2018春人教版八年级数学下册（广东）期末复习（一） 二次根式学案（含答案）

01　　知识结构图
本章内容在广东中考中考查的频率比较低，很少单独考查，但本章内容是计算中的解题工具，在广东中考综合题的计算中常常涉及二次根式的化简，因此通过复习要熟练掌握本章的内容．
　02　　重难点突破)
重难点1　二次根式有意义的条件
【例1】　要使式子＋(x－2)0有意义，则x的取值范围为____________________．
【思路点拨】　从式子的结构看分为三部分，二次根式、分式、零次幂，每一部分都应该有意义．
所给代数式的形式
x的取值范围
整式
全体实数
分式
使分母不为零的一切实数．注意不能随意约分，同时要区分“且”和“或”的含义
偶次根式
被开方式为非负数
0次幂或负整数指数幂
底数不为零
复合形式
列不等式组，兼顾所有式子同时有意义
1．(2017·广州校级期中)若在实数范围内有意义，则x的取值范围是()
A．x≥ B．x≥－
C．x＞ D．x≠
2．(2017·盐城)若在实数范围内有意义，则x的取值范围是____________．
重难点2　二次根式的非负性
【例2】　(2017·广州四校联考期中)实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简－＋b的结果是()
A．1 B．b＋1 C．2a D．1－2a
【思路点拨】　先根据各点在数轴上的位置判断出a，b的符号及大小，再根据二次根式的性质进行化简即可．
这一类题目主要是利用二次根式的性质把式子化简出来，注意：先把这种形式化简为|a|，再根据给出的条件判断a的大小，从而去绝对值并化简即可得到最终结果．
3．如果＝－a，那么a的取值范围是()
A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数
4．(2017·广州市南沙区期末)实数a在数轴上的位置如图所示，则＝____________．
5．若＝2x－3，则x的取值范围是____________．
6．若|x－y| 与互为相反数，则xy－3的值为____________．
重难点3　二次根式的运算
【例3】　计算：(1－)＋＋()－1.
【思路点拨】　先去括号、化简二次根式及进行实数的负整数指数幂的运算，再把各个结果相加即可．
【解答】　
二次根式的运算是实数运算中的一种，运算顺序与运算律都遵循有理数的运算顺序与运算律．
7．(2017·广州市海珠区期末)下列计算正确的是()
A.＋＝ B.－＝ C.×＝ D.÷＝
8．(2017·南京)计算＋×的结果是____________．
9．(2017·大连)计算：(＋1)2－＋(－2)2.
重难点4　与二次根式有关的化简求值
【例4】　先化简，再求值：÷(x＋)·(＋)，其中x＝2＋，y＝2－.
【思路点拨】　运用分式的运算法则先化简原式，然后将x和y的值代入化简后的式子求值即可．
【解答】　
将二次根式的运算与分式的化简求值相结合考查，是最常见的考查形式．当未知数的值是无理数时，求值时就用到二次根式的运算．
10．(2017·广州四校联考期中)先化简，再求值：＋(x－2)2－6，其中x＝＋1.
重难点5　与二次根式有关的规律探究
【例5】　(2016·黄石)观察下列等式：
第1个等式：a1＝＝－1；
第2个等式：a2＝＝－；
第3个等式：a3＝＝2－；
第4个等式：a4＝＝－2.
按上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第n个等式：an＝______________________；
(2)a1＋a2＋a3＋…＋an＝____________．
【思路点拨】　(1)观察上面四个式子可得第n个等式；(2)根据所得的规律可得a1＋a2＋a3＋…＋an＝－1＋－＋2－＋－2＋…＋－.
规律的探究都遵循从特殊到一般的思维过程，在探究过程中要认真分析等式左右两边“变的量”与“不变的量”．
11．下面是一个按某种规律排列的数阵：
1
第1行
2
第2行
2
3
2
第3行
4
3
2
第4行
…
…
…
…
…
…
…
…
…
根据数阵排列的规律，第n(n是整数，且n≥3)行从左向右数第n－2个数是____________(用含n的代数式表示)．　
03　　备考集训
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．(2017·淮安)下列式子为最简二次根式的是()
A. B. C. D.
2．下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为()
A. B. C. D.
3．(2016·宁夏)下列计算正确的是()
A.＋＝ B．(－a2)2＝－a4 C．(a－2)2＝a2－4 D.÷＝(a≥0，b＞0)
4．化简－(1－)的结果是()
A．3 B．－3 C. D．－
5．(2017·天水)关于的叙述不正确的是()
A.＝2 B．面积是8的正方形的边长是
C.是有理数 D．在数轴上可以找到表示的点
6．已知x＋y＝3＋2，x－y＝3－2，则的值为()
A．4 B．6 C．1 D．3－2
7．(2016·自贡)若＋b2－4b＋4＝0，则ab的值等于()
A．－2 B．0 C．1 D．2
8．如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的x的取值范围是()
A．x≤10 B．x≥10 C．x＜10 D．x＞10
9．甲、乙两人计算a＋的值，当a＝5时得到不同的答案：甲的解答是a＋＝a＋＝a＋1－a＝1，乙的解答是a＋＝a＋＝a＋a－1＝2a－1＝9.下列判断正确的是()
A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲对，乙错 D．甲错，乙对
10．若＝－a，则a的取值范围是()
A．－3≤a≤0 B．a≤0 C．a＜0 D．a≥－3
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11．(2017·广州四校联考期中)计算：2×＝____________．
12．(2017·天水)若代数式有意义，则x的取值范围是____________________．
13．(2016·南京)比较大小：－3____________.(填“＞”“＜”或“＝”)
14．若m，n都是无理数，且m＋n＝2，则m，n的值可以是m＝____________，n＝____________．(填一组即可)
15．在实数范围内分解因式：4m2－7＝____________________．
16．当x≤0时，化简|1－x|－的结果是____________．
三、解答题(共46分)
17．(6分)计算：
(1)×÷； 　(2)(＋2)－÷.
18．(8分)先化简，再求值：2(a＋)(a－)－a(a－6)＋6，其中a＝－1.
19．(10分)先化简，再求值：÷(－)，其中x＝＋1，y＝－1.
20．(10分)若实数a，b，c满足|a－|＋＝＋.
(1)求a，b，c；
(2)若满足上式的a，b为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
21．(12分)如图，在8×10的方格内取A，B，C，D四个格点，使AB＝BC＝2CD＝4.P是线段BC上的动点，连接AP，DP.
(1)设BP＝a，CP＝b，用含字母a，b的代数式分别表示线段AP，DP的长；
(2)设k＝AP＋DP，k是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案
广东期末复习(一)　二次根式
例1　x≥－3且x≠1，x≠2
例2　A
例3　原式＝－3＋2＋3＝3.
例4　原式＝－.当x＝2＋，y＝2－时，原式＝－1.
例5　(1)＝－　(2)－1
变式训练
1．C 　2.x≥3　 3.D 　4.3－a 　5.x≥ 　6.　 7.B　 8.6 9．原式＝3＋2－2＋4＝7.
10．∵x＝＋1＞0，∴原式＝(x－1)2＋3.当x＝＋1时，原式＝8. 11.
备考集训
1．A　2.D　3.D　4.A　5.C　6.C　7.D　8.A　9.D　10.A
11．10　 12.x≥－2且x≠0 　13.＜ 14.1＋　1－
15．(2m＋)(2m－)　 16.1
17．(1)原式＝5××＝10.(2)原式＝a＋2－a＝2.
18．原式＝a2＋6a.当a＝－1时，原式＝4－3.
19．原式＝.当x＝＋1，y＝－1时，原式＝.
20．(1)由题意，得c－3≥0，3－c≥0，即c＝3.∴|a－|＋＝0.∴a－＝0，b－2＝0，即a＝，b＝2.(2)当a是腰长，b是底边时，等腰三角形的周长为＋＋2＝2＋2；当b是腰长，a是底边时，等腰三角形的周长为＋2＋2＝＋4.综上，这个等腰三角形的周长为2＋2或＋4.
21．(1)AP＝，DP＝.(2)k存在最小值．作点A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于点P，连接AP，过A′作A′E⊥DC于点E.∴AP＝A′P.∴k＝AP＋DP＝A′P＋DP＝＝＝＝2.