3.4 圆周角和圆心角的关系（1）一课一测
文档属性
| 名称 | 3.4 圆周角和圆心角的关系（1）一课一测 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 822.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-12-25 21:24:56 | ||
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文档简介
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3.4 圆周角和圆心角的关系
第一课检测
（时间45分钟 满分100分）
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．（2017 云南）如图，B、C是⊙A ( http: / / www.21cnjy.com )上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E、F两点，与线段AC交于D点．若∠BFC=20°，则∠DBC=（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．30° B．29° C．28° D．20°
2．（2017 泰安）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．180°﹣2α B．2α C．90°+α D．90°﹣α
3．（2017 兰州）如图，在⊙O中， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，点D在⊙O上，∠CDB=25°，则∠AOB=（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．45° B．50° C．55° D．60°
4．（2017 新疆）如图，⊙O的半径OD ( http: / / www.21cnjy.com )垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．12 B．15 C．16 D．18
5．（2017 徐州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．28° B．54° C．18° D．36°
6．（2017 福建）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com )
A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD
7．（2017 黔东南州）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2 B．﹣1 C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．4
8．（2017 衡阳）如图，点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB=64°，那么∠ACB的度数是（ ）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
A．26° B．30° C．32° D．64°
9．（2017 贺州）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=60°；②∠CED= ( http: / / www.21cnjy.com )∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2017 天水）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4 ( http: / / www.21cnjy.com )，则S阴影=（ ）21cnjy.com
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A．2π B． ( http: / / www.21cnjy.com )π C． ( http: / / www.21cnjy.com )π D． ( http: / / www.21cnjy.com )π
二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2017 湘潭）如图，在⊙O 中，已知∠AOB=120°，则∠ACB= ．
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12．（2017 重庆）如图，OA、OC是⊙O的半径，点B在⊙O上，连接AB、BC，若∠ABC=40°，则∠AOC= 度．【版权所有：21教育】
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13．（2017 北京）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．若∠CAB=40°，则∠CAD= ．21*cnjy*com
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14．（2017 白银）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= °．
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15．（2017 随州）如图，已知AB是⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC= 度．
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16．（2017 绍兴）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为 ．
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三．解答题（共20分）
17．（8分）（2018 枣庄阴平质检）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，求⊙O的直径．21世纪教育网版权所有
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18．（12分）（2017秋 句容市期中）如图，已知AB、AD是⊙O的弦，点C是DO的延长线与弦AB的交点，∠ABO=30°，OB=2．
（1）求弦AB的长；
（2）若∠D=20°，求∠BOD的度数．
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3.4 圆周角和圆心角的关系
第一课检测
（时间45分钟 满分100分）
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．（2017 云南）如图，B、C是⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E、F两点，与线段AC交于D点．若∠BFC=20°，则∠DBC=（ ）
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A．30° B．29° C．28° D．20°
【分析】利用圆周角定理得到∠BAC ( http: / / www.21cnjy.com )=40°，根据线段垂直平分线的性质推知AD=BD，然后结合等腰三角形的性质来求∠ABD、∠ABC的度数，从而得到∠DBC．21*cnjy*com
【解答】解：∵∠BFC=20°，
∴∠BAC=2∠BFC=40°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB= ( http: / / www.21cnjy.com )=70°．
又EF是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=40°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．
故选：A．
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2．（2017 泰安）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（ ）
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A．180°﹣2α B．2α C．90°+α D．90°﹣α
【分析】首先连接OC，由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，又由等腰三角形的性质，即可求得∠OBC的度数．2·1·c·n·j·y
【解答】解：∵连接OC，
∵△ABC内接于⊙O，∠A=α，
∴∠BOC=2∠A=2α，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB= ( http: / / www.21cnjy.com )=90°﹣α．
故选D．
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3．（2017 兰州）如图，在⊙O中， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，点D在⊙O上，∠CDB=25°，则∠AOB=（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵在⊙O中， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，点D在⊙O上，∠CDB=25°，
∴∠AOB=2∠CDB=50°．
故选B．
4．（2017 新疆）如图，⊙O的 ( http: / / www.21cnjy.com )半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（ ）
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A．12 B．15 C．16 D．18
【分析】先根据垂径定理求出AC的长，再设OA ( http: / / www.21cnjy.com )=r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中利用勾股定理求出r的值，再求出BE的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．2-1-c-n-j-y
【解答】解：∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8，
∴AC=BC= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=4．
设OA=r，则OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，
∴AE=10，
∴BE= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=6，
∴△BCE的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )BC BE= ( http: / / www.21cnjy.com )×4×6=12．
故选A．
5．（2017 徐州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．28° B．54° C．18° D．36°
【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于同弧所对圆心角的一半即可求解．
【解答】解：根据圆周角定理可知，
∠AOB=2∠ACB=72°，
即∠ACB=36°，
故选D．
6．（2017 福建）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（ ）21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com )
A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD
【分析】由圆周角定理得出∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD=∠BAD，得出∠ACD+∠BAD=90°，即可得出答案．
【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠ACD+∠BAD=90°，
故选：D．
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7．（2017 黔东南州）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2 B．﹣1 C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．4
【分析】根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角三角形的性质得到CE= ( http: / / www.21cnjy.com )OC=1，最后由垂径定理得出结论．
【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，∠CEO=90°，
∵∠A=15°，
∴∠COE=30°，
∵OC=2，
∴CE= ( http: / / www.21cnjy.com )OC=1，
∴CD=2CE=2，
故选A．
8．（2017 衡阳）如图，点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB=64°，那么∠ACB的度数是（ ）【出处：21教育名师】
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A．26° B．30° C．32° D．64°
【分析】根据圆周角定理可得∠ACB= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOB，即可求出∠ACB的度数．
【解答】解：∵∠ACB= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOB，
而∠AOB=64°，
∴∠ACB= ( http: / / www.21cnjy.com )×64°=32°．
即∠ACB的度数是32°．
故选C．
9．（2017 贺州）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=60°；②∠CED= ( http: / / www.21cnjy.com )∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )和点E是点D关于AB的对称点，求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判断①②；根据圆周角定理求出当M和A重合时∠MDE=60°
即可判断③；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判断④．
【解答】解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，点E是点D关于AB的对称点，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴∠DOB=∠BOE=∠COD= ( http: / / www.21cnjy.com )=60°，∴①正确；
∠CED= ( http: / / www.21cnjy.com )∠COD= ( http: / / www.21cnjy.com )=30°= ( http: / / www.21cnjy.com )，∴②正确；
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )的度数是60°，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )的度数是120°，
∴只有当M和A重合时，∠MDE=60°，
∵∠CED=30°，
∴只有M和A重合时，DM⊥CE，∴③错误；
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做C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM的值最短，等于DF长，www.21-cn-jy.com
连接CD，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，并且弧的度数都是60°，
∴∠D= ( http: / / www.21cnjy.com )=60°，∠CFD= ( http: / / www.21cnjy.com )=30°，
∴∠FCD=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴DF是⊙O的直径，
即DF=AB=10，
∴CM+DM的最小值是10，∴④正确；
故选C．
10．（2017 天水）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4 ( http: / / www.21cnjy.com )，则S阴影=（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2π B． ( http: / / www.21cnjy.com )π C． ( http: / / www.21cnjy.com )π D． ( http: / / www.21cnjy.com )π
【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC．方法二：直接证明：S阴影=S扇形ODB．
【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DE cot60°=2 ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )=2，OD=2OE=4，
∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )OE×DE+ ( http: / / www.21cnjy.com )BE CE= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )+2 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选B．
方法二：证明△CEB≌△DEO（AAS），可得S阴影=S扇形ODB．
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二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2017 湘潭）如图，在⊙O 中，已知∠AOB=120°，则∠ACB= 60° ．
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【分析】根据∠AOB的度数利用圆周角定理，即可得出∠ACB的度数．
【解答】解：∵∠AOB=120°，点C在⊙O上，
∴∠ACB= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOB=60°．
故答案为：60°
12．（2017 重庆）如图，OA、OC是⊙O的半径，点B在⊙O上，连接AB、BC，若∠ABC=40°，则∠AOC= 80 度．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠ABC与AOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°．
故答案为：80．
13．（2017 北京）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．若∠CAB=40°，则∠CAD= 25° ．
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【分析】先求出∠ABC=50°，进而判断出∠ABD=∠CBD=25°，最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论．
【解答】解：如图，连接BC，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=40°，
∴∠ABC=50°，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴∠ABD=∠CBD= ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABC=25°，
∴∠CAD=∠CBD=25°．
故答案为：25°．
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14．（2017 白银）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= 58 °．
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【分析】由题意可知△OAB是等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出∠AOB，再利用圆周角定理确定∠C．
【解答】解：如图，连接OB，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB=32°，
∴∠OAB=∠OBA=32°，
∴∠AOB=116°，
∴∠C=58°．
故答案为58．
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15．（2017 随州）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC= 35 度．
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【分析】首先利用垂径定理证明， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，推出∠AOC=∠COB=70°，可得∠ADC= ( http: / / www.21cnjy.com )AOC=35°．
【解答】解：如图，连接OA．
∵OC⊥AB，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴∠AOC=∠COB=70°，
∴∠ADC= ( http: / / www.21cnjy.com )AOC=35°，
故答案为35．
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16．（2017 绍兴） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为 90° ．
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【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠A=45°，
∴∠DOE=2∠A=90°．
故答案为：90°．
三．解答题（共20分）
17．（8分）（2018 枣庄阴平质检）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，求⊙O的直径．
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【分析】连接BO并延长交圆O与点D，连接AD，根据BD是直径，易证△ABD为直角三角形；∠D=∠C=30°．则BD=2AB=8．
【解答】解：连接BO并延长交圆O于点D，连接AD，
∵∠BAC=120°，AB=AC=4，
∴∠C=30°，
∴∠BOA=60°．
又∵OA=OB，
∴△AOB是正三角形．
∴OB=AB=4，
∴BD=8．
∴⊙O的直径为8．
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18．（12分）（2017秋 句容市期中）如图，已知AB、AD是⊙O的弦，点C是DO的延长线与弦AB的交点，∠ABO=30°，OB=2．21·cn·jy·com
（1）求弦AB的长；
（2）若∠D=20°，求∠BOD的度数．
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【分析】（1）过点O作OE⊥AB于点E，根据锐角三角函数值，即可推出BE的长度，然后根据垂径定理即可推出AB的长度，www-2-1-cnjy-com
（2）连接OA，由OA=OB=OC，即 ( http: / / www.21cnjy.com )可推出∠OAB=∠B=30°，∠OAD=∠D=20°，然后结合图形即可推出∠BAD的度数，即可推出∠BOD的度数
【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，
∵在Rt△OEB中，OB=2，∠B=30°，
∴BE=OB cos30°=2× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AB=2BE=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
（2）连接OA，
∵OA=OB=OD，∠B=30°，∠D=20°，
∴∠OAB=∠B=30°，∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=30°+20°=50°，
∴∠BOD=2∠BAD=100°．
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3.4 圆周角和圆心角的关系
第一课检测
（时间45分钟 满分100分）
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．（2017 云南）如图，B、C是⊙A ( http: / / www.21cnjy.com )上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E、F两点，与线段AC交于D点．若∠BFC=20°，则∠DBC=（ ）
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A．30° B．29° C．28° D．20°
2．（2017 泰安）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（ ）
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A．180°﹣2α B．2α C．90°+α D．90°﹣α
3．（2017 兰州）如图，在⊙O中， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，点D在⊙O上，∠CDB=25°，则∠AOB=（ ）
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A．45° B．50° C．55° D．60°
4．（2017 新疆）如图，⊙O的半径OD ( http: / / www.21cnjy.com )垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（ ）
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A．12 B．15 C．16 D．18
5．（2017 徐州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ）
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A．28° B．54° C．18° D．36°
6．（2017 福建）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD
7．（2017 黔东南州）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）21·世纪*教育网
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A．2 B．﹣1 C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．4
8．（2017 衡阳）如图，点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB=64°，那么∠ACB的度数是（ ）21教育网
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A．26° B．30° C．32° D．64°
9．（2017 贺州）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=60°；②∠CED= ( http: / / www.21cnjy.com )∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2017 天水）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4 ( http: / / www.21cnjy.com )，则S阴影=（ ）21cnjy.com
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A．2π B． ( http: / / www.21cnjy.com )π C． ( http: / / www.21cnjy.com )π D． ( http: / / www.21cnjy.com )π
二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2017 湘潭）如图，在⊙O 中，已知∠AOB=120°，则∠ACB= ．
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12．（2017 重庆）如图，OA、OC是⊙O的半径，点B在⊙O上，连接AB、BC，若∠ABC=40°，则∠AOC= 度．【版权所有：21教育】
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13．（2017 北京）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．若∠CAB=40°，则∠CAD= ．21*cnjy*com
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14．（2017 白银）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= °．
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15．（2017 随州）如图，已知AB是⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC= 度．
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16．（2017 绍兴）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为 ．
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三．解答题（共20分）
17．（8分）（2018 枣庄阴平质检）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，求⊙O的直径．21世纪教育网版权所有
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18．（12分）（2017秋 句容市期中）如图，已知AB、AD是⊙O的弦，点C是DO的延长线与弦AB的交点，∠ABO=30°，OB=2．
（1）求弦AB的长；
（2）若∠D=20°，求∠BOD的度数．
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3.4 圆周角和圆心角的关系
第一课检测
（时间45分钟 满分100分）
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．（2017 云南）如图，B、C是⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E、F两点，与线段AC交于D点．若∠BFC=20°，则∠DBC=（ ）
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A．30° B．29° C．28° D．20°
【分析】利用圆周角定理得到∠BAC ( http: / / www.21cnjy.com )=40°，根据线段垂直平分线的性质推知AD=BD，然后结合等腰三角形的性质来求∠ABD、∠ABC的度数，从而得到∠DBC．21*cnjy*com
【解答】解：∵∠BFC=20°，
∴∠BAC=2∠BFC=40°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB= ( http: / / www.21cnjy.com )=70°．
又EF是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=40°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．
故选：A．
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2．（2017 泰安）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（ ）
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A．180°﹣2α B．2α C．90°+α D．90°﹣α
【分析】首先连接OC，由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，又由等腰三角形的性质，即可求得∠OBC的度数．2·1·c·n·j·y
【解答】解：∵连接OC，
∵△ABC内接于⊙O，∠A=α，
∴∠BOC=2∠A=2α，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB= ( http: / / www.21cnjy.com )=90°﹣α．
故选D．
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3．（2017 兰州）如图，在⊙O中， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，点D在⊙O上，∠CDB=25°，则∠AOB=（ ）
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A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵在⊙O中， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，点D在⊙O上，∠CDB=25°，
∴∠AOB=2∠CDB=50°．
故选B．
4．（2017 新疆）如图，⊙O的 ( http: / / www.21cnjy.com )半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（ ）
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A．12 B．15 C．16 D．18
【分析】先根据垂径定理求出AC的长，再设OA ( http: / / www.21cnjy.com )=r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中利用勾股定理求出r的值，再求出BE的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．2-1-c-n-j-y
【解答】解：∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8，
∴AC=BC= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=4．
设OA=r，则OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，
∴AE=10，
∴BE= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=6，
∴△BCE的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )BC BE= ( http: / / www.21cnjy.com )×4×6=12．
故选A．
5．（2017 徐州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ）
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A．28° B．54° C．18° D．36°
【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于同弧所对圆心角的一半即可求解．
【解答】解：根据圆周角定理可知，
∠AOB=2∠ACB=72°，
即∠ACB=36°，
故选D．
6．（2017 福建）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（ ）21教育名师原创作品
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A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD
【分析】由圆周角定理得出∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD=∠BAD，得出∠ACD+∠BAD=90°，即可得出答案．
【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠ACD+∠BAD=90°，
故选：D．
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7．（2017 黔东南州）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）
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A．2 B．﹣1 C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．4
【分析】根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角三角形的性质得到CE= ( http: / / www.21cnjy.com )OC=1，最后由垂径定理得出结论．
【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，∠CEO=90°，
∵∠A=15°，
∴∠COE=30°，
∵OC=2，
∴CE= ( http: / / www.21cnjy.com )OC=1，
∴CD=2CE=2，
故选A．
8．（2017 衡阳）如图，点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB=64°，那么∠ACB的度数是（ ）【出处：21教育名师】
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A．26° B．30° C．32° D．64°
【分析】根据圆周角定理可得∠ACB= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOB，即可求出∠ACB的度数．
【解答】解：∵∠ACB= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOB，
而∠AOB=64°，
∴∠ACB= ( http: / / www.21cnjy.com )×64°=32°．
即∠ACB的度数是32°．
故选C．
9．（2017 贺州）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=60°；②∠CED= ( http: / / www.21cnjy.com )∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )和点E是点D关于AB的对称点，求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判断①②；根据圆周角定理求出当M和A重合时∠MDE=60°
即可判断③；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判断④．
【解答】解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，点E是点D关于AB的对称点，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴∠DOB=∠BOE=∠COD= ( http: / / www.21cnjy.com )=60°，∴①正确；
∠CED= ( http: / / www.21cnjy.com )∠COD= ( http: / / www.21cnjy.com )=30°= ( http: / / www.21cnjy.com )，∴②正确；
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )的度数是60°，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )的度数是120°，
∴只有当M和A重合时，∠MDE=60°，
∵∠CED=30°，
∴只有M和A重合时，DM⊥CE，∴③错误；
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做C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM的值最短，等于DF长，www.21-cn-jy.com
连接CD，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，并且弧的度数都是60°，
∴∠D= ( http: / / www.21cnjy.com )=60°，∠CFD= ( http: / / www.21cnjy.com )=30°，
∴∠FCD=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴DF是⊙O的直径，
即DF=AB=10，
∴CM+DM的最小值是10，∴④正确；
故选C．
10．（2017 天水）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4 ( http: / / www.21cnjy.com )，则S阴影=（ ）
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A．2π B． ( http: / / www.21cnjy.com )π C． ( http: / / www.21cnjy.com )π D． ( http: / / www.21cnjy.com )π
【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC．方法二：直接证明：S阴影=S扇形ODB．
【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DE cot60°=2 ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )=2，OD=2OE=4，
∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )OE×DE+ ( http: / / www.21cnjy.com )BE CE= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )+2 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选B．
方法二：证明△CEB≌△DEO（AAS），可得S阴影=S扇形ODB．
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二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2017 湘潭）如图，在⊙O 中，已知∠AOB=120°，则∠ACB= 60° ．
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【分析】根据∠AOB的度数利用圆周角定理，即可得出∠ACB的度数．
【解答】解：∵∠AOB=120°，点C在⊙O上，
∴∠ACB= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOB=60°．
故答案为：60°
12．（2017 重庆）如图，OA、OC是⊙O的半径，点B在⊙O上，连接AB、BC，若∠ABC=40°，则∠AOC= 80 度．
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【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠ABC与AOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°．
故答案为：80．
13．（2017 北京）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．若∠CAB=40°，则∠CAD= 25° ．
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【分析】先求出∠ABC=50°，进而判断出∠ABD=∠CBD=25°，最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论．
【解答】解：如图，连接BC，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=40°，
∴∠ABC=50°，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴∠ABD=∠CBD= ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABC=25°，
∴∠CAD=∠CBD=25°．
故答案为：25°．
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14．（2017 白银）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= 58 °．
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【分析】由题意可知△OAB是等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出∠AOB，再利用圆周角定理确定∠C．
【解答】解：如图，连接OB，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB=32°，
∴∠OAB=∠OBA=32°，
∴∠AOB=116°，
∴∠C=58°．
故答案为58．
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15．（2017 随州）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC= 35 度．
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【分析】首先利用垂径定理证明， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，推出∠AOC=∠COB=70°，可得∠ADC= ( http: / / www.21cnjy.com )AOC=35°．
【解答】解：如图，连接OA．
∵OC⊥AB，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴∠AOC=∠COB=70°，
∴∠ADC= ( http: / / www.21cnjy.com )AOC=35°，
故答案为35．
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16．（2017 绍兴） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为 90° ．
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【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠A=45°，
∴∠DOE=2∠A=90°．
故答案为：90°．
三．解答题（共20分）
17．（8分）（2018 枣庄阴平质检）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，求⊙O的直径．
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【分析】连接BO并延长交圆O与点D，连接AD，根据BD是直径，易证△ABD为直角三角形；∠D=∠C=30°．则BD=2AB=8．
【解答】解：连接BO并延长交圆O于点D，连接AD，
∵∠BAC=120°，AB=AC=4，
∴∠C=30°，
∴∠BOA=60°．
又∵OA=OB，
∴△AOB是正三角形．
∴OB=AB=4，
∴BD=8．
∴⊙O的直径为8．
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18．（12分）（2017秋 句容市期中）如图，已知AB、AD是⊙O的弦，点C是DO的延长线与弦AB的交点，∠ABO=30°，OB=2．21·cn·jy·com
（1）求弦AB的长；
（2）若∠D=20°，求∠BOD的度数．
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【分析】（1）过点O作OE⊥AB于点E，根据锐角三角函数值，即可推出BE的长度，然后根据垂径定理即可推出AB的长度，www-2-1-cnjy-com
（2）连接OA，由OA=OB=OC，即 ( http: / / www.21cnjy.com )可推出∠OAB=∠B=30°，∠OAD=∠D=20°，然后结合图形即可推出∠BAD的度数，即可推出∠BOD的度数
【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，
∵在Rt△OEB中，OB=2，∠B=30°，
∴BE=OB cos30°=2× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AB=2BE=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
（2）连接OA，
∵OA=OB=OD，∠B=30°，∠D=20°，
∴∠OAB=∠B=30°，∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=30°+20°=50°，
∴∠BOD=2∠BAD=100°．
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