《探索三角形相似的条件》同步练习
1.一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高的长为22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，如图4-57所示。已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是 ( )
A．第4张 B．第5张
C．第6张 D．第7张
2.如图4-90所示，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则下列结论正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
3.两个相似三角形的相似比为2∶3，面积之差为25 cm2，则较大三角形的面积为( )
A．45 cm2 B．50 cm2 C．65 cm2 D．75 cm2
雨后初晴，一个学生在运动场上玩耍，从他前面2m远的一小块积水处，他看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40 m，该学生的眼部到地面的高度为1.5 m，求旗杆的高度。
2.某人身高为1.8米，站在一路灯下时无影子，然后背对路灯向前走了6米，此时的影长为2米。求路灯的灯泡距地面的高度。
3.如图4-73所示，路边有两根相距4m的电线杆AB，CD，分别在高为3 m的A处和6 m的C处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M离地面的高度MH。
4.一个钢筋三脚架的边长分别是20cm，50cm，60cm，现要做一个与其相似的钢筋三脚架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边，则有几种不同的截法?并简单说明理由。
5.我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是1.6 m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6 m，则这棵树的高度约为 m。
6.明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如图4-77所示，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同，此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2 m，CE＝0.8 m，CA＝30 m(点A，E，C在同一直线上)。已知小明的身高EF是1.7 m，请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1 m)。
答案与解析
1.分析 设第n张纸条是正方形，则GH＝3cm。如图4-57所示，作AD⊥BC于点D，交第n张纸条于点E。经分析易得DE＝3n cm，AE⊥GH，∴△AGH∽△ABC，∴。又∵AE=AD-DE，∴，解得n＝6。故选C。
2.分析 由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，又因为AD∶DB＝1∶2，所以AD∶AB＝1∶3。从而可知上述结论中正确的为B。故选B。
【解题策略】 利用相似三角形的性质解决此题
3.分析 设较大三角形的面积为x cm2，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以面积比为4∶9，所以，解得x＝45。故选A。
【解题策略】 利用相似三角形的性质建立方程，达到解题的目的。
1.分析 可利用三角形相似对应边成比例求出旗杆的高度(DE)。
解：如图4-68所示，
根据题意得AB＝1.5 m，BC＝2 m，CE＝40 m。
由题意知，△ABC∽△D'EC，
所以，所以，
所以D'E＝30(m)。
由物理知识可知DE＝D'E＝30 m。
答：旗杆的高度为30 m。
【解题策略】 解此题的方法类似于利用镜子反射测量物体的高度。
2.解：如图4-70所示，
由题意可知BC＝B'C'＝1.8米，BB'＝6米，B'D＝2米。
易知△ABD∽△C'B'D，
则，
所以AB==7.2 (米)。
答：灯泡距地面的高度是7.2米。
【解题策略】 利用光源自身发出的光线求光源的高度，且不借助其他工具，这也是一种利用相似三角形测量物体高度时简便方法。
3.分析 要求MH的长，先把MH放在某一个三角形中，然后利用相似三角形的性质求出MH的长。
解：设MH＝x m，BH＝m m，DH＝n m，BD＝l m。
则l＝m+n，根据题意，有：
△BMH∽△BCD，△DMH∽△DAB。
所以MH∶CD＝BH∶BD，
MH∶AB＝DH∶DB，
即，
两式相加，得=1。
解得x＝2。
答：M离地面的高度MH为2 m。
【解题策略】 此题的结果与BD无关。若令AB＝a，CD＝b，MH＝x，则有，即x=。
4.分析 根据三角形的三边关系定理，50cm长的钢筋不能作为一边，30cm长的那根不能作最短边，所以30 cm长的钢筋可作最长的边，也可作次长的边，所以有两种不同的截法。
解：当30 cm长的钢筋作最长的边时，
设另外两边长分别为x cm，y cm，
由相似三角形的性质可知。
解得x＝10，y＝25。
当30 cm长的钢筋作次长的边时，
设另外两边长分别为m cm，n cm，
则，解得m=12，n=36。
答：从50 cm长的钢筋上截下的两段长分别为10 cm，25 cm或12 cm，36 cm。
【解题策略】 注意分类讨论思想的运用，做到不重不漏
5.分析 根据相似三角形的性质可得，所以h＝4.8，所以这棵树的高度约为4.8 m。故填4.8。
6.分析 过D作DG⊥AB于G，利用相似三角形的性质求解。
解：过点D作DG⊥AB，分别交AB，EF于点G，H，
则EH＝AG＝CD＝1.2，DH＝CE＝0.8，DG=CA＝30．
∵EF∥AB，∴。
由题意知FH＝EF-EH＝1.7-1.2=0.5。
∴,解得BG=18.75．
∴AB＝BG+AG＝18.75+1.2= 19.95≈20.0。
∴楼高AB约为20.0m。
《探索三角形相似的条件》
教科书通过问题的形式，创设一个有利于学生动手操作和反思的情境，进一步发展学生的探索、交流能力，达到进一步探索三角形相似条件的目的，能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，进一步发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识，由此体验数学概念由具体现象抽象出来的过程，以及数学术语表达的精练、简洁。本节课学生经历发生、观察、操作、思考、交流、归纳的过程，进一步发展学生的空间观念，为后续章节的学习打下基础。同时，让学生结合实际再次体会数学中的几何图形在生活中广泛存在并起到重要的作用；在教学中再辅以适量的练习使学生对所学的知识加深印象，增强解决问题的能力。
【知识与能力目标】
理解并掌握三角形相似的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
【过程与方法目标】
在进行探索的活动过程中，发展类比的数学思想，激发学生的探索发现归纳意识，增强合情推理的语言表达能力。
【情感态度价值观目标】
培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。
【教学重点】
掌握相似三角形的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
【教学难点】
相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用。
一、情境导入
观察一下:这些图片有什么特点?
不错！这些图片都是相似的。 形状相同、大小不同！
它们有什么相同点？
相似形定义：我们把形状相同的两个图形称为相似形。
【设计意图】：通过之前学习过的相似图形，再放出相应的图片，让学生回顾以往的知识，并且对今天所要学习的新内容进行一定的了解。
二、探索新知
（一）回顾
如图：△ABC与△ A'B'C'相似
表示为：△ABC∽△ A'B'C'
读作：△ABC相似于△ A'B'C'
相似三角形的特点有哪些呢，请一起来回忆一下：
对于三角形△ABC与△ A'B'C
∠A= ∠ A' 、∠B= ∠ B'、∠C= ∠ C'
∴ △ABC∽△A'B'C'
所以：相似三角形的定义可以作为三角形相似的一种判定方法。
（二）新知探索
1、画一个三角形ABC，使∠ABC满足下面给定的条件之一，
（1）使∠ABC=60°，
（2）使∠ABC=90°
与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？
结论：
只有一个角对应相等时，不能判定两个三角形相似。
2、再次思考：与同伴合作，一人画三角形 ABC，另一人画 三角形A′B′C′
（1）使得∠A， ∠A ′都等于30°， ∠B 和∠ B′都等于120°
（2）使得∠A， ∠A ′都等于30°， ∠B 和∠ B′都等于90°
比较你们所画的三角形
∠C 与∠ C′相等吗？
对应边的比相等吗？
三角形相似吗？
结论：
两角对应相等的两个三角形相似。
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
3、得出结论
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成： 两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边都对应成比例，那么这两个三角形相似。
判定定理3：如果一个三角形的一个角与另一个三角形的一个角对应相等，并且夹这个相等角的两条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
三、学以致用
1、判断题： ⑴所有的等腰三角形都相似。 （ ） ⑵所有的等腰直角三角形都相似 。 （ ） ⑶所有的等边三角形都相似。 （ ） ⑷所有的直角三角形都相似。 （ ） ⑸有一个角是120°的两个等腰三角形相似。 （ ） ⑹有一个角是60 °的两个等腰三角形相似。 ( )
正确答案：× √ √ × √ ×
2、下列图形中两个三角形是否相似？
正确答案：相似 相似 不相似
四、课堂小结
1 、三角形相似的条件。
2 、 利用相似三角形求解时，注意发挥 基本图形如：
“A型”、“X型”、“母子型”、“非A型”、“非X型”的作用，注意角或线段的对应关系。
五、布置作业
略。
课件15张PPT。观察一下:这些图片有什么特点?它们有什么相同点？不错！这些图片都是相似的。 形状相同、大小不同！相似形定义：我们把形状相同的两个图形称为相似形。情景引入表示为：
△ABC∽△ A'B'C' 注意：在写两个三角形相似时应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 读作：
△ABC相似于△ A'B'C'△ABC与△ A'B'C'相似 探索新知∴ △ABC∽△A'B'C'所以：相似三角形的定义可以作为三角形相似的一种判定方法。 探索新知画一个三角形ABC，使∠ABC满足下面给定的条件之一，与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？ 探索新知结论：只有一个角对应相等时，不能判定两个三角形相似。 探索新知那么思考问题：在△ABC 和△ A'B'C'中,∠A=∠A'，∠B= ∠B'
△ABC与△ A'B'C'是否相似? 探索新知与同伴合作，一人画三角形 ABC，另一人画 三角形A′B′C′。 （2）使得∠A， ∠A ′都等于30°， ∠B 和∠ B′都等于90°（1）使得∠A， ∠A ′都等于30°， ∠B 和∠ B′都等于120° 探索新知 探索新知比较你们所画的三角形 探索新知用数学符号表示：∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C' 探索新知 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成： 两角对应相等，两三角形相似。 判定定理2：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边都对应成比例，那么这两个三角形相似。 判定定理3：如果一个三角形的一个角与另一个三角形的一个角对应相等，并且夹这个相等角的两条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 探索新知1.判断题： （1）所有的等腰三角形都相似。 （ ） （2）所有的等腰直角三角形都相似 。 （ ） （3）所有的等边三角形都相似。 （ ） （4）所有的直角三角形都相似。 （ ） （5）有一个角是120°的两个等腰三角形相似。 （ ） （6）有一个角是60 °的两个等腰三角形相似。 （ ）×√√×√×学以致用2.下列图形中两个三角形是否相似？相似相似不相似学以致用1 .三角形相似的条件。
2 . 利用相似三角形求解时，注意发挥 基本图形如：
“A型”、“X型”、“母子型”、“非A型”、“非X型”的作用，注意角或线段的对应关系。小结拓展
