3.3 垂径定理一课一测
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3.3 垂径定理检测
（时间45分钟 满分100分）
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．（2017秋 新罗区校级期中）如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）21*cnjy*com
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A．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) B．4 ( http: / / www.21cnjy.com )cm C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
2．（2017 黔西南州）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（ ）【版权所有：21教育】
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A．3 B．2.5 C．2 D．1
3．（2017 西宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) C．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．8
4．（2017 呼和浩特）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）
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A．26π B．13π C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
5．（2017 禹城市校级模拟）如图，⊙O的直径AB=10，E在⊙O内，且OE=4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为（ ）
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A．4 B．6 C．8 D．10
6．（2017 昆山市二模）如图，在半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（ ）
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A．1 B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C．2 D．2 ( http: / / www.21cnjy.com )
7．（2017 雁塔区校级二模）已知⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )的半径OD垂直于弦AB，交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
8．（2017 马山县二模）如图，⊙O的直径AB=20cm，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：EB=3：2，则CD的长是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．10cm B．14cm C．15cm D．16cm
9．（2017 顺德区一模）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（ ）
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A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
10．（2017 武城县一模）已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP= ( http: / / www.21cnjy.com )，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2017 舟山）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O， ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 ．
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12．（2017 绥化模拟）在直径为150 ( http: / / www.21cnjy.com )cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度DC为30cm，那么油面宽度AB是 cm．
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13．（2017 牡丹江）在半径为20的⊙O中，弦AB=32，点P在弦AB上，且OP=15，则AP= ．
14．（2017 襄阳）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和 ( http: / / www.21cnjy.com )，则∠BAC的度数为 ．
15．（2017 孝感）已知半径为2的⊙O中，弦AC=2，弦AD=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，则∠COD的度数为 ．
16．（2017 琼山区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm．
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三．解答题（共20分）
17．（8分）（2017 全椒县一模）如图，⊙O的半径为2，弦AB=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，点C在弦AB上，AC= ( http: / / www.21cnjy.com )AB，求OC的长．
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18．（12分）（2017 和平区二模）已 ( http: / / www.21cnjy.com )知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一点O，以O为圆心、OB为半径作圆，且⊙O过A点．
（Ⅰ）如图①，若⊙O的半径为5，求线段OC的长；
（Ⅱ）如图②，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接BD，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
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3.3 垂径定理检测
（时间45分钟 满分100分）
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．（2017秋 新罗区校级期中）如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）21cnjy.com
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A．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) B．4 ( http: / / www.21cnjy.com )cm C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】连接AO，过O作OD⊥AB，交 ( http: / / www.21cnjy.com )于点D，交弦AB于点E，根据折叠的性质可知OE=DE，再根据垂径定理可知AE=BE，在Rt△AOE中利用勾股定理即可求出AE的长，进而可求出AB的长．www.21-cn-jy.com
【解答】解：如图所示，
连接AO，过O作OD⊥AB，交 ( http: / / www.21cnjy.com )于点D，交弦AB于点E，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )折叠后恰好经过圆心，
∴OE=DE，
∵⊙O的半径为4，
∴OE= ( http: / / www.21cnjy.com )OD= ( http: / / www.21cnjy.com )×4=2，
∵OD⊥AB，
∴AE= ( http: / / www.21cnjy.com )AB，
在Rt△AOE中，
AE= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴AB=2AE=4 ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选B．
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2．（2017 黔西南州）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（ ）
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A．3 B．2.5 C．2 D．1
【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．
【解答】解：连接OA，
设CD=x，
∵OA=OC=5，
∴OD=5﹣x，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理可知：AB=4，
由勾股定理可知：52=42+（5﹣x）2
∴x=2，
∴CD=2，
故选（C）
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3．（2017 西宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) C．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．8
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA﹣AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH= ( http: / / www.21cnjy.com )OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH= ( http: / / www.21cnjy.com )，所以CD=2CH=2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH= ( http: / / www.21cnjy.com )OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴CD=2CH=2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选C．
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4．（2017 呼和浩特）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）
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A．26π B．13π C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】连接OA，根据垂径定理得到AM= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA= ( http: / / www.21cnjy.com )×13，于是得到结论．
【解答】解：连接OA，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴AM= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=6，
∵OM：MD=5：8，
∴设OM=5x，DM=8x，
∴OA=OD=13x，
∴AM=12x=6，
∴x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴OA= ( http: / / www.21cnjy.com )×13，
∴⊙O的周长=2OA π=13π，
故选B．
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5．（2017 禹城市校级模拟）如图，⊙O的直径AB=10，E在⊙O内，且OE=4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】过E作CD⊥AB于 ( http: / / www.21cnjy.com )E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，AB是过E的⊙O的最长弦，根据勾股定理和垂径定理求出CD=6，得出弦的长度为6（1条），7、8、9（都有2条），10（1条），即可得出答案．
【解答】解：∵AB=10，
∵OB=OA=OC=5，
过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，
∵OB⊥CD，
∴∠CEO=90°，
由勾股定理得：CE= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=3，
∵OE⊥CD，OE过O，
∴CD=2CE=6，
∵AB是过E的⊙O的最长弦，AB=10，
∴过E点所有弦中，长度为整数的条数为1+2+2+2+1=8，
故选C．
6．（2017 昆山市二模）如图，在半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（ ）21教育名师原创作品
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A．1 B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C．2 D．2 ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，如图，根据垂径定理得到AE=BE= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=2，DF=CF= ( http: / / www.21cnjy.com )CD=2，根据勾股定理在Rt△OBE中计算出OE=1，同理可得OF=1，接着证明四边形OEPF为正方形，于是得到OP= ( http: / / www.21cnjy.com )OE= ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，如图，
则AE=BE= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=2，DF=CF= ( http: / / www.21cnjy.com )CD=2，
在Rt△OBE中，∵OB= ( http: / / www.21cnjy.com )，BE=2，
∴OE= ( http: / / www.21cnjy.com )=1，
同理可得OF=1，
∵AB⊥CD，
∴四边形OEPF为矩形，
而OE=OF=1，
∴四边形OEPF为正方形，
∴OP= ( http: / / www.21cnjy.com )OE= ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选B．
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7．（2017 雁塔区校级二模）已知⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O的半径OD垂直于弦AB，交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
【分析】设OC=x，根据垂径定理可 ( http: / / www.21cnjy.com )得出AC=4，利用勾股定理可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，进而得出OC的长度，再根据三角形的中位线的性质以及三角形的面积公式即可得出结论．【出处：21教育名师】
【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．
设OC=x，则OA=OD=x+2，
∵OD⊥AB于C，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
在Rt△OAC中，OC2+AC2=OA2，即x2+42=（x+2）2，
解得x=3，即OC=3，
∵OC为△ABE的中位线，
∴BE=2OC=6．
∵AE是⊙O的直径，
∴∠B=90°，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选A．
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8．（2017 马山县二模）如图，⊙O的直径AB=20cm，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：EB=3：2，则CD的长是（ ）
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A．10cm B．14cm C．15cm D．16cm
【分析】根据垂径定理与勾股定理即可求出答案．
【解答】解：连接OC，
设OE=3x，EB=2x，
∴OB=OC=5x，
∵AB=20
∴10x=20
∴x=2，
∴由勾股定理可知：CE=4x=8，
∴CD=2CE=16
故选（D）
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9．（2017 顺德区一模）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
【分析】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．
【解答】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OM的最大值为5，
∵OM⊥AB于M，
∴AM=BM，
∵AB=6，
∴AM=3，
在Rt△AOM中，OM= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=4；
此时OM最短，
当OM是半径时最长，OM=5．
所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．
故选B．
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10．（2017 武城县一模）已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP= ( http: / / www.21cnjy.com )，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】设出OE=x，利用勾股定理表示出AC，BD，用对角线互相垂直的四边形的面积的计算方法建立面积和OE的函数关系式，即可得出结论．
【解答】解：如图：
连接OA、OD，作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，
∵AC⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，
∵OA=OD=2，OP= ( http: / / www.21cnjy.com )，
设OE为x（x＞0），
根据勾股定理得，OF=EP= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
在Rt△AOE中，AE= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
∴AC=2AE=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
同理得，BD=2DF=2 ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
又∵任意对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴S四边形ABCD= ( http: / / www.21cnjy.com )AC×BD= ( http: / / www.21cnjy.com )×2 ( http: / / www.21cnjy.com )×2 ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )
当x2= ( http: / / www.21cnjy.com )即：x= ( http: / / www.21cnjy.com )时，四边形ABCD的面积最大，等于2 ( http: / / www.21cnjy.com )=5．
故选：B．
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二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2017 舟山）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O， ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 （32+48π）cm2 ．
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【分析】连接OA、OB，根据三角形的面积公式求出S△AOB，根据扇形面积公式求出扇形ACB的面积，计算即可．21教育网
【解答】解：连接OA、OB，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，
∴∠AOB=90°，
∴S△AOB= ( http: / / www.21cnjy.com )×8×8=32，
扇形ACB（阴影部分）= ( http: / / www.21cnjy.com )=48π，
则弓形ACB胶皮面积为（32+48π）cm2，
故答案为：（32+48π）cm2．
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12．（2017 绥化模拟）在直径 ( http: / / www.21cnjy.com )为150cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度DC为30cm，那么油面宽度AB是 120 cm．
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【分析】在直角△OBD中利用勾股定理即可求得BD，然后根据垂径定理即可求得AB的长．
【解答】解：则OC⊥AB于点D，OC=OB= ( http: / / www.21cnjy.com )×150=75cm，OD=OC﹣CD=75﹣30=45cm．21·世纪*教育网
在直角△OBD中，BD= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=60（cm），
则AB=2BD=120cm．
故答案是：120．
13．（2017 牡丹江）在半径为20的⊙O中，弦AB=32，点P在弦AB上，且OP=15，则AP= 7或25 ．21·cn·jy·com
【分析】作OC⊥AB于点C，根据垂径定理求出OC的长，根据勾股定理求出PC的长，分当点P在线段AC上和当点P在线段BC上两种情况计算即可．
【解答】解：作OC⊥AB于点C ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AC= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=16，
OC= ( http: / / www.21cnjy.com )=12，又OP=15，
∴PC= ( http: / / www.21cnjy.com )=9，
当点P在线段AC上时，AP=16﹣9=7，
当点P在线段BC上时，AP=16+9=25．
故选：7或25．
14．（2017 襄阳）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和 ( http: / / www.21cnjy.com )，则∠BAC的度数为 15°或105° ．www-2-1-cnjy-com
【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．
∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴AE= ( http: / / www.21cnjy.com )AC= ( http: / / www.21cnjy.com )，AD= ( http: / / www.21cnjy.com )AB= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴sin∠AOE= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，sin∠AOD= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴∠AOE=45°，∠AOD=30°，
∴∠BAO=60°，∠CAO=90°﹣45°=45°，
∴∠BAC=45°+60°=105°，或∠BAC′=60°﹣45°=15°．
∴∠BAC=15°或105°．
故答案是：15°或105°．
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15．（2017 孝感）已知半径为2的⊙O中，弦AC=2，弦AD=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，则∠COD的度数为 150°或30° ．21世纪教育网版权所有
【分析】连接OC，过点O作OE⊥AD于点E， ( http: / / www.21cnjy.com )由OA=OC=AC可得出∠OAC=60°，再根据垂径定理结合勾股定理可得出AE=OE，即∠OAD=45°，利用角的计算结合圆周角与圆心角间的关系，即可求出∠COD的度数．21*cnjy*com
【解答】解：连接OC，过点O作OE⊥AD于点E，如图所示．
∵OA=OC=AC，
∴∠OAC=60°．
∵AD=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，OE⊥AD，
∴AE= ( http: / / www.21cnjy.com )，OE= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴∠OAD=45°，
∴∠CAD=∠OAC+∠OAD=105°或∠CAD=∠OAC﹣∠OAD=15°，
∴∠COD=360°﹣2×105°=150°或∠COD=2×15°=30°．
故答案为：150°或30°．
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16．（2017 琼山区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= 3 cm．
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【分析】先由垂径定理得出点D为AC的中点，则OD为△ABC的中位线，再根据三角形的中位线定理，即可求出OD的长．
【解答】解：∵OD⊥AC于点D，
∴AD=CD，
又∵OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD= ( http: / / www.21cnjy.com )BC，
∵BC=6cm，
∴OD=3cm．
故答案为3．
三．解答题（共20分）
17．（8分）（2017 全椒县一模）如图，⊙O的半径为2，弦AB=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，点C在弦AB上，AC= ( http: / / www.21cnjy.com )AB，求OC的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=BH= ( http: / / www.21cnjy.com )AB= ( http: / / www.21cnjy.com )，再在Rt△BOH中，根据勾股定理得OH=1，由AC= ( http: / / www.21cnjy.com )AB得AC= ( http: / / www.21cnjy.com )，则CH=AH﹣AC= ( http: / / www.21cnjy.com )，然后根据勾股定理可计算出OC的长．
【解答】解：作OH⊥AB于H，如图，
∵OH⊥AB，
∴AH=BH，
∴AH=BH= ( http: / / www.21cnjy.com )AB= ( http: / / www.21cnjy.com )×2 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
在Rt△BOH中，OB=2，BH= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴OH= ( http: / / www.21cnjy.com )=1，
∵AC= ( http: / / www.21cnjy.com )AB= ( http: / / www.21cnjy.com )×2 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴CH=AH﹣AC= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
在Rt△OHC中，OC= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
18．（12分）（2017 ( http: / / www.21cnjy.com ) 和平区二模）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一点O，以O为圆心、OB为半径作圆，且⊙O过A点．
（Ⅰ）如图①，若⊙O的半径为5，求线段OC的长；
（Ⅱ）如图②，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接BD，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】（1）求出∠B=∠C=30°，求出∠AOC=60°，求出∠OAC=90°，得出OC=2OA即可．
（2）根据勾股定理求出AC，求出△BOD是等边三角形，求出AC= ( http: / / www.21cnjy.com )BD，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠B=30°，
∴∠AOC=30°+30°=60°，
∴∠OAC=90°，
∵OA=5，
∴OC=2AO=10．
（2）连接OD，
∵∠AOC=60°，AD∥BC，
∴∠DAO=∠AOC=60°，
∵OD=OA，
∴∠ADO=60°，
∴∠DOB=∠ADO=60°，
∵OD=OB，
∴△DOB是等边三角形，
∴BD=OB=OA，
在Rt△OAC中，OC=2BD，由勾股定理得：AC= ( http: / / www.21cnjy.com )BD，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
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3.3 垂径定理检测
（时间45分钟 满分100分）
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．（2017秋 新罗区校级期中）如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) B．4 ( http: / / www.21cnjy.com )cm C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
2．（2017 黔西南州）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（ ）【版权所有：21教育】
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A．3 B．2.5 C．2 D．1
3．（2017 西宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) C．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．8
4．（2017 呼和浩特）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．26π B．13π C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
5．（2017 禹城市校级模拟）如图，⊙O的直径AB=10，E在⊙O内，且OE=4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．4 B．6 C．8 D．10
6．（2017 昆山市二模）如图，在半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1 B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C．2 D．2 ( http: / / www.21cnjy.com )
7．（2017 雁塔区校级二模）已知⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )的半径OD垂直于弦AB，交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
8．（2017 马山县二模）如图，⊙O的直径AB=20cm，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：EB=3：2，则CD的长是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．10cm B．14cm C．15cm D．16cm
9．（2017 顺德区一模）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
10．（2017 武城县一模）已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP= ( http: / / www.21cnjy.com )，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2017 舟山）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O， ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
12．（2017 绥化模拟）在直径为150 ( http: / / www.21cnjy.com )cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度DC为30cm，那么油面宽度AB是 cm．
( http: / / www.21cnjy.com )
13．（2017 牡丹江）在半径为20的⊙O中，弦AB=32，点P在弦AB上，且OP=15，则AP= ．
14．（2017 襄阳）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和 ( http: / / www.21cnjy.com )，则∠BAC的度数为 ．
15．（2017 孝感）已知半径为2的⊙O中，弦AC=2，弦AD=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，则∠COD的度数为 ．
16．（2017 琼山区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm．
( http: / / www.21cnjy.com )
三．解答题（共20分）
17．（8分）（2017 全椒县一模）如图，⊙O的半径为2，弦AB=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，点C在弦AB上，AC= ( http: / / www.21cnjy.com )AB，求OC的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
18．（12分）（2017 和平区二模）已 ( http: / / www.21cnjy.com )知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一点O，以O为圆心、OB为半径作圆，且⊙O过A点．
（Ⅰ）如图①，若⊙O的半径为5，求线段OC的长；
（Ⅱ）如图②，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接BD，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
3.3 垂径定理检测
（时间45分钟 满分100分）
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．（2017秋 新罗区校级期中）如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) B．4 ( http: / / www.21cnjy.com )cm C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】连接AO，过O作OD⊥AB，交 ( http: / / www.21cnjy.com )于点D，交弦AB于点E，根据折叠的性质可知OE=DE，再根据垂径定理可知AE=BE，在Rt△AOE中利用勾股定理即可求出AE的长，进而可求出AB的长．www.21-cn-jy.com
【解答】解：如图所示，
连接AO，过O作OD⊥AB，交 ( http: / / www.21cnjy.com )于点D，交弦AB于点E，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )折叠后恰好经过圆心，
∴OE=DE，
∵⊙O的半径为4，
∴OE= ( http: / / www.21cnjy.com )OD= ( http: / / www.21cnjy.com )×4=2，
∵OD⊥AB，
∴AE= ( http: / / www.21cnjy.com )AB，
在Rt△AOE中，
AE= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴AB=2AE=4 ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．（2017 黔西南州）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．3 B．2.5 C．2 D．1
【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．
【解答】解：连接OA，
设CD=x，
∵OA=OC=5，
∴OD=5﹣x，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理可知：AB=4，
由勾股定理可知：52=42+（5﹣x）2
∴x=2，
∴CD=2，
故选（C）
( http: / / www.21cnjy.com )
3．（2017 西宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) C．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．8
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA﹣AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH= ( http: / / www.21cnjy.com )OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH= ( http: / / www.21cnjy.com )，所以CD=2CH=2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH= ( http: / / www.21cnjy.com )OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴CD=2CH=2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选C．
( http: / / www.21cnjy.com )
4．（2017 呼和浩特）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．26π B．13π C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】连接OA，根据垂径定理得到AM= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA= ( http: / / www.21cnjy.com )×13，于是得到结论．
【解答】解：连接OA，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴AM= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=6，
∵OM：MD=5：8，
∴设OM=5x，DM=8x，
∴OA=OD=13x，
∴AM=12x=6，
∴x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴OA= ( http: / / www.21cnjy.com )×13，
∴⊙O的周长=2OA π=13π，
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com )
5．（2017 禹城市校级模拟）如图，⊙O的直径AB=10，E在⊙O内，且OE=4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为（ ）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】过E作CD⊥AB于 ( http: / / www.21cnjy.com )E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，AB是过E的⊙O的最长弦，根据勾股定理和垂径定理求出CD=6，得出弦的长度为6（1条），7、8、9（都有2条），10（1条），即可得出答案．
【解答】解：∵AB=10，
∵OB=OA=OC=5，
过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，
∵OB⊥CD，
∴∠CEO=90°，
由勾股定理得：CE= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=3，
∵OE⊥CD，OE过O，
∴CD=2CE=6，
∵AB是过E的⊙O的最长弦，AB=10，
∴过E点所有弦中，长度为整数的条数为1+2+2+2+1=8，
故选C．
6．（2017 昆山市二模）如图，在半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（ ）21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1 B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C．2 D．2 ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，如图，根据垂径定理得到AE=BE= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=2，DF=CF= ( http: / / www.21cnjy.com )CD=2，根据勾股定理在Rt△OBE中计算出OE=1，同理可得OF=1，接着证明四边形OEPF为正方形，于是得到OP= ( http: / / www.21cnjy.com )OE= ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，如图，
则AE=BE= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=2，DF=CF= ( http: / / www.21cnjy.com )CD=2，
在Rt△OBE中，∵OB= ( http: / / www.21cnjy.com )，BE=2，
∴OE= ( http: / / www.21cnjy.com )=1，
同理可得OF=1，
∵AB⊥CD，
∴四边形OEPF为矩形，
而OE=OF=1，
∴四边形OEPF为正方形，
∴OP= ( http: / / www.21cnjy.com )OE= ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选B．
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7．（2017 雁塔区校级二模）已知⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O的半径OD垂直于弦AB，交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
【分析】设OC=x，根据垂径定理可 ( http: / / www.21cnjy.com )得出AC=4，利用勾股定理可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，进而得出OC的长度，再根据三角形的中位线的性质以及三角形的面积公式即可得出结论．【出处：21教育名师】
【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．
设OC=x，则OA=OD=x+2，
∵OD⊥AB于C，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
在Rt△OAC中，OC2+AC2=OA2，即x2+42=（x+2）2，
解得x=3，即OC=3，
∵OC为△ABE的中位线，
∴BE=2OC=6．
∵AE是⊙O的直径，
∴∠B=90°，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选A．
( http: / / www.21cnjy.com )
8．（2017 马山县二模）如图，⊙O的直径AB=20cm，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：EB=3：2，则CD的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．10cm B．14cm C．15cm D．16cm
【分析】根据垂径定理与勾股定理即可求出答案．
【解答】解：连接OC，
设OE=3x，EB=2x，
∴OB=OC=5x，
∵AB=20
∴10x=20
∴x=2，
∴由勾股定理可知：CE=4x=8，
∴CD=2CE=16
故选（D）
( http: / / www.21cnjy.com )
9．（2017 顺德区一模）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（ ）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
【分析】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．
【解答】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OM的最大值为5，
∵OM⊥AB于M，
∴AM=BM，
∵AB=6，
∴AM=3，
在Rt△AOM中，OM= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=4；
此时OM最短，
当OM是半径时最长，OM=5．
所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com )
10．（2017 武城县一模）已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP= ( http: / / www.21cnjy.com )，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】设出OE=x，利用勾股定理表示出AC，BD，用对角线互相垂直的四边形的面积的计算方法建立面积和OE的函数关系式，即可得出结论．
【解答】解：如图：
连接OA、OD，作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，
∵AC⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，
∵OA=OD=2，OP= ( http: / / www.21cnjy.com )，
设OE为x（x＞0），
根据勾股定理得，OF=EP= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
在Rt△AOE中，AE= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
∴AC=2AE=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
同理得，BD=2DF=2 ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
又∵任意对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴S四边形ABCD= ( http: / / www.21cnjy.com )AC×BD= ( http: / / www.21cnjy.com )×2 ( http: / / www.21cnjy.com )×2 ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )
当x2= ( http: / / www.21cnjy.com )即：x= ( http: / / www.21cnjy.com )时，四边形ABCD的面积最大，等于2 ( http: / / www.21cnjy.com )=5．
故选：B．
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二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2017 舟山）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O， ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 （32+48π）cm2 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】连接OA、OB，根据三角形的面积公式求出S△AOB，根据扇形面积公式求出扇形ACB的面积，计算即可．21教育网
【解答】解：连接OA、OB，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，
∴∠AOB=90°，
∴S△AOB= ( http: / / www.21cnjy.com )×8×8=32，
扇形ACB（阴影部分）= ( http: / / www.21cnjy.com )=48π，
则弓形ACB胶皮面积为（32+48π）cm2，
故答案为：（32+48π）cm2．
( http: / / www.21cnjy.com )
12．（2017 绥化模拟）在直径 ( http: / / www.21cnjy.com )为150cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度DC为30cm，那么油面宽度AB是 120 cm．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】在直角△OBD中利用勾股定理即可求得BD，然后根据垂径定理即可求得AB的长．
【解答】解：则OC⊥AB于点D，OC=OB= ( http: / / www.21cnjy.com )×150=75cm，OD=OC﹣CD=75﹣30=45cm．21·世纪*教育网
在直角△OBD中，BD= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=60（cm），
则AB=2BD=120cm．
故答案是：120．
13．（2017 牡丹江）在半径为20的⊙O中，弦AB=32，点P在弦AB上，且OP=15，则AP= 7或25 ．21·cn·jy·com
【分析】作OC⊥AB于点C，根据垂径定理求出OC的长，根据勾股定理求出PC的长，分当点P在线段AC上和当点P在线段BC上两种情况计算即可．
【解答】解：作OC⊥AB于点C ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AC= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=16，
OC= ( http: / / www.21cnjy.com )=12，又OP=15，
∴PC= ( http: / / www.21cnjy.com )=9，
当点P在线段AC上时，AP=16﹣9=7，
当点P在线段BC上时，AP=16+9=25．
故选：7或25．
14．（2017 襄阳）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和 ( http: / / www.21cnjy.com )，则∠BAC的度数为 15°或105° ．www-2-1-cnjy-com
【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．
∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴AE= ( http: / / www.21cnjy.com )AC= ( http: / / www.21cnjy.com )，AD= ( http: / / www.21cnjy.com )AB= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴sin∠AOE= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，sin∠AOD= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴∠AOE=45°，∠AOD=30°，
∴∠BAO=60°，∠CAO=90°﹣45°=45°，
∴∠BAC=45°+60°=105°，或∠BAC′=60°﹣45°=15°．
∴∠BAC=15°或105°．
故答案是：15°或105°．
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15．（2017 孝感）已知半径为2的⊙O中，弦AC=2，弦AD=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，则∠COD的度数为 150°或30° ．21世纪教育网版权所有
【分析】连接OC，过点O作OE⊥AD于点E， ( http: / / www.21cnjy.com )由OA=OC=AC可得出∠OAC=60°，再根据垂径定理结合勾股定理可得出AE=OE，即∠OAD=45°，利用角的计算结合圆周角与圆心角间的关系，即可求出∠COD的度数．21*cnjy*com
【解答】解：连接OC，过点O作OE⊥AD于点E，如图所示．
∵OA=OC=AC，
∴∠OAC=60°．
∵AD=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，OE⊥AD，
∴AE= ( http: / / www.21cnjy.com )，OE= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴∠OAD=45°，
∴∠CAD=∠OAC+∠OAD=105°或∠CAD=∠OAC﹣∠OAD=15°，
∴∠COD=360°﹣2×105°=150°或∠COD=2×15°=30°．
故答案为：150°或30°．
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16．（2017 琼山区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= 3 cm．
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【分析】先由垂径定理得出点D为AC的中点，则OD为△ABC的中位线，再根据三角形的中位线定理，即可求出OD的长．
【解答】解：∵OD⊥AC于点D，
∴AD=CD，
又∵OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD= ( http: / / www.21cnjy.com )BC，
∵BC=6cm，
∴OD=3cm．
故答案为3．
三．解答题（共20分）
17．（8分）（2017 全椒县一模）如图，⊙O的半径为2，弦AB=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，点C在弦AB上，AC= ( http: / / www.21cnjy.com )AB，求OC的长．
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【分析】作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=BH= ( http: / / www.21cnjy.com )AB= ( http: / / www.21cnjy.com )，再在Rt△BOH中，根据勾股定理得OH=1，由AC= ( http: / / www.21cnjy.com )AB得AC= ( http: / / www.21cnjy.com )，则CH=AH﹣AC= ( http: / / www.21cnjy.com )，然后根据勾股定理可计算出OC的长．
【解答】解：作OH⊥AB于H，如图，
∵OH⊥AB，
∴AH=BH，
∴AH=BH= ( http: / / www.21cnjy.com )AB= ( http: / / www.21cnjy.com )×2 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
在Rt△BOH中，OB=2，BH= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴OH= ( http: / / www.21cnjy.com )=1，
∵AC= ( http: / / www.21cnjy.com )AB= ( http: / / www.21cnjy.com )×2 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴CH=AH﹣AC= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
在Rt△OHC中，OC= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
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18．（12分）（2017 ( http: / / www.21cnjy.com ) 和平区二模）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一点O，以O为圆心、OB为半径作圆，且⊙O过A点．
（Ⅰ）如图①，若⊙O的半径为5，求线段OC的长；
（Ⅱ）如图②，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接BD，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
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【分析】（1）求出∠B=∠C=30°，求出∠AOC=60°，求出∠OAC=90°，得出OC=2OA即可．
（2）根据勾股定理求出AC，求出△BOD是等边三角形，求出AC= ( http: / / www.21cnjy.com )BD，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠B=30°，
∴∠AOC=30°+30°=60°，
∴∠OAC=90°，
∵OA=5，
∴OC=2AO=10．
（2）连接OD，
∵∠AOC=60°，AD∥BC，
∴∠DAO=∠AOC=60°，
∵OD=OA，
∴∠ADO=60°，
∴∠DOB=∠ADO=60°，
∵OD=OB，
∴△DOB是等边三角形，
∴BD=OB=OA，
在Rt△OAC中，OC=2BD，由勾股定理得：AC= ( http: / / www.21cnjy.com )BD，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
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