《反比例函数的应用》同步练习
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B（m，n），连结OB。若S∠AOB=6，S△BOC=2。
（1）求一次函数的表达式；
（2）求反比例函数的表达式。
2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，AB=5．点D在反比例函数y=（k＞0）的图象上，DA⊥OA，点P在y轴负半轴上，OP=7。
（1）求点B的坐标和线段PB的长；
（2）当∠PDB=90°时，求反比例函数的解析式。
3．如图，在平面直角坐标系中，Rt△PBD的斜边PB落在y轴上，tan∠BPD=，延长BD交x轴于点C，过点D作DA⊥x轴，垂足为A，OA=4，OB=3。
（1）求点C的坐标；
（2）若点D在反比例函数y=（k＞0）的图象上，求反比例函数的解析式。
4．如图，已知反比例函数y=与一次函数y=kx+b的图象相交于A（4，1）、B（a，2）两点，一次函数的图象与y轴的交点为C。
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若点D的坐标为（1，0），求△ACD的面积。
5．如图①，△OAB中，A（0，2），B（4，0），将△AOB向右平移m个单位，得到△O′A′B′．
（1）当m=4时，如图②。若反比例函数y=的图象经过点A′，一次函数y=ax+b的图象经过A′、B′两点．求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）若反比例函数y=的图象经过点A′及A′B′的中点M，求m的值。
6．如图，一次函数y1=﹣x+2的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C．已知tan∠BOC=，点B的坐标为（m，n）。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出当x＜m时，y2的取值范围。
7．如图，已知反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（1，m），过点A作AB⊥y轴于点B，且 AOB的面积为1。
（1）求m，k的值；
（2）若一次函数y=nx+2（n≠0）的图象与反比例函数y=的图象有两个不同的公共点，求实数n的取值范围。
8．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边在AD在x轴上，点B在第四象限，直线BD与反比例函数y=的图象交于点B、E。
（1）求反比例函数及直线BD的解析式；
（2）求点E的坐标。
9．如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（2，1），与x轴交于点B。
（1）求k和b的值；
（2）连接OA，求△AOB的面积。
10．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A（2，5）和点B，与y轴相交于点C（0，7）。
（1）求这两个函数的解析式；
（2）当x取何值时，y1＜y2。
答案与解析
1．解：（1）∴S∠AOB=6，S∠BOC=2，∴S∠AOC=4，∴ 2 OC=4，解得OC=4，
∴ C点坐标为（0，4），把A（﹣2，0），C（0，4）代入y=ax+b，
得，解得，∴ 一次函数解析式为y=2x+4；
（2）设B为（m，2m+4），∵S△BOC=2，∴×4×m=2，解得m=1，∴B点坐标为（1，6），
把B（1，6）代入y=得k=1×6=6，∴反比例函数解析式为y=．
2．解：（1）∵AB=5，OA=4，∠AOB=即点B的坐标是（0，3），∵OP=7，
∴ 线段PB的长是7+3=10；
（2）过D作DM⊥y轴于M，∵PD⊥BD，∴∠BDP=∠DMB=∠DMP=90°，
∴ ∠DBM+∠BDM=90°，∠BDM+∠MDP=90°，∴ ∠DBM=∠PDM，
∴ △DBM∽△PDM，∴=，∵ OA=4，AD⊥x轴，∴设D的坐标是（4，y）（y＞0），
∴ =，
解得：y=1，（y=﹣5舍去），即D点的坐标是（4，1），把D的坐标代入y=得：k=4，
即反比例函数的解析式是y=
3．解：Rt△PBD的斜边PB落在y轴上∴ BD⊥PB，kPD=cot∠BPD=，kBD kPD=﹣1，kBD=﹣，
直线BD的解析式是y=﹣x+3，当y=0时，﹣x+3=0，
x=6，C点坐标是（6，0）；
（2）当x=4时，y=﹣×4+3=1，∴D（4，1）．点D在反比例函数y=（k＞0）的图象上，
∴ k=4×1=4，∴反比例函数的解析式为 y=
4． 解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y∵把A（4，1），B（2，2）代入y=kx+b
∴ 解得，∴ 一次函数的解析式为；
（2）∵点C在直线AB上，
∴ 当x=0时，y=3，
∴ C（0，3）
过A作AE⊥x轴于E。
∴S△ACD=S梯形AEOC﹣S△COD﹣S△DEA==5
5．解：（1）由图②值：A′点的坐标为：（4，2），B′点的坐标为：（8，0），
∴ k=4×2=8，
∴ y=，
把（4，2），（8，0）代入y=ax+b得：
，
解得：，
∴经过A′、B′两点的一次函数表达式为：y=﹣x+4；
（2）当△ AOB向右平移m个单位时，
A′点的坐标为：（m，2），B′点的坐标为：（m+4，0）
则A′B′的中点M的坐标为：（m+4﹣2，1）
∴ 2m=m+2，
解得：m=2，
∴ 当m=2时，反比例函数y=的图象经过点A′及A′B′的中点M。
6． 解：（1）作BD⊥x轴于D，如图，
在Rt△OBD中，tan∠BOC==，
∴ =，即m=﹣2n，
把点B（m，n）代入y1=﹣x+2得n=﹣m+2，
∴ n=2n+2，解得n=﹣2，
∴ m=4，
∴ B点坐标为（4，﹣2），
把B（4，﹣2）代入y2=得k=4×（﹣2）=﹣8，
∴ 反比例函数解析式为y2=﹣；
（2）当x＜4，y2的取值范围为y2＞0或y2＜﹣2
7． 解：（1）由已知得：S△AOB=×1×m=1，
解得：m=2，
把A（1，2）代入反比例函数解析式得：k=2；
（2）由（1）知反比例函数解析式是y=，
由题意得：有两个不同的解，即=nx+2有两个不同的解，
方程去分母，得：nx2+2x﹣2=0，
则△=4+8n＞0，
解得：n＞﹣且n≠0
8． 解：（1）边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边在AD在x轴上，点B在第四象限，
∴ A（1，0），D（﹣1，0），B（1，﹣2）
∵ 反比例函数y=的图象过点B，
∴ ，m=﹣2，
∴反比例函数解析式为y=﹣，
设一次函数解析式为y=kx+b，
∵ y=kx+b的图象过B、D点，
∴ ，解得
直线BD的解析式y=﹣x﹣1；
（2）∵直线BD与反比例函数y=的图象交于点E，
∴ ，解得
∵ B（1，﹣2），
∴ E（﹣2，1）。
9． 解：（1）把A（2，1）代入y=x+b得2+b=1，解得b=﹣1；
把A（2，1）代入y=（x＞0）得k=2×1=2；
（2）一次函数解析式为y=x﹣1，
把y=0代入y=x﹣1得x﹣1=0，解得x=1，则B点坐标为（1，0），
所以△ AOB的面积=×1×1=．
10．解：（1）将点（2，5）、（0，7）代入一次函数解析式可得：，
解得：
∴ 一次函数解析式为：y=﹣x+7；
将点（2，5）代入反比例函数解析式：5=，
∴ m=10，
∴ 反比例函数解析式为：y=
（2）由题意，得：，
解得：或，
∴ 点B的坐标为（5，2），
由图象得：当0＜x＜2或x＞5时，y1＜y2
应用题
应用题《反比例函数的应用》
本章内容属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域，是在已经学面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界存在各种函数以及如何应用函数解决实际问题。反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数的基础。它位居初中阶段三大函数中的第二，区别于一次函数，但又建立在一次函数之上，而又为以后更高层次函数的学习，函数、方程、不等式间的关系的处理奠定了基础。函数本身是数学学习中的重要内容，而反比例函数则是基础函数，因此，本节内容有着举足轻重的地位。
【知识与能力目标】
1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程。
2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.提高运用代数方法解决问题的能力。
【过程与方法目标】
通过对反比例函数的应用，培养学生解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】
经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，初步学会从数学的角度提出问题。理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题.发展应用意识，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用。
【教学重点】
用反比例函数的知识解决实际问题。
【教学难点】
如何从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型，用数学知识去解决实际问题。
一、复习导入
内容：
什么是反比例函数？
反比例函数的图像是什么？
反比例函数的图像有什么性质？
1、反比例函数的定义：
2、反比例函数的图象和性质：
形状 反比例函数的图象是由两支曲线组成的。因此称反比例函数的图象为双曲线；
位置 当k>0时,两支曲线分别位于第一,三象限内；当k<0时,两支曲线分别位于第二,四象限内。
增减性 反比例函数的图象,当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小； 当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大。
图象的发展趋势 反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴,画图象时,要体现出这个特点。
对称性 反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形。
任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k。
3、填表分析正比例函数和反比例函数的区别
二、探索新知
例1. 已知k<0,则函数 y1=kx,y2= 在同一坐标系中的图象大致是 ( )
答案：D
例2. 已知k>0,则函数 y1=kx与y2= 在同一坐标系中的图象大致是 ( )
答案：C
例3.设x为一切实数，在下列函数中，当x减小时，y的值总是增大的函数是( )
（A）y = -5x -1
（B）y =
（C）y= -2x+2；
（D）y=4x。
答案：C
例4.已知y与x2 成反比例, 并且当x=3时，y=4。
解：设x2y=k,
因为x=3时y=4
所以9×4= k
所以 k=36
当x=1.5时
y=36÷（1.5×1.5）=16
求x=1.5时y的值。
例5、设 ABC中BC边的长为x（cm），BC上的高AD为y（cm）. ABC的面积为常数,已知y关于x的函数图象过点（3，4）。
(1) 求y关于x的函数解析式和 ABC 的面积？
(2)画出函数的图象。并利用图象，求当2解（1）：设 ABC的面积为S , 则 xy=S
所以 y=
因为函数图象过点（3，4）
所以 4=
解得 S=6（cm ）
答：所求函数的解析式为y= ， ABC的面积为6cm 。
（2）: k=12＞0, 又因为x＞0，所以图形在第一象限
用描点法画出函数 的图象
当x=2时，y=6；
当x=8时，y=
例6、如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为_________。
【思路点拨】延长BA与y轴相交于点E，则S矩形ABCD=S矩形BEOC-S矩形AEOD
【自主解答】延长BA交y轴于点E，由题意可得矩形AEOD的面积为1，矩形BEOC的面积为3，所以矩形ABCD的面积为3-1=2。
答案:2
三：课堂小结
活动内容：
（1）学习了反比例函数的应用；
（2）在应用反比例函数解决问题时,一定要注意以下几点:
①要注意自变量取值范围符合实际意义；
②确定反比例函数之前一定要考察两个变量与定值之间的关系；
若k未知时应首先由已知条件求出k值；
③求“至少,最多”时可根据函数性质得到。
四：布置作业
略。
教学过程(共14张PPT)
第五章·反比例函数
反比例函数的应用
反比例函数的定义：
复习引入
反比例函数的图象和性质：
形状 反比例函数的图象是由两支曲线组成的.因此称反比例函数的图象为双曲线;
位置 当k>0时,两支曲线分别位于第一,三象限内;当k<0时,两支曲线分别位于第二,四象限内;
增减性 反比例函数的图象,当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小; 当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大。
图象的发展趋势 反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴,画图象时,要体现出这个特点。
对称性 反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形。
任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k。
复习引入
函数 正比例函数 反比例函数
表达式
图象形状
K>0
K<0
位置
增减性
位置
增减性
y=kx ( k≠0 )
( k是常数,k≠0 )
y =
x
k
直线
双曲线
一三象限
y随x的增大而增大
一三象限
y随x的增大而减小
二四象限
二四象限
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
填表分析正比例函数和反比例函数的区别
复习引入
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
(A)
(B)
(C)
(D)
1. 已知k<0,则函数 y1=kx,y2= 在同一坐标系中的图象大致是 ( )
D
探索新知
C
x
(A)
x
y
0
x
y
0
(B)
(C)
(D)
y
0
x
y
0
2. 已知k>0,则函数 y1=kx与y2= 在同一坐标系中的图象大致是 ( )
探索新知
3.设x为一切实数，在下列函数中，当x减小时，y的值总是增大的函数是( )
（A）y = -5x -1
（B）y =
（C）y= -2x+2；
（D）y=4x。
C
探索新知
4.已知y与x2 成反比例, 并且当x=3时，y=4。
求x=1.5时y的值。
解：设x2y=k,
因为x=3时y=4
所以9×4= k
所以 k=36
当x=1.5时
y=36÷（1.5×1.5）=16
探索新知
5.设 ABC中BC边的长为x（cm），BC上的高AD为y（cm）。 ABC的面积为常数,已知y关于x的函数图象过点（3，4）。
（1）求y关于x的函数解析式和 ABC 的面积？
（2）画出函数的图象。并利用图象，
求当2探索新知
所以 y=
因为函数图象过点（3，4）
所以 4=
解得 S=6（cm ）
答：所求函数的解析式为y= ，
ABC的面积为6cm 。
解（1）：
设 ABC的面积为S ,
则 xy=S
探索新知
解（2）: k=12＞0, 又因为x＞0，所以图形在第一象限。
用描点法画出函数 的图象。
当x=2时，y=6；
当x=8时，y= ；
所以得 < x < 6。
探索新知
6、如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为_________。
【思路点拨】延长BA与y轴相交于点E，则S矩形ABCD=S矩形BEOC-S矩形AEOD。
【自主解答】延长BA交y轴于点E，由题意可得矩形AEOD的面积为1，矩形BEOC的面积为3，所以矩形ABCD的面积为3-1=2。
答案:2
探索新知
（1）学习了反比例函数的应用；
（2）在应用反比例函数解决问题时,一定要注意以下几点:
①要注意自变量取值范围符合实际意义；
②确定反比例函数之前一定要考察两个变量与定值之间的关系；
若k未知时应首先由已知条件求出k值；
③求“至少,最多”时可根据函数性质得到。
课堂小结
