3.5 确定圆的条件一课一测
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3.5 确定圆的条件检测
（时间45分钟 满分100分）
一．选择题（每小题5分，共5分）
1．（2017 南岗区校级一模）下列说法中正确的是（ ）
A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
2．（2017 开平区一模）下列说法中，正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形有且只有一个外接圆
C．四边形都有一个外接圆 D．圆有且只有一个内接三角形
3．（2018 山亭月考）小明不慎把家里 ( http: / / www.21cnjy.com )的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
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A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
4．（2018 嘉祥质检）如图，已知点平面 ( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．（6，8） B．（4，5） C．（4， ( http: / / www.21cnjy.com )） D．（4， ( http: / / www.21cnjy.com )）
5．（2017 德阳）如图，点D、E分别是⊙O的内接正三角形ABC的AB、AC边上的中点，若⊙O的半径为2，则DE的长等于（ ）www.21-cn-jy.com
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C．1 D． ( http: / / www.21cnjy.com )
6．（2017 台湾）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（ ）
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A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
7．（2017 陕西）如图，△ABC是⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）
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A．5 B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C．5 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．5 ( http: / / www.21cnjy.com )
8．（2017 遂宁）如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则线段BC的长为（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．3 C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．6
9．（2017 市中区三模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
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A．（0，0） B．（1，0） C．（﹣2，﹣1） D．（2，0）
10．（2017 抚顺模拟）如图，△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（ ）
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A．95° B．90° C．85° D．75°
二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2017 宁夏）如图，点 ( http: / / www.21cnjy.com )A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 ．
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12．（2018 枣庄质检）当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件 ．21cnjy.com
13．（2017 滕州质检）下列说 ( http: / / www.21cnjy.com )法：①直径是弦；②经过三点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；④长度相等的弧是等弧；⑤平分弦的直径垂直于弦．其中正确的是 （填序号）．www-2-1-cnjy-com
14．（2017 泰州）如图，在平面直角坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为 ．
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15．（2017 奉化市自主招生）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上分别截取AD=AC，BE=BC，DE=6，
点O是△CDE的外心，如图所示，则点O到△ABC的三边的距离之和是 ．
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16．（2017 徐州一模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=6，AC=5，AD=3，则⊙O的直径AE= ．
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三．解答题（共20分）
17．（10分）（201 ( http: / / www.21cnjy.com )8 山亭质检）如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
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18．（10分）（2017 临沂）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
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3.5 确定圆的条件检测
（时间45分钟 满分100分）
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题5分，共5分）
1．（2017 南岗区校级一模）下列说法中正确的是（ ）
A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理判断即可．
【解答】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，A正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，C错误；
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，D错误，
故选：A．
2．（2017 开平区一模）下列说法中，正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形有且只有一个外接圆
C．四边形都有一个外接圆 D．圆有且只有一个内接三角形
【分析】根据确定圆的条件逐一判断后即可得到答案．
【解答】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；
B、三角形有且只有一个外切圆，原命题正确；
C、并不是所有的四边形都有一个外接圆，原命题错误；
D、圆有无数个内接三角形．
故选B．
3．（2018 山亭月考）小明不慎把家 ( http: / / www.21cnjy.com )里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
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A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选A．
4．（2018 嘉祥质检）如图，已知点 ( http: / / www.21cnjy.com )平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．（6，8） B．（4，5） C．（4， ( http: / / www.21cnjy.com )） D．（4， ( http: / / www.21cnjy.com )）
【分析】根据题意可知点P的横坐标为4，设点P的坐标为（4，y），根据PA=PC列出关于y的方程，解方程得到答案．【出处：21教育名师】
【解答】解：∵⊙P经过点A、B、C，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为4，
设点P的坐标为（4，y），
作PE⊥OB于E，PF⊥OC与F，
由题意得，
( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得，y= ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选：C．
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5．（2017 德阳）如图，点D、E分别是⊙O的内接正三角形ABC的AB、AC边上的中点，若⊙O的半径为2，则DE的长等于（ ）21教育名师原创作品
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C．1 D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】连接BO并延长交⊙O于F，连接CF，则BF为⊙O的直径，得到∠BCF=90°，根据圆周角定理得到∠F=∠A=60°，解直角三角形得到BC=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，根据三角形的中位线的性质即可得到结论．
【解答】解：连接BO并延长交⊙O于F，连接CF，
则BF为⊙O的直径，
∴∠BCF=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠F=∠A=60°，
∵⊙O的半径为2，
∴BF=4，
∴BC=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵点D、E分别是AB、AC边上的中点，
∴DE= ( http: / / www.21cnjy.com )BC= ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选A．
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6．（2017 台湾）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（ ）21世纪教育网版权所有
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A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
【分析】根据三角形的外心的性质，可以证明O是△ABE的外心，不是△AED的外心．
【解答】解：如图，连接OA、OB、OD．
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∵O是△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OA=OB=OE，
∴O是△ABE的外心，
∵OA=OE≠OD，
∴O不是△AED的外心，
故选B．
7．（2017 陕西）如图，△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）
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A．5 B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C．5 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．5 ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】连接OA、OB、OP，根据圆周角 ( http: / / www.21cnjy.com )定理求得∠APB=∠C=30°，进而求得∠PAB=∠APB=30°，∠ABP=120°，根据垂径定理得到OB⊥AP，AD=PD，∠OBP=∠OBA=60°，即可求得△AOB是等边三角形，从而求得PB=OA=5，解直角三角形求得PD，即可求得PA．
【解答】解：连接OA、OB、OP，
∵∠C=30°，
∴∠APB=∠C=30°，
∵PB=AB，
∴∠PAB=∠APB=30°
∴∠ABP=120°，
∵PB=AB，
∴OB⊥AP，AD=PD，
∴∠OBP=∠OBA=60°，
∵OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=5，
则Rt△PBD中，PD=cos30° PB= ( http: / / www.21cnjy.com )×5= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AP=2PD=5 ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选D．
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8．（2017 遂宁）如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则线段BC的长为（ ）2-1-c-n-j-y
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．3 C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．6
【分析】作弦心距OD，先根据已知求出∠BOC=120°，由等腰三角形三线合一的性质得：∠DOC= ( http: / / www.21cnjy.com )∠BOC=60°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半可求得OD的长，根据勾股定理得DC的长，最后利用垂径定理得出结论．
【解答】解：∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC=180°，
∵∠BAC= ( http: / / www.21cnjy.com )∠BOC，
∴∠BOC=120°，
过O作OD⊥BC，垂足为D，
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∴BD=CD，
∵OB=OC，
∴OB平分∠BOC，
∴∠DOC= ( http: / / www.21cnjy.com )∠BOC=60°，
∴∠OCD=90°﹣60°=30°，
在Rt△DOC中，OC=6，
∴OD=3，
∴DC=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴BC=2DC=6 ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选：C．
9．（2017 市中区三模）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
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A．（0，0） B．（1，0） C．（﹣2，﹣1） D．（2，0）
【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．
【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴作图得：
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选C．
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10．（2017 抚顺模拟）如图，△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（ ）
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A．95° B．90° C．85° D．75°
【分析】根据圆周角定理得到∠ABC=90°，∠D=∠C=50°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．21·cn·jy·com
【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=45°，
由圆周角定理得，∠D=∠C=50°，
∴∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠D=85°，
故选：C．
二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2017 宁夏）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 5 ．
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【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
【解答】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
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以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5．
12．（2018 枣庄质检）当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件 5m+2n≠9 ．21·世纪*教育网
【分析】能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可．
【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（1，2），B（3，﹣3），
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
解得：k=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，b= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴直线AB的解析式为y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，
∴点C不在直线AB上，
∴5m+2n≠9，
故答案为：5m+2n≠9．
13．（2017 滕州质检）下列说法： ( http: / / www.21cnjy.com )①直径是弦；②经过三点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；④长度相等的弧是等弧；⑤平分弦的直径垂直于弦．其中正确的是 ①③ （填序号）．【版权所有：21教育】
【分析】根据直径的定义对①进行判断；根据确 ( http: / / www.21cnjy.com )定圆的条件对②进行判断；根据三角形外心的性质对③进行判断；根据等弧的定义对④进行判断；根据垂径定理的推论对⑤进行判断．21*cnjy*com
【解答】解：：直径是弦，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )①正确；经过不共线的三点一定可以作圆，所以②错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，所以③正确；能够完全重合的弧是等弧，所以④错误；平分弦（非直径）的直径垂直于弦．
故答案为①③．
14．（2017 泰州）如图，在平面直 ( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为 （7，4）或（6，5）或（1，4） ．
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【分析】由勾股定理求出PA=PB= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，由点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，得出PC=PA=PB= ( http: / / www.21cnjy.com )，即可得出点C的坐标．
【解答】解：如图，
∵点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．
∴PA=PB= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，
∴PC=PA=PB= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
则点C的坐标为 （7，4）或（6，5）或（1，4）；
故答案为：（7，4）或（6，5）或（1，4）．
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15．（2017 奉化市自主招生）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上分别截取AD=AC，BE=BC，DE=6，2·1·c·n·j·y
点O是△CDE的外心，如图所示，则点O到△ABC的三边的距离之和是 9 ．
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【分析】首先证明点O是△ABC的内心，由r= ( http: / / www.21cnjy.com )（AC+BC﹣AB）= ( http: / / www.21cnjy.com )（AD+BE﹣AB）= ( http: / / www.21cnjy.com )DE，即可解决问题．
【解答】解：由题意点O是EC、CD垂直平分线的交点，
∵AD=AC，BE=BC，
∴EC的垂直平分线经过B且平分∠B，CD的垂直平分线经过A且平分∠A，
∴O是△ABC的内心，
则r= ( http: / / www.21cnjy.com )（AC+BC﹣AB）= ( http: / / www.21cnjy.com )（AD+BE﹣AB）= ( http: / / www.21cnjy.com )DE=3，
∴点O到△ABC的三边的距离之和是3r=9，
故答案为9．
16．（2017 徐州一模）如图，AD ( http: / / www.21cnjy.com )是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=6，AC=5，AD=3，则⊙O的直径AE= 10 ．
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【分析】根据圆周角定理得到∠E=∠C，∠ABE=90°，证明△ABE∽△ADC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．21教育网
【解答】解：由圆周角定理得，∠E=∠C，∠ABE=90°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴△ABE∽△ADC，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，即 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得，AE=10，
故答案为：10．
三．解答题（共2小题）
17．（2015 徐州模拟）如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
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【分析】（1）利用等弧对等弦即可证明．
（2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD ( http: / / www.21cnjy.com )=∠CBD再等量代换得出∠DBE=∠DEB，从而证明DB=DE=DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
【解答】（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
∴BD=CD．
（2）B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
理由：由（1）知： ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴∠BAD=∠CBD，
又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
由（1）知：BD=CD
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
18．（2017 临沂）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．21*cnjy*com
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出 ( http: / / www.21cnjy.com )，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；
（2）由（1）得： ( http: / / www.21cnjy.com )，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC= ( http: / / www.21cnjy.com )=4 ( http: / / www.21cnjy.com )，即可得出△ABC外接圆的半径．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAE，
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB；
（2）解：连接CD，如图所示：
由（1）得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴CD=BD=4，
∵∠BAC=90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BC= ( http: / / www.21cnjy.com )=4 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABC外接圆的半径= ( http: / / www.21cnjy.com )×4 ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
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3.5 确定圆的条件检测
（时间45分钟 满分100分）
一．选择题（每小题5分，共5分）
1．（2017 南岗区校级一模）下列说法中正确的是（ ）
A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
2．（2017 开平区一模）下列说法中，正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形有且只有一个外接圆
C．四边形都有一个外接圆 D．圆有且只有一个内接三角形
3．（2018 山亭月考）小明不慎把家里 ( http: / / www.21cnjy.com )的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
4．（2018 嘉祥质检）如图，已知点平面 ( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com )
A．（6，8） B．（4，5） C．（4， ( http: / / www.21cnjy.com )） D．（4， ( http: / / www.21cnjy.com )）
5．（2017 德阳）如图，点D、E分别是⊙O的内接正三角形ABC的AB、AC边上的中点，若⊙O的半径为2，则DE的长等于（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C．1 D． ( http: / / www.21cnjy.com )
6．（2017 台湾）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
7．（2017 陕西）如图，△ABC是⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．5 B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C．5 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．5 ( http: / / www.21cnjy.com )
8．（2017 遂宁）如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则线段BC的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．3 C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．6
9．（2017 市中区三模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．（0，0） B．（1，0） C．（﹣2，﹣1） D．（2，0）
10．（2017 抚顺模拟）如图，△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．95° B．90° C．85° D．75°
二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2017 宁夏）如图，点 ( http: / / www.21cnjy.com )A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
12．（2018 枣庄质检）当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件 ．21cnjy.com
13．（2017 滕州质检）下列说 ( http: / / www.21cnjy.com )法：①直径是弦；②经过三点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；④长度相等的弧是等弧；⑤平分弦的直径垂直于弦．其中正确的是 （填序号）．www-2-1-cnjy-com
14．（2017 泰州）如图，在平面直角坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
15．（2017 奉化市自主招生）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上分别截取AD=AC，BE=BC，DE=6，
点O是△CDE的外心，如图所示，则点O到△ABC的三边的距离之和是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
16．（2017 徐州一模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=6，AC=5，AD=3，则⊙O的直径AE= ．
( http: / / www.21cnjy.com )
三．解答题（共20分）
17．（10分）（201 ( http: / / www.21cnjy.com )8 山亭质检）如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
18．（10分）（2017 临沂）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
( http: / / www.21cnjy.com )
3.5 确定圆的条件检测
（时间45分钟 满分100分）
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题5分，共5分）
1．（2017 南岗区校级一模）下列说法中正确的是（ ）
A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理判断即可．
【解答】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，A正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，C错误；
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，D错误，
故选：A．
2．（2017 开平区一模）下列说法中，正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形有且只有一个外接圆
C．四边形都有一个外接圆 D．圆有且只有一个内接三角形
【分析】根据确定圆的条件逐一判断后即可得到答案．
【解答】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；
B、三角形有且只有一个外切圆，原命题正确；
C、并不是所有的四边形都有一个外接圆，原命题错误；
D、圆有无数个内接三角形．
故选B．
3．（2018 山亭月考）小明不慎把家 ( http: / / www.21cnjy.com )里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选A．
4．（2018 嘉祥质检）如图，已知点 ( http: / / www.21cnjy.com )平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com )
A．（6，8） B．（4，5） C．（4， ( http: / / www.21cnjy.com )） D．（4， ( http: / / www.21cnjy.com )）
【分析】根据题意可知点P的横坐标为4，设点P的坐标为（4，y），根据PA=PC列出关于y的方程，解方程得到答案．【出处：21教育名师】
【解答】解：∵⊙P经过点A、B、C，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为4，
设点P的坐标为（4，y），
作PE⊥OB于E，PF⊥OC与F，
由题意得，
( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得，y= ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选：C．
( http: / / www.21cnjy.com )
5．（2017 德阳）如图，点D、E分别是⊙O的内接正三角形ABC的AB、AC边上的中点，若⊙O的半径为2，则DE的长等于（ ）21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C．1 D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】连接BO并延长交⊙O于F，连接CF，则BF为⊙O的直径，得到∠BCF=90°，根据圆周角定理得到∠F=∠A=60°，解直角三角形得到BC=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，根据三角形的中位线的性质即可得到结论．
【解答】解：连接BO并延长交⊙O于F，连接CF，
则BF为⊙O的直径，
∴∠BCF=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠F=∠A=60°，
∵⊙O的半径为2，
∴BF=4，
∴BC=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵点D、E分别是AB、AC边上的中点，
∴DE= ( http: / / www.21cnjy.com )BC= ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选A．
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6．（2017 台湾）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（ ）21世纪教育网版权所有
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A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
【分析】根据三角形的外心的性质，可以证明O是△ABE的外心，不是△AED的外心．
【解答】解：如图，连接OA、OB、OD．
( http: / / www.21cnjy.com )
∵O是△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OA=OB=OE，
∴O是△ABE的外心，
∵OA=OE≠OD，
∴O不是△AED的外心，
故选B．
7．（2017 陕西）如图，△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．5 B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C．5 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．5 ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】连接OA、OB、OP，根据圆周角 ( http: / / www.21cnjy.com )定理求得∠APB=∠C=30°，进而求得∠PAB=∠APB=30°，∠ABP=120°，根据垂径定理得到OB⊥AP，AD=PD，∠OBP=∠OBA=60°，即可求得△AOB是等边三角形，从而求得PB=OA=5，解直角三角形求得PD，即可求得PA．
【解答】解：连接OA、OB、OP，
∵∠C=30°，
∴∠APB=∠C=30°，
∵PB=AB，
∴∠PAB=∠APB=30°
∴∠ABP=120°，
∵PB=AB，
∴OB⊥AP，AD=PD，
∴∠OBP=∠OBA=60°，
∵OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=5，
则Rt△PBD中，PD=cos30° PB= ( http: / / www.21cnjy.com )×5= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AP=2PD=5 ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选D．
( http: / / www.21cnjy.com )
8．（2017 遂宁）如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则线段BC的长为（ ）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．3 C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．6
【分析】作弦心距OD，先根据已知求出∠BOC=120°，由等腰三角形三线合一的性质得：∠DOC= ( http: / / www.21cnjy.com )∠BOC=60°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半可求得OD的长，根据勾股定理得DC的长，最后利用垂径定理得出结论．
【解答】解：∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC=180°，
∵∠BAC= ( http: / / www.21cnjy.com )∠BOC，
∴∠BOC=120°，
过O作OD⊥BC，垂足为D，
( http: / / www.21cnjy.com )
∴BD=CD，
∵OB=OC，
∴OB平分∠BOC，
∴∠DOC= ( http: / / www.21cnjy.com )∠BOC=60°，
∴∠OCD=90°﹣60°=30°，
在Rt△DOC中，OC=6，
∴OD=3，
∴DC=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴BC=2DC=6 ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选：C．
9．（2017 市中区三模）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．（0，0） B．（1，0） C．（﹣2，﹣1） D．（2，0）
【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．
【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴作图得：
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选C．
( http: / / www.21cnjy.com )
10．（2017 抚顺模拟）如图，△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．95° B．90° C．85° D．75°
【分析】根据圆周角定理得到∠ABC=90°，∠D=∠C=50°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．21·cn·jy·com
【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=45°，
由圆周角定理得，∠D=∠C=50°，
∴∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠D=85°，
故选：C．
二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2017 宁夏）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 5 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
【解答】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
( http: / / www.21cnjy.com )
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5．
12．（2018 枣庄质检）当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件 5m+2n≠9 ．21·世纪*教育网
【分析】能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可．
【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（1，2），B（3，﹣3），
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
解得：k=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，b= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴直线AB的解析式为y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，
∴点C不在直线AB上，
∴5m+2n≠9，
故答案为：5m+2n≠9．
13．（2017 滕州质检）下列说法： ( http: / / www.21cnjy.com )①直径是弦；②经过三点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；④长度相等的弧是等弧；⑤平分弦的直径垂直于弦．其中正确的是 ①③ （填序号）．【版权所有：21教育】
【分析】根据直径的定义对①进行判断；根据确 ( http: / / www.21cnjy.com )定圆的条件对②进行判断；根据三角形外心的性质对③进行判断；根据等弧的定义对④进行判断；根据垂径定理的推论对⑤进行判断．21*cnjy*com
【解答】解：：直径是弦，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )①正确；经过不共线的三点一定可以作圆，所以②错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，所以③正确；能够完全重合的弧是等弧，所以④错误；平分弦（非直径）的直径垂直于弦．
故答案为①③．
14．（2017 泰州）如图，在平面直 ( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为 （7，4）或（6，5）或（1，4） ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】由勾股定理求出PA=PB= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，由点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，得出PC=PA=PB= ( http: / / www.21cnjy.com )，即可得出点C的坐标．
【解答】解：如图，
∵点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．
∴PA=PB= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，
∴PC=PA=PB= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
则点C的坐标为 （7，4）或（6，5）或（1，4）；
故答案为：（7，4）或（6，5）或（1，4）．
( http: / / www.21cnjy.com )
15．（2017 奉化市自主招生）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上分别截取AD=AC，BE=BC，DE=6，2·1·c·n·j·y
点O是△CDE的外心，如图所示，则点O到△ABC的三边的距离之和是 9 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】首先证明点O是△ABC的内心，由r= ( http: / / www.21cnjy.com )（AC+BC﹣AB）= ( http: / / www.21cnjy.com )（AD+BE﹣AB）= ( http: / / www.21cnjy.com )DE，即可解决问题．
【解答】解：由题意点O是EC、CD垂直平分线的交点，
∵AD=AC，BE=BC，
∴EC的垂直平分线经过B且平分∠B，CD的垂直平分线经过A且平分∠A，
∴O是△ABC的内心，
则r= ( http: / / www.21cnjy.com )（AC+BC﹣AB）= ( http: / / www.21cnjy.com )（AD+BE﹣AB）= ( http: / / www.21cnjy.com )DE=3，
∴点O到△ABC的三边的距离之和是3r=9，
故答案为9．
16．（2017 徐州一模）如图，AD ( http: / / www.21cnjy.com )是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=6，AC=5，AD=3，则⊙O的直径AE= 10 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】根据圆周角定理得到∠E=∠C，∠ABE=90°，证明△ABE∽△ADC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．21教育网
【解答】解：由圆周角定理得，∠E=∠C，∠ABE=90°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴△ABE∽△ADC，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，即 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得，AE=10，
故答案为：10．
三．解答题（共2小题）
17．（2015 徐州模拟）如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】（1）利用等弧对等弦即可证明．
（2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD ( http: / / www.21cnjy.com )=∠CBD再等量代换得出∠DBE=∠DEB，从而证明DB=DE=DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
【解答】（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
∴BD=CD．
（2）B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
理由：由（1）知： ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴∠BAD=∠CBD，
又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
由（1）知：BD=CD
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
18．（2017 临沂）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．21*cnjy*com
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
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【分析】（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出 ( http: / / www.21cnjy.com )，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；
（2）由（1）得： ( http: / / www.21cnjy.com )，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC= ( http: / / www.21cnjy.com )=4 ( http: / / www.21cnjy.com )，即可得出△ABC外接圆的半径．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAE，
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB；
（2）解：连接CD，如图所示：
由（1）得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴CD=BD=4，
∵∠BAC=90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BC= ( http: / / www.21cnjy.com )=4 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABC外接圆的半径= ( http: / / www.21cnjy.com )×4 ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
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