习题课：法拉第电磁感应定律的应用
——两个公式的对比及电荷量的计算
[学习目标] 1.理解公式E＝n与E＝BLv的区别和联系，能够应用这两个公式求解感应电动势.2.理解电磁感应电路中电荷量求解的基本思路和方法．
一、E＝n和E＝BLv的比较应用
E＝n
E＝BLv
区别
研究
对象
整个闭合回路
回路中做切割磁感线运动的那部分导体
适用
范围
各种电磁感应现象
只适用于导体垂直切割磁感线运动的情况
计算
结果
Δt内的平均感应电动势
某一时刻的瞬时感应电动势
联系
E＝BLv是由E＝n在一定条件下推导出来的，该公式可看做法拉第电磁感应定律的一个推论
例1 如图1所示，导轨OM和ON都在纸面内，导体AB可在导轨上无摩擦滑动，若AB以5m/s的速度从O点开始沿导轨匀速右滑，导体与导轨都足够长，磁场的磁感应强度为0.2T．问：
图1
(1)3s末夹在导轨间的导体长度是多少？此时导体切割磁感线产生的感应电动势多大？
(2)3s内回路中的磁通量变化了多少？此过程中的平均感应电动势为多少？
答案 (1)5m 5V (2)Wb V
解析 (1)夹在导轨间的部分导体切割磁感线产生的电动势才是电路中的感应电动势．
3s末，夹在导轨间导体的长度为：
l＝vt·tan30°＝5×3×tan30°m＝5m
此时：E＝Blv＝0.2×5×5V＝5V
(2)3s内回路中磁通量的变化量
ΔΦ＝BS－0＝0.2××15×5Wb＝Wb
3s内电路产生的平均感应电动势为：
＝＝V＝V.
E＝BLv和E＝n本质上是统一的，前者是后者的一种特殊情况．当导体做切割磁感线运动时，用E＝BLv求E比较方便；当穿过电路的磁通量发生变化时，用E＝n求E比较方便．
二、电磁感应中的电荷量问题
例2 面积S＝0.2m2、n＝100匝的圆形线圈，处在如图2所示的磁场内，磁感应强度B随时间t变化的规律是B＝0.02tT，R＝3Ω，C＝30μF，线圈电阻r＝1Ω，求：
图2
(1)通过R的电流方向和4s内通过导线横截面的电荷量；
(2)电容器的电荷量．
答案 (1)方向由b→a 0.4C (2)9×10－6C
解析 (1)由楞次定律可求得电流的方向为逆时针，通过R的电流方向为b→a，
q＝Δt＝Δt＝nΔt＝n＝0.4C.
(2)由E＝n＝nS＝100×0.2×0.02V＝0.4V，
I＝＝A＝0.1A，
UC＝UR＝IR＝0.1×3V＝0.3V，
Q＝CUC＝30×10－6×0.3C＝9×10－6C.
1．求解电路中通过的电荷量时，一定要用平均感应电动势和平均感应电流计算．
2．设感应电动势的平均值为，则在Δt时间内：＝n，＝，又q＝Δt，所以q＝n.其中ΔΦ对应某过程磁通量的变化，R为回路的总电阻，n为电路中线圈的匝数．
针对训练 如图3所示，空间存在垂直于纸面的匀强磁场，在半径为a的圆形区域内部及外部，磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B.一半径为b(b＞a)，电阻为R的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合．当内、外磁场同时由B均匀地减小到零的过程中，通过导线环截面的电荷量为( )
图3
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 开始时穿过导线环向里的磁通量设为正值，Φ1＝Bπa2，向外的磁通量则为负值，Φ2＝－B·π(b2－a2)，总的磁通量为它们的代数和(取绝对值)Φ＝B·π|b2－2a2|，末态总的磁通量为Φ′＝0，由法拉第电磁感应定律得平均感应电动势为＝，通过导线环截面的电荷量为q＝·Δt＝，A项正确．
1.如图4所示，将一个闭合金属圆环从有界磁场中匀速拉出，第一次速度为v，通过金属圆环某一截面的电荷量为q1，第二次速度为2v，通过金属圆环某一截面的电荷量为q2，则( )
图4
A．q1∶q2＝1∶2
B．q1∶q2＝1∶4
C．q1∶q2＝1∶1
D．q1∶q2＝2∶1
答案 C
解析 由q＝·Δt＝·Δt得
q＝＝，S为圆环面积，故q1＝q2.
2.物理实验中，常用一种叫做“冲击电流计”的仪器测定通过电路的电荷量．如图5所示，探测线圈与冲击电流计串联后可用来测定磁场的磁感应强度．已知线圈的匝数为n，面积为S，线圈与冲击电流计组成的回路电阻为R.若将线圈放在被测匀强磁场中，开始时线圈平面与磁场垂直，现把探测线圈翻转180°，冲击电流计测出通过线圈的电荷量为q，由上述数据可测出被测磁场的磁感应强度为( )
图5
A. B.
C. D.
答案 C
解析 q＝·Δt＝·Δt＝Δt＝n＝n，
所以B＝.
3.可绕固定轴OO′转动的正方形线框的边长为L，不计摩擦和空气阻力，线框从水平位置由静止释放，到达竖直位置所用的时间为t，此时ab边的速度为v.设线框始终处在竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中，如图6所示，试求：
图6
(1)这个过程中回路中的感应电动势；
(2)到达竖直位置瞬间回路中的感应电动势．
答案 (1) (2)BLv
解析 (1)线框从水平位置到达竖直位置的过程中回路中的感应电动势E＝＝.
(2)线框到达竖直位置时回路中的感应电动势E′＝BLv.
一、选择题(1～5题为单选题，6～8题为多选题)
1.如图1所示，一正方形线圈的匝数为n，边长为a，线圈平面与匀强磁场垂直，且一半处在磁场中．在Δt时间内，磁感应强度的方向不变，大小由B均匀地增大到2B.在此过程中，线圈中产生的感应电动势为( )
图1
A. B.
C. D.
答案 B
解析 线圈中产生的感应电动势E＝n＝n··S＝n··＝，选项B正确．
2．如图2所示，将一半径为r的金属圆环在垂直于环面的磁感应强度为B的匀强磁场中用力握中间成“8”字形(金属圆环未发生翻转)，并使上、下两圆环半径相等．如果环的电阻为R，则此过程中流过环的电荷量为( )
图2
A. B.
C．0 D.－
答案 B
解析 流过环的电荷量只与磁通量的变化量和环的电阻有关，与时间等其他量无关，ΔΦ＝Bπr2－2·Bπ2＝Bπr2，因此，电荷量为q＝＝.
3．如图3甲所示，矩形导线框abcd固定在变化的磁场中，产生了如图乙所示的电流(电流方向abcda为正方向)．若规定垂直纸面向里的方向为磁场正方向，能够产生如图乙所示电流的磁场为( )
图3
答案 D
解析 由题图乙可知，0～t1内，线框中的电流的大小与方向都不变，根据法拉第电磁感应定律可知，线框中的磁通量的变化率相同，故0～t1内磁感应强度与时间的关系是一条斜线，A、B错．又由于0～t1时间内电流的方向为正，即沿abcda方向，由楞次定律可知，电路中感应电流的磁场方向向里，故0～t1内原磁场方向向里减小或向外增大，因此D项符合题意．
4.如图4所示，两块水平放置的金属板间距离为d，用导线与一个n匝线圈连接，线圈置于方向竖直向上的磁场B中．两板间有一个质量为m，电荷量为＋q的油滴恰好处于平衡状态，则线圈中的磁场B的变化情况和磁通量的变化率分别是( )
图4
A．正在增强；＝
B．正在减弱；＝
C．正在减弱；＝
D．正在增强；＝
答案 B
解析 电荷量为q的带正电的油滴恰好处于静止状态，电场力竖直向上，则电容器的下极板带正电，所以线圈下端相当于电源的正极，由题意可知，根据安培定则和楞次定律，可得穿过线圈的磁通量在均匀减弱；线圈产生的感应电动势：E＝n；油滴所受电场力：F＝q，对油滴，根据平衡条件得：q＝mg；所以解得线圈中磁通量的变化率的大小为＝.故B正确，A、C、D错误．
5．如图5甲所示，有一面积为S＝100cm2的金属环，电阻为R＝0.1Ω，环中磁场的变化规律如图乙所示，且磁场方向垂直纸面向里，在t1到t2时间内，通过金属环的电荷量是( )
图5
A．0.01C B．0.02C
C．0.03C D．0.1C
答案 A
解析 由法拉第电磁感应定律知金属环中产生的感应电动势E＝，由闭合电路欧姆定律知金属环中的感应电流为I＝.通过金属环的电荷量q＝I·Δt＝＝ C＝0.01 C．故A正确．
6.如图6所示，三角形金属导轨EOF上放有一金属杆AB，在外力作用下，使AB保持与OF垂直，从O点开始以速度v匀速右移，该导轨与金属杆均为粗细相同的同种金属制成，则下列判断正确的是 ( )
图6
A．电路中的感应电流大小不变
B．电路中的感应电动势大小不变
C．电路中的感应电动势逐渐增大
D．电路中的感应电流逐渐减小
答案 AC
解析 设金属杆从O开始运动到如题图所示位置所经历的时间为t，∠EOF＝θ，金属杆切割磁感线的有效长度为L，故E＝BLv＝Bv·vttanθ＝Bv2tan θ·t，即电路中感应电动势与时间成正比，C选项正确；电路中感应电流I＝＝.而l等于闭合三角形的周长，即l＝vt＋vt·tanθ＋＝vt(1＋tan θ＋)，所以I＝是恒量，所以A正确．
7．如图7所示是测量通电螺线管内部磁感应强度的一种装置：把一个很小的测量线圈放在待测处(测量线圈平面与螺线管轴线垂直)，将线圈与可以测量电荷量的冲击电流计G串联，当将双刀双掷开关K由位置1拨到位置2时，测得通过测量线圈的电荷量为q.已知测量线圈的匝数为n，面积为S，测量线圈和G串联回路的总电阻为R.下列判断正确的是( )
图7
A．在此过程中，穿过测量线圈的磁通量的变化量ΔΦ＝qR
B．在此过程中，穿过测量线圈的磁通量的变化量ΔΦ＝
C．待测处的磁感应强度的大小为B＝
D．待测处的磁感应强度的大小为B＝
答案 BD
解析 由E＝n，E＝IR，q＝IΔt，得q＝，得ΔΦ＝，B正确；ΔΦ＝2BS，得B＝，D正确．
8．如图8所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路．虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面．回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直．从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列说法正确的是( )
图8
A．感应电流方向不变
B．CD段直导线始终不受安培力
C．感应电动势最大值Em＝Bav
D．感应电动势平均值＝πBav
答案 ACD
解析 在闭合回路进入磁场的过程中，通过闭合回路的磁通量逐渐增大，根据楞次定律可知感应电流的方向始终为逆时针方向，A正确．根据左手定则可判断，CD段受安培力向下，B不正确．当半圆形闭合回路一半进入磁场时，这时有效切割长度最大为a，所以感应电动势最大值Em＝Bav，C正确．感应电动势平均值＝＝πBav，D正确．
二、非选择题
9．如图9甲所示，固定在水平面上电阻不计的光滑金属导轨，间距d＝0.5m．右端接一阻值为4Ω的小灯泡L，在CDEF矩形区域内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B按如图乙规律变化．CF长为2m．在t＝0时，金属棒ab从图示位置由静止在恒力F作用下向右运动到EF位置，整个过程中小灯泡亮度始终不变．已知ab金属棒电阻为1Ω，求：
图9
(1)通过小灯泡的电流；
(2)恒力F的大小；
(3)金属棒的质量．
答案 (1)0.1A (2)0.1N (3)0.8kg
解析 (1)金属棒未进入磁场时，电路总电阻R总＝RL＋Rab＝5 Ω
回路中感应电动势为：E1＝＝S＝0.5 V
灯泡中的电流为IL＝＝0.1 A.
(2)因灯泡亮度不变，故在t＝4 s末金属棒刚好进入磁场，且做匀速运动，此时金属棒中的电流I＝IL＝0.1 A
恒力大小：F＝F安＝BId＝0.1 N.
(3)因灯泡亮度不变，金属棒在磁场中运动时，产生的感应电动势为E2＝E1＝0.5 V
金属棒在磁场中的速度v＝＝0.5 m/s
金属棒未进入磁场时的加速度为a＝＝0.125 m/s2
故金属棒的质量为m＝＝0.8 kg.
10.如图10所示，面积为0.2m2的100匝线圈A处在磁场中，磁场方向垂直于线圈平面．磁感应强度B随时间变化的规律是B＝(6－0.2t) T，已知电路中的R1＝4Ω，R2＝6Ω，电容C＝30μF，线圈的电阻不计，求：
图10
(1)闭合S一段时间后，通过R2的电流大小及方向．
(2)闭合S一段时间后，再断开S，S断开后通过R2的电荷量是多少？
答案 (1)0.4A 由上向下通过R2 (2)7.2×10－5C
解析 (1)由于磁感应强度随时间均匀变化，根据B＝(6－0.2t) T，可知＝0.2T/s，所以线圈中感应电动势的大小为E＝n＝nS·＝100×0.2×0.2V＝4V.
通过R2的电流大小为I＝＝A＝0.4A
由楞次定律可知电流的方向自上而下通过R2.
(2)闭合S一段时间后，电容器充电，此时两板间电压
U2＝IR2＝0.4×6V＝2.4V.
再断开S，电容器将放电，通过R2的电荷量就是电容器原来所带的电荷量Q＝CU2＝30×10－6×2.4C＝7.2×10－5C.
11.如图11所示，固定在水平桌面上的金属框架edcf处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab在框架上可无摩擦滑动，此时adcb构成一个边长为l的正方形，金属棒的电阻为r，其余部分电阻不计，开始时磁感应强度为B0.
图11
(1)若从t＝0时刻起，磁感应强度均匀增加，每秒增量为k，同时保持金属棒静止．求金属棒中的感应电流，在图上标出感应电流的方向．
(2)在上述(1)情况中，始终保持金属棒静止，当t＝t1时需加的垂直于金属棒的水平拉力为多大？
(3)若从t＝0时刻起，磁感应强度逐渐减小，当金属棒以恒定速度v向右做匀速运动时，可使金属棒中不产生感应电流．则磁感应强度应怎样随时间变化(写出B与t的关系式)?
答案 (1) 见解析图 (2)(B0＋kt1)
(3)B＝
解析 (1)感应电动势E＝＝kl2.
感应电流I＝＝，
由楞次定律可判定感应电流方向为逆时针，如图所示．
(2)t＝t1时，B＝B0＋kt1，F＝BIl，所以F＝(B0＋kt1).
(3)要使金属棒中不产生感应电流，则应保持总磁通量不变，
即Bl(l＋vt)＝B0l2，所以B＝.
课件21张PPT。第一章
电磁感应习题课：法拉第电磁感应定律的应用
——两个公式的对比及电荷量的计算 学习目标
1.理解公式E＝ 与E＝BLv的区别和联系，能够应用这两个公式求解感应电动势.
2.理解电磁感应电路中电荷量求解的基本思路和方法．内容索引
题型探究
达标检测
1题型探究一、E＝ 和E＝BLv的比较应用例1 如图1所示，导轨OM和ON都在纸面内，导体AB可在导轨上无摩擦滑动，若AB以5 m/s的速度从O点开始沿导轨匀速右滑，导体与导轨都足够长，磁场的磁感应强度为0.2 T．问：(1)3 s末夹在导轨间的导体长度是多少？此时导体切割磁感线产生的感应电动势多大？图1 答案解析
夹在导轨间的部分导体切割磁感线产生的电动势才是电路中的感应电动势．
3 s末，夹在导轨间导体的长度为：
l＝vt·tan 30°＝5×3×tan 30° m＝(2)3 s内回路中的磁通量变化了多少？此过程中的平均感应电动势为多少？ 答案解析
3 s内回路中磁通量的变化量3 s内电路产生的平均感应电动势为：图1二、电磁感应中的电荷量问题例2 面积S＝0.2 m2、n＝100匝的圆形线圈，处在如图2所示的磁场内，磁感应强度B随时间t变化的规律是B＝0.02t T，R＝3 Ω，C＝30 μF，线圈电阻r＝1 Ω，求：图2(1)通过R的电流方向和4 s内通过导线横截面的电荷量；答案解析方向由b→a 0.4 C
由楞次定律可求得电流的方向为逆时针，通过R的电流方向为b→a，(2)电容器的电荷量． 答案解析
UC＝UR＝IR＝0.1×3 V＝0.3 V，
Q＝CUC＝30×10－6×0.3 C＝9×10－6 C.9×10－6 C图21．求解电路中通过的电荷量时，一定要用平均感应电动势和平均感应电流计算．针对训练 如图3所示，空间存在垂直于纸面的匀强磁场，在半径为a的圆形区域内部及外部，磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B.一半径为b(b＞a)，电阻为R的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合．当内、外磁场同时由B均匀地减小到零的过程中，通过导线环截面的电荷量为答案解析√图3
开始时穿过导线环向里的磁通量设为正值，Φ1＝Bπa2，向外的磁通量则为负值，Φ2＝－B·π(b2－a2)，总的磁通量为它们的代数和(取绝对值)Φ＝B·π|b2－2a2|，末态总的磁通量为Φ′＝0，
达标检测21.如图4所示，将一个闭合金属圆环从有界磁场中匀速拉出，第一次速度为v，通过金属圆环某一截面的电荷量为q1，第二次速度为2v，通过金属圆环某一截面的电荷量为q2，则
A.q1∶q2＝1∶2 B.q1∶q2＝1∶4
C.q1∶q2＝1∶1 D.q1∶q2＝2∶1√图4
答案解析123 2.物理实验中，常用一种叫做“冲击电流计”的仪器测定通过电路的电荷量.如图5所示，探测线圈与冲击电流计串联后可用来测定磁场的磁感应强度.已知线圈的匝数为n，面积为S，线圈与冲击电流计组成的回路电阻为R.若将线圈放在被测匀强磁场中，开始时线圈平面与磁场垂直，现把探测线圈翻转180°，冲击电流计测出通过线圈的电荷量为q，由上述数据可测出被测磁场的磁感应强度为答案解析图5√123
123 3.可绕固定轴OO′转动的正方形线框的边长为L，不计摩擦和空气阻力，线框从水平位置由静止释放，到达竖直位置所用的时间为t，此时ab边的速度为v.设线框始终处在竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中，如图6所示，试求：
(1)这个过程中回路中的感应电动势； 答案解析线框从水平位置到达竖直位置的过程中回路中的感应电动势
图6123 (2)到达竖直位置瞬间回路中的感应电动势. 答案解析线框到达竖直位置时回路中的感应电动势E′＝BLv.BLv图6123
