第三章函数
第16节 反比例函数及其应用
■考点1. 反比例函数的概念及其图象、性质
1.反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝ (k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．www.21-cn-jy.com
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y＝kx-1；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
2．反比例函数的图象
反比例函数y＝(k≠0)的图象是由两个分支组成的_____，且不与两坐标轴相交．
3．反比例函数的性质
(1)当k＞0时，图象在______象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而_________ 2·1·c·n·j·y
(2)当k＜0时，图象在______象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而__________．
(3)其图象既是关于原点对称的_____图形，又是________图形．对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y=-X；②一、三象限的角平分线Y=X；对称中心是：坐标原点．
注意：（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.
失分点警示
（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.
■考点2.比例系数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|.
（2）常见的面积类型：
■考点3.利用待定系数法确定反比例函数表达式
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
■考点4.反比例函数与一次函数的综合
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
■考点5.反比例函数的实际应用
（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
■考点1. 反比例函数的概念及其图象、性质
◇典例：
（2016?天津）若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）21教育网
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】直接利用反比例函数图象的分布，结合增减性得出答案．
解：∵点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，
∴A，B点在第三象限，C点在第一象限，每个图象上y随x的增大减小，
∴y3一定最大，y1＞y2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，正确把握反比例函数增减性是解题关键．
◆变式训练
（2017?娄底）已知﹣=1（a，b为常数，且ab≠0）表示焦点在x轴上的双曲线，若+=1表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＞﹣3 C．m≥﹣3 D．﹣3＜m＜2
■考点2.比例系数k的几何意义
◇典例
（2016贵州毕节3分）如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（ ）【版权所有：21教育】
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变，可计算出答案．
解：△ABO的面积为：×|﹣4|=2，
故选D．
◆变式训练
1.（2016·黑龙江齐齐哈尔）如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k= ．
2.（2016·山东省菏泽市）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（ ）
A．36 B．12 C．6 D．3
■考点3.利用待定系数法确定反比例函数表达式
◇典例：
如图，已知双曲线y＝和直线y＝mx＋n交于点A和B，B点的坐标是(2，－3)，AC垂直y
轴于点C，AC＝.
(1)求双曲线和直线的解析式；
(2)求△AOB的面积．
解 (1)∵B点的坐标是(2，－3)且在双曲线上，
∴－3＝.∴k＝－6.∴双曲线的解析式为y＝－.
∵AC＝，∴A的横坐标为－.
由y＝－得A.
∵A，B(2，－3)在直线y＝mx＋n上，
∴解得
∴直线的解析式是y＝－2x＋1.
(2)∵直线y＝－2x＋1与y轴的交点为(0，1)，
∴△AOB的面积为××1＋×2×1＝.
◆变式训练
在平面直角坐标系xOy中，点P(2，a)在反比例函数y＝的图象上，把点P向上平移2个单
位，再向右平移3个单位得到点Q，则经过点Q的反比例函数的解析式为________．
■考点4.反比例函数与一次函数的综合
◇典例：
（2016?株洲）已知，如图一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=的图象如图示，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）21cnjy.com
A．x＜2 B．x＞5 C．2＜x＜5 D．0＜x＜2或x＞5
【分析】根据图象得出两交点的横坐标，找出一次函数图象在反比例图象下方时x的范围即可．
解：根据题意得：当y1＜y2时，x的取值范围是0＜x＜2或x＞5．
故选：D．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键．21·世纪*教育网
◆变式训练
（2016?玉林）若一次函数y=mx+6的图象与反比例函数y=在第一象限的图象有公共点，则有（ ）
A．mn≥﹣9 B．﹣9≤mn≤0 C．mn≥﹣4 D．﹣4≤mn≤0
2.（2016·四川宜宾）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（2，﹣1），B（，n）两点，直线y=2与y轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．
■考点5.反比例函数的实际应用
◇典例：
（2016·浙江省湖州市）湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘．
（1）求鱼塘的长y（米）关于宽x（米）的函数表达式；
（2）由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米，鱼塘的长为多少米？
【考点】反比例函数的应用．
【分析】（1）根据矩形的面积=长×宽，列出y与x的函数表达式即可；
（2）把x=20代入计算求出y的值，即可得到结果．
解：（1）由长方形面积为2000平方米，得到xy=2000，即y=；
（2）当x=20（米）时，y==100（米），
则当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长为100米．
◆变式训练
1.(2013曲靖中考)某地资源总量Q一定，该地人均资源享有量x与人口数n的函数关系图象是( )21*cnjy*com
2.(2014云南中考)将油箱注满k L油后，轿车可行驶的总路程s(单位：km)与平均耗油量a(单位：L/km)之间是反比例函数关系s＝(k是常数，k≠0)．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1 L的速度行驶，可行驶700 km.
(1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式；
(2)当平均耗油量为0.08 L/km时，该轿车可以行驶多少千米？
（2016·福建龙岩）反比例函数y=﹣的图象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）
两点，则x1与x2的大小关系是（ ）
A．x1＞x2 B．x1=x2 C．x1＜x2 D．不确定
（2016海南3分）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/
人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例
C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人
D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷
(2017海南中考)如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(4，2)，C(4，4)．若反比
例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是( )
A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤16
（2016?长春）如图，在平面直角坐标系中，点P（1，﹣4）、Q（m，n）
在函数y=（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（ ）21教育名师原创作品
A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小
(2017哈尔滨中考)已知反比例函数y＝的图象经过点(1，2)，则k的值为____．
(2017黔东南中考)如图，已知点A，B分别在反比例函数y1＝－和y2＝的图象上，若
点A是线段OB的中点，则k的值为__ __．
（2016·辽宁丹东）反比例函数y=的图象经过点（2，3），则k= ．
(2017西宁中考)如图，点A在双曲线y＝(x＞0)上，过点A作AC⊥x轴，垂足为点
C，OA的垂直平分线交OC于点B，当AC＝1时，△ABC的周长为____．
（2016·云南省昆明市·3分）如图，反比例函数y=（k≠0）的图象经过A，B两点，
过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC=CD，四边形BDCE的面积为2，则k的值为 ．21世纪教育网版权所有
(2017江西中考)你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体
积的面团做成拉面，面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面积)x(mm2)的反比例函数，其图象如图所示．2-1-c-n-j-y
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)当面条的总长度为50 m时，面条的粗细为多少？
(3)若当面条的粗细应不小于1.6 mm2，面条的总长度最长是多少？
（2016·四川南充）如图，直线y=x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C．
（1）求双曲线解析式；
（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．
(2017随州中考)如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位
长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y＝的图象于点B，AB＝.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若P(x1，y1)，Q(x2，y2)是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，指出点P，Q各位于哪个象限？并简要说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
(2017江西中考)如图，直线y＝k1x(x≥0)与双曲线y＝(x＞0)相交于点P(2，4)．已
知点A(4，0)，B(0，3)，连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A′PB′.过点A′作A′C∥y轴交双曲线于点C.【出处：21教育名师】
(1)求k1与k2的值；
(2)求直线PC的解析式；
(3)直接写出线段AB扫过的面积．
1.（2017·台州）已知电流I（安培）、电压U（伏特）、电阻R（欧姆）之间的关系为，当电压为定值时，I关于R的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
2.（2017?河池）点P（﹣3，1）在双曲线y= 上，则k的值是（?? ）
A.﹣3???? ?B.?3?? ?C.?????????D.?
3.（2017?营口）如图，在菱形ABOC中，∠A=60°，它的一个顶点C在反比例函数y= 的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则反比例函数解析式为（?? ）
A.?y=﹣ ??B.?y=﹣ ??C.?y=﹣ ???D.?y=
4.（2017?荆门）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC=3BD，反比例函数y= （k≠0）的图象恰好经过点C和点D，则k的值为（?? ）
A.??????B.??????C.?????D.? 【来源：21·世纪·教育·网】
5.（2017?乌鲁木齐）如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线y= 上，点C，D，分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（?? ）
A.???????B.?????C.?????D.?
6.（2017?黑龙江）如图，是反比例函数y1= 和一次函数y2=mx+n的图象，若y1＜y2， 则相应的x的取值范围是（?? ）
A.?1＜x＜6???B.?x＜1?????C.?x＜6?????D.?x＞1
7.（2017?青岛）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（﹣1，﹣4），B（2，2）两点，P为反比例函数y= 图象上一动点，O为坐标原点，过点P作y轴的垂线，垂足为C，则△PCO的面积为（?? ）
A.?2?????B.?4???????C.?8???????D.?不确定
8.（2017?威海）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y= （k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（?? ）
A.?y= ??? B.?y= ????C.?y= ?????D.?y=
二.填空题
9.（2017?南京）函数y1=x与y2= 的图象如图所示，下列关于函数y=y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是________．
10.（2017?河南）已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数y=﹣ 的图象上，则m与n的大小关系为________．
11.（2017?盘锦）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，﹣5），以P为圆心的圆与x轴相切，⊙P的弦AB（B点在A点右侧）垂直于y轴，且AB=8，反比例函数y= （k≠0）经过点B，则k=________．
12.（2017?抚顺）已知A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是反比例函数y=﹣ 图象上的两点，且x1＞x2＞0，则y1________y2（填“＞”或“＜”）．
13.（2017?温州）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，B′和B分别对应）．若AB=1，反比例函数y= （k≠0）的图象恰好经过点A′，B，则k的值为________．
14.（2017?烟台）如图，直线y=x+2与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点P，若OP= ，则k的值为________．
15.（2017?湖州）如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 （ ）分别交反比例函数 和 在第一象限的图象于点 ， ，过点 作 轴于点 ，交 的图象于点 ，连结 ．若 是等腰三角形，则 的值是________． 21·cn·jy·com
16.（2017?宁波）已知△ABC的三个顶点为A ，B ，C ，将△ABC向右平移m（ ）个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数 的图象上，则m的值为________.
17.（2017·金华）如图，已知点A(2,3)和点B(0,2)，点A在反比例函数y= 的图象上.作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为________.
三.解答题
18.（2016?常德）如图，直线AB与坐标轴分别交于A（﹣2，0），B（0，1）两点，与反比例函数的图象在第一象限交于点C（4，n），求一次函数和反比例函数的解析式．
（2017?株洲）如图所示，Rt△PAB的直角顶点P（3，4）在函数y= （x＞0）的图象上，顶点A、B在函数y= （x＞0，0＜t＜k）的图象上，PA∥x轴，连接OP，OA，记△OPA的面积为S△OPA， △PAB的面积为S△PAB， 设w=S△OPA﹣S△PAB．
①求k的值以及w关于t的表达式；?? ②若用wmax和wmin分别表示函数w的最大值和最小值，令T=wmax+a2﹣a，其中a为实数，求Tmin ．
20.（2017?深圳）如图一次函数 与反比例函数 交于 、 ，与 轴， 轴分别交于点 ．
(1)直接写出一次函数 的表达式和反比例函数 的表达式；
(2)求证： ．
21.（2017?宁波）如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，AC＝AO，△ACO的面积为12．
22.（2017?苏州）如图，在 中， ， 轴，垂足为 ．反比例函数 （ ）的图像经过点 ，交 于点 ．已知 ， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)连接 ，若 ，求 的长．
23.（2017·嘉兴）如图，一次函数 （ ）与反比例函数 （ ）的图象交于点 ， ．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)在 轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
24.（2017·丽水）丽水苛公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售.记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）.根据经验，v,t的一组对应值如下表：
v(千米/小时)
75
80
85
90
95
t(小时)
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16
(1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t(小时)的函数表达式；
(2)汽车上午7:30从丽水出发，能否在上午10:00之前到达杭州市？请说明理由：
(3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围.
第三章函数
第16节 反比例函数及其应用
■考点1. 反比例函数的概念及其图象、性质
1.反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝ (k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．21·cn·jy·com
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y＝kx-1；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
2．反比例函数的图象
反比例函数y＝(k≠0)的图象是由两个分支组成的双曲线，且不与两坐标轴相交．
3．反比例函数的性质
(1)当k＞0时，图象在一、三象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小
(2)当k＜0时，图象在二、四象限，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．
(3)其图象既是关于原点对称的中心图形，又是轴图形．对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y=-X；②一、三象限的角平分线Y=X；对称中心是：坐标原点．
注意：（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.21教育网
（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.
■考点2.比例系数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|.
（2）常见的面积类型：
■考点3.利用待定系数法确定反比例函数表达式
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
■考点4.反比例函数与一次函数的综合
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
■考点5.反比例函数的实际应用
（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
■考点1. 反比例函数的概念及其图象、性质
◇典例：
（2016?天津）若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】直接利用反比例函数图象的分布，结合增减性得出答案．
解：∵点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，
∴A，B点在第三象限，C点在第一象限，每个图象上y随x的增大减小，
∴y3一定最大，y1＞y2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，正确把握反比例函数增减性是解题关键．
◆变式训练
（2017?娄底）已知﹣=1（a，b为常数，且ab≠0）表示焦点在x轴上的双曲线，若+=1表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＞﹣3 C．m≥﹣3 D．﹣3＜m＜2
【考点】 反比例函数的性质．
【分析】根据解不等式组的方法解答即可．
解：∵﹣=1（a，b为常数，且ab≠0）表示焦点在x轴上的双曲线，
则a2＞0，b2＞0，
∵+=1表示焦点在x轴上的双曲线，
∴，
解得：﹣3＜m＜2，
故选D．
■考点2.比例系数k的几何意义
◇典例
（2016贵州毕节3分）如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变，可计算出答案．www.21-cn-jy.com
解：△ABO的面积为：×|﹣4|=2，
故选D．
◆变式训练
1.（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k= 6 ．2-1-c-n-j-y
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据点P（6，3），可得点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入函数解析式分别求出点A的纵坐标和点B的横坐标，然后根据四边形OAPB的面积为12，列出方程求出k的值．21*cnjy*com
解：∵点P（6，3），
∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，
代入反比例函数y=得，
点A的纵坐标为，点B的横坐标为，
即AM=，NB=，
∵S四边形OAPB=12，
即S矩形OMPN﹣S△OAM﹣S△NBO=12，
6×3﹣×6×﹣×3×=12，
解得：k=6．
故答案为：6．
2.（2016·山东省菏泽市）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（ ）
A．36 B．12 C．6 D．3
【考点】反比例函数系数k的几何意义；等腰直角三角形．
【分析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标即可得出结论．
解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，
则点B的坐标为（a+b，a﹣b）．
∵点B在反比例函数y=的第一象限图象上，
∴（a+b）×（a﹣b）=a2﹣b2=6．
∴S△OAC﹣S△BAD=a2﹣b2=（a2﹣b2）=×6=3．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是找出a2﹣b2的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．
■考点3.利用待定系数法确定反比例函数表达式
◇典例：
如图，已知双曲线y＝和直线y＝mx＋n交于点A和B，B点的坐标是(2，－3)，AC垂直
轴于点C，AC＝.
(1)求双曲线和直线的解析式；
(2)求△AOB的面积．
解 (1)∵B点的坐标是(2，－3)且在双曲线上，
∴－3＝.∴k＝－6.∴双曲线的解析式为y＝－.
∵AC＝，∴A的横坐标为－.
由y＝－得A.
∵A，B(2，－3)在直线y＝mx＋n上，
∴解得
∴直线的解析式是y＝－2x＋1.
(2)∵直线y＝－2x＋1与y轴的交点为(0，1)，
∴△AOB的面积为××1＋×2×1＝.
◆变式训练
在平面直角坐标系xOy中，点P(2，a)在反比例函数y＝的图象上，把点P向上平移2个单
位，再向右平移3个单位得到点Q，则经过点Q的反比例函数的解析式为________．
解：把(2，a)代入y＝，得a＝1.∴点P的坐标为(2，1)．根据平移的规律可知，点Q的坐标为(5，3)，则经过点Q的反比例函数的解析式为y＝.21世纪教育网版权所有
■考点4.反比例函数与一次函数的综合
◇典例：
（2016?株洲）已知，如图一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=的图象如图示，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x＞5 C．2＜x＜5 D．0＜x＜2或x＞5
【分析】根据图象得出两交点的横坐标，找出一次函数图象在反比例图象下方时x的范围即可．
解：根据题意得：当y1＜y2时，x的取值范围是0＜x＜2或x＞5．
故选：D．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键．
◆变式训练
1.（2016?玉林）若一次函数y=mx+6的图象与反比例函数y=在第一象限的图象有公共点，则有（ ）
A．mn≥﹣9 B．﹣9≤mn≤0 C．mn≥﹣4 D．﹣4≤mn≤0
【分析】依照题意画出图形，将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，得出关于x的一元二次方程，由两者有交点，结合根的判别式即可得出结论．
解：依照题意画出图形，如下图所示．
将y=mx+6代入y=中，
得：mx+6=，整理得：mx2+6x﹣n=0，
∵二者有交点，
∴△=62+4mn≥0，
∴mn≥﹣9．
故选A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及根的判别式，解题的关键由根的判别式得出关于mn的不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，画出图形，利用数形结合解决问题是关键．
2.（2016·四川宜宾）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（2，﹣1），B（，n）两点，直线y=2与y轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出反比例解析式，再将B坐标代入求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）利用两点间的距离公式求出AB的长，利用点到直线的距离公式求出点C到直线AB的距离，即可确定出三角形ABC面积．
解：（1）把A（2，﹣1）代入反比例解析式得：﹣1=，即m=﹣2，
∴反比例解析式为y=﹣，
把B（，n）代入反比例解析式得：n=﹣4，即B（，﹣4），
把A与B坐标代入y=kx+b中得：，
解得：k=2，b=﹣5，
则一次函数解析式为y=2x﹣5；
（2）∵A（2，﹣1），B（，﹣4），直线AB解析式为y=2x﹣5，
∴AB==，原点（0，0）到直线y=2x﹣5的距离d==，
则S△ABC=AB?d=．
■考点5.反比例函数的实际应用
◇典例：
（2016·浙江省湖州市）湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘．
（1）求鱼塘的长y（米）关于宽x（米）的函数表达式；
（2）由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米，鱼塘的长为多少米？
【考点】反比例函数的应用．
【分析】（1）根据矩形的面积=长×宽，列出y与x的函数表达式即可；
（2）把x=20代入计算求出y的值，即可得到结果．
解：（1）由长方形面积为2000平方米，得到xy=2000，即y=；
（2）当x=20（米）时，y==100（米），
则当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长为100米．
◆变式训练
1.(2013曲靖中考)某地资源总量Q一定，该地人均资源享有量x与人口数n的函数关系图象是( )
解:资源总量Q一定，人均享有资源量x与人数n之间的关系为x＝，所以x与n之间是反比例函数关系，因为反比例函数的图象是双曲线，人数n为正整数，所以函数图象只在第一象限．
【答案】B
2.(2014云南中考)将油箱注满k L油后，轿车可行驶的总路程s(单位：km)与平均耗油量a(单位：L/km)之间是反比例函数关系s＝(k是常数，k≠0)．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1 L的速度行驶，可行驶700 km.
(1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式；
(2)当平均耗油量为0.08 L/km时，该轿车可以行驶多少千米？
解：(1)由题意可知，当a＝0.1时，s＝700，
代入反比例函数的解析式s＝中，得＝700，
解得k＝70，
∴s＝，
∴该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式为s＝(a>0)；
(2)当a＝0.08时，s＝＝＝875(km)．
答：该轿车可以行驶875 km.
1.（2016·福建龙岩）反比例函数y=﹣的图象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）
两点，则x1与x2的大小关系是（ ）
A．x1＞x2 B．x1=x2 C．x1＜x2 D．不确定
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接利用反比例函数的增减性进而分析得出答案．
解：∵反比例函数y=﹣的图象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）两点，
∴每个分支上y随x的增大而增大，
∵﹣2＞﹣3，
∴x1＞x2，
2.（2016海南3分）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/
人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例
C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人
D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷
【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象．
解：如图所示，人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，根据反比例函数的性质可推出A，B错误，
再根据函数解析式求出自变量的值与函数值，有可判定C，D．
解：如图所示，人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，
∴y随x的增大而减小，
∴A，B错误，
设y=（k＞0，x＞0），把x=50时，y=1代入得：k=50，
∴y=，
把y=2代入上式得：x=25，
∴C错误，
把x=1代入上式得：y=，
∴D正确，
故答案为：D．
3.(2017海南中考)如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(4，2)，C(4，4)．若反比
例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是( )
A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤16
【解析】由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数y＝经过点A时k值最小，经过点C时k值最大，据此可得出结论．21教育名师原创作品
【答案】C
4.（2016?长春）如图，在平面直角坐标系中，点P（1，﹣4）、Q（m，n）
在函数y=（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（ ）
A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小
【分析】首先利用m和n表示出AC和AQ的长，则四边形ACQE的面积即可利用m、n表示，然后根据函数的性质判断．
解：AC=m﹣1，CQ=n，
则S四边形ACQE=AC?CQ=（m﹣1）n=mn﹣n．
∵Q（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，
∴mn=k=﹣4（常数）．
∴S四边形ACQE=AC?CQ=（m﹣1）n=﹣4﹣n，
∵当m＞1时，n随m的增大而减小，
∴S四边形ACQE=﹣4﹣n随m的增大而增大．
故选B．
5.(2017哈尔滨中考)已知反比例函数y＝的图象经过点(1，2)，则k的值为____．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接把点（1，2）代入反比例函数y= ，求出k的值即可．
解：∵反比例函数y=的图象经过点（1，2）， ∴2=3k-1，解得k=1． 故答案为：1．
6.(2017黔东南中考)如图，已知点A，B分别在反比例函数y1＝－和y2＝的图象上，
若点A是线段OB的中点，则k的值为_________．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】设A（a，b），则B（2a，2b），将点A、B分别代入所在的双曲线方程进行解答．
解：设A（a，b），则B（2a，2b）， ∵点A在反比例函数y1=--的图象上， ∴ab=-2； ∵B点在反比例函数y2=的图象上， ∴k=2a?2b=4ab=-8． 故答案是：-8．
7.（2016·辽宁丹东·3分）反比例函数y=的图象经过点（2，3），则k= ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据点的坐标以及反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．
解：∵反比例函数y=的图象经过点（2，3），
∴k﹣1=2×3，
解得：k=7．
故答案为：7．
8.(2017西宁中考)如图，点A在双曲线y＝(x＞0)上，过点A作AC⊥x轴，垂足为点
C，OA的垂直平分线交OC于点B，当AC＝1时，△ABC的周长为____．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；线段垂直平分线的性质．
【分析】由OA的垂直平分线交OC于点B，可得出OB=AB，结合三角形的周长公式可得出△ABC的周长=OC+CA，由AC的长度利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出点A的坐标，进而即可得出△ABC的周长．
解：∵OA的垂直平分线交OC于点B， ∴OB=AB， ∴C△ABC=AB+BC+CA=OB+BC+CA=OC+CA． ∵点A在双曲线y=（x＞0）上，AC=1， ∴点A的坐标为（，1）， ∴C△ABC=OC+CA=+1． 故答案为：+1
9.（2016·云南省昆明市·3分）如图，反比例函数y=（k≠0）的图象经过A，B两点，
过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC=CD，四边形BDCE的面积为2，则k的值为 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；平行线分线段成比例．
【分析】先设点B坐标为（a，b），根据平行线分线段成比例定理，求得梯形BDCE的上下底边长与高，再根据四边形BDCE的面积求得ab的值，最后计算k的值．
解：设点B坐标为（a，b），则DO=﹣a，BD=b
∵AC⊥x轴，BD⊥x轴
∴BD∥AC
∵OC=CD
∴CE=BD=b，CD=DO=a
∵四边形BDCE的面积为2
∴（BD+CE）×CD=2，即（b+b）×（﹣a）=2
∴ab=﹣
将B（a，b）代入反比例函数y=（k≠0），得
k=ab=﹣
故答案为：﹣
10.(2017江西中考)你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体
积的面团做成拉面，面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面积)x(mm2)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)当面条的总长度为50 m时，面条的粗细为多少？
(3)若当面条的粗细应不小于1.6 mm2，面条的总长度最长是多少？
解：(1)由图象得，反比例函数图象经过点(4，32)，
设y与x的函数关系式为y＝，
则＝32，解得k＝128，
∴y与x的函数关系式为y＝；
(2)当y＝50 m时，即：＝50，解得x＝2.56 mm2，
故面条的粗细为2.56 mm2；
(3)当x＝1.6 mm2时，y＝＝80 m；
则面条最长为80 m.
11.（2016·四川南充）如图，直线y=x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C．
（1）求双曲线解析式；
（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出m的值，确定出A坐标，即可确定出双曲线解析式；
（2）设P（x，0），表示出PC的长，高为A纵坐标，根据三角形ACP面积求出x的值，确定出P坐标即可．21*cnjy*com
解：（1）把A（m，3）代入直线解析式得：3=m+2，即m=2，
∴A（2，3），
把A坐标代入y=，得k=6，
则双曲线解析式为y=；
（2）对于直线y=x+2，令y=0，得到x=﹣4，即C（﹣4，0），
设P（x，0），可得PC=|x+4|，
∵△ACP面积为3，
∴|x+4|3=3，即|x+4|=2，
解得：x=﹣2或x=﹣6，
则P坐标为（﹣2，0）或（﹣6，0）．
12.(2017随州中考)如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位
长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y＝的图象于点B，AB＝.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若P(x1，y1)，Q(x2，y2)是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，指出点P，Q各位于哪个象限？并简要说明理由．
解：(1)由题意得B(－2，)，
把B(－2，)代入y＝中，得到k＝－3，
∴反比例函数的解析式为y＝－；
(2)P在第二象限，Q在第四象限．
理由：∵k＝－3＜0，
∴反比例函数y在每个象限y随x的增大而增大，
∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，
∴P，Q在不同的象限，
∴P在第二象限，Q在第四象限．
13.(2017江西中考)如图，直线y＝k1x(x≥0)与双曲线y＝(x＞0)相交于点P(2，4)．已
知点A(4，0)，B(0，3)，连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A′PB′.过点A′作A′C∥y轴交双曲线于点C.21cnjy.com
(1)求k1与k2的值；
(2)求直线PC的解析式；
(3)直接写出线段AB扫过的面积．
解：(1)把点P(2，4)代入直线y＝k1x，可得4＝2k1，
∴k1＝2，
把点P(2，4)代入双曲线y＝，可得k2＝2×4＝8；
(2)∵O(0，0)经过平移得到对应点P(2，4)，
∴Rt△AOB向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到Rt△A′PB′，
∴A(4，0)经平移得到A′(6，4)．
又∵A′C∥y轴，
∴点C的横坐标为6，
当x＝6时，y＝＝，
∴C，
设直线PC的解析式为y＝kx＋b，
把P(2，4)，C代入可得
解得
∴直线PC的解析式为y＝－x＋；
(3)线段AB扫过的面积是22.
1.（2017·台州）已知电流I（安培）、电压U（伏特）、电阻R（欧姆）之间的关系为，当电压为定值时，I关于R的函数图象是（ ）
A． B． C． D． 【考点】反比例函数的定义，反比例函数的图象，反比例函数的性质
【分析】I=， 电压U一定时，电流I关于电阻R的函数关系式为反比例函数，其图像为双曲线，根据反比例函数图像的性质，可知其图像在第一象限，故可得出正确答案。 解：∵I=（U＞0,R＞） ∴图像是在第一象限的双曲线的一个分支. 故选A.
2.（2017?河池）点P（﹣3，1）在双曲线y= 上，则k的值是（?? ）
A.﹣3???? ?B.?3?? ?C.?????????D.?
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】根据反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k可得答案． 解：∵点P（﹣3，1）在双曲线y= 上， ∴k=﹣3×1=﹣3， 故选：A．
3.（2017?营口）如图，在菱形ABOC中，∠A=60°，它的一个顶点C在反比例函数y= 的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则反比例函数解析式为（?? ）
A.?y=﹣ ??B.?y=﹣ ??C.?y=﹣ ???D.?y= 【考点】反比例函数的性质
【分析】过点C作CD⊥x轴于D，设菱形的边长为a，根据菱形的性质和三角函数分别表示出C，以及点A向下平移2个单位的点，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到方程组求解即可． 解：过点C作CD⊥x轴于D， 设菱形的边长为a， 在Rt△CDO中，OD=a?cos60°= a，CD=a?sin60°= a， 则C（﹣ a， a）， 点A向下平移2个单位的点为（﹣ a﹣a， a﹣2），即（﹣ a， a﹣2）， 则 ， 解得 ． 故反比例函数解析式为y=﹣ ． 故选：A．
4.（2017?荆门）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC=3BD，反比例函数y= （k≠0）的图象恰好经过点C和点D，则k的值为（?? ）
A.??????B.??????C.?????D.? 【考点】等边三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设BD=a，则OC=3a，根据等边三角形的性质结合解含30度角的直角三角形，可找出点C、D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、k的值，此题得解．
解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示．
设BD=a，则OC=3a． ∵△AOB为边长为6的等边三角形， ∴∠COE=∠DBF=60°，OB=6． 在Rt△COE中，∠COE=60°，∠CEO=90°，OC=3a， ∴∠OCE=30°， ∴OE= a，CE= = a， ∴点C（ a， a）． 同理，可求出点D的坐标为（6﹣ a， a）． ∵反比例函数y= （k≠0）的图象恰好经过点C和点D， ∴k= a× a=（6﹣ a）× a， ∴a= ，k= ． 故选A．
5.（2017?乌鲁木齐）如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线y= 上，点C，D，分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（?? ）
A.???????B.?????C.?????D.?
【考点】轴对称-最短路线问题，反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，根据对称的性质得到P点坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，根据两点之间线段最短得此时四边形PABQ的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得． 解：分别把点A（a，3）、B（b，1）代入双曲线y= 得：a=1，b=3， 则点A的坐标为（1，3）、B点坐标为（3，1）， 作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q， 所以点P坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1）， 连结PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小， 四边形ABCD周长=DA+DC+CB+AB =DP+DC+CQ+AB =PQ+AB = + =4 +2 =6 ， 故选：B．
6.（2017?黑龙江）如图，是反比例函数y1= 和一次函数y2=mx+n的图象，若y1＜y2， 则相应的x的取值范围是（?? ）
A.?1＜x＜6???B.?x＜1?????C.?x＜6?????D.?x＞1 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】观察图象得到：当1＜x＜6时，一次函数y2的图象都在反比例函数y1的图象的上方，即满足y1＜y2 ． 解：由图形可知：若y1＜y2， 则相应的x的取值范围是：1＜x＜6；
故选A．
7.（2017?青岛）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（﹣1，﹣4），B（2，2）两点，P为反比例函数y= 图象上一动点，O为坐标原点，过点P作y轴的垂线，垂足为C，则△PCO的面积为（?? ）
A.?2?????B.?4???????C.?8???????D.?不确定
【考点】待定系数法求一次函数解析式，反比例函数系数k的几何意义
【分析】根据待定系数法，可得k，b，根据反比例函数图象上的点垂直于坐标轴得到的三角形的面积等于|k|的一半，可得答案． 解：将A（﹣1，﹣4），B（2，2）代入函数解析式，得 ， 解得 ， P为反比例函数y= 图象上一动点， 反比例函数的解析式y= ， P为反比例函数y= 图象上一动点，O为坐标原点，过点P作y轴的垂线，垂足为C， 则△PCO的面积为 |k|=2， 故选：A．
8.（2017?威海）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y= （k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（?? ）
A.?y= ??? B.?y= ????C.?y= ?????D.?y= 【考点】待定系数法求反比例函数解析式，正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB=∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=BE=4，CE=OB=3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值． 解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB=BC， ∠ABC=90°， ∴∠ABO+∠CBE=90°， ∵∠OAB+∠ABO=90°， ∴∠OAB=∠CBE， ∵点A的坐标为（﹣4，0）， ∴OA=4， ∵AB=5， ∴OB= =3， 在△ABO和△BCE中， ， ∴△ABO≌△BCE（AAS）， ∴OA=BE=4，CE=OB=3， ∴OE=BE﹣OB=4﹣3=1， ∴点C的坐标为（3，1）， ∵反比例函数y= （k≠0）的图象过点C， ∴k=xy=3×1=3， ∴反比例函数的表达式为y= ． 故选A．
二.填空题（共9题 ）
9.（2017?南京）函数y1=x与y2= 的图象如图所示，下列关于函数y=y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是________． 【考点】正比例函数的图象和性质，反比例函数的性质
【分析】结合图形判断各个选项是否正确即可． 解：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；③结合图象的2个分支可以看出，在第一象限内，最低点的坐标为（2，4），故正确； ∴正确的有①③． 故答案为：①③．
10.（2017?河南）已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数y=﹣ 的图象上，则m与n的大小关系为________． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】由反比例函数y=﹣ 可知函数的图象在第二、第四象限内，可以知道在每个象限内，y随x的增大而增大，根据这个判定则可． 解：∵反比例函数y=﹣ 中k=﹣2＜0， ∴此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵0＜1＜2， ∴A、B两点均在第四象限， ∴m＜n． 故答案为m＜n．
11.（2017?盘锦）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，﹣5），以P为圆心的圆与x轴相切，⊙P的弦AB（B点在A点右侧）垂直于y轴，且AB=8，反比例函数y= （k≠0）经过点B，则k=________． 【考点】切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】由⊙P与x轴相切，且P（0，﹣5），求出BC=4，由勾股定理求出PC=3，从而求出B点坐标，由反比例函数经过点B求出K的值；注意分情况讨论.
解：设线段AB交y轴于点C，当点C在点P的上方时，连接PB，如图，
∵⊙P与x轴相切，且P（0，﹣5）， ∴PB=PO=5， ∵AB=8， ∴BC=4， 在Rt△PBC中，由勾股定理可得PC= =3， ∴OC=OP﹣PC=5﹣3=2， ∴B点坐标为（4，﹣2）， ∵反比例函数y= （k≠0）经过点B， ∴k=4×（﹣2）=﹣8； 当点C在点P下方时，同理可求得PC=3，则OC=OP+PC=8， ∴B（4，﹣8）， ∴k=4×（﹣8）=﹣32； 综上可知k的值为﹣8或﹣32， 故答案为：﹣8或﹣32．21·世纪*教育网
12.（2017?抚顺）已知A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是反比例函数y=﹣ 图象上的两点，且x1＞x2＞0，则y1________y2（填“＞”或“＜”）． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】k<0,反比例函数 图象的每个分支上点y随x的增大而增大. 解：∵在反比例函数y=﹣ 图象的每个分支上y随x的增大而增大， ∴y1＞y2 ， 故答案为>．
13.（2017?温州）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，B′和B分别对应）．若AB=1，反比例函数y= （k≠0）的图象恰好经过点A′，B，则k的值为________． 【考点】矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】设B（m，1），得到OA=BC=m，根据轴对称的性质得到OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°，求得∠A′OA=60°，过A′作A′E⊥OA于E，解直角三角形得到A′（ m， m），列方程即可得到结论． 解：∵四边形ABCO是矩形，AB=1， ∴设B（m，1）， ∴OA=BC=m， ∵四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称， ∴OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°， ∴∠A′OA=60°， 过A′作A′E⊥OA于E， ∴OE= m，A′E= m， ∴A′（ m， m）， ∵反比例函数y= （k≠0）的图象恰好经过点A′，B， ∴ m? m=m， ∴m= ， ∴k= ． 故答案为： ．
14.（2017?烟台）如图，直线y=x+2与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点P，若OP= ，则k的值为________．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】可设点P（m，m+2），由OP= 根据勾股定理得到m的值，进一步得到P点坐标，再根据待定系数法可求k的值． 解：设点P（m，m+2）， ∵OP= ， ∴ = ， 解得m1=1，m2=﹣3（不合题意舍去）， ∴点P（1，3）， ∴3= ， 解得k=3． 故答案为：3．
15.（2017?湖州）如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 （ ）分别交反比例函数 和 在第一象限的图象于点 ， ，过点 作 轴于点 ，交 的图象于点 ，连结 ．若 是等腰三角形，则 的值是________．
【分析】：设B（a, ）或（a,ka）;A（b, ）或（b,kb）;则C点坐标为（a,）;可知BC=.再分①AB=BC；②AC=BC；③ AB=AC；这三种情况讨论即可求出k的值.
系数k的几何意义，等腰三角形的性质 解：设B（a,）或（a,ka）;A（b,）或（b,kb）; ∴C（a,）.ka=,kb=. ∴a2=,b2=. 又∵BD⊥x轴. ∴BC=. ①当AB=BC时. ∴AB= ∴（a-b）=. ∴（-）=. ∴k=. ②当AC=BC时. ∴AC=. ∴(1+)=. ∴k=. ③?当AB=AC时. ∴1+=1+k2. ∴k=0（舍去）。 综上所述：k=或. 16.（2017?宁波）已知△ABC的三个顶点为A ，B ，C ，将△ABC向右平移m（ ）个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数 的图象上，则m的值为________. 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】依题可得A（-1，-1），B（-1，3），C（-3，-3）向右平移m个单位得到的点分别为A′（-1+m，-1），B′（-1+m，3）， C′（-3+m，-3）；分①AB中点坐标（-1+m,1）在y=上.，②AC中点坐标（m-2,-2）在y=上.；③BC中点坐标（m-2,0）在y=上；这三种情况讨论，从而得出答案。 解：依题可得A（-1，-1），B（-1，3），C（-3，-3）向右平移m个单位得到的点分别为A′（-1+m，-1），B′（-1+m，3）， C′（-3+m，-3）. ?∴ ①AB中点坐标（-1+m,1）在y=上， ∴1×（-1+m）=3. ∴m=4. ∴②AC中点坐标（m-2,-2）在y=上. ∴-2×（m-2）=3 ∴m=0.5. ∴?③BC中点坐标（m-2,0）不可能在y=上. 故答案为：4或0.5.
17.（2017·金华）如图，已知点A(2,3)和点B(0,2)，点A在反比例函数y= 的图象上.作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为________. 【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【分析】用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用△DEA∽△DFB，利用相似三角形的性质求出AD的长，根据勾股定理求出D点坐标，再利用待定系数法求出AC的直线方程，再利用二元一次方程组求出C点坐标。 解：作BF⊥AC于点F，作AE⊥y轴于点E，设AC交y轴于点D， ∵A（2，3），B（0，2） ∴AE=2,BE=1, ∴AB=, 又∵∠BAC=45°， ∴BF=AF=, ∴△DEA∽△DFB,令AD=x， ∴ =, ∴ ∴DE= 又∵ 解得=2,=(舍去） ∴AD=2， 设D（0，y） ∴+4= 解得：=-3,=9（舍去） ∴设AC直线方程为y=kx+b,将A（2，3），D（0，-3）代入直线方程得， ；解得 ∴AC:y=3x-3, ∵A（2，3）在y=上， ∴k=2×3=6， ∴；解得; ∴C（-1，-6）.
三.解答题（共7题 ）
18.（2016?常德）如图，直线AB与坐标轴分别交于A（﹣2，0），B（0，1）两点，与反比例函数的图象在第一象限交于点C（4，n），求一次函数和反比例函数的解析式．
【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】设一次函数的解析式为y=kx+b，把A（﹣2，0），B（0，1）代入得出方程组，解方程组即可；求出点C的坐标，设反比例函数的解析式为y= ，把C（4，3）代入y= 求出m即可．本题考查了用待定系数法求出函数的解析式，一次函数和和反比例函数的交点问题，函数的图象的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力．
解：设一次函数的解析式为y=kx+b， 把A（﹣2，0），B（0，1）代入得： ， 解得： ， ∴一次函数的解析式为y= x+1； 设反比例函数的解析式为y= ， 把C（4，n）代入得：n=3， ∴C（4，3）， 把C（4，3）代入y= 得：m=3×4=12， ∴反比例函数的解析式为y= ．
19.（2017?株洲）如图所示，Rt△PAB的直角顶点P（3，4）在函数y= （x＞0）的图象上，顶点A、B在函数y= （x＞0，0＜t＜k）的图象上，PA∥x轴，连接OP，OA，记△OPA的面积为S△OPA ， △PAB的面积为S△PAB ， 设w=S△OPA﹣S△PAB ． ①求k的值以及w关于t的表达式；?? ②若用wmax和wmin分别表示函数w的最大值和最小值，令T=wmax+a2﹣a，其中a为实数，求Tmin ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】（1）由点P的坐标表示出点A、点B的坐标，从而得S△PAB= ?PA?PB= （4﹣ ）（3﹣ ），再根据反比例系数k的几何意义知S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=6﹣ t，由w=S△OPA﹣S△PAB可得答案；（2）将（1）中所得解析式配方求得wmax= ，代入T=wmax+a2﹣a配方即可得出答案． 解：①∵点P（3，4）， ∴在y= 中，当x=3时，y= ，即点A（3， ）， 当y=4时，x= ，即点B（ ，4）， 则S△PAB= ?PA?PB= （4﹣ ）（3﹣ ）， 如图，延长PA交x轴于点C， 则PC⊥x轴， 又S△OPA=S△OPC﹣S△OAC= ×3×4﹣ t=6﹣ t， ∴w=6﹣ t﹣ （4﹣ ）（3﹣ ）=﹣ t2+ t； ②∵w=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣6）2+ ， ∴wmax= ， 则T=wmax+a2﹣a=a2﹣a+ =（a﹣ ）2+ ， ∴当a= 时，Tmin= ．
20.（2017?深圳）如图一次函数 与反比例函数 交于 、 ，与 轴， 轴分别交于点 ．
(1)直接写出一次函数 的表达式和反比例函数 的表达式；
(2)求证： ．
【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，勾股定理 【分析】（1）将A（2，4）代入y=求出m得到反比例函数解析式；再将B（a,1）代入得a，将A（2，4）,B（8，1）代入y=kx+b得一个二元一次方程组求解即可得一次函数解析式. （2）由（1）可得C（10，0），D（0，5）；如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B作BF⊥x轴于点F；从而得到E（0，4），F（8，0）； AE=2,DE=1,BF=1,CF=2在Rt△ADE和Rt△BCF中，根据勾股定理得AD=BC.
（1）解：将A（2，4）代入y=. ∴ m=2×4=8. ∴ 反比例函数解析式为y=. ∴将B（a,1）代入上式得a=8. ∴B（8，1）. 将A（2，4）,B（8，1）代入y=kx+b得： . ∴ ∴一次函数解析式为：y=-x+5. （2）证明：由（1）知一次函数解析式为y=-x+5. ∴C（10，0），D（0，5）. 如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B作BF⊥x轴于点F. ∴E（0，4），F（8，0）. ∴AE=2,DE=1,BF=1,CF=2 ∴在Rt△ADE和Rt△BCF中，根据勾股定理得： AD==,BC==. ∴AD=BC. 21.（2017?宁波）如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，AC＝AO，△ACO的面积为12．
(1)求k的值；
(2)根据图象，当 时，写出自变量 的取值范围．
【考点】反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义 【分析】（1）如图，过点A作AD⊥OC于点D，根据等腰三角形的性质可以得出S△ADO=S△ACO=6；从而求出k的值. （2）从图像可以得出答案.
（1）解：如图，过点A作AD⊥OC于点D. ???? 又∵AC=AO. ???? ∴CD=DO. ?????∴S△ADO=S△ACO=6. ???? ∴k=-12. （2）解：由图像可知：χ＜-2或0＜χ＜2. 22.（2017?苏州）如图，在 中， ， 轴，垂足为 ．反比例函数 （ ）的图像经过点 ，交 于点 ．已知 ， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)连接 ，若 ，求 的长．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，中考真题 【分析】（1）求点C的坐标，过点C作CD⊥AB于E，则AE=BE=2，由勾股定理求出CE，则求得点C的坐标，代入反比例函数即可解得； （2）求点C的坐标，设A点的坐标为（m,0），由BD=BC=，可得D的纵坐标为AD=，则D（m,），C(m-,2) .由点D，C都在y=的图象上，，可求出m的值，即而求出点C的坐标，根据勾股定理即可求OC的长。
（1）解：过点C作CD⊥AB于E， 因为AC=BC， 所以AE=BE=2， 在Rt△BCE中，CE=, 则点C的横坐标为4-, 即C（,2）。 将点C（,2）代入y=，得[MISSING IMAGE: , ] 所以AD= 则D，C两点的坐标分别为（m,）,(m-,2) . ?因为点D，C都在y=的图象上， 所以, 所以m=6 所以点C的坐标为（，2） 作CF⊥x轴，垂足为F.在Rt△OCF中， OC=. 23.（2017·嘉兴）如图，一次函数 （ ）与反比例函数 （ ）的图象交于点 ， ．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)在 轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的判定与性质
【分析】（1）将点A代入反比例函数解析式可先求出k2,再求出点B的坐标，再运用待定系数法求k1和b的值； （2）需要分类讨论，PA=PB，AP=AB，BP=BA，运用勾股定理求它们的长，构造方程求出n的值.
（1）解：把A（-1,2）代入y=，得k2=-2， ∴反比例函数的表达式为y=。 ∵B（m,-1）在反比例函数的图象上， ∴m=2。 由题意得，解得 ∴一次函数的表达式为y=-x+1。 （2）解：由A（-1,2）和B（2，-1），则AB=3 ①当PA=PB时，（n+1）2+4=(n-2)2+1, ∵n>0，∴n=0（不符合题意，舍去） ②当AP=AB时，22+（n+1）2=(3)2 ∵n>0，∴n=-1+ ③当BP=BA时，12+（n-2）2=(3)2 ∵n>0，∴n=2+ 所以n=-1+或n=2+。
24.（2017·丽水）丽水苛公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售.记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）.根据经验，v,t的一组对应值如下表：
v(千米/小时)
75
80
85
90
95
t(小时)
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16
(1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t(小时)的函数表达式；
(2)汽车上午7:30从丽水出发，能否在上午10:00之前到达杭州市？请说明理由：
(3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围.
【考点】反比例函数的性质 【分析】（1）根据表中的数据，尝试运用构造反比例函数模型v= ,取一组整数值 代入求出k，再取几组值代入检验是否符合；（2）经过的时间t=10-7.5，代入v= ,求出v值，其值要不超过100，才成立；（3）根据反比例函数，k>0，且t>0，则v是随t的增大而减小的，故分别把t=3.5，t=4，求得v的最大值和最小值.
（1）解：（1）根据表中的数据，可画出v关于t的函数图象（如图所示）， 根据图象形状，选择反比例函数模型进行尝试.设v与t的函数表达式为v= , ∵当v=75时，t=4，∴k=4×75=300. ∴v= . 将点（3.75,80），（3.53,85），（3.33,90），（3.16，95）的坐标代入v= 验证： ， ， ， ， ∴v与t的函数表达式为v= . （2）解：∵10-7.5=2.5， ∴当t=2.5时，v= =120>100. ∴汽车上午7:30从丽水出发，不能在上午10:00之前到达杭州市场. （3）解：由图象或反比例函数的性质得，当3.5≤t≤4时，75≤v≤ . 答案：平均速度v的取值范围是75≤v≤ . 【来源：21cnj*y.co*m】
