习题课：电磁感应中的综合应用
——电磁感应中的电路问题和动力学问题
[学习目标] 1.能综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的图象问题.2.掌握电磁感应中动力学问题的分析方法.3.能解决电磁感应中的动力学与能量结合的综合问题．
一、电磁感应中的图象问题
1．问题类型
(1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图象．
(2)由给定的图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量．
2．图象类型
(1)各物理量随时间t变化的图象，即B－t图象、Φ－t图象、E－t图象和I－t图象．
(2)导体切割磁感线运动时，还涉及感应电动势E和感应电流I随导体位移变化的图象，即E－x图象和I－x图象．
3．解决此类问题需要熟练掌握的规律：安培定则、左手定则、楞次定律、右手定则、法拉第电磁感应定律、欧姆定律等．
例1 将一段导线绕成图1甲所示的闭合回路，并固定在纸面内，回路的ab边置于垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ中．回路的圆环区域内有垂直纸面的磁场Ⅱ，以向里为磁场Ⅱ的正方向，其磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示．用F表示ab边受到的安培力，以水平向右为F的正方向，能正确反映F随时间t变化的图象是 ( )
图1
答案 B
解析 由题图乙可知0～时间内，磁感应强度随时间线性变化，即＝k(k是一个常数)，圆环的面积S不变，由E＝＝可知圆环中产生的感应电动势大小不变，则回路中的感应电流大小不变，ab边受到的安培力大小不变，从而可排除选项C、D；0～时间内，由楞次定律可判断出流过ab边的电流方向为由b至a，结合左手定则可判断出ab边受到的安培力的方向向左，为负值，故选项A错误，B正确．
本类题目线圈面积不变而磁场发生变化，可根据E＝nS判断E的大小及变化，其中为B－t图象的斜率，且斜率正、负变化时对应电流的方向发生变化．
例2 如图2所示，在x≤0的区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面(纸面)向里．具有一定电阻的矩形线框abcd位于xOy平面内，线框的ab边与y轴重合．令线框从t＝0时刻起由静止开始沿x轴正方向做匀加速运动，则线框中的感应电流i(取逆时针方向的电流为正)随时间t的变化图象正确的是( )
图2
答案 D
解析 因为线框做匀加速直线运动，所以感应电动势为E＝Blv＝Blat，因此感应电流大小与时间成正比，由楞次定律可知电流方向为顺时针．
二、电磁感应中的动力学问题
1．电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受到安培力作用，所以电磁感应问题往往与力学问题联系在一起，处理此类问题的基本方法是：
(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向．
(2)求回路中的感应电流的大小和方向．
(3)分析研究导体受力情况(包括安培力)．
(4)列动力学方程或平衡方程求解．
2．两种状态处理
(1)导体处于平衡状态——静止或匀速直线运动状态．
处理方法：根据平衡条件——合力等于零列式分析．
(2)导体处于非平衡状态——加速度不为零．
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
例3 如图3甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻，一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直，整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦．
图3
(1)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小；
(2)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值．
答案 (1) gsinθ－ (2)
解析 (1)如图所示，ab杆受重力mg，竖直向下；支持力FN，垂直于斜面向上；安培力F安，沿斜面向上．
当ab杆的速度大小为v时，感应电动势E＝BLv，此时电路中的电流
I＝＝
ab杆受到安培力F安＝BIL＝
根据牛顿第二定律，有
mgsinθ－F安＝ma
联立解得a＝gsinθ－.
(2)当a＝0时，ab杆有最大速度：vm＝.
电磁感应现象中涉及到具有收尾速度的力学问题时，关键是做好受力情况和运动情况的动态分析：
→→→→→→
周而复始地循环，达到最终状态时，加速度等于零，导体达到稳定运动状态，即平衡状态，根据平衡条件建立方程，所求解的收尾速度也是导体运动的最大速度．
针对训练 (多选)如图4所示，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计．ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆．开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，一段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆ab的速度v随时间t变化的图象可能是( )
图4
答案 ACD
解析 设ab杆的有效长度为l，S闭合时，若>mg，杆先减速再匀速，D项有可能；若＝mg，杆匀速运动，A项有可能；若1.如图5所示，匀强磁场存在于虚线框内，矩形线圈竖直下落，不计空气阻力．如果线圈中受到的磁场力总小于其重力，则它在1、2、3、4位置时的加速度关系为 ( )
图5
A．a1＞a2＞a3＞a4
B．a1＝a2＝a3＝a4
C．a1＝a3＞a2＞a4
D．a1＝a3＞a2＝a4
答案 C
解析 线圈自由下落时，加速度为a1＝g.线圈完全在磁场中时，磁通量不变，不产生感应电流，线圈不受安培力作用，只受重力，加速度为a3＝g.线圈进入和穿出磁场过程中，切割磁感线产生感应电流，将受到向上的安培力，根据牛顿第二定律得知，a2＜g，a4＜g.线圈完全在磁场中时做匀加速运动，到达4处的速度大于2处的速度，则线圈在4处所受的安培力大于在2处所受的安培力，又知，磁场力总小于重力，则a2＞a4，故a1＝a3＞a2＞a4.所以选C.
2．如图6所示，一底边为L，底边上的高也为L的等腰三角形导体线框以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过长为2L、宽为L的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．t＝0时刻，三角形导体线框的底边刚进入磁场，取沿逆时针方向的感应电流为正，则在三角形导体线框穿过磁场区域的过程中，感应电流I随时间t变化的图象可能是( )
图6
答案 A
3.如图7所示，有一垂直纸面向里、磁感应强度B＝0.1T的水平匀强磁场，垂直于匀强磁场放置一很长的U型金属框架，框架上有一导体ab保持与框架垂直接触，且由静止开始下滑．已知ab长1m，质量为0.1kg，电阻为0.1Ω，框架光滑且电阻不计，取g＝10m/s2，求：
图7
(1)导体ab下落的最大加速度大小；
(2)导体ab下落的最大速度大小；
(3)导体ab达到最大速度时产生的电功率．
答案 (1)10m/s2 (2)10 m/s (3)10W
解析 (1)对导体ab受力分析可知，其开始运动时所受的合力最大，即为重力．由牛顿第二定律可知，最大加速度为a＝g＝10m/s2.
(2)导体ab下落的速度最大时，加速度为零，
此时有mg＝F安
F安＝BIL
I＝
E＝BLvmax
联立以上各式得：
vmax＝＝m/s＝10 m/s.
(3)导体ab达到最大速度时其电功率为P＝IE
由以上各式得P＝＝W＝10W.
一、选择题(1～6题为单选题，7～10题为多选题)
图1
1．如图1所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动．杆ef及线框中导线的电阻都可不计．开始时，给ef一个向右的初速度，则( )
A．ef将减速向右运动，但不是匀减速
B．ef将匀减速向右运动，最后停止
C．ef将匀速向右运动
D．ef将往返运动
答案 A
解析 导体杆ef向右运动，切割磁感线，产生感应电动势和感应电流，会受到向左的安培力而做减速运动，直到停止，但不是匀减速，由F＝BIL＝＝ma知，杆ef做的是加速度减小的减速运动．故A正确．
2．如图2所示，平行导轨间有一矩形的匀强磁场区域．细金属棒PQ沿导轨从MN处匀速运动到M′N′的过程中，棒上感应电动势E随时间t的变化图象可能正确的是( )
图2
答案 A
解析 金属棒在到达匀强磁场之前，不产生感应电动势，金属棒在磁场中运动时，匀速切割磁感线，并且切割的有效长度也不变，由公式E＝BLv知此段时间内感应电动势为定值，金属棒离开磁场后，无感应电动势产生，选项A正确．
3．如图3所示，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为d(d＞L)的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下．导线框以某一初速度向右运动，t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域．下列v－t图象中，正确描述上述过程的是( )
图3
答案 D
解析 导线框进入磁场的过程中，线框受到向左的安培力作用，根据E＝BLv、I＝、F＝BIL得F＝，随着v的减小，安培力F减小，导线框做加速度逐渐减小的减速运动．整个导线框在磁场中运动时，无感应电流，导线框做匀速运动，导线框离开磁场的过程中，根据F＝，导线框做加速度逐渐减小的减速运动，所以选项D正确．
4．如图4(a)，线圈ab、cd绕在同一软铁芯上．在ab线圈中通以变化的电流，用示波器测得线圈cd间电压如图(b)所示．已知线圈内部的磁场与流经线圈的电流成正比，则下列描述线圈ab中电流随时间变化关系的图中，可能正确的是( )
图4
答案 C
5.如图5所示的区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.一个电阻为R、半径为L、圆心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O轴匀速转动(O轴位于磁场边界)，周期为T，t＝0时刻线框置于如图所示位置，则线框内产生的感应电流的图象为(规定电流顺时针方向为正) ( )
图5
答案 A
解析 在本题中由于扇形导线框匀速转动，因此导线框进入磁场的过程中产生的感应电动势是恒定的．注意线框在进入磁场和离开磁场时，有感应电流产生，当完全进入时，由于磁通量不变，故无感应电流产生．由右手定则可判断导线框进入磁场时，电流方向为逆时针，故A正确．
6.如图6所示，在空间中存在两个相邻的、磁感应强度大小相等、方向相反的有界匀强磁场，其宽度均为L.现将宽度也为L的矩形闭合线圈，从图示位置垂直于磁场方向匀速拉过磁场区域，则在该过程中，能正确反映线圈中所产生的感应电流或其所受的外力随时间变化的图象是( )
图6
答案 D
解析 当矩形闭合线圈进入磁场时，由法拉第电磁感应定律判断，当线圈处在两个磁场中时，两个边切割磁感线，此过程中感应电流的大小是最大的，所以选项A、B是错误的．由楞次定律可知，当矩形闭合线圈进入磁场和离开磁场时，磁场力总是阻碍线圈的运动，方向始终向左，所以外力F始终水平向右．安培力的大小不同，线圈处在两个磁场中时安培力最大．故选项D是正确的，选项C是错误的．
7．如图7甲所示，一个闭合线圈固定在垂直纸面的匀强磁场中，设磁场方向向里为磁感应强度B的正方向，线圈中的箭头指向为电流I的正方向．线圈中感应电流i随时间变化的图线如图乙所示，则磁感应强度B随时间变化的图线可能是 ( )
图7
答案 CD
8.如图8所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面向上的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下．经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，则( )
图8
A．如果B增大，vm将变大
B．如果α变大，vm将变大
C．如果R变大，vm将变大
D．如果m变小，vm将变大
答案 BC
解析 金属杆由静止开始滑下的过程中，金属杆就是一个电源，与电阻R构成一个闭合回路；其受力情况如图所示，根据牛顿第二定律得：
mgsinα－＝ma
所以金属杆由静止开始做加速度减小的加速运动，当a＝0，即mgsinα＝时，此时达到最大速度vm，可得：vm＝，故由此式知选项B、C正确．
9.如图9所示，匀强磁场中有一矩形闭合线圈，线圈平面与磁场垂直．已知线圈的面积S＝0.5m2，线圈电阻r＝0.2Ω，磁感应强度B在0～1s内从零均匀变化到2T，则( )
图9
A．0.5s时线圈内感应电动势的大小为1V
B．0.5s时线圈内感应电流的大小为10A
C．0～1s内通过线圈的电荷量为5C
D．0～0.5s内线圈产生的焦耳热为5J
答案 AC
解析 根据法拉第电磁感应定律E＝n可得：E＝＝1V，故选项A正确；线圈内感应电流的大小I＝＝A＝5A，故选项B错误；0～1s内通过线圈的电荷量q＝It＝5×1C＝5C，故选项C正确；0～0.5s内线圈产生的焦耳热Q＝I2rt＝52×0.2×0.5J＝2.5J，故选项D错误．
10．如图10所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向竖直向下，在磁场中有一个边长为L的正方形刚性金属框，ab边的质量为m，电阻为R，其他三边的质量和电阻均不计．cd边上装有固定的水平轴，将金属框自水平位置由静止释放，第一次转到竖直位置时，ab边的速度为v，不计一切摩擦，重力加速度为g，则在这个过程中，下列说法正确的是( )
图10
A．通过ab边的电流方向为a→b
B．通过ab边的电流方向为b→a
C．ab边经过最低点时的速度v＝
D．ab边经过最低点时的速度v＜
答案 BD
解析 ab边向下摆动过程中，金属框内磁通量逐渐减小，根据楞次定律及右手螺旋定则可知感应电流方向为b→a，选项A错误，B正确；ab边由水平位置到达最低点过程中，重力势能一部分转化为焦耳热，故v＜，故选项C错误，选项D正确．
二、非选择题
11.如图11所示，电阻r＝0.3Ω、质量m＝0.1kg的金属棒CD静止在位于水平面上的两条平行光滑的金属导轨上，棒与导轨垂直且接触良好，导轨的电阻不计，导轨的左端接有阻值为R＝0.5Ω的电阻，有一个理想电压表接在电阻R的两端，垂直导轨平面的匀强磁场向下穿过导轨平面．现给金属棒加一个水平向右的恒定外力F，观察到电压表的示数逐渐变大，最后稳定在1.0V，此时金属棒的速度为2m/s.
图11
(1)求拉动金属棒的外力F的大小．
(2)当电压表读数稳定后某一时刻，撤去外力F，求此后电阻R上产生的热量．
答案 (1)1.6N (2)0.125J
解析 (1)金属棒切割磁感线产生的感应电动势
E＝BLv
电路中的感应电流I＝，
金属棒受到的安培力F安＝BIL，
金属棒匀速运动有F＝F安
由题意可知E＝·(R＋r)，
联立以上各式解得F＝1.6N.
(2)金属棒的动能转化为内能，则mv2＝Q，
电阻R上产生的热量QR＝Q，
解得QR＝0.125J.
12．如图12所示，相距为L的光滑平行金属导轨ab、cd固定在水平桌面上，上面放有两根垂直于导轨的金属棒MN和PQ，金属棒质量均为m，电阻值均为R.其中MN被系于中点的细绳束缚住，PQ的中点与一绕过定滑轮的细绳相连，绳的另一端系一质量也为m的物块，绳处于拉直状态．整个装置放于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B.若导轨的电阻、滑轮的质量及一切摩擦均忽略不计，当物块由静止释放后，求：(重力加速度为g，金属导轨足够长，与MN、PQ相连的绳跟MN、PQ垂直)
图12
(1)细绳对金属棒MN的最大拉力；
(2)金属棒PQ能达到的最大速度．
答案 (1)mg (2)
解析 (1)对棒PQ，开始时做加速度逐渐减小、速度逐渐增大的变加速运动，当加速度为零时，速度达到最大，此时感应电流最大．此后棒PQ做匀速直线运动．
对棒PQ，F安＝BLIm＝mg
对棒MN，Fm＝F安＝BLIm＝mg.
(2)对棒PQ，F安－mg＝0时速度最大
E＝BLvm，Im＝，F安＝BLIm
解得vm＝.
课件25张PPT。第一章
电磁感应习题课：电磁感应中的综合应用
——电磁感应中的电路问题和动力学问题 学习目标
1.能综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的图象问题.
2.掌握电磁感应中动力学问题的分析方法.
3.能解决电磁感应中的动力学与能量结合的综合问题．内容索引
题型探究
达标检测
1题型探究一、电磁感应中的图象问题1.问题类型
(1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图象.
(2)由给定的图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量.
2.图象类型
(1)各物理量随时间t变化的图象，即B－t图象、Φ－t图象、E－t图象和I－t图象.
(2)导体切割磁感线运动时，还涉及感应电动势E和感应电流I随导体位移变化的图象，即E－x图象和I－x图象.
3.解决此类问题需要熟练掌握的规律：安培定则、左手定则、楞次定律、右手定则、法拉第电磁感应定律、欧姆定律等.例1 将一段导线绕成图1甲所示的闭合回路，并固定在纸面内，回路的ab边置于垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ中.回路的圆环区域内有垂直纸面的磁场Ⅱ，以向里为磁场Ⅱ的正方向，其磁感应
强度B随时间t变化的图象如图乙所示.用F表示
ab边受到的安培力，以水平向右为F的正方向，
能正确反映F随时间t变化的图象是图1答案解析√本类题目线圈面积不变而磁场发生变化，可根据E＝ 判断E的大小及变化，其中 为B－t图象的斜率，且斜率正、负变化时对应电流的方向发生变化.例2 如图2所示，在x≤0的区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面(纸面)向里.具有一定电阻的矩形线框abcd位于xOy平面内，线框的ab边与y轴重合.令线框从t＝0时刻起由静止开始沿x轴正方向做匀加速运动，则线框中的感应电流i(取逆时针方向的电流为正)随时间t的变化图象正确的是图2答案解析√因为线框做匀加速直线运动，所以感应电动势为E＝Blv＝Blat，因此感应电流大小与时间成正比，由楞次定律可知电流方向为顺时针.二、电磁感应中的动力学问题
1.电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受到安培力作用，所以电磁感应问题往往与力学问题联系在一起，处理此类问题的基本方法是：
(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向.
(2)求回路中的感应电流的大小和方向.
(3)分析研究导体受力情况(包括安培力).
(4)列动力学方程或平衡方程求解.2.两种状态处理
(1)导体处于平衡状态——静止或匀速直线运动状态.
处理方法：根据平衡条件——合力等于零列式分析.
(2)导体处于非平衡状态——加速度不为零.
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析.例3 如图3甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻，一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直，整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦.
(1)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，
求此时ab杆中的电流及其加速度的大小；
图3答案解析
如图所示，ab杆受重力mg，竖直向下；支持力FN，垂直于斜面向上；
安培力F安，沿斜面向上.
当ab杆的速度大小为v时，感应电动势E＝BLv，
此时电路中的电流
ab杆受到安培力F安＝BIL＝
根据牛顿第二定律，有
mgsin θ－F安＝ma
联立解得a＝gsin θ－
(2)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值.图3答案解析
当a＝0时，ab杆有最大速度：
电磁感应现象中涉及到具有收尾速度的力学问题时，关键是做好受力情况和运动情况的动态分析：周而复始地循环，达到最终状态时，加速度等于零，导体达到稳定运动状态，即平衡状态，根据平衡条件建立方程，所求解的收尾速度也是导体运动的最大速度.针对训练 (多选) 如图4所示，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计.ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆.开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，一段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆ab的速度v随时间t变化的图象可能是图4√答案解析√√
达标检测21.如图5所示，匀强磁场存在于虚线框内，矩形线圈竖直下落，不计空气阻力.如果线圈中受到的磁场力总小于其重力，则它在1、2、3、4位置时的加速度关系为
A.a1＞a2＞a3＞a4
B.a1＝a2＝a3＝a4
C.a1＝a3＞a2＞a4
D.a1＝a3＞a2＝a4123图5答案解析√线圈自由下落时，加速度为a1＝g.线圈完全在磁场中时，磁通量不变，不产生感应电流，线圈不受安培力作用，只受重力，加速度为a3＝g.线圈进入和穿出磁场过程中，切割磁感线产生感应电流，将受到向上的安培力，根据牛顿第二定律得知，a2＜g，a4＜g.线圈完全在磁场中时做匀加速运动，到达4处的速度大于2处的速度，则线圈在4处所受的安培力大于在2处所受的安培力，又知，磁场力总小于重力，则a2＞a4，故a1＝a3＞a2＞a4.所以选C. 1232.如图6所示，一底边为L，底边上的高也为L的等腰三角形导体线框以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过长为2L、宽为L的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里.t＝0时刻，三角形导体线框的底边刚进入磁场，取沿逆时针方向的感应电流为正，则在三角
形导体线框穿过磁场区域的过程中，感应电
流I随时间t变化的图象可能是答案图6123√1233.如图7所示，有一垂直纸面向里、磁感应强度B＝0.1 T的水平匀强磁场，垂直于匀强磁场放置一很长的U型金属框架，框架上有一导体ab保持与框架垂直接触，且由静止开始下滑.已知ab长1 m，质量为0.1 kg，电阻为0.1 Ω，框架光滑且电阻不计，取g＝10 m/s2，求：
(1)导体ab下落的最大加速度大小；图7答案解析10 m/s2对导体ab受力分析可知，其开始运动时所受的合力最大，即为重力.
由牛顿第二定律可知，最大加速度为a＝g＝10 m/s2.导体ab下落的速度最大时，加速度为零，
此时有mg＝F安
F安＝BIL
123(2)导体ab下落的最大速度大小；图7答案解析10 m/s123(3)导体ab达到最大速度时产生的电功率.答案解析10 W导体ab达到最大速度时其电功率为P＝IE
图7
