(共29张PPT)
复习题
1.进一步熟悉作函数图象的步骤，会画反比例函数的图象.
2.体会函数的三种表示方法的相互转换，逐步提高从函数图象获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质．
知识回顾
1、什么是反比例函数？
2、反比例函数的定义中还需要注意什么？
◆自变量x的取值范围
一般地，形如 的函数 叫做反比例函数．
◆自变量x的次数为
3、请回忆：正比例函数的图象和性质
-2
（k是常数，k≠0）
-1
x≠0
◆若函数y=（m-2)xm2-5是反比例函数，则m= ，
性 质
图象名称
解析式
图象位于：一、三象限
y随x的增大而增大
图象位于：二、四象限
y随x的增大而减小
K>0
K<0
y=kx (k≠0)
直 线
(过原点）
增减性：
增减性：
挑战“记忆”
你还记得一次函数的图象与性质吗
回顾与思考
1
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,
称直线y=kx+b.
y随x的增大而增大;
x
y
o
x
y
o
y随x的增大而减小.
b<0
b>0
b=0
b<0
b<0
b=0
当k>0时,
当k<0时,
研究反比例函数的图象和性质
1、列表
2、描点
3、连线
画函数图象的一般步骤:
例1、画出反比例函数
的函数图象。
y =
x
6
y
x
y =
x
6
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-6
-5
5
6
x
y
1
6
2
3
3
2
4
1.5
5
1.2
6
1
6
-1
-6
-2
-3
-3
-1.5
-2
-4
-5
-1.2
-6
-1
…
…
…
…
y =
x
6
你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？
列表时,自变量的值可以选取一些互为相反数的值,这样既可简化计算,又便于对称性描点;
列表描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样既可以方便连线,又较准确地表达函数的变化趋势;
连线时一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接,从中体会函数的增减性；
……
◆反比例函数 的图象
x … …
y … …
1、列表:
2、描点:
3、连线:
·
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
654321
-1
-2
-3
-4
-5
-6
O
·
·
·
·
·
·
·
·
-0.5
-1
-2
-4
4
2
1
0.5
◆请你另外取一个正整数k的值，作出其反比例函数图象
图象会和坐标轴相交吗？
◆通过对k取不同的正值，作出了反比例函数的图象，你发现了反比例函数的图象是什么 分别在哪个象限内？
思考：
-4 -2 -1 -0.5 0.5 1 2 4
[注意哟]：图象不会与x轴、y轴相交
·
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
654321
-1
-2
-3
-4
-5
-6
O
·
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
654321
-1
-2
-3
-4
-5
-6
O
◆图象不是直线，是两支曲线，分别在一、三象限内
x
y =
x
6
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-6
-5
5
6
x
y
1
6
2
3
3
2
4
1.5
5
1.2
6
1
6
-1
-6
-2
-3
-3
-1.5
-2
-4
-5
-1.2
-6
-1
…
…
…
…
◆图象由两条曲线组成，叫做双曲线，
◆只要k取正值，图象都位于第一、三象限内
◆K的值还可以取其他一些什么值？说说看
再认真观察
·
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
654321
-1
-2
-3
-4
-5
-6
O
·
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
654321
-1
-2
-3
-4
-5
-6
O
①列表、描点、连线
②对称性
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-6
-5
5
6
y
x
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-6
-5
5
6
x
y
发现函数值y怎样随着自变量x的变化而变化？
·A
B·
如图xB< xA
但yB< yA
D·
C·
xA
xB
1、在每一个象限内
2、在整个自变量的取值范围内
在每个象限内
在每个象限内
y
X
O
k>0
K<0
反比例函数的图象和性质
双曲线的两支分别
图象名称
性质
双曲线的两支分别
双曲线
k>0
k<0
位于第一、第三象限，
位于第二、第四象限，
y值随x值的增大而减小。
y值随x值的增大而增大。
1、反比例函数 （k为常数，k≠0)
的图象是双曲线
2、当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每个象限内y值随x值的增大而减小。
3、当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限， 在每个象限内y值随x值的增大而增大。
K>0
K<0
当k＞0时，函数图象
的两个分支分别在第
一、三象限，在每个
象限内，y随x的增大
而减小.
当k＜0时，函数图象
的两个分支分别在第
二、四象限，在每个
象限内，y随x的增大
而增大.
1.反比例函数的图象是双曲线;
2.图象性质见下表：
图
象
性质
y=
反比例函数的图象和性质：
A：
x
y
o
B：
x
y
o
D：
x
y
o
C：
x
y
o
1、反比例函数y= - 的图象大致是（ ）
D
活学活用
1、函数 的图象在第________象限,
在每一象限内，y 随x 的增大而_________.
2、 函数 的图象在第________象限,
在每一象限内，y 随x 的增大而_________.
3、函数 ,当x>0时,图象在第____象限,
y随x 的增大而_________.
一、三
二、四
一
减小
增大
减小
练一练
1
练一练
2
已知反比例函数
若函数的图象位于第一三象限，
则k_____________;
若在每一象限内，y随x增大而增大，
则k_____________.
< 4
> 4
函数y=kx-k 与 在同一条直角坐标系中的 图象可能是 :
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
(A) (B) (C) (D)
练一练
3
D
考察函数 的图象,当x=-2时,y= ___ ,当x<-2时,y的取值范围是 _____ ;当y﹥-1时,x的取值范围是 _________ .
练一练
4
-1
-1x<-2或x>0
练一练
5
若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 的图象上，则（ ）
A、y1>y2>y3 B、y2>y1>y3
C、y3>y1>y2 D、y3>y2>y1
B
已知圆柱的侧面积是10πcm2,若圆柱底面半径为rcm,高为hcm,则h与r的函数图象大致是( ).
o
(A) (B) (C) (D)
r/cm
h/cm
o
r/cm
h/cm
o
r/cm
h/cm
o
r/cm
h/cm
练一练
6
C
学了就用
m<2
3、下列反比例函数图像的一个分支,在第三象限的是( )
二、四
B
1、已知反比例函数 的函数图象位于第一、三象限，
则m的取值范围是 。
4、函数 的图象在第 象限。
2、 下列函数中，其图象位于第二、四象限的有 ,
在其图象所在的象限内，y随x的减小而增大的有 。
(1),(4)
(2),(3)
例题讲解
解：
不一定y1>y2
则y1>y2
则y1两
零
5、正比例函数y=x与反比例函数 图象交点有 个，
正比例函数y=x与反比例函数 图象交点有 个。
D
（A）直线
（B）双曲线在第三象限的一支
（C）双曲线
（D）双曲线在第一象限的一支
6、长方形的面积为20，则它的长y与宽x之间的关系式为 点（-2，-10）是否在其图像上？（ ），用图象大致可表示为（ ）
不在
继续练习
例：在反比例函数 的图象上有两点（x1，y1）、 （x2，y2）,若x1>x2 ，y1>y2吗？
1.通过本节课的学习，你有什么收获？还有什么困惑吗？
2.你对自己本节课的表现满意吗？为什么？
及时小结，自我评价
数缺形时少直觉，
形少数时难入微．
本节收获
1、进一步巩固复习了作函数图象的一般方法和步骤
2、亲手画出函数的图象，用类比的方法，数形结合的思想，有了对图形进行观察、分析和归纳的体验，掌握了反比例函数的图象和性质
当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每个象限内y值随x值的增大而减小。
当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限， 在每个象限内y值随x值的增大而增大。
3、反比例函数 （k为常数，k≠0)的图象是双曲线
作业：课本46页第3、8题和课本60页第10题
3.已知反比例函数 的图象在
第二、四象限，那么一次函数y=kx-k的图象经过（ ）
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
C
4.甲乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽
车到达乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均速度x(km/h)
的函数，则这个函数的图象大致是（ ）
C
提示：在实际问题中图象只有一支曲线.
7、考察函数 的图象,当x=-2时,y= ___ ,当x<-2时,y的取值范围是 _____ ;当y﹥-1时,x的取值范围是 _________ .
-1
-1-20
5.若关于x,y的函数 图象位于第一、三象限，
则k的取值范围是_________.
k>－1(共21张PPT)
复习题
函数定义: 在一个变化过程中,如果有两个变量x和y, 并且对于x的每取一个值, y都有唯一的一个值与其对应,那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
一次函数定义：
把形如ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ为常数，ｋ≠０）的函数，叫做一次函数。
当ｂ＝０时，即y=kx,是正比例函数
是一种特殊的一次函数.
回顾与思考
本节课学习目标
2、理解反比例函数的概念以及表达形式。
1、能将现实生活中的实际问题转化为数学中的反比例函数关系式。
3、会应用：
（１）、会用函数概念和关系式解题。
（２）、会通过题中条件求函数的解析式。
在下列实际问题中,变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示
(1)一辆以60km/h匀速行驶的汽车，它行驶的距离S(单位：km)随时间t(单位：h)的变化而变化。
____________________
(2)一辆汽车的油箱中现有汽油50升，如果不再加油，平均每千米耗油量为0.1升，油箱中余油量y(单位：升)随行驶里程 x（单位：千米）的变化而变化。
_＿＿＿＿_________________
(3)京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化。
_________＿＿＿_________
函数关系式为：S=60t
函数关系式为：y=50－0.1x
函数关系式为：
讨论：生活中的实际问题
（4）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y（单位：m ）随宽x（单位：m ）的变化而变化。
_____________________
（5）已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有的土地面积S（单位：平方千米/人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化。
______________________
函数关系式为：
函数关系式为：
讨论：生活中的实际问题
S=60t
y=50－0.1x
在上面所列出函数中哪些是我们学过的函数？
S=60t
正比例函数
y=kx (k为不等于零的常数）
y=50－ 0.1x
一次函数
y=kx＋b (k≠０，k,b为常数）
① ② ③ ④
⑤
对比探求新知
请观察这几个函数关系式：
函数关系式：
探求新知
它们具有什么共同特征？
具有 的形式，其中k≠0,k为常数.
y=
k
x
形如 （k为常数，k≠0）的函数，称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数。
①当x=50时，y=_____
②当x=－100时，y=_____
20
－10
③X的值能不能取０？为什么？
形如 （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数。
④某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化。
函数关系式为：
，此时x可以取－100吗？为什么？
函数 (k≠０)中,自变量x的取值范围是不为０的一切实数。
注意：在实际问题中，自变量的取值还需考虑它的实际意义。
对于反比例函数
议一议
反比例函数与正比例函数的区别：
1、相同点：
（1）、反比例函数与正比例函数都是函数，其中K为常数，且K≠0.
1、不同点：
（1）形式：反比例函数形如： ,正比例函数形如：y=kx ；（2）次数：反比例函数的解析式y=kx-1,自变量x的次数为-1，而正比例函数解析式y=kx中，自变量x的次数为1；
（3）自变量的取值范围：反比例函数的自变量不能≠0，而正比例函数的自变量可以＝0；
（4）函数值：反比例函数y的值不为0，而正比例函数y的值可以为0.
y=
X
K
1、下列关系式中，y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？
（1）y=
4
x
（2）y=-
1
2x
（3）y=1-x
（4）xy=1
（5）y=
x
2
(6) y=x2
(7) y=x-1
（8）y=
1
x
-1
马上试一试
y是x的反比例函数，比例系数为k（k≠0）
y=
k
x
y=kx-1
xy=k
记住这些形式
关系式xy+4=0中y是x的反比例函数吗 若是，比例系数k等于多少？若不是，请说明理由。
1、如果函数 为反比例函数，那么k= ，
此时函数的解析式为 .
y=
k
x2k+3
-1
2、已知函数y=3xm-7是反比例函数,则 m = ___ .
6
分析:
｛
m2-2=-1
m+1≠0
即：m=1
｛
m=±1
m≠-1
解得
3、当m取什么值时，函数 是x的反比例函数？
反比例函数的判断方法：
①反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式；
（2）因为分母不能为零，所以反比例函数函数的自变量x不能为零，同样y也不能为零；
（3）由y=k/x=k●1/x=k●x-1，所以反比例函数可以写成y=kx-1的形式，自变量x的次数为-1；
由y=k/x →yx=k,因此判定两个变量是否成反比例关系，应看是否能写成反比例函数的形式，即两个变量的积是不是一个常数。
反比例函数的三种形式
y=
k
x
xy=k
y=kx-1
5号、下列的数表中分别给出了变量y与x之间的对应关系，其中有一个表示的是反比例函数,你能把它找出来吗
(D)
(A)
(B)
(C)
x -3 -2 -1 1 2 3
y 5 4 3 1 0 -1
x -3 -2 -1 1 2 3
y -4 -3 -2 0 1 2
x -3 -2 -1 1 2 3
y -2 -3 -6 6 3 2
x -3 -2 -1 1 2 3
y -6 -4 -2 2 4 6
考考你
xy=6即y=
1、现有一张一百元的人民币，如果把它换成50元的人民币，可得几张？换成10元的人民币可得几张？依次换成5元，2元，1元的人民币,各可得几张？
现在我们把换得的张数y与面值x列成一张表格。
换成的每张面值为 x（元） 50 10 5 2 1
换成的张数 y（张） 2 10 20 50 100
请大家仔细观察这张表格，我们可以发现当面值由大变小的时候，张数会怎样变化？
然而你知道什么没有变？
列表法
即：
解析法
列表法和解析法都能用来表示两个变量之间的函数关系。
例题剖析
例题：已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=6. （1）写出y与x的函数关系式； （2）求当x=4时y的值.
当 x=2 时y=6，所以有
例题剖析
解：（1）设
y=
k
x
6=
k
2
解得 k=12
∴y与x的函数关系式为
y=
12
x
（2） 把 x=4 代入 ，得
y=
12
x
y=
12
4
=3
用待定系数法求函数的解析式其步骤是：
1.设出含“未知系数”的函数一般式，如 y=。。。 ;
2.根据已知条件列出含“未知系数”的方程（组）。
3.解这个方程（组）,求出未知系数;
4.将求出的未知系数的值代入所设的一般式中.
变式：y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：
x -1
y 4 -2
（1）写出这个反比例函数的表达式；
（2）根据函数表达式完成上表.
1
2
-
1
2
2
-4
1
举一反三
随时牵挂待定系数法
解:
方法总结
求反比例函数解析式的方法:
∵反比例函数 只有一个待定系数K，只需要一组x,y的对应值代入解析式就可以确定K的值。再反代即得反比例函数的解析式。
……
本节课你有哪些收获
学习小结
１、反比例函数的意义：若y是x的反比例函数，则 ；
若 ，则y是x的反比例函数。有三种表达形式。
二、方法 （掌握待定系数法）
一、知识点 （反比例函数的定义）
三、应用
１、用函数关系式解题
２、通过题目求函数解析式
注意：
一些圆柱形的物体,经常以上那样堆放,随
着层数的增加,物体的总数是如何变化的
层数n 1 2 3 4 5 …n
物体总数y …
我们把y(因变量)叫做n(自变量) 的什么
函数
y=
2
n(1+n)
1
3
6
10
15
实例一
分析：
变式训练：
分析:
｛
m2-2=-1
m+1≠0
即：m=1
｛
m=±1
m≠-1
解得
测一测
7号、已知函数y=3xm-7是反比例函数,则 m = ___ .
6
22号、如果函数 为反比例函数，那么k= ，
此时函数的解析式为 .
y=
k
x2k+3
当m取什么值时，函数 是x的反比例函数？
32号、当m取什么值时，函数 是x的
反比例函数？
-1
已知函数 y = y1 + y2，y1与x 成正比例，y2与x成
反比例，且当x=1时，y=4；当x=2时，y=5。
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当x=4时，y 的值。
方法：先分别设y1,y2与x的关系式，将两组值代入所设的函数关系式中，求出函数的值。
解:(1)设 ,
则
∵x=1时，y=4；x=2时，y=5，
∴y与x的函数关系式为
（2）当x=4时，
超越思维作业(共34张PPT)
复习题
例1：市煤气公司要在地下修建一个
容积为 104 m3 的圆柱形煤气储
存室.
(1)储存室的底面积S(单位: m2 )与
其深度d(单位:m)有怎样的函数关系
圆柱体积＝底面积 高
解:(1)根据圆柱体的体积公式,我们有
s×d=104
变形得：
即储存室的底面积S是其深度d的反比例函数.
d
S
例1：市煤气公司要在地下修建一个容
积为 104 m3 的圆柱形煤气储存室.
(2)公司决定把储存室的底面积S定
为 500 m2 ,施工队施工时应该向
下掘进多深
解: (2)把S=500代入 得：
答:如果把储存室的底面积定为500 ,
施工时应向地下掘进20m深.
解得：
例1：市煤气公司要在地下修建一个容
积为 104 m3 的圆柱形煤气储存室.
(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地
下 15 m时,碰上了坚硬的岩石.为了
节约建设资金,储存室的底面积
应改为多少才能满足需要
(保留两位小数)
解:(3)根据题意,把d=15代入 ,得：
解得： S≈666.67
答:当储存室的深为15m时,储存室的底面积应改为
666.67 才能满足需要.
实际问题
（ 数学模型）
当S=500 m2时求d
当d=15 m时求S
小结 拓展
圆柱体的体积公式永远也不会变
你吃过拉面吗？一定体积的面团做拉面，面条的总长度 y 与面条的粗细 S的关系如图：（１）写出 y 与 S 的函数关系式；
（２）当面条粗0.16 cm2时，
求面条总长度是多少厘米？
已知：如图，有一面围墙（可利用的最大长
度为100），现打算沿围墙围成一个
面积为120的长方形花圃．设花圃
的一边AB= x，另一边为 y
求：① y 关于 x 的函数关系式
②自变量于 x 的取值范围
码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮船装载完毕恰好用了8天时间.
(1)轮船到达目的地后开始卸货,卸货
速度v(单位:吨/天)与卸货时间 t
(单位:天)之间有怎样的函数关系？
分析：装货速度×装货时间＝货物的总量
解:（1）设轮船上的货物总量为 k 吨，
则根据已知条件有 k=30×8=240
所以v与t的函数式为
解:由题意知 t ≤5
(2)由于遇到紧急情况,船上的货物必须
在不超过5天内卸载完毕,那么平均
每天至少要卸多少吨货物
（3）在直角坐标系中作出相应的函数图象。
t … …
v … …
5
10
15
20
25
48
24
16
12
9.6
O
5
10
10
20
30
40
50
60
15
20
25
t (天)
v(吨/天)
48
反比例函数的图像虽然有两支，但是实际问题，只能取第一象限的双曲线。
A
y
O
B
x
M
N
超越自我:
练习：
A
y
O
B
x
M
N
C
D
所分成的两个三角形，都以OM为底
A
y
O
B
x
M
N
C
D
所分成的两个三角形，都以ON为底
给我一个支点，我可以撬动地球！
——阿基米德
背景知识
阻力×阻力臂=动力×动力臂
阻力臂
阻力
动力臂
动力
背景知识
杠杆定律
在我们使用撬棍时,为什么动力臂越长就越省力？
你知道了吗？
反比例函数
发现：动力臂越长，用的力越小.
即动力臂越长就越省力
小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0.5米
(1)动力 F 与动力臂 L 有怎样的函数关系
(2)当动力臂为1.5米时,撬动石头至少需要
多大的力
(3)若想使动力F不超过题(2)中所用力的一半,
则动力臂至少要加长多少米
解:
(1)根据“杠杆定律”有
FL=1200×0.5
得函数关系式
(2)当L=1.5时,
因此撬动石头至少需要400牛顿的力.
解:
因此,若想用力不超过400牛顿的一半,则动力臂至少要加长1.5米.
（4）假定地球重量的近似值为６×１０２５牛顿
（即为阻力），假设阿基米德有５００牛顿
的力量，阻力臂为２０００千米，请你帮
助阿基米德设计该用多长动力臂的杠杆才
能把地球撬动．
给我一个支点我可以把地球撬动．
解:
由已知得Ｆ×L=6×1025×2×103=1.2×1029
变形得：
当F=500时，L=2.4×1026千米
问题与情景
在物理电学知识中，用电器的输出功率Ｐ（瓦），两端的电压Ｕ（伏）及用电器的电阻Ｒ（欧姆）有如下
关系：Ｕ２ ＝ＰＲ .
这个关系也可写为Ｐ＝ ；
或Ｒ＝ .
一个用电器的电阻是可调节的,其范围为110～220欧姆.已知电压为220伏,这个用电器的电路图如图所示.
(1)输出功率P与电阻R有怎样的关系
解:
(1)根据电学知识,当U=220时,有
即输出功率P是电阻R的反比例函数.
一个用电器的电阻是可调节的,其范围为110～220欧姆.已知电压为220伏,这个用电器的电路图如图所示.
(2)用电器输出功率的范围多大
解: 从①式可以看出,电阻越大则功率越小.
把电阻的最大值R=220代入①式,则得到输出功率的最小值
因此,用电器的输出功率在220瓦到440瓦之间.
把电阻的最小值R=110代入①式,得到输出功率最大值:
结合上例，想一想为什么收音机、台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节？
思考
收音机的音量、台灯的亮度以及电风扇的转速是由用电器的输出功率决定的.
通过调整输出功率的大小，就能调节收音机的音量、台灯的亮度以及电风扇的转速。
在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示．
（1）写出 I 与 R 之间的函数解析式；
解：（1）设 ，
根据题目条件知，
当I=6时，R=6，
所以K=36，即：I = ．
（2）结合图象回答：当电路中的电
流不超过12安培时，电路中电阻R
的取值范围是多少欧姆？
电流不超过3A，
即 I = ≤12，
所以R≥3（欧姆）．
农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房(如图所示)，则需要塑料布y(平方米)与半径R(米)的函数关系式是__________________
(不考虑塑料埋在土里的部分)．
y＝30pR＋pR2(R＞0)
