3.7 切线长定理一课一测
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3.7 切线长定理检测
（时间45分钟 满分100分）
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．（2018 秦皇岛质检）如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（ ）21·cn·jy·com
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A．32 B．34 C．36 D．38
2．（2018 大连月考）如图，直线AB ( http: / / www.21cnjy.com )、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（ ）
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A．13 B．12 C．11 D．10
3．（2018 枣庄15中质检）如图，P为 ( http: / / www.21cnjy.com )⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（ ）
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A．5 B．7 C．8 D．10
4．（2017 枣庄阴平质检）如图，四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（ ）【出处：21教育名师】
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A．9 B．10 C．3 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．2 ( http: / / www.21cnjy.com )
5．（2018 铁岭质检） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
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A．20cm B．15cm C．10cm D．随直线MN的变化而变化
6．（2018 薛城质检）如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P=40°，则∠C的度数为（ ）21*cnjy*com
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A．40° B．140° C．70° D．80°
7．（2018 临沂实验月考）如图，PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，若PA=7，则△PCD的周长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．7 B．14 C．10.5 D．10
8．（2018 哈尔滨质检）如图，正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（ ）
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A．12 B．24 C．8 D．6
9．（2008 东营月考）圆外切等腰梯形的一腰长是8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
10．（2018 滦县质检）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．3 C．3 ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2018 兰陵质检）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是 cm．21*cnjy*com
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12．（2017 蜀山区校级模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为 ．
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13．（2018 杭州质检）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于 ．
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14．（201 天津质检）如图，已知以直角梯 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是 ．
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15．（2018 烟台月考 ( http: / / www.21cnjy.com )）已知：PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若PA=15cm，那么△PEF周长是 cm．若∠P=50°，那么∠EOF= ．
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16．（2012 重庆模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟）一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为5cm的圆环，当滚到与坡面BC开始相切时停止．其AB=40cm，BC与水平面的夹角为60°．其圆心所经过的路线长是 cm（结果保留根号）．
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三．解答题（共20分）
17．（2017 北湖区校级模拟）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
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18．（2018 滕州质检）如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D．
（1）请写出两个不同类型的正确结论；
（2）若CD=12，tan∠CPO= ( http: / / www.21cnjy.com )，求PO的长．
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3.7 切线长定理检测
（时间45分钟 满分100分）
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．（2018 秦皇岛质检）如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（ ）21·世纪*教育网
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A．32 B．34 C．36 D．38
【分析】根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长．2·1·c·n·j·y
【解答】解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，
所以四边形的周长=2×（7+10）=34．
故选：B．
2．（2018 大连月考）如图，直线A ( http: / / www.21cnjy.com )B、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（ ）
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A．13 B．12 C．11 D．10
【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠BOC=90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，
∴∠OBC= ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABC，∠OCB= ( http: / / www.21cnjy.com )∠BCD，BE=BF，CG=CF，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∴BC= ( http: / / www.21cnjy.com )=10，
∴BE+CG=10（cm）．
故选D．
3．（2018 枣庄15中质检）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（ ）
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A．5 B．7 C．8 D．10
【分析】由切线长定理可得PA=PB ( http: / / www.21cnjy.com )，CA=CE，DE=DB，由于△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，所以△PCD的周=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，故可求得三角形的周长．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA=PB，
同理可得：CA=CE，DE=DB．
∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，
∴△PCD的周长=10，
故选D．
4．（2017 枣庄阴平质检）如图，四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．9 B．10 C．3 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．2 ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】作DH⊥BC于H，如图，利用平行线的性质得AB⊥AD，AB⊥BC，则根据切线的判定得到AD和BC为⊙O切线，根据切线长定理得DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，利用四边形ABHD为矩形得BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中根据勾股定理得（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x= ( http: / / www.21cnjy.com )，即CB=CE= ( http: / / www.21cnjy.com )，然后由等线段代换得到△MCN的周长=CE+CB=9．
【解答】解：作DH⊥BC于H，如图，
∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∵AB为直径，
∴AD和BC为⊙O 切线，
∵CD和MN为⊙O 切线，
∴DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，
∵四边形ABHD为矩形，
∴BH=AD=2，DH=AB=6，
设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，
在Rt△DCH中，∵CH2+DH2=DC2，
∴（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴CB=CE= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△MCN的周长=CN+CM+MN
=CN+CM+NF+MF
=CN+CM+NF+MB
=CE+CB
=9．
故选A．
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5．（2018 铁岭质检）如图，△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
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A．20cm B．15cm
C．10cm D．随直线MN的变化而变化
【分析】利用切线长定理得出DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD=10cm，
∴设E、F分别是⊙O的切点，
故DM=MF，FN=EN，AD=AE，
∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．
故选：A．
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6．（2018 薛城质检）如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P=40°，则∠C的度数为（ ）
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A．40° B．140° C．70° D．80°
【分析】连接OA，OB根据切线的性质定 ( http: / / www.21cnjy.com )理，切线垂直于过切点的半径，即可求得∠OAP，∠OBP的度数，根据四边形的内角和定理即可求的∠AOB的度数，然后根据圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵PA是圆的切线．
∴∠OAP=90°，
同理∠OBP=90°，
根据四边形内角和定理可得：
∠AOB=360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P=360°﹣90°﹣90°﹣40°=140°，
∴∠ACB= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOB=70°．
故选C．
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7．（2018 临沂实验月考）如图，PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，若PA=7，则△PCD的周长为（ ）21教育名师原创作品
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A．7 B．14 C．10.5 D．10
【分析】根据从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等和三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，
∴PB=PA=7，CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长=PC+CD+PB
=PC+CE+DE+PD
=PC+CA+DB+PD
=PA+PB=14，
故选：B．
8．（2018 哈尔滨质检）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（ ）2-1-c-n-j-y
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A．12 B．24 C．8 D．6
【分析】由于AE与圆O切于点F，根据切 ( http: / / www.21cnjy.com )线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC；设EF=EC=xcm．则DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm，21cnjy.com
然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△ADE的面积．
【解答】解：∵AE与圆O切于点F，
显然根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC，
设EF=EC=xcm，
则DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm，
在三角形ADE中由勾股定理得：
（4﹣x）2+42=（4+x）2，
∴x=1cm，
∴CE=1cm，
∴DE=4﹣1=3cm，
∴S△ADE=AD DE÷2=3×4÷2=6cm2．
故选D．
9．（2008 东营月考）圆外切等腰梯形的一腰长是8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】直接利用圆外切四边形对边和相等，进而求出即可．
【解答】解：∵圆外切等腰梯形的一腰长是8，
∴梯形对边和为：8+8=16，
则这个等腰梯形的上底与下底长的和为16．
故选：D．
10．（2018 滦县质检）如图，在平面直 ( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．3 C．3 ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．
【解答】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A（﹣6，0）、B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴AB=6 ( http: / / www.21cnjy.com )
∴OP= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵OQ=2，
∴PQ= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选：D．
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二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2018 兰陵质检）如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是 6 ( http: / / www.21cnjy.com ) cm．
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【分析】先画图，根据题意求出∠OAB=60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的直径．
【解答】解：∵∠CAD=60°，
∴∠CAB=120°，
∵AB和AC与⊙O相切，
∴∠OAB=∠OAC，
∴∠OAB= ( http: / / www.21cnjy.com )∠CAB=60°
∵AB=3cm，
∴OA=6cm，
∴由勾股定理得OB=3 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，
∴光盘的直径6 ( http: / / www.21cnjy.com )cm．
故答案为：6 ( http: / / www.21cnjy.com )．
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12．（2017 蜀山区校级模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为 2 ．
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【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．
故答案为：2．
13．（2018 杭州质检）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于 1 ．
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【分析】根据切线的性质求得∠APO=30°，∠PAO=90°，再由直角三角形的性质得AO=1．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴∠APO=∠BPO= ( http: / / www.21cnjy.com )∠APB，∠PAO=90°
∵∠APB=60°，
∴∠APO=30°，
∵PO=2，
∴AO=1．
故答案为：1．
14．（201 天津质检）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是 14 ．【版权所有：21教育】
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【分析】由切线长定理可知：AD=AE，BC=BE，因此梯形的周长=2AB+CD，已知了AB和⊙O的半径，由此可求出梯形的周长．
【解答】解：根据切线长定理，得AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是5×2+4=14，
故答案为：14．
15．（2018 烟台月考）已知：PA ( http: / / www.21cnjy.com )、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若PA=15cm，那么△PEF周长是 30 cm．若∠P=50°，那么∠EOF= 65° ．
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【分析】由PA、PB、EF分别切⊙O于 ( http: / / www.21cnjy.com )A、B、D，根据切线长定理可得PA=PB=10cm，ED=EA，FD=DB，则PE+EF+PF=PE+ED+PF+FD=PA+PB，即可得到△PEF的周长；
根据切线的性质得到∠PAO=∠PBO=90°，根据四边形的内角和为360度即可计算出∠AOB；连OD，根据切线的性质得到∠ODE=∠ODF=90°，易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，得∠1=∠2，∠3=∠4，即有∠EOF=∠2+∠3= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOB．
【解答】解：∵PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，
∴PA=PB=15cm，ED=EA，FD=DB，
∴PE+EF+PF=PE+ED+PF+FD=PA+PB=30（cm）即△PEF周长是30cm；
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
而∠P=50°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°；
连OD，如图，
∴∠ODE=∠ODF=90°，
易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOB=65°，则∠EOF=65°．
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16．（2012 重庆模拟）一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为5cm的圆环，当滚到与坡面BC开始相切时停止．其AB=40cm，BC与水平面的夹角为60°．其圆心所经过的路线长是 40﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) cm（结果保留根号）．
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【分析】先作图，连接OD、BD，作DE⊥AB，可证得∠DBE=60°，再由勾股定理求得BE，则圆心所经过的路线长AB﹣BE．21教育网
【解答】解：连接OD、BD，作DE⊥AB，
∵BC与水平面的夹角为60°，
∴∠DBE=60°，
∴∠BDE=30°，
设BE=x，则BD=2x，
∴由勾股定理得4x2﹣x2=25，
解得x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴OD=AE=40﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
故答案为40﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
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三．解答题（共20分）
17．（2017 北湖区校级模拟）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：www.21-cn-jy.com
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
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【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分 ( http: / / www.21cnjy.com )∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；21世纪教育网版权所有
（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；
（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．
【解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBE+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°；
（2）由（1）知，∠BOC=90°．
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴由勾股定理得到：BC= ( http: / / www.21cnjy.com )=10cm，
∴BE+CG=BC=10cm．
（3）∵OF⊥BC，
∴OF= ( http: / / www.21cnjy.com )=4.8cm．
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18．（2018 滕州质检）如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）请写出两个不同类型的正确结论；
（2）若CD=12，tan∠CPO= ( http: / / www.21cnjy.com )，求PO的长．
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【分析】（1）由切线长定理得①PC=PD，② ( http: / / www.21cnjy.com )∠CPO=∠DPA，由垂径定理得③CD⊥BA，④∠CEP=90°，由切割线定理得，⑤PC2=PA PB；
（2）连接OC，由切线长定理得PC=PD，∠CPO=∠DPA，再由垂径定理得DE，则求得CP，即可得OC，最后根据勾股定理得出OP的长．
【解答】解：（1）不同类型的正确结论有：
①PC=PD，②∠CPO=∠DP，③ACD⊥BA，④∠CEP=90°，⑤PC2=PA PB；
（2）连接OC
∵PC、PD分别切⊙O于点C、D
∴PC=PD，∠CPO=∠DPA
∴CD⊥AB
∵CD=12
∴DE=CE= ( http: / / www.21cnjy.com )CD=6．
∵tan∠CPO= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴在Rt△EPC中，PE=12
∴由勾股定理得CP=6 ( http: / / www.21cnjy.com )
∵PC切⊙O于点C
∴∠OCP=90°
在Rt△OPC中，
∵tan∠CPO= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
∴OC=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴OP= ( http: / / www.21cnjy.com )=15．
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3.7 切线长定理检测
（时间45分钟 满分100分）
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．（2018 秦皇岛质检）如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（ ）21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．32 B．34 C．36 D．38
2．（2018 大连月考）如图，直线AB ( http: / / www.21cnjy.com )、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．13 B．12 C．11 D．10
3．（2018 枣庄15中质检）如图，P为 ( http: / / www.21cnjy.com )⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．5 B．7 C．8 D．10
4．（2017 枣庄阴平质检）如图，四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（ ）【出处：21教育名师】
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A．9 B．10 C．3 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．2 ( http: / / www.21cnjy.com )
5．（2018 铁岭质检） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
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A．20cm B．15cm C．10cm D．随直线MN的变化而变化
6．（2018 薛城质检）如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P=40°，则∠C的度数为（ ）21*cnjy*com
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A．40° B．140° C．70° D．80°
7．（2018 临沂实验月考）如图，PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，若PA=7，则△PCD的周长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．7 B．14 C．10.5 D．10
8．（2018 哈尔滨质检）如图，正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．12 B．24 C．8 D．6
9．（2008 东营月考）圆外切等腰梯形的一腰长是8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
10．（2018 滦县质检）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．3 C．3 ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2018 兰陵质检）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是 cm．21*cnjy*com
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12．（2017 蜀山区校级模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
13．（2018 杭州质检）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
14．（201 天津质检）如图，已知以直角梯 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是 ．
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15．（2018 烟台月考 ( http: / / www.21cnjy.com )）已知：PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若PA=15cm，那么△PEF周长是 cm．若∠P=50°，那么∠EOF= ．
( http: / / www.21cnjy.com )
16．（2012 重庆模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟）一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为5cm的圆环，当滚到与坡面BC开始相切时停止．其AB=40cm，BC与水平面的夹角为60°．其圆心所经过的路线长是 cm（结果保留根号）．
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三．解答题（共20分）
17．（2017 北湖区校级模拟）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
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18．（2018 滕州质检）如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D．
（1）请写出两个不同类型的正确结论；
（2）若CD=12，tan∠CPO= ( http: / / www.21cnjy.com )，求PO的长．
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3.7 切线长定理检测
（时间45分钟 满分100分）
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．（2018 秦皇岛质检）如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（ ）21·世纪*教育网
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A．32 B．34 C．36 D．38
【分析】根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长．2·1·c·n·j·y
【解答】解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，
所以四边形的周长=2×（7+10）=34．
故选：B．
2．（2018 大连月考）如图，直线A ( http: / / www.21cnjy.com )B、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（ ）
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A．13 B．12 C．11 D．10
【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠BOC=90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，
∴∠OBC= ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABC，∠OCB= ( http: / / www.21cnjy.com )∠BCD，BE=BF，CG=CF，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∴BC= ( http: / / www.21cnjy.com )=10，
∴BE+CG=10（cm）．
故选D．
3．（2018 枣庄15中质检）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（ ）
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A．5 B．7 C．8 D．10
【分析】由切线长定理可得PA=PB ( http: / / www.21cnjy.com )，CA=CE，DE=DB，由于△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，所以△PCD的周=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，故可求得三角形的周长．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA=PB，
同理可得：CA=CE，DE=DB．
∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，
∴△PCD的周长=10，
故选D．
4．（2017 枣庄阴平质检）如图，四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．9 B．10 C．3 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．2 ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】作DH⊥BC于H，如图，利用平行线的性质得AB⊥AD，AB⊥BC，则根据切线的判定得到AD和BC为⊙O切线，根据切线长定理得DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，利用四边形ABHD为矩形得BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中根据勾股定理得（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x= ( http: / / www.21cnjy.com )，即CB=CE= ( http: / / www.21cnjy.com )，然后由等线段代换得到△MCN的周长=CE+CB=9．
【解答】解：作DH⊥BC于H，如图，
∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∵AB为直径，
∴AD和BC为⊙O 切线，
∵CD和MN为⊙O 切线，
∴DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，
∵四边形ABHD为矩形，
∴BH=AD=2，DH=AB=6，
设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，
在Rt△DCH中，∵CH2+DH2=DC2，
∴（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴CB=CE= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△MCN的周长=CN+CM+MN
=CN+CM+NF+MF
=CN+CM+NF+MB
=CE+CB
=9．
故选A．
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5．（2018 铁岭质检）如图，△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．20cm B．15cm
C．10cm D．随直线MN的变化而变化
【分析】利用切线长定理得出DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD=10cm，
∴设E、F分别是⊙O的切点，
故DM=MF，FN=EN，AD=AE，
∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．
故选：A．
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6．（2018 薛城质检）如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P=40°，则∠C的度数为（ ）
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A．40° B．140° C．70° D．80°
【分析】连接OA，OB根据切线的性质定 ( http: / / www.21cnjy.com )理，切线垂直于过切点的半径，即可求得∠OAP，∠OBP的度数，根据四边形的内角和定理即可求的∠AOB的度数，然后根据圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵PA是圆的切线．
∴∠OAP=90°，
同理∠OBP=90°，
根据四边形内角和定理可得：
∠AOB=360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P=360°﹣90°﹣90°﹣40°=140°，
∴∠ACB= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOB=70°．
故选C．
( http: / / www.21cnjy.com )
7．（2018 临沂实验月考）如图，PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，若PA=7，则△PCD的周长为（ ）21教育名师原创作品
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A．7 B．14 C．10.5 D．10
【分析】根据从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等和三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，
∴PB=PA=7，CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长=PC+CD+PB
=PC+CE+DE+PD
=PC+CA+DB+PD
=PA+PB=14，
故选：B．
8．（2018 哈尔滨质检）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（ ）2-1-c-n-j-y
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A．12 B．24 C．8 D．6
【分析】由于AE与圆O切于点F，根据切 ( http: / / www.21cnjy.com )线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC；设EF=EC=xcm．则DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm，21cnjy.com
然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△ADE的面积．
【解答】解：∵AE与圆O切于点F，
显然根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC，
设EF=EC=xcm，
则DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm，
在三角形ADE中由勾股定理得：
（4﹣x）2+42=（4+x）2，
∴x=1cm，
∴CE=1cm，
∴DE=4﹣1=3cm，
∴S△ADE=AD DE÷2=3×4÷2=6cm2．
故选D．
9．（2008 东营月考）圆外切等腰梯形的一腰长是8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】直接利用圆外切四边形对边和相等，进而求出即可．
【解答】解：∵圆外切等腰梯形的一腰长是8，
∴梯形对边和为：8+8=16，
则这个等腰梯形的上底与下底长的和为16．
故选：D．
10．（2018 滦县质检）如图，在平面直 ( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．3 C．3 ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．
【解答】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A（﹣6，0）、B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴AB=6 ( http: / / www.21cnjy.com )
∴OP= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵OQ=2，
∴PQ= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选：D．
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二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2018 兰陵质检）如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是 6 ( http: / / www.21cnjy.com ) cm．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】先画图，根据题意求出∠OAB=60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的直径．
【解答】解：∵∠CAD=60°，
∴∠CAB=120°，
∵AB和AC与⊙O相切，
∴∠OAB=∠OAC，
∴∠OAB= ( http: / / www.21cnjy.com )∠CAB=60°
∵AB=3cm，
∴OA=6cm，
∴由勾股定理得OB=3 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，
∴光盘的直径6 ( http: / / www.21cnjy.com )cm．
故答案为：6 ( http: / / www.21cnjy.com )．
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12．（2017 蜀山区校级模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为 2 ．
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【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．
故答案为：2．
13．（2018 杭州质检）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于 1 ．
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【分析】根据切线的性质求得∠APO=30°，∠PAO=90°，再由直角三角形的性质得AO=1．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴∠APO=∠BPO= ( http: / / www.21cnjy.com )∠APB，∠PAO=90°
∵∠APB=60°，
∴∠APO=30°，
∵PO=2，
∴AO=1．
故答案为：1．
14．（201 天津质检）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是 14 ．【版权所有：21教育】
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【分析】由切线长定理可知：AD=AE，BC=BE，因此梯形的周长=2AB+CD，已知了AB和⊙O的半径，由此可求出梯形的周长．
【解答】解：根据切线长定理，得AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是5×2+4=14，
故答案为：14．
15．（2018 烟台月考）已知：PA ( http: / / www.21cnjy.com )、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若PA=15cm，那么△PEF周长是 30 cm．若∠P=50°，那么∠EOF= 65° ．
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【分析】由PA、PB、EF分别切⊙O于 ( http: / / www.21cnjy.com )A、B、D，根据切线长定理可得PA=PB=10cm，ED=EA，FD=DB，则PE+EF+PF=PE+ED+PF+FD=PA+PB，即可得到△PEF的周长；
根据切线的性质得到∠PAO=∠PBO=90°，根据四边形的内角和为360度即可计算出∠AOB；连OD，根据切线的性质得到∠ODE=∠ODF=90°，易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，得∠1=∠2，∠3=∠4，即有∠EOF=∠2+∠3= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOB．
【解答】解：∵PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，
∴PA=PB=15cm，ED=EA，FD=DB，
∴PE+EF+PF=PE+ED+PF+FD=PA+PB=30（cm）即△PEF周长是30cm；
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
而∠P=50°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°；
连OD，如图，
∴∠ODE=∠ODF=90°，
易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOB=65°，则∠EOF=65°．
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16．（2012 重庆模拟）一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为5cm的圆环，当滚到与坡面BC开始相切时停止．其AB=40cm，BC与水平面的夹角为60°．其圆心所经过的路线长是 40﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) cm（结果保留根号）．
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【分析】先作图，连接OD、BD，作DE⊥AB，可证得∠DBE=60°，再由勾股定理求得BE，则圆心所经过的路线长AB﹣BE．21教育网
【解答】解：连接OD、BD，作DE⊥AB，
∵BC与水平面的夹角为60°，
∴∠DBE=60°，
∴∠BDE=30°，
设BE=x，则BD=2x，
∴由勾股定理得4x2﹣x2=25，
解得x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴OD=AE=40﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
故答案为40﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
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三．解答题（共20分）
17．（2017 北湖区校级模拟）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：www.21-cn-jy.com
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
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【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分 ( http: / / www.21cnjy.com )∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；21世纪教育网版权所有
（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；
（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．
【解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBE+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°；
（2）由（1）知，∠BOC=90°．
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴由勾股定理得到：BC= ( http: / / www.21cnjy.com )=10cm，
∴BE+CG=BC=10cm．
（3）∵OF⊥BC，
∴OF= ( http: / / www.21cnjy.com )=4.8cm．
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18．（2018 滕州质检）如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）请写出两个不同类型的正确结论；
（2）若CD=12，tan∠CPO= ( http: / / www.21cnjy.com )，求PO的长．
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【分析】（1）由切线长定理得①PC=PD，② ( http: / / www.21cnjy.com )∠CPO=∠DPA，由垂径定理得③CD⊥BA，④∠CEP=90°，由切割线定理得，⑤PC2=PA PB；
（2）连接OC，由切线长定理得PC=PD，∠CPO=∠DPA，再由垂径定理得DE，则求得CP，即可得OC，最后根据勾股定理得出OP的长．
【解答】解：（1）不同类型的正确结论有：
①PC=PD，②∠CPO=∠DP，③ACD⊥BA，④∠CEP=90°，⑤PC2=PA PB；
（2）连接OC
∵PC、PD分别切⊙O于点C、D
∴PC=PD，∠CPO=∠DPA
∴CD⊥AB
∵CD=12
∴DE=CE= ( http: / / www.21cnjy.com )CD=6．
∵tan∠CPO= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴在Rt△EPC中，PE=12
∴由勾股定理得CP=6 ( http: / / www.21cnjy.com )
∵PC切⊙O于点C
∴∠OCP=90°
在Rt△OPC中，
∵tan∠CPO= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
∴OC=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴OP= ( http: / / www.21cnjy.com )=15．
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