21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
27.2.2 平行线截三角形相似定理
基础训练
1.如图,E为平行四边形ABCD的边BC ( http: / / www.21cnjy.com )延长线上一点,连接AE,交边CD于点F.在不添加辅助线的情况下,请写出图中一对相似三角形: . 21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
2.如图,在 ABCD中,F是BC上的一点 ( http: / / www.21cnjy.com ),直线DF与AB的延长线相交于点E,BP∥DF,且与AD相交于点P,请从图中找出所有与△BEF相似的三角形: .
( http: / / www.21cnjy.com / )
3.如图,在△ABC中,EF∥BC,DG∥AB,EF和DG相交于点H,则图中与△ABC相似的三角形共有( )21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,AB∥CD,AE∥FD,AE,FD分别交BC于点G,H,则图中共有相似三角形( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
5.如图,G是平行四边形ABCD的边CD延长线上一点,BG交AC于E,交AD于F,则图中与△FGD相似的三角形有( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
6.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,若DE∥BC,DE=2,BC=3,则= .
( http: / / www.21cnjy.com / )
7.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE∥BC,EF∥AB.若AD=2BD,则的值为( )2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. C. D.
8.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O.若AD=1,BC=3,则的值为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. C. D.
9.如图,在 ABCD中,点E是边AD上一点,EC交对角线BD于点F,若EF∶FC=4∶7,则AE∶ED等于( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.4∶7 B.4∶3 C.3∶7 D.3∶4
10.如图,在 ABCD中,G是BC延长线上一点,连接AG交BD于点E,交CD于点F.则图中相似三角形的对数为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.3 B.4 C.5 D.6
11.在△ABC中,∠A=65°,∠B=45°,D,E分别是AB,AC边上的点,连接DE,使得△ADE与△ABC相似,求∠ADE的度数.21世纪教育网版权所有
提升训练
12.如图,在 ABCD中,过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F,过点E作EG∥BC,交AB于点G,找出图中的所有相似三角形.21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
13.如图,DE∥BC,且DB=AE,若AB=5,AC=10.
(1)求AE的长;
(2)求的值.
( http: / / www.21cnjy.com / )
14.如图,在 ABCD中,M,N为对角线BD的三等分点,连接AM并延长交BC于点E,连接EN并延长交AD于点F.2-1-c-n-j-y
(1)证明△AMD∽△EMB;
(2)求的值.
( http: / / www.21cnjy.com / )
15.如图,DE∥BC分别交AB,AC于D,E.
(1)写出图中的相似三角形;
(2)求证:=.
( http: / / www.21cnjy.com / )
16.如图,已知△ABC中,DE∥BC,BE与CD交于点O,连接AO并延长交BC于点M.
求证:BM=MC.
( http: / / www.21cnjy.com / )
17.如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连接CP并延长,交AD于点E,交BA的延长线于点F.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求证:∠DCP=∠DAP;
(2)若AB=2,DP∶PB=1∶2,且PA⊥BF,求对角线BD的长.
( http: / / www.21cnjy.com / )
18.如图,在△ABC中,点D为BC边的中 ( http: / / www.21cnjy.com )点,延长AD至点E,延长AB交CE的延长线于点P.若AD=2DE,求证:AP=3AB.(至少用三种方法作辅助线)21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
19.如图,已知直线y=a ( http: / / www.21cnjy.com )x+b与双曲线y=(x>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(A与B不重合),直线AB与x轴交于点P(x0,0),与y轴交于点C.www-2-1-cnjy-com
(1)若A,B两点坐标分别为(1,3),(3,y2),求点P的坐标;
(2)若b=y1+1,点P的坐标为(6,0),且AB=BP,求A,B两点的坐标;
(3)结合(1)(2)中的结果,猜想并用等式表示x1,x2,x0之间的关系(不要求证明).
( http: / / www.21cnjy.com / )
参考答案
基础训练
1.△AFD∽△EFC(或△EFC∽△EAB或△EAB∽△AFD)
2.△CDF,△ABP,△AED
3.C 4.C 5.C 6. 7.A 8.B 9.D
10.D
11.错解:如图①,△ADE∽△ABC,则∠ADE=∠B=45°.
( http: / / www.21cnjy.com / )
诊断:解决几何图形相似问题时,如果题中没有给出图形,那么往往要分情况讨论,此题错在考虑不周导致漏解.21cnjy.com
正解:如图①,当∠ADE对应∠B时,∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ADE=∠B=45°.如图②,当∠ADE对应∠C时,∠ADE=∠C=180°-(∠A+∠B)=70°.综上可知,∠ADE=45°或70°.www.21-cn-jy.com
提升训练
12.解:∵GE∥BC,∴△AGE ( http: / / www.21cnjy.com )∽△ABC.∵GE∥AF,∴△BGE∽△BAF.∵AF∥BC,∴△AEF∽△CEB;又∵△ABC≌△CDA,∴△ABC∽△CDA,△AGE∽△CDA.∴图中相似的三角形有5对.【来源：21cnj*y.co*m】
13.解:(1)∵DE∥BC,
∴=.
设BD=AE=x,
则AD=AB-BD=5-x,
∴=.
∴x=,即AE=.
(2)∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴==.
14.(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BE.
∴△AMD∽△EMB.
(2)解:∵AD∥BC,
∴△FND∽△ENB.
∴=.
∵M,N为BD的三等分点,
∴=.
15.(1)解:△ADE∽△ABC,△OBC∽△OED.
(2)证明:∵△ADE∽△ABC,∴=.
∵△OBC∽△OED,∴=.∴=.
16.证明:延长AM,过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F,连接CF.
∵DE∥BC,BF∥CD,∴==.∴CF∥BE.
∴四边形OBFC为平行四边形.∴BM=MC.
17.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴CD=AD,∠CDP=∠ADP,又∵DP=DP,
∴△CDP≌△ADP.∴∠DCP=∠DAP.
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,∴CD∥BA,CD=BA.
∴△CDP∽△FBP,∴===,
∴CD=FB,CP=FP,∴A为BF的中点.
又∵PA⊥BF,∴PB=PF.
由(1)可知PA=CP,∴PA=PB.
在Rt△PAB中,PB2=AB2+ ( http: / / www.21cnjy.com )PA2=22+,解得PB=,∴PD=.∴BD=PD+PB=2.
18.思路导引:本题方法较多,可以过点B(或C,D,A)添加平行线,来构造相似三角形,通过对应线段成比例来得出结论.21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
证明:过点B作BF∥AE交PC于点F,如图①.
∵BF∥DE,点D为BC的中点,
∴DE为△BFC的中位线,∴BF=2DE.
∵AD=2DE,∴AD=AE,∴BF=AD=AE.
∵BF∥AE,∴△PBF∽△PAE,
∴==,∴PB=PA.∴AP=3AB.
19.解:(1)把A(1,3)代入y=,得k=3,把B(3,y2)代入y=,得y2=1,∴B(3,1).
把A(1,3),B(3,1)分别代入y=ax+b,得解得
∴yAB=-x+4.令yAB=0,得x=4,∴P(4,0).
(2)∵AB=PB,∴B是AP的中点,由中点坐标公式知:x2=,y2=,【出处：21教育名师】
∵A,B两点都在双曲线上,∴x1y1=·,解得x1=2,∴x2=4.【版权所有：21教育】
作AD⊥x轴于点D,则△PAD∽△PCO,
∴=,即=,又b=y1+1,
∴y1=2,∴y2=1.
∴A(2,2),B(4,1).
(3)x1+x2=x0.
( http: / / www.21cnjy.com / )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共25张PPT)
27.2.2 平行线截三角形相似定理
人教版 九年级下
导入新知
判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边分别相等外，还可以使用简便的判定方法（SSS，SAS，ASA，AAS).类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？
新知讲解
1
知识点
平行线判定三角形相似定理
知1－讲
如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？
新知讲解
知1－讲
解析：直觉告诉我们，△ADE与△ABC相似，我们通过相似
的定义证明它，即证明∠A=∠A, ∠ADE=∠B,
∠AED=∠C, 由前面的结论可得，
而 中的DE不在△ABC的边BC上，不
能直接利用前面的结论.但从要证的 可以看
出，除DE外，AE，AC，BC都在△ABC的边上，因
此只需将DE平移到BC边上去，使得BF=DE，再证明
就可以了(如图).只要过点E作EF//AB，交
BC于点F，BF就是平移DE所得的线段.
新知讲解
知1－讲
先证明两个三角形的角分别相等.
如图，在△ADE 与△ABC 中，∠A=∠A.
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
再证明两个三角形的边成比例.
过点E作EF//AB，交BC于点F.
∵DE//BC，EF//AB，
新知讲解
知1－讲
∵四边形DBFE是平行四边形，
∴DE=BF.
这样，我们证明了△ADE和△ABC的角分别相等，
边成比例，所以 △ADE∽△ABC.因此，我们有如下判定
三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成
的三角形与原三角形相似.
新知讲解
例1 如图，在 ABCD中，F是AD边上的任意一点，连接BF并延长交CD的延长线于点E，则图中与△DEF相似的三角形共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
导引：由于四边形ABCD是平行四边形，因此FD∥BC，
DE∥AB.于是可从图中找出符合“A”型相似的
△DEF与△CEB，符合“X”型相似的△DEF与
△ABF.故选B.
知1－讲
B
新知讲解
利用平行线寻找相似三角形的方法：
在线段较多的图形中寻找相似三角形，如果图中有
线段平行的条件，则集中精力在图形中寻找符合“A”
型或“X”型的基本图形，这不但是解本题的首要之选，
也是今后解本类题目的首要之选．
知1－讲
总 结
新知讲解
知1－讲
用平行线判定三角形相似的定理：平行于三角形一
边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三
角形相似．
数学表达式：如图，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE.
巩固提升
如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD=3，DB=2.写出图中的相似三角形，并指出其相似比.
知1－练
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴其相似比为
巩固提升
【中考·河南】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③ . 其中正确的有( )
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
知1－练
2
A
巩固提升
如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有( )
A．0对
B．1对
C．2对
D．3对
知1－练
3
D
巩固提升
【2016·盐城】如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E.在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
知1－练
4
C
巩固提升
如图，在平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和点F，过点E作EG∥BC，交AB于点G，则图中的相似三角形有( )
A．4对
B．5对
C．6对
D．7对
知1－练
5
B
新知讲解
2
知识点
相似三角形性质的应用
知2－导
如图所示，要测量一个池塘的长是多少，不能直接测量距离，小明做了△ABC，取
池塘的两个点D，E，使DE∥BC，
测出BC，AD，AB的长就可以算出
DE的长，你知道为什么吗？
原来由DE∥BC可以得到△ABC∽△ADE，所以
AD∶AB=DE∶BC.
新知讲解
知2－导
归 纳
通过建立相似三角形数学模型可以解决实际
问题.
新知讲解
知2－讲
例2 如图，在 ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于________．
导引：有平行四边形，就提供了平行线，就有三角形相似，
就有对应边的比相等，就能求出FC的长．
在 ABCD中，∵AB∥CD，AB＝CD，
∴△AEF∽△CDF.
∵AE＝EB，∴AE＝ AB＝ CD.
∴CF＝2AF＝4.
4
新知讲解
总 结
知2－讲
利用证三角形相似求线段的长的方法：当三角
形被平行线所截形成“A”型或“X”型的图形，并
且所求的线段或已知线段在平行的边上，通常考虑通
过证三角形相似，再利用相似三角形的对应边的比相
等构建包含已知与未知线段的比例式，即可求出线段
的长．
巩固提升
【2017·眉山】“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，
则井深为( )
A．1.25尺 B．57.5尺
C．6.25尺 D．56.5尺
知2－练
1
B
巩固提升
【2017·哈尔滨】如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
知2－练
2
C
巩固提升
【2017·恩施州】如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，
则DE的长为( )
A．6
B．8
C．10
D．12
知2－练
3
C
巩固提升
【2016·贵港】如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE.下列结论：
①∠ACD＝30°；②S ABCD＝AC·BC；③OE:AC＝ :6；④S△OCF＝2S△OEF，其中成立的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
知2－练
4
D
课堂小结
确定相似三角形的对应边和对应角的方法：
(1)有公共角的，公共角一般是对应角；
(2)有对顶角的，对顶角一般是对应角；
(3)相似三角形对应角所对的边是对应边，两个对
应角所夹的边是对应边；
(4)相似三角形对应边所对的角是对应角，两条对
应边所夹的角是对应角．
1
知识小结
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)中小学教育资源网站
有大把优质资料？一线名师？一线教研员？
赶快加入21世纪教育网名师合作团队吧！！月薪过万不是梦！！
详情请看：http://www.21cnjy.com/zhaoshang/
