2018春人教版八年级数学下册（广东）期末复习（二） 勾股定理学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 2018春人教版八年级数学下册（广东）期末复习（二） 勾股定理学案（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 216.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-12-26 21:55:31 | ||
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文档简介
广东期末复习(二) 勾股定理
01 知识结构图
本章内容在广东的中考中考查的频率比较高，每年都会考查．考查时不单独考查，常与垂直平分线、平行四边形、矩形、圆等综合考查，通常是作为解题工具求长度或者证明线段的数量关系．因此本章属于广东中考中的基础内容，复习时需熟练掌握．21世纪教育网版权所有
02 重难点突破)
重难点1 勾股定理的证明
【例1】 以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a＋b为高的直角梯形(如图2)，请你利用图2，验证勾股定理．www.21-cn-jy.com
图1 图2
【思路点拨】 利用梯形面积的两种算法列出等式证明．
【解答】
勾股定理的证明是用面积法证明恒等式的方法，通过不同的方式表示同一个图形的面积．
1．(2017·广州四校联考期中)如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA＝CD，点E在线段CA上，且满足DE＝AB，连接DE并延长交AB于点F.21·cn·jy·com
(1)求证：DE⊥AB；
(2)若已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，设EF＝x，则△ABD的面积用代数式可表示为S△ABD＝c(c＋x)，你能借助本题提供的图形证明勾股定理吗？试一试吧．2·1·c·n·j·y
重难点2 勾股定理及其逆定理
【例2】 如图，每个小正方形的边长为1.
(1)求四边形ABCD的周长；
(2)求证：∠C＝90°.
【思路点拨】 (1)利用勾股定理求出四边形的各边长；(2)求出△BCD的三边长，利用勾股定理的逆定理证明．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】
正方形网格中的两个格点之间的距离可以用勾股定理求出．勾股定理的逆定理是证明一个角等于90°的一种思路．本题的第(2)问还可以通过两个三角形全等来证明．21·世纪*教育网
2．△ABC中，AB＝13 cm，AC＝15 cm，高AD＝12，则BC的长为()
A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对
3．如图，已知：在正方形ABCD中，E是BC中点，F在AB上，且AF∶FB＝3∶1.请判断EF与DE的位置关系，与同学交流，并说明理由．www-2-1-cnjy-com
重难点3 勾股定理在实际生活问题中的应用
【例3】 如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下方法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD＝30°；小丽沿岸向前走30 m选取点B，并测得∠CBD＝60°.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．
【思路点拨】 过点C作CE⊥AD于点E.先根据等腰三角形的性质得出BC的长，再在Rt△BCE中，利用勾股定理和直角三角形中30°角的性质求出CE的值即可．21*cnjy*com
【解答】
利用勾股定理解决生活中的实际问题，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形，再合理地设出未知数，利用勾股定理求解．【来源：21cnj*y.co*m】
4．如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2 km，BB1＝4 km，A1B1＝8 km.现要在高速公路上A1B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？21cnjy.com
重难点4 图形的折叠与勾股定理
【例4】 如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处．已知CE＝3，AB＝8，则BF＝____________2-1-c-n-j-y
.
【思路点拨】 在Rt△EFC中，先根据折叠的性质和勾股定理求出CF的长．再设BF＝x，并用含x的代数式表示出AF，在Rt△ABF中，利用勾股定理即可求出BF的长．21教育网
解决关于折叠的问题时，常常利用折叠得全等，从而得边、角相等，进而把条件转化到一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求得线段长度．【版权所有：21教育】
5．如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为()【出处：21教育名师】
A. B. C．4 D．5
03 备考集训
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．(2017·广州南沙区期末)以下列各组数为边长首尾相连，能构成直角三角形的一组是()
A．2，3，4 B．1，2， C．5，12，17 D．6，8，12
2．在Rt△ABC中，a，b为直角边，c为斜边．若a＋b＝21，c＝15，则△ABC的面积是()
A．25 B．54 C．63 D．无法确定
3．下列各命题的逆命题成立的是()
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
4．要登上12 m高的建筑物，为了安全需使梯子底端离建筑物5 m，则梯子的长度至少为()
A．12 m B．13 m C．14 m D．15 m
5．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是()
6．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是()
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对
第6题图 第7题图
7．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为()
A．3 B．6 C．3 D.
8．已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋＋＝0，那么下列说法中不正确的是()
A．这个三角形是直角三角形 B．这个三角形的最长边长是10
C．这个三角形的面积是48 D．这个三角形的最长边上的高是4.8
9．设a，b是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是()
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
10．如图，已知圆柱底面的周长为4 dm，圆柱高为2 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为()
A．4 dm B．2 dm C．2 dm D．4 dm
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11．如果三角形的三边分别为，，2，那么这个三角形的最大角的度数为____________．
12．如图，数轴上点A表示的数是____________．
第12题图 第13题图
13．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于____________．
14．已知|x－12|＋(y－13)2和z2－10z＋25互为相反数，则以x，y，z为三边的三角形是____________三角形．
15．如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为____________．
第15题图 第16题图
16．如图，在离水面高度为5 m的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5 m收绳．则当收绳8秒后船向岸边移动了____________m(结果保留根号)．
三、解答题(共46分)
17．(6分)如图，已知某山的高度AC为800米，从山上A处与山下B处各建一个索道口，且BC＝1 500米，欢欢从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？
18．(8分)已知，如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10，AD是BC边上的高，求BC的长．
19．(10分)在△ABC中，a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2，其中m，n是正整数，且m＞n，试判断△ABC是不是直角三角形．
20．(10分)如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24.
(1)证明：△ABC是直角三角形；
(2)请求图中阴影部分的面积．
21．(12分)给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
(2)如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB＝30°.
①求证：△BCE是等边三角形；
②求证：DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
广东期末复习(二) 勾股定理
例1 ∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC.又∵∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°.∴∠AED＝90°.∵S梯形ABCD＝SRt△ABE＋SRt△DEC＋SRt△AED，∴(a＋b)(a＋b)＝ab＋ab＋c2.整理，得a2＋b2＝c2.
例2 (1)根据勾股定理可知：AB＝3，BC＝，CD＝，AD＝5，∴四边形ABCD的周长为8＋2.(2)证明：连接BD.∵BC＝，CD＝，DB＝2，∴BC2＋CD2＝BD2.∴△BCD是直角三角形，即∠C＝90°.
例3 过点C作CE⊥AD于点E.由题意得，AB＝30 m，∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝∠CAB＝30°.∴AB＝BC＝30 m．在Rt△BCE中，∵∠CBD＝60°，∴∠BCE＝30°.∴BE＝BC＝15 m．又∵BC2＝BE2＋CE2，∴CE＝＝＝15(m)．答：小河的宽度为15 m.
例4 6
变式训练
1．(1)证明：在Rt△ABC和Rt△DEC中，∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)．∴∠BAC＝∠EDC.∵∠AEF＝∠DEC，∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠BAC＋∠AEF＝∠EDC＋∠DEC＝90°.∴∠AFE＝180°－(∠BAC＋∠AEF)＝90°.∴DE⊥AB.(2)由题意知S△ABD＝S△BCE＋S△ACD＋S△ABE＝a2＋b2＋cx，∵S△ABD＝c(c＋x)，∴a2＋b2＋cx＝c(c＋x)．∴a2＋b2＝c2.
2．C
3．EF与DE垂直，即EF⊥DE.理由如下：连接DF，设正方形边长为a，则AD＝DC＝a，AF＝a，BF＝a，BE＝EC＝a.在Rt△DAF中，DF2＝AD2＋AF2＝a2.在Rt△CDE中，DE2＝CD2＋CE2＝a2.在Rt△EFB中，EF2＝FB2＋BE2＝a2.∵DE2＋EF2＝a2＋a2＝a2＝DF2，∴△DFE为直角三角形．∴EF⊥DE.
4．过B作B点关于MN的对称点B′，连接AB′交A1B1于点P，则AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，易知P点即为到A，B距离之和最短的点．过A作AE⊥BB′于点E，则AE＝A1B1＝8，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6.由勾股定理，得AB′＝＝＝10.即AP＋BP＝AB′＝10.故出口P到A，B两村庄的最短距离之和是10 km.
5．C
备考集训
1．B 2.B 3.C 4.B 5.D 6.A 7.A 8.C 9.D 10.A 11．90° 12.－1 13.8 14.直角 15.(10，3) 16．5－
17．根据已知可得∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB＝＝＝1 700(米).1 700÷50＝34(分钟)．答：大约34分钟后，欢欢才能到达山顶．
18．∵∠C＝60°，AD是BC边上的高，∴∠CAD＝30°.∵AC＝10，∴CD＝5.∴AD＝5.∴BD＝＝11.∴BC＝CD＋BD＝5＋11＝16.
19．∵m，n是正整数，且m＞n，∴c＞b，c＞a.∴a2＋b2＝(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2＝m4＋2m2n2＋n4.又∵c2＝(m2＋n2)2＝m4＋2m2n2＋n4，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．
20．(1)证明：∵在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，∴AC2＝AD2＋CD2＝82＋62＝100.∴AC＝10.在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676，∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC为直角三角形．(2)S阴影＝SRt△ABC－SRt△ACD＝×10×24－×8×6＝96.
21．(1)正方形、矩形．(2)证明：①∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE.∵∠CBE＝60°，∴△BCE是等边三角形．②∵△ABC≌△DBE，∴BE＝BC，AC＝ED.又△BCE为等边三角形，∴BC＝CE，∠BCE＝60°.∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°.在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2，∴DC2＋BC2＝AC2.∴四边形ABCD是勾股四边形．
01 知识结构图
本章内容在广东的中考中考查的频率比较高，每年都会考查．考查时不单独考查，常与垂直平分线、平行四边形、矩形、圆等综合考查，通常是作为解题工具求长度或者证明线段的数量关系．因此本章属于广东中考中的基础内容，复习时需熟练掌握．21世纪教育网版权所有
02 重难点突破)
重难点1 勾股定理的证明
【例1】 以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a＋b为高的直角梯形(如图2)，请你利用图2，验证勾股定理．www.21-cn-jy.com
图1 图2
【思路点拨】 利用梯形面积的两种算法列出等式证明．
【解答】
勾股定理的证明是用面积法证明恒等式的方法，通过不同的方式表示同一个图形的面积．
1．(2017·广州四校联考期中)如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA＝CD，点E在线段CA上，且满足DE＝AB，连接DE并延长交AB于点F.21·cn·jy·com
(1)求证：DE⊥AB；
(2)若已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，设EF＝x，则△ABD的面积用代数式可表示为S△ABD＝c(c＋x)，你能借助本题提供的图形证明勾股定理吗？试一试吧．2·1·c·n·j·y
重难点2 勾股定理及其逆定理
【例2】 如图，每个小正方形的边长为1.
(1)求四边形ABCD的周长；
(2)求证：∠C＝90°.
【思路点拨】 (1)利用勾股定理求出四边形的各边长；(2)求出△BCD的三边长，利用勾股定理的逆定理证明．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】
正方形网格中的两个格点之间的距离可以用勾股定理求出．勾股定理的逆定理是证明一个角等于90°的一种思路．本题的第(2)问还可以通过两个三角形全等来证明．21·世纪*教育网
2．△ABC中，AB＝13 cm，AC＝15 cm，高AD＝12，则BC的长为()
A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对
3．如图，已知：在正方形ABCD中，E是BC中点，F在AB上，且AF∶FB＝3∶1.请判断EF与DE的位置关系，与同学交流，并说明理由．www-2-1-cnjy-com
重难点3 勾股定理在实际生活问题中的应用
【例3】 如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下方法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD＝30°；小丽沿岸向前走30 m选取点B，并测得∠CBD＝60°.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．
【思路点拨】 过点C作CE⊥AD于点E.先根据等腰三角形的性质得出BC的长，再在Rt△BCE中，利用勾股定理和直角三角形中30°角的性质求出CE的值即可．21*cnjy*com
【解答】
利用勾股定理解决生活中的实际问题，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形，再合理地设出未知数，利用勾股定理求解．【来源：21cnj*y.co*m】
4．如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2 km，BB1＝4 km，A1B1＝8 km.现要在高速公路上A1B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？21cnjy.com
重难点4 图形的折叠与勾股定理
【例4】 如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处．已知CE＝3，AB＝8，则BF＝____________2-1-c-n-j-y
.
【思路点拨】 在Rt△EFC中，先根据折叠的性质和勾股定理求出CF的长．再设BF＝x，并用含x的代数式表示出AF，在Rt△ABF中，利用勾股定理即可求出BF的长．21教育网
解决关于折叠的问题时，常常利用折叠得全等，从而得边、角相等，进而把条件转化到一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求得线段长度．【版权所有：21教育】
5．如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为()【出处：21教育名师】
A. B. C．4 D．5
03 备考集训
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．(2017·广州南沙区期末)以下列各组数为边长首尾相连，能构成直角三角形的一组是()
A．2，3，4 B．1，2， C．5，12，17 D．6，8，12
2．在Rt△ABC中，a，b为直角边，c为斜边．若a＋b＝21，c＝15，则△ABC的面积是()
A．25 B．54 C．63 D．无法确定
3．下列各命题的逆命题成立的是()
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
4．要登上12 m高的建筑物，为了安全需使梯子底端离建筑物5 m，则梯子的长度至少为()
A．12 m B．13 m C．14 m D．15 m
5．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是()
6．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是()
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对
第6题图 第7题图
7．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为()
A．3 B．6 C．3 D.
8．已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋＋＝0，那么下列说法中不正确的是()
A．这个三角形是直角三角形 B．这个三角形的最长边长是10
C．这个三角形的面积是48 D．这个三角形的最长边上的高是4.8
9．设a，b是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是()
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
10．如图，已知圆柱底面的周长为4 dm，圆柱高为2 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为()
A．4 dm B．2 dm C．2 dm D．4 dm
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11．如果三角形的三边分别为，，2，那么这个三角形的最大角的度数为____________．
12．如图，数轴上点A表示的数是____________．
第12题图 第13题图
13．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于____________．
14．已知|x－12|＋(y－13)2和z2－10z＋25互为相反数，则以x，y，z为三边的三角形是____________三角形．
15．如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为____________．
第15题图 第16题图
16．如图，在离水面高度为5 m的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5 m收绳．则当收绳8秒后船向岸边移动了____________m(结果保留根号)．
三、解答题(共46分)
17．(6分)如图，已知某山的高度AC为800米，从山上A处与山下B处各建一个索道口，且BC＝1 500米，欢欢从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？
18．(8分)已知，如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10，AD是BC边上的高，求BC的长．
19．(10分)在△ABC中，a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2，其中m，n是正整数，且m＞n，试判断△ABC是不是直角三角形．
20．(10分)如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24.
(1)证明：△ABC是直角三角形；
(2)请求图中阴影部分的面积．
21．(12分)给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
(2)如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB＝30°.
①求证：△BCE是等边三角形；
②求证：DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
广东期末复习(二) 勾股定理
例1 ∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC.又∵∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°.∴∠AED＝90°.∵S梯形ABCD＝SRt△ABE＋SRt△DEC＋SRt△AED，∴(a＋b)(a＋b)＝ab＋ab＋c2.整理，得a2＋b2＝c2.
例2 (1)根据勾股定理可知：AB＝3，BC＝，CD＝，AD＝5，∴四边形ABCD的周长为8＋2.(2)证明：连接BD.∵BC＝，CD＝，DB＝2，∴BC2＋CD2＝BD2.∴△BCD是直角三角形，即∠C＝90°.
例3 过点C作CE⊥AD于点E.由题意得，AB＝30 m，∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝∠CAB＝30°.∴AB＝BC＝30 m．在Rt△BCE中，∵∠CBD＝60°，∴∠BCE＝30°.∴BE＝BC＝15 m．又∵BC2＝BE2＋CE2，∴CE＝＝＝15(m)．答：小河的宽度为15 m.
例4 6
变式训练
1．(1)证明：在Rt△ABC和Rt△DEC中，∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)．∴∠BAC＝∠EDC.∵∠AEF＝∠DEC，∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠BAC＋∠AEF＝∠EDC＋∠DEC＝90°.∴∠AFE＝180°－(∠BAC＋∠AEF)＝90°.∴DE⊥AB.(2)由题意知S△ABD＝S△BCE＋S△ACD＋S△ABE＝a2＋b2＋cx，∵S△ABD＝c(c＋x)，∴a2＋b2＋cx＝c(c＋x)．∴a2＋b2＝c2.
2．C
3．EF与DE垂直，即EF⊥DE.理由如下：连接DF，设正方形边长为a，则AD＝DC＝a，AF＝a，BF＝a，BE＝EC＝a.在Rt△DAF中，DF2＝AD2＋AF2＝a2.在Rt△CDE中，DE2＝CD2＋CE2＝a2.在Rt△EFB中，EF2＝FB2＋BE2＝a2.∵DE2＋EF2＝a2＋a2＝a2＝DF2，∴△DFE为直角三角形．∴EF⊥DE.
4．过B作B点关于MN的对称点B′，连接AB′交A1B1于点P，则AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，易知P点即为到A，B距离之和最短的点．过A作AE⊥BB′于点E，则AE＝A1B1＝8，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6.由勾股定理，得AB′＝＝＝10.即AP＋BP＝AB′＝10.故出口P到A，B两村庄的最短距离之和是10 km.
5．C
备考集训
1．B 2.B 3.C 4.B 5.D 6.A 7.A 8.C 9.D 10.A 11．90° 12.－1 13.8 14.直角 15.(10，3) 16．5－
17．根据已知可得∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB＝＝＝1 700(米).1 700÷50＝34(分钟)．答：大约34分钟后，欢欢才能到达山顶．
18．∵∠C＝60°，AD是BC边上的高，∴∠CAD＝30°.∵AC＝10，∴CD＝5.∴AD＝5.∴BD＝＝11.∴BC＝CD＋BD＝5＋11＝16.
19．∵m，n是正整数，且m＞n，∴c＞b，c＞a.∴a2＋b2＝(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2＝m4＋2m2n2＋n4.又∵c2＝(m2＋n2)2＝m4＋2m2n2＋n4，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．
20．(1)证明：∵在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，∴AC2＝AD2＋CD2＝82＋62＝100.∴AC＝10.在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676，∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC为直角三角形．(2)S阴影＝SRt△ABC－SRt△ACD＝×10×24－×8×6＝96.
21．(1)正方形、矩形．(2)证明：①∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE.∵∠CBE＝60°，∴△BCE是等边三角形．②∵△ABC≌△DBE，∴BE＝BC，AC＝ED.又△BCE为等边三角形，∴BC＝CE，∠BCE＝60°.∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°.在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2，∴DC2＋BC2＝AC2.∴四边形ABCD是勾股四边形．