3.8 圆内接正多边形一课一测
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3.8 圆内接正多边形检测
（时间45分钟 满分100分）
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．（2017 沈阳）正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．2 C．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．2 ( http: / / www.21cnjy.com )
2．（2017 株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
3．（2017 河北）已知正方形MNOK ( http: / / www.21cnjy.com )和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使K ( http: / / www.21cnjy.com )M边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
4．（2017 滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．1
5．（2017 达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）21*cnjy*com
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
6．（2017 日照）下列说法正确的是（ ）
A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等
B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点
C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根
D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等
7．（2017 兰州）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣2
8．（2017 莱芜）如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG=18°；②FG=3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；③（S四边形CDEF）2=9+2 ( http: / / www.21cnjy.com )；④DF2﹣DG2=7﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )．其中结论正确的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2017 石家庄模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数y= ( http: / / www.21cnjy.com )位于第一象限的图象上，则k的值为（ ）21教育网
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A．9 ( http: / / www.21cnjy.com ) B．9 ( http: / / www.21cnjy.com ) C．3 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．3 ( http: / / www.21cnjy.com )
10．（2017 西固区校级模拟）周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6间的大小关系是（ ）
A．S3＞S4＞S6 B．S6＞S4＞S3 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3
二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2017 宜宾）如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是 ．
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12．（2017 凉山州）如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ= ．
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13．（2017 济宁）如图，正六边形A1 ( http: / / www.21cnjy.com )B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是 ．
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14．（2017 台州）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是 ．
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15．（2017 玉林）如图，在边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是 ．
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16．（2017 绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为 ．
三．解答题（共20分）
17．（8分）（2017 河南模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空：
①当t= s时，四边形PBQE为菱形；
②当t= s时，四边形PBQE为矩形．
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18．（12分）（2017 武汉模拟）如图，正五边形ABCDE中．
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（1）AC与BE相交于P，求证：四边形PEDC为菱形；
（2）延长DC、AE交于M点，连BM交CE于N，求证：CN=EP；
（3）若正五边形边长为2，直接写出AD的长为 ．
3.8 圆内接正多边形检测
（时间45分钟 满分100分）
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．（2017 沈阳）正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．2 C．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．2 ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】连接OA，OB，根据等边三角形的性质可得⊙O的半径，进而可得出结论．
【解答】解：连接OB，OC，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵正六边形的周长是12，
∴BC=2，
∴⊙O的半径是2，
故选B．
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2．（2017 株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】根据正多边形的中心角的度数即可得到结论．
【解答】解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，
故选A．
3．（2017 河北）已知正方形M ( http: / / www.21cnjy.com )NOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM ( http: / / www.21cnjy.com )边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
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A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )小于等于1，由此即可判断．
【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )小于等于1，
故选C．
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4．（2017 滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．1
【分析】根据题意画出图形，再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图所示，连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=OE，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴OE= ( http: / / www.21cnjy.com )OA= ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选A．
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5．（2017 达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】由于内接正三角形、 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
【解答】解：如图1，
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∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如图2，
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∵OB=2，
∴OE=2×sin45°= ( http: / / www.21cnjy.com )；
如图3，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵OA=2，
∴OD=2×cos30°= ( http: / / www.21cnjy.com )，
则该三角形的三边分别为：1， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵（1）2+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积是： ( http: / / www.21cnjy.com )×1× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选：A．
6．（2017 日照）下列说法正确的是（ ）
A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等
B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点
C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根
D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等
【分析】根据正多边形和圆的关系、一元二次方程根的判别式、点的坐标以及旋转变换的性质进行判断即可．
【解答】解：如图∠AOB= ( http: / / www.21cnjy.com )=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA，
∴圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等，A正确；
在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示不同一点，B错误；
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）不一定有实数根，C错误；
根据旋转变换的性质可知，将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE全等，D错误；2-1-c-n-j-y
故选：A．
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7．（2017 兰州）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（ ）
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A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣2
【分析】根据对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的 ( http: / / www.21cnjy.com )，求出圆内接正方形的边长，即可求解．
【解答】解：连接AO，DO，
∵ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，
AD= ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
圆内接正方形的边长为2 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以阴影部分的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )[4π﹣（2 ( http: / / www.21cnjy.com )）2]=（π﹣2）cm2．
故选D．
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8．（2017 莱芜）如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG=18°；②FG=3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；③（S四边形CDEF）2=9+2 ( http: / / www.21cnjy.com )；④DF2﹣DG2=7﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )．其中结论正确的个数是（ ）【版权所有：21教育】
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A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①先根据正五方形ABCDE的性质得：∠ABC=180°﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=108°，由等边对等角可得：∠BAC=∠ACB=36°，再利用角相等求BC=CF=CD，得∠CDF=∠CFD= ( http: / / www.21cnjy.com )=54°，可得∠FDG=18°；
②证明△ABF∽△ACB，得 ( http: / / www.21cnjy.com )，代入可得FG的长；
③如图1，先证明四边形CDEF是平行四边形，根据平行四边形的面积公式可得：（S四边形CDEF）2=EF2 DM2=4× ( http: / / www.21cnjy.com )=10+2 ( http: / / www.21cnjy.com )；
④如图2， CDEF是菱形，先计算EC=BE=4﹣FG=1+ ( http: / / www.21cnjy.com )，由S四边形CDEF= ( http: / / www.21cnjy.com )FD EC=2× ( http: / / www.21cnjy.com )，可得FD2=10﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )，计算可得结论．
【解答】解：①∵五方形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC，∠ABC=180°﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=108°，
∴∠BAC=∠ACB=36°，
∴∠ACD=108°﹣36°=72°，
同理得：∠ADE=36°，
∵∠BAE=108°，AB=AE，
∴∠ABE=36°，
∴∠CBF=108°﹣36°=72°，
∴BC=FC，
∵BC=CD，
∴CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD= ( http: / / www.21cnjy.com )=54°，
∴∠FDG=∠CDE﹣∠CDF﹣∠ADE=108°﹣54°﹣36°=18°；
所以①正确；
②∵∠ABE=∠ACB=36°，∠BAC=∠BAF，
∴△ABF∽△ACB，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AB ED=AC EG，
∵AB=ED=2，AC=BE=BG+EF﹣FG=2AB﹣FG=4﹣FG，EG=BG﹣FG=2﹣FG，
∴22=（2﹣FG）（4﹣FG），
∴FG=3+ ( http: / / www.21cnjy.com )＞2（舍），FG=3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
所以②正确；
③如图1，∵∠EBC=72°，∠BCD=108°，
∴∠EBC+∠BCD=180°，
∴EF∥CD，
∵EF=CD=2，
∴四边形CDEF是平行四边形，
过D作DM⊥EG于M，
∵DG=DE，
∴EM=MG= ( http: / / www.21cnjy.com )EG= ( http: / / www.21cnjy.com )（EF﹣FG）= ( http: / / www.21cnjy.com )（2﹣3+ ( http: / / www.21cnjy.com )）= ( http: / / www.21cnjy.com )，
由勾股定理得：DM= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴（S四边形CDEF）2=EF2 DM2=4× ( http: / / www.21cnjy.com )=10+2 ( http: / / www.21cnjy.com )；
所以③不正确；
④如图2，连接EC，
∵EF=ED，
∴ CDEF是菱形，
∴FD⊥EC，
∵EC=BE=4﹣FG=4﹣（3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）=1+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴S四边形CDEF= ( http: / / www.21cnjy.com )FD EC=2× ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )×FD×（1+ ( http: / / www.21cnjy.com )）= ( http: / / www.21cnjy.com )，
FD2=10﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴DF2﹣DG2=10﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣4=6﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
所以④不正确；
本题正确的有两个，
故选B．
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9．（2017 石家庄模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数y= ( http: / / www.21cnjy.com )位于第一象限的图象上，则k的值为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．9 ( http: / / www.21cnjy.com ) B．9 ( http: / / www.21cnjy.com ) C．3 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．3 ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】连接OB，过B作BG⊥OA于G，得出等边三角形OBA，求出OB，求出OG、BG，得出B的坐标，即可去除答案．21cnjy.com
【解答】解： ( http: / / www.21cnjy.com )
连接OB，过B作BG⊥OA于G，
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=OA=AB=6，
∵BG⊥OA，
∴∠BGO=90°，
∴∠OBG=30°，
∴OG= ( http: / / www.21cnjy.com )OB=3，由勾股定理得：BG=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，
即B的坐标是（3，3 ( http: / / www.21cnjy.com )），
∵B点在反比例函数y= ( http: / / www.21cnjy.com )上，
∴k=3×3 ( http: / / www.21cnjy.com )=9 ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选B．
10．（2017 西固区校级模拟）周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6间的大小关系是（ ）www.21-cn-jy.com
A．S3＞S4＞S6 B．S6＞S4＞S3 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3
【分析】先根据题意画出图形设出正六边形的边长，再根据正三角形、正方形、正六边形的周长都相等求出各图形的边长，再分别求出其面积即可．
【解答】解：设正六边形的边长为a，如图所示，
则正△ABC的边长为2a，正方形ABCD的边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
如图（1），过A作AD⊥BC，D为垂足；
∵△ABC是等边三角形，BC=2a，
∴BD=a，由勾股定理得，AD= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )a，
∴S3=S△ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )BC AD= ( http: / / www.21cnjy.com )×2a× ( http: / / www.21cnjy.com )a= ( http: / / www.21cnjy.com )a2≈1.73a2．
如图（2），∵四边形ABCD是正方形，
∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴S4=S□ABCD=AB2= ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )a2≈2.25a2．
如图（3），过O作OG⊥BC，G为垂足，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC= ( http: / / www.21cnjy.com )=60°，
∴∠BOG=30°，OG= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )a．
∴S△BOC= ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )a×a= ( http: / / www.21cnjy.com )a2，
∴S6=6S△BOC=6× ( http: / / www.21cnjy.com )a= ( http: / / www.21cnjy.com )a2≈2.59a2．
∵2.59a2＞2.25a2＞1.73a2．
∴S6＞S4＞S3．
故选：B．
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二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2017 宜宾）如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1 ．21·世纪*教育网
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【分析】在⊙O的内接正五 ( http: / / www.21cnjy.com )边形ABCDE中，设EG=x，易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，∠BAG=∠AGB=72°，推出AB=BG=AE=2，由△AEG∽△BEA，可得AE2=EG EB，可得22=x（x+2），解方程即可．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x，
易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，
∠BAG=∠AGB=72°，
∴AB=BG=AE=2，
∵∠AEG=∠AEB，∠EAG=∠EBA，
∴△AEG∽△BEA，
∴AE2=EG EB，
∴22=x（x+2），
解得x=﹣1+ ( http: / / www.21cnjy.com )或﹣1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴EG= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1，
故答案为 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1．
12．（2017 凉山州）如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ= 72° ．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】连接OA、OB、OC，证明△OBP≌△OCQ，根据全等三角形的性质得到∠BOP=∠COQ，结合图形计算即可．21教育名师原创作品
【解答】解：连接OA、OB、OC，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠AOB=∠BOC=72°，
∵OA=OB，OB=OC，
∴∠OBA=∠OCB=54°，
在△OBP和△OCQ中，
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∴△OBP≌△OCQ，
∴∠BOP=∠COQ，
∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠BOP=∠QOC，
∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠POQ=∠BOC=72°．
故答案为：72°．
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13．（2017 济宁）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是 ( http: / / www.21cnjy.com ) ．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】由正六边形的性质得：∠A1B1B2=90°，∠B1A1B2=30°，A1A2=A2B2，由直角三角形的性质得出B1B2= ( http: / / www.21cnjy.com )A1B1= ( http: / / www.21cnjy.com )，A2B2= ( http: / / www.21cnjy.com )A1B2=B1B2= ( http: / / www.21cnjy.com )，由相似多边形的性质得出正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )，求出正六边形A1B1C1D1E1F1的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )，得出正六边形A2B2C2D2E2F2的面积，同理得出正六边形A4B4C4D4E4F4的面积．
【解答】解：由正六边形的性质得：∠A1B1B2=90°，∠B1A1B2=30°，A1A2=A2B2，
∴B1B2= ( http: / / www.21cnjy.com )A1B1= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴A2B2= ( http: / / www.21cnjy.com )A1B2=B1B2= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积=（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积=6× ( http: / / www.21cnjy.com )×1× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积=（ ( http: / / www.21cnjy.com )）3× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )；
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com )．
14．（2017 台州）如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是 ( http: / / www.21cnjy.com )≤a≤3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】当正方形ABCD的顶点A、B、 ( http: / / www.21cnjy.com )C、D在正六边形的边上时，正方形的边长的值最大，解直角三角形得到a，当正方形ABCD的对角线AC在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长a的值最小，AC是正方形的对角线，解直角三角形即可得到结论．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：①当正方形ABCD的对角线AC在正六边形一组平行的对边的中点上时，
正方形边长a的值最小，AC是正方形的对角线，
∴AC=A′D= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴a= ( http: / / www.21cnjy.com )，
②当正方形ABCD的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长a的值最大，AC是正方形的对角线AC，
设A′（t， ( http: / / www.21cnjy.com )）时，正方形的边长最大，
∵OB′⊥OA′，
∴B′（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，t），
设直线MN的解析式为y=kx+b，M（﹣1，0），N（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )），
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴直线MN的解析式为y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
将B′（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，t）代入得t= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
此时，A′B′取最大值，
∴a= ( http: / / www.21cnjy.com )=3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴正方形边长a的取值范围是： ( http: / / www.21cnjy.com )≤a≤3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com )≤a≤3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
15．（2017 玉林）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是 8+8 ( http: / / www.21cnjy.com ) ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】根据题意可知形成的四个小的直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形全等，并且四个都是等腰直角三角形，从而可以求得四边形ABCD一边的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．21·cn·jy·com
【解答】解：由题意可得，
AD=2+ ( http: / / www.21cnjy.com )×2=2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴四边形ABCD的周长是：4×（2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )）=8+8 ( http: / / www.21cnjy.com )，
故答案为：8+8 ( http: / / www.21cnjy.com )．
16．（2017 绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为 1： ( http: / / www.21cnjy.com )： ( http: / / www.21cnjy.com ) ．
【分析】根据题意可以求得半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距，从而可以求得它们的比值．2·1·c·n·j·y
【解答】解：由题意可得，
正三角形的边心距是：2×sin30°=2× ( http: / / www.21cnjy.com )=1，
正四边形的边心距是：2×sin45°=2× ( http: / / www.21cnjy.com )，
正六边形的边心距是：2×sin60°=2× ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为：1： ( http: / / www.21cnjy.com )： ( http: / / www.21cnjy.com )，
故答案为：1： ( http: / / www.21cnjy.com )： ( http: / / www.21cnjy.com )．
三．解答题（共20分）
17．（8分）（2017 河南模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空：
①当t= 2 s时，四边形PBQE为菱形；
②当t= 0或4 s时，四边形PBQE为矩形．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】（1）只要证明△ABP≌△DEQ（SAS），可得BP=EQ，同理PE=BQ，由此即可证明；
（2）①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s；
②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30° ( http: / / www.21cnjy.com )，推出∠BPE=120°﹣30°=90°，推出此时四边形PBQE是矩形．当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形；
【解答】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，
∴AP=DQ=t，PF=QC=4﹣t，
在△ABP和△DEQ中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP=EQ，同理可证PE=QB，
∴四边形PEQB是平行四边形．
（2）解：①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s．
②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，
∴∠BPE=120°﹣30°=90°，
∴此时四边形PBQE是矩形．
当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形．
综上所述，t=0s或4s时，四边形PBQE是矩形．
故答案为2s，0s或4s．
( http: / / www.21cnjy.com )
18．（12分）（2017 武汉模拟）如图，正五边形ABCDE中．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）AC与BE相交于P，求证：四边形PEDC为菱形；
（2）延长DC、AE交于M点，连BM交CE于N，求证：CN=EP；
（3）若正五边形边长为2，直接写出AD的长为 ( http: / / www.21cnjy.com )+1 ．
【分析】（1）只要证明∠DCB+∠CBE=180°，可得CD∥BE，同法可证AC∥ED，由此即可证明；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）如图2中，连接AN．首先证明CN=AN，再证明△PAE≌△NEA，即可解决问题；
（3）如图3中．在AD上取一点W，使得AW=WE．设AW=x．由△AWE∽△AED，可得AE2=AW AD，构建方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD=∠BAE=108°，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=36°，
∴∠CBE=72°，
∴∠DCB+∠CBE=180°，
∴CD∥BE，
同法可证，AC∥DE，
∴∴四边形PEDC是平行四边形，
∵CD=DE，
∴四边形PEDC是菱形；
（2）证明：如图2中，连接AN．
( http: / / www.21cnjy.com )
∵∠MCA=∠MAC=72°，
∴MC=MA，
∵BC=BA，
∴BM垂直平分线段AC，
∴NC=NA，
∴∠NCA=∠NAC=∠CEP=36°，
∵∠PAE=∠NEA=72°，
∴∠PEA=∠NAE=36°，
∵AE=EA，
∴△PAE≌△NEA，
∴AN=PE，
∴CN=PE．
（3）解：如图3中．在AD上取一点W，使得AW=WE．设AW=x．
( http: / / www.21cnjy.com )
∵∠A=∠D=∠AEW=36°，
∴∠DWE=∠DEW=72°，
∴DW=DE=2，
∵∠A=∠A，∠AEW=∠D，
∴△AWE∽△AED，
∴AE2=AW AD，
∴22=x（x+2），
解得x= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1，
∴AD=2+x= ( http: / / www.21cnjy.com )+1，
故答案为 ( http: / / www.21cnjy.com )+1．
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3.8 圆内接正多边形检测
（时间45分钟 满分100分）
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．（2017 沈阳）正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．2 C．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．2 ( http: / / www.21cnjy.com )
2．（2017 株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
3．（2017 河北）已知正方形MNOK ( http: / / www.21cnjy.com )和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使K ( http: / / www.21cnjy.com )M边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
4．（2017 滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．1
5．（2017 达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）21*cnjy*com
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
6．（2017 日照）下列说法正确的是（ ）
A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等
B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点
C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根
D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等
7．（2017 兰州）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣2
8．（2017 莱芜）如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG=18°；②FG=3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；③（S四边形CDEF）2=9+2 ( http: / / www.21cnjy.com )；④DF2﹣DG2=7﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )．其中结论正确的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2017 石家庄模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数y= ( http: / / www.21cnjy.com )位于第一象限的图象上，则k的值为（ ）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
A．9 ( http: / / www.21cnjy.com ) B．9 ( http: / / www.21cnjy.com ) C．3 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．3 ( http: / / www.21cnjy.com )
10．（2017 西固区校级模拟）周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6间的大小关系是（ ）
A．S3＞S4＞S6 B．S6＞S4＞S3 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3
二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2017 宜宾）如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
12．（2017 凉山州）如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ= ．
( http: / / www.21cnjy.com )
13．（2017 济宁）如图，正六边形A1 ( http: / / www.21cnjy.com )B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
14．（2017 台州）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
15．（2017 玉林）如图，在边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
16．（2017 绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为 ．
三．解答题（共20分）
17．（8分）（2017 河南模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空：
①当t= s时，四边形PBQE为菱形；
②当t= s时，四边形PBQE为矩形．
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18．（12分）（2017 武汉模拟）如图，正五边形ABCDE中．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）AC与BE相交于P，求证：四边形PEDC为菱形；
（2）延长DC、AE交于M点，连BM交CE于N，求证：CN=EP；
（3）若正五边形边长为2，直接写出AD的长为 ．
3.8 圆内接正多边形检测
（时间45分钟 满分100分）
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．（2017 沈阳）正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．2 C．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．2 ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】连接OA，OB，根据等边三角形的性质可得⊙O的半径，进而可得出结论．
【解答】解：连接OB，OC，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵正六边形的周长是12，
∴BC=2，
∴⊙O的半径是2，
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．（2017 株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】根据正多边形的中心角的度数即可得到结论．
【解答】解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，
故选A．
3．（2017 河北）已知正方形M ( http: / / www.21cnjy.com )NOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM ( http: / / www.21cnjy.com )边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
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A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )小于等于1，由此即可判断．
【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )小于等于1，
故选C．
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4．（2017 滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．1
【分析】根据题意画出图形，再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图所示，连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=OE，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴OE= ( http: / / www.21cnjy.com )OA= ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选A．
( http: / / www.21cnjy.com )
5．（2017 达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】由于内接正三角形、 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
【解答】解：如图1，
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∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如图2，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵OB=2，
∴OE=2×sin45°= ( http: / / www.21cnjy.com )；
如图3，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵OA=2，
∴OD=2×cos30°= ( http: / / www.21cnjy.com )，
则该三角形的三边分别为：1， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵（1）2+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积是： ( http: / / www.21cnjy.com )×1× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选：A．
6．（2017 日照）下列说法正确的是（ ）
A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等
B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点
C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根
D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等
【分析】根据正多边形和圆的关系、一元二次方程根的判别式、点的坐标以及旋转变换的性质进行判断即可．
【解答】解：如图∠AOB= ( http: / / www.21cnjy.com )=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA，
∴圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等，A正确；
在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示不同一点，B错误；
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）不一定有实数根，C错误；
根据旋转变换的性质可知，将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE全等，D错误；2-1-c-n-j-y
故选：A．
( http: / / www.21cnjy.com )
7．（2017 兰州）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣2
【分析】根据对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的 ( http: / / www.21cnjy.com )，求出圆内接正方形的边长，即可求解．
【解答】解：连接AO，DO，
∵ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，
AD= ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
圆内接正方形的边长为2 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以阴影部分的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )[4π﹣（2 ( http: / / www.21cnjy.com )）2]=（π﹣2）cm2．
故选D．
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8．（2017 莱芜）如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG=18°；②FG=3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；③（S四边形CDEF）2=9+2 ( http: / / www.21cnjy.com )；④DF2﹣DG2=7﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )．其中结论正确的个数是（ ）【版权所有：21教育】
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A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①先根据正五方形ABCDE的性质得：∠ABC=180°﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=108°，由等边对等角可得：∠BAC=∠ACB=36°，再利用角相等求BC=CF=CD，得∠CDF=∠CFD= ( http: / / www.21cnjy.com )=54°，可得∠FDG=18°；
②证明△ABF∽△ACB，得 ( http: / / www.21cnjy.com )，代入可得FG的长；
③如图1，先证明四边形CDEF是平行四边形，根据平行四边形的面积公式可得：（S四边形CDEF）2=EF2 DM2=4× ( http: / / www.21cnjy.com )=10+2 ( http: / / www.21cnjy.com )；
④如图2， CDEF是菱形，先计算EC=BE=4﹣FG=1+ ( http: / / www.21cnjy.com )，由S四边形CDEF= ( http: / / www.21cnjy.com )FD EC=2× ( http: / / www.21cnjy.com )，可得FD2=10﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )，计算可得结论．
【解答】解：①∵五方形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC，∠ABC=180°﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=108°，
∴∠BAC=∠ACB=36°，
∴∠ACD=108°﹣36°=72°，
同理得：∠ADE=36°，
∵∠BAE=108°，AB=AE，
∴∠ABE=36°，
∴∠CBF=108°﹣36°=72°，
∴BC=FC，
∵BC=CD，
∴CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD= ( http: / / www.21cnjy.com )=54°，
∴∠FDG=∠CDE﹣∠CDF﹣∠ADE=108°﹣54°﹣36°=18°；
所以①正确；
②∵∠ABE=∠ACB=36°，∠BAC=∠BAF，
∴△ABF∽△ACB，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AB ED=AC EG，
∵AB=ED=2，AC=BE=BG+EF﹣FG=2AB﹣FG=4﹣FG，EG=BG﹣FG=2﹣FG，
∴22=（2﹣FG）（4﹣FG），
∴FG=3+ ( http: / / www.21cnjy.com )＞2（舍），FG=3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
所以②正确；
③如图1，∵∠EBC=72°，∠BCD=108°，
∴∠EBC+∠BCD=180°，
∴EF∥CD，
∵EF=CD=2，
∴四边形CDEF是平行四边形，
过D作DM⊥EG于M，
∵DG=DE，
∴EM=MG= ( http: / / www.21cnjy.com )EG= ( http: / / www.21cnjy.com )（EF﹣FG）= ( http: / / www.21cnjy.com )（2﹣3+ ( http: / / www.21cnjy.com )）= ( http: / / www.21cnjy.com )，
由勾股定理得：DM= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴（S四边形CDEF）2=EF2 DM2=4× ( http: / / www.21cnjy.com )=10+2 ( http: / / www.21cnjy.com )；
所以③不正确；
④如图2，连接EC，
∵EF=ED，
∴ CDEF是菱形，
∴FD⊥EC，
∵EC=BE=4﹣FG=4﹣（3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）=1+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴S四边形CDEF= ( http: / / www.21cnjy.com )FD EC=2× ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )×FD×（1+ ( http: / / www.21cnjy.com )）= ( http: / / www.21cnjy.com )，
FD2=10﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴DF2﹣DG2=10﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣4=6﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
所以④不正确；
本题正确的有两个，
故选B．
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9．（2017 石家庄模拟）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数y= ( http: / / www.21cnjy.com )位于第一象限的图象上，则k的值为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．9 ( http: / / www.21cnjy.com ) B．9 ( http: / / www.21cnjy.com ) C．3 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．3 ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】连接OB，过B作BG⊥OA于G，得出等边三角形OBA，求出OB，求出OG、BG，得出B的坐标，即可去除答案．21cnjy.com
【解答】解： ( http: / / www.21cnjy.com )
连接OB，过B作BG⊥OA于G，
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=OA=AB=6，
∵BG⊥OA，
∴∠BGO=90°，
∴∠OBG=30°，
∴OG= ( http: / / www.21cnjy.com )OB=3，由勾股定理得：BG=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，
即B的坐标是（3，3 ( http: / / www.21cnjy.com )），
∵B点在反比例函数y= ( http: / / www.21cnjy.com )上，
∴k=3×3 ( http: / / www.21cnjy.com )=9 ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选B．
10．（2017 西固区校级模拟）周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6间的大小关系是（ ）www.21-cn-jy.com
A．S3＞S4＞S6 B．S6＞S4＞S3 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S3
【分析】先根据题意画出图形设出正六边形的边长，再根据正三角形、正方形、正六边形的周长都相等求出各图形的边长，再分别求出其面积即可．
【解答】解：设正六边形的边长为a，如图所示，
则正△ABC的边长为2a，正方形ABCD的边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
如图（1），过A作AD⊥BC，D为垂足；
∵△ABC是等边三角形，BC=2a，
∴BD=a，由勾股定理得，AD= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )a，
∴S3=S△ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )BC AD= ( http: / / www.21cnjy.com )×2a× ( http: / / www.21cnjy.com )a= ( http: / / www.21cnjy.com )a2≈1.73a2．
如图（2），∵四边形ABCD是正方形，
∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴S4=S□ABCD=AB2= ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )a2≈2.25a2．
如图（3），过O作OG⊥BC，G为垂足，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC= ( http: / / www.21cnjy.com )=60°，
∴∠BOG=30°，OG= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )a．
∴S△BOC= ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )a×a= ( http: / / www.21cnjy.com )a2，
∴S6=6S△BOC=6× ( http: / / www.21cnjy.com )a= ( http: / / www.21cnjy.com )a2≈2.59a2．
∵2.59a2＞2.25a2＞1.73a2．
∴S6＞S4＞S3．
故选：B．
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二．填空题（每小题5分，共30分）
11．（2017 宜宾）如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1 ．21·世纪*教育网
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【分析】在⊙O的内接正五 ( http: / / www.21cnjy.com )边形ABCDE中，设EG=x，易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，∠BAG=∠AGB=72°，推出AB=BG=AE=2，由△AEG∽△BEA，可得AE2=EG EB，可得22=x（x+2），解方程即可．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x，
易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，
∠BAG=∠AGB=72°，
∴AB=BG=AE=2，
∵∠AEG=∠AEB，∠EAG=∠EBA，
∴△AEG∽△BEA，
∴AE2=EG EB，
∴22=x（x+2），
解得x=﹣1+ ( http: / / www.21cnjy.com )或﹣1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴EG= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1，
故答案为 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1．
12．（2017 凉山州）如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ= 72° ．【出处：21教育名师】
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【分析】连接OA、OB、OC，证明△OBP≌△OCQ，根据全等三角形的性质得到∠BOP=∠COQ，结合图形计算即可．21教育名师原创作品
【解答】解：连接OA、OB、OC，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠AOB=∠BOC=72°，
∵OA=OB，OB=OC，
∴∠OBA=∠OCB=54°，
在△OBP和△OCQ中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△OBP≌△OCQ，
∴∠BOP=∠COQ，
∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠BOP=∠QOC，
∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠POQ=∠BOC=72°．
故答案为：72°．
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13．（2017 济宁）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是 ( http: / / www.21cnjy.com ) ．21*cnjy*com
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【分析】由正六边形的性质得：∠A1B1B2=90°，∠B1A1B2=30°，A1A2=A2B2，由直角三角形的性质得出B1B2= ( http: / / www.21cnjy.com )A1B1= ( http: / / www.21cnjy.com )，A2B2= ( http: / / www.21cnjy.com )A1B2=B1B2= ( http: / / www.21cnjy.com )，由相似多边形的性质得出正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )，求出正六边形A1B1C1D1E1F1的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )，得出正六边形A2B2C2D2E2F2的面积，同理得出正六边形A4B4C4D4E4F4的面积．
【解答】解：由正六边形的性质得：∠A1B1B2=90°，∠B1A1B2=30°，A1A2=A2B2，
∴B1B2= ( http: / / www.21cnjy.com )A1B1= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴A2B2= ( http: / / www.21cnjy.com )A1B2=B1B2= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积=（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积=6× ( http: / / www.21cnjy.com )×1× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积=（ ( http: / / www.21cnjy.com )）3× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )；
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com )．
14．（2017 台州）如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是 ( http: / / www.21cnjy.com )≤a≤3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】当正方形ABCD的顶点A、B、 ( http: / / www.21cnjy.com )C、D在正六边形的边上时，正方形的边长的值最大，解直角三角形得到a，当正方形ABCD的对角线AC在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长a的值最小，AC是正方形的对角线，解直角三角形即可得到结论．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：①当正方形ABCD的对角线AC在正六边形一组平行的对边的中点上时，
正方形边长a的值最小，AC是正方形的对角线，
∴AC=A′D= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴a= ( http: / / www.21cnjy.com )，
②当正方形ABCD的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长a的值最大，AC是正方形的对角线AC，
设A′（t， ( http: / / www.21cnjy.com )）时，正方形的边长最大，
∵OB′⊥OA′，
∴B′（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，t），
设直线MN的解析式为y=kx+b，M（﹣1，0），N（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )），
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴直线MN的解析式为y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
将B′（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，t）代入得t= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
此时，A′B′取最大值，
∴a= ( http: / / www.21cnjy.com )=3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴正方形边长a的取值范围是： ( http: / / www.21cnjy.com )≤a≤3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com )≤a≤3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
15．（2017 玉林）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是 8+8 ( http: / / www.21cnjy.com ) ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】根据题意可知形成的四个小的直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形全等，并且四个都是等腰直角三角形，从而可以求得四边形ABCD一边的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．21·cn·jy·com
【解答】解：由题意可得，
AD=2+ ( http: / / www.21cnjy.com )×2=2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴四边形ABCD的周长是：4×（2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )）=8+8 ( http: / / www.21cnjy.com )，
故答案为：8+8 ( http: / / www.21cnjy.com )．
16．（2017 绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为 1： ( http: / / www.21cnjy.com )： ( http: / / www.21cnjy.com ) ．
【分析】根据题意可以求得半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距，从而可以求得它们的比值．2·1·c·n·j·y
【解答】解：由题意可得，
正三角形的边心距是：2×sin30°=2× ( http: / / www.21cnjy.com )=1，
正四边形的边心距是：2×sin45°=2× ( http: / / www.21cnjy.com )，
正六边形的边心距是：2×sin60°=2× ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为：1： ( http: / / www.21cnjy.com )： ( http: / / www.21cnjy.com )，
故答案为：1： ( http: / / www.21cnjy.com )： ( http: / / www.21cnjy.com )．
三．解答题（共20分）
17．（8分）（2017 河南模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空：
①当t= 2 s时，四边形PBQE为菱形；
②当t= 0或4 s时，四边形PBQE为矩形．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】（1）只要证明△ABP≌△DEQ（SAS），可得BP=EQ，同理PE=BQ，由此即可证明；
（2）①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s；
②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30° ( http: / / www.21cnjy.com )，推出∠BPE=120°﹣30°=90°，推出此时四边形PBQE是矩形．当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形；
【解答】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，
∴AP=DQ=t，PF=QC=4﹣t，
在△ABP和△DEQ中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP=EQ，同理可证PE=QB，
∴四边形PEQB是平行四边形．
（2）解：①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s．
②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，
∴∠BPE=120°﹣30°=90°，
∴此时四边形PBQE是矩形．
当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形．
综上所述，t=0s或4s时，四边形PBQE是矩形．
故答案为2s，0s或4s．
( http: / / www.21cnjy.com )
18．（12分）（2017 武汉模拟）如图，正五边形ABCDE中．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）AC与BE相交于P，求证：四边形PEDC为菱形；
（2）延长DC、AE交于M点，连BM交CE于N，求证：CN=EP；
（3）若正五边形边长为2，直接写出AD的长为 ( http: / / www.21cnjy.com )+1 ．
【分析】（1）只要证明∠DCB+∠CBE=180°，可得CD∥BE，同法可证AC∥ED，由此即可证明；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）如图2中，连接AN．首先证明CN=AN，再证明△PAE≌△NEA，即可解决问题；
（3）如图3中．在AD上取一点W，使得AW=WE．设AW=x．由△AWE∽△AED，可得AE2=AW AD，构建方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD=∠BAE=108°，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=36°，
∴∠CBE=72°，
∴∠DCB+∠CBE=180°，
∴CD∥BE，
同法可证，AC∥DE，
∴∴四边形PEDC是平行四边形，
∵CD=DE，
∴四边形PEDC是菱形；
（2）证明：如图2中，连接AN．
( http: / / www.21cnjy.com )
∵∠MCA=∠MAC=72°，
∴MC=MA，
∵BC=BA，
∴BM垂直平分线段AC，
∴NC=NA，
∴∠NCA=∠NAC=∠CEP=36°，
∵∠PAE=∠NEA=72°，
∴∠PEA=∠NAE=36°，
∵AE=EA，
∴△PAE≌△NEA，
∴AN=PE，
∴CN=PE．
（3）解：如图3中．在AD上取一点W，使得AW=WE．设AW=x．
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∵∠A=∠D=∠AEW=36°，
∴∠DWE=∠DEW=72°，
∴DW=DE=2，
∵∠A=∠A，∠AEW=∠D，
∴△AWE∽△AED，
∴AE2=AW AD，
∴22=x（x+2），
解得x= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1，
∴AD=2+x= ( http: / / www.21cnjy.com )+1，
故答案为 ( http: / / www.21cnjy.com )+1．
( http: / / www.21cnjy.com )
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