-2.3
C．-0.3 D．-3.3
C
D
巩固提升
6、判断下列函数的图象与x轴的公共点情况，并说明理由．
（1）y=2x2-3x； （2）y=-x2-4x-1； （3）y=x2+2x+5．
解：（1）令y=0，则2x2-3x=0，所以，△=（-3）2-4×2×0=9＞0，
所以，该方程有两个不相等的实数根，即函数y=2x2-3x与x轴有两个公共点；
（2）-x2-4x-1=0，所以，△=（-4）2-4×（-1）×（-1）=12＞0，
所以，该方程有两个不相等的实数根，即函数y=-x2-4x-1与x轴有两个公共点；
（3）x2+2x+5=0，所以，△=22-4×1×5=-16＜0，
所以，该方程没有实数根，即函数y=x2+2x+5与x轴没有公共点．
巩固提升
7、在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度h（m） 与打出后飞行的时间t（s）之间的关系是h=7t-t2．
（1）经过多少秒钟，球飞出的高度为10 m；
（2）经过多少秒钟，球又落到地面．
解：（1）把h=10代入函数解析式h=7t-t2得，7t-t2=10，
解得t1=2，t2=5，
答：经过2秒或5秒，球飞出的高度为10 m；
（2）把h=0代入函数解析式h=7t-t2得，7t-t2=0，
解得t1=0（为球开始飞出时间），t2=7（球又落到地面经过的时间），
答：经过7秒钟，球又落到地面．
课堂小结
一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知
1、如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根．
2、一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=m（m是实数）图象交点的横坐标．
课堂小结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式△=b2-4ac
b2-4ac>0
b2-4ac=0
b2-4ac<0
有两个交点
有一个交点
没有交点
有两个不相等实数根
有两个相等实数根
没有实数根
谢谢
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