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湘教版数学九年级1.5二次函数的应用教学设计
课题 1.5二次函数的应用 单元 第一章二次函数 学科 数学 年级 九年级
学习目标 1、能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系．2、能利用二次函数的知识解决实际问题．3、体会二次函数是解决实际问题的重要模型,提高运用数学知识解决实际问题的能力.
重点 用抛物线的知识解决实际问题．
难点 将实际问题转化为抛物线的知识来解决．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标、对称轴．2、二次函数y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k时，图象将发生怎样的变化？3、一般地，函数y=ax2，的图象先向右（当h>0）或向左（当h<0）平移|h|个单位可得y=a(x-h)2的图象；或再向上（当k>0）或向下（当k<0）平移|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象． 回顾二次函数的顶点坐标和对称轴． 通过对知识的回顾为本节课的学习做好铺垫．
讲授新课 一、拱桥问题：如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9 m，当水面宽4 m时，拱顶离水面2 m．若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化，你能解决这个问题吗？桥洞的拱形是什么函数的图象？要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么 如何方便简单地构建函数模型呢？我们有下面四种选择： 选择哪个更容易解决问题？由于第二种建立坐标系的顶点坐标是（0，0），因此这个二次函数的形式是y=ax2．这样建立的直角坐标系函数解析式最为简单．如何确定a是多少？已知水面宽4 m，拱顶离水面高2 m，因此点A（2，-2）在抛物线上．由此得出－2=a·22，解得． 因此，这个函数的表达式为，其中|x|是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数．由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：-2.45≤x≤2.45．当水面宽 4.6 m 时， 拱顶离水面几米？解：当水面宽 4.6 m 时，把x=2.3代入函数的表达式，得y=-2.645．答：当水面宽 4.6 m 时，拱顶离水面2.645米．建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？二、图形问题：如图 ， 用 8 m 长的铝材做一个日字形窗框. 试问： 窗框的宽和高各为多少时， 窗框的透光面积 S（m2）最大？ 最大面积是多少？ （假设铝材的宽度不计）解：设窗框的宽度为x m．则窗框的高为 m，其中．则窗框的透光面积为：，．配方得：， ． 所以，当时，S取最大值．这时高为：．所以当窗户宽米，高2米时，透光面积最大，最大面积为 m2．运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值解题的一般步骤是怎样的？1、应当求出函数解析式和自变量的取值范围．2、通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值．3、确定所求得的最大值或最小值对应的字变量的值必须在自变量的取值范围内．三、商品利润问题：例 某网络玩具店引进一批进价为 20 元 / 件的玩具， 如果以单价 30 元销售， 那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验， 提高销售单价会导致销售量的下降， 即销售单价每上涨 1 元， 月销售量将相应减少 10 件. 当销售单价为多少元时， 该店能在一个月内获得最大利润？解：设每件商品的销售单价上涨 x 元， 一个月内获取的商品总利润为 y 元．每月减少的销售量为10 x（件）， 实际销售量为（180 - 10 x）件， 单件利润为（30 + x - 20 ）元， 则y = （ 10 + x ） （ 180 - 10x ） ，即 y = - 10x2 + 80x + 1 800 （ x ≤ 18 ） .将上式进行配方，y = - 10x2 + 80x + 1 800 ＝ - 10 （ x - 4 ）2 + 1 960．当x=4时，即销售单价为34元时，y最大值为1960元．答：当销售单价定为34元时，该店一个月内最大利润为1960元．初始位置的水平距离是多少？你还有什么方法能求出当销售单价为多少元时， 该店能在一个月内获得最大利润？建立二次实际问题的一般步骤：（1）根据题意建立适当的平面直角坐标系．（2）把已知条件转化为点的坐标．（3）合理设出函数解析式．（4）利用待定系数法求出函数解析式．（5）根据求得的解析式进一步分析,判断并进行有关的计算． 通过对实际问题的分析，建立平面直角坐标系解决问题．通过对下面四种坐标系的分析，选择最简单的坐标系解决问题．了解建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤．分析实际问题，建立数学模型，解决问题．建立二次函数模型解决商品利润问题． 用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系；抛物线的解析式假设恰当会给解决问题带来方便．使学生能根据实际问题建立最简单的平面直角坐标系．了解建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤．求出函数解析式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值．从实际问题中让学生感受数学来源于生活．通过例题的解答，使学生理解建立二次函数模型解决实际问题的方法．
1、如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状.一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触绳子，求绳子最低点到地面的距离．2、小红想将一根72 cm长的彩带剪成两段，分别围成两个正方形，则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？此时的面积和为多少？3、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单位每涨1元，月销售量就减少10千克．（1）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数表达式（不必写出x的取值范围）；（2）商店销售单价应定为多少、销售利润最大？ 学生先自主思考，完成后小组交流确定结果，最后展示成果． 通过练习加深对所学知识的理解．
课堂小结 用抛物线的知识解决生活中的一些实际问题一般步骤： 回顾本节课所学知识． 通过小结，再次让学生建立二次函数模型解决实际问题的方法．
板书 已知水面宽4 m，拱顶离水面高2 m，因此点A（2，-2）在抛物线上．由此得出－2=a·22，解得． 因此，这个函数的表达式为，其中|x|是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数．由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：-2.45≤x≤2.45．解：设窗框的宽度为x m．则窗框的高为 m，其中．则窗框的透光面积为：，．配方得：， ． 所以，当时，S取最大值．这时高为：．所以当窗户宽米，高2米时，透光面积最大，最大面积为 m2．例
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1.5 二次函数的应用
湘教版 九年级下
导入新知
1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标、对称轴．
顶点坐标
对称轴
导入新知
2、二次函数y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k时，
图象将发生怎样的变化？
y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
不变的 变 的 顶点
对称轴
开口方向和开口大小
（0，0）
（h，0）
（h，k）
y轴
x=h
x=h
一般地，函数y=ax2，的图象先向右（当h>0）或向左（当h<0）平移|h|个单位可得y=a(x-h)2的图象；或再向上（当k>0）或向下（当k<0）平移|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象．
新知讲解
如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9 m，当水面宽4 m时，拱顶离水面2 m．若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化，你能解决这个问题吗？
新知讲解
桥洞的拱形是什么函数的图象？
桥洞的拱形是抛物线，是某个二次函数的图象．
要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么
建立平面直角坐标系．
4 m
2 m
4.9 m
新知讲解
如何方便简单地构建函数模型呢？我们有下面四种选择：
（0，0）
（4，0）
（2，2）
y
o
x
o
y
x
（0，0）
（2，-2）
（-2，-2）
新知讲解
o
y
x
（2，0）
（2，0）
（-2，0）
（0，0）
（-4，0）
（-2，2）
o
y
x
选择哪个更容易解决问题？
由于第二种建立坐标系的顶点坐标是（0，0），因此这个二次函数的形式是y=ax2．这样建立的直角坐标系函数解析式最为简单．
新知讲解
如何确定a是多少？
已知水面宽4 m，拱顶离水面高2 m，因此点A（2，-2）在抛物线上．由此得出：－2=a·22，
解得 ．
因此，这个函数的表达式为 ，
其中|x|是水面宽度的一半，y是拱顶离
水面高度的相反数．
由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：
-2.45≤x≤2.45．
新知讲解
当水面宽 4.6 m 时， 拱顶离水面几米？
解：当水面宽 4.6 m 时，把x=2.3代入函数的表达式
，得
y=-2.645．
答：当水面宽 4.6 m 时，拱顶离水面2.645米．
新知讲解
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际问题
建立二次函数模型
利用二次函数的
图象和性质求解
实际问题的解
新知讲解
如图 ， 用 8 m 长的铝材做一个日字形窗框. 试问： 窗框的宽和高各为多少时， 窗框的透光面积 S（m2）最大？ 最大面积是多少？ （假设铝材的宽度不计）
解：设窗框的宽度为x m．则窗框的高为 m，
其中 ．
则窗框的透光面积为： ，
．
配方得： ， ．
新知讲解
这时高为： ．
所以当窗户宽 米，高2米时，透光面积最大，
最大面积为 m2．
所以，当 时，S取最大值 .
要考虑 是不是在自变量x的取值范围内．
新知讲解
运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值解题的一般步骤是怎样的？
1、应当求出函数解析式和自变量的取值范围．
3、确定所求得的最大值或最小值对应的字变量的值必须在自变量的取值范围内．
2、通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值．
新知讲解
例 某网络玩具店引进一批进价为 20 元 / 件的玩具， 如果以单价 30 元销售， 那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验， 提高销售单价会导致销售量的下降， 即销售单价每上涨 1 元， 月销售量将相应减少 10 件. 当销售单价为多少元时， 该店能在一个月内获得最大利润？
新知讲解
解：设每件商品的销售单价上涨 x 元， 一个月内获取的商品总利润为 y 元．每月减少的销售量为10 x（件）， 实际销售量为（180 - 10 x）件， 单件利润为（30 + x - 20 ）元， 则
y = （ 10 + x ） （ 180 - 10x ） ，
即 y = - 10x2 + 80x + 1 800 （ x ≤ 18 ） .
将上式进行配方，y = - 10x2 + 80x + 1 800
＝ - 10 （ x - 4 ）2 + 1 960．
当x=4时，即销售单价为34元时，y最大值为1960元．
答：当销售单价定为34元时，该店一个月内最大利润为1960元．
新知讲解
新知讲解
你还有什么方法能求出当销售单价为多少元时， 该店能在一个月内获得最大利润？
解：当 时，y有最大值
．
答：商店销售单价应定为70元时，销售利润最大．
新知讲解
建立二次实际问题的一般步骤：
（5）根据求得的解析式进一步分析，判断并进行有关的计算．
（1）根据题意建立适当的平面直角坐标系．
（2）把已知条件转化为点的坐标．
（3）合理设出函数解析式．
（4）利用待定系数法求出函数解析式．
巩固提升
1、如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状.一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触绳子，求绳子最低点到地面的距离．
A
B
C
D
0.7
1.6
2.2
0.4
E
F
O
x
y
巩固提升
解：以CD所在的直线为x轴，CD的中垂线为y轴建立直角坐标系 则 B（0.8，2.2），F（- 0.4， 0.7）.
设 y = ax2 + k，从而有 ，
解得 ．
所以， . E坐标为（0,0.2）．
故绳子最低点到地面的距离为0.2米．
答：绳子最低点到地面的距离为0.2米．
A
B
C
D
0.7
1.6
2.2
0.4
E
F
O
x
y
巩固提升
2、小红想将一根72cm长的彩带剪成两段，分别围成两个正方形，则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？此时的面积和为多少？
解：设一个正方形的边长为a cm，则另一个正方形的边长为
=（18-a）cm．则两个正方形的面积和为：
S=a2+(18-a)2=2a2-36a+324(0＜x＜18)．
将上式进行配方得：S=2(a-9)2+162(0＜x＜18)．
当a=9 cm时，S最小，最小值为162 cm2.此时，她将彩带二等分．
答：她应将彩带分成相等的两段剪，此时的面积和为162 cm2．
巩固提升
3、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单位每涨1元，月销售量就减少10千克．
（1）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数表达式（不必写出x的取值范围）；
（2）商店销售单价应定为多少、销售利润最大？
解：（1）可卖出千克数为500-10（x-50）=1000-10x，
y与x的函数表达式为y=（x-40）（1000-10x）
=-10x2+1400x-40000，
（2）当 时，y有最大值．
答：商店销售单价应定为70元时，销售利润最大．
巩固提升
课堂小结
用抛物线的知识解决生活中的一些实际问题一般步骤：
生活中的一些实际问题
弄清题中量与量之间的依赖关系
建立函数模型
利用二次函数图象和性质解决实际问题
注意自变量的取值范围
谢谢
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