广东省中山市2017—2018学年度高二上学期理科数学期末复习（选修2-1 第三章 空间向量与立体几何）

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广东省中山市2017—2018学年度高二上学期理科数学期末复习
选修2-1 《第三章 空间向量与立体几何》单元测试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．）
1． 若, , 则（ ）
A． 4 B． 15 C． 7 D． 3
2．下列等式中，使点M与点A、B、C一定共面的是（ ）
A. B.
C. D.
3．若 则是的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.若=a，
=b，=c，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A.－a+b+c B.a+b+c
C.a－b+c D.－a－b+c
5．在棱长为1的正四面体ABCD中，E, F分别是 BC, AD的中点，则（ ）
A． 0 B． C． D．
6．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正
方形，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．已知下列命题： ① 若A、B、C、D是空间任意四点，则有+++=；
② 是、共线的充要条件；③ 若是空间三向量，则；④ 对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面，其中不正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．①②　　　　　B．②③　　　　　C．③④　　　　　　D．②④
8．在长方体A—C1中，AB=BC=2,AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
9．在棱长为2的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线
的距离之和为，若，则点P到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正三棱锥P-ABC的底面边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为1，E,F,G,H,分别是PA,AC,BC,PD的中点，四边形EFGH的面积为S(x)，则S(x)值域为_________21教育网
A． ｛｝ B．（0, +∞）
C ．（, +∞） D．（, +∞）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11． 已知＝（—4,2,x），＝(2,1,3),且⊥，则x＝ 。
12． 向量 ，，则和所夹角是
13． 已知A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1), 点D满足条件：DB⊥AC, DC⊥AB,
AD=BC, 则D的坐标为
14．如图，P—ABCD是正四棱锥，是正方体，其中， ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
则到平面PAD的距离为 .
三、解答题
15．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于600，是PC的中点，设．
（1）试用表示出向量；（2）求的长．
16．如图，在长方体中，，点E、F分别是面、面的中心．以D为坐标原点，DA、DC、DD1所为直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，试用向量方法解决下列问题：21cnjy.com
（1）求异面直线和所成的角；
（2）求直线和平面所成角的正弦值．
17．如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱上的一点，．
（1）试确定m，使直线AP与平面所成角的正切值为；
（2）在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，垂直于AP，并证明你的结论．
18．如图，已知四棱锥，底面为菱形，
平面，，分别是的中点．
（1）证明：；（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．
选修2-1 《第三章 空间向量与立体几何》单元测试题参考答案
一、选择题
1．D 2．D 3．A 4．A 5．D 6．A 7．D 8．D 9．A 10．C
二、填空题
11． 2 12．60° 13．（1，1，1）或 14．
三、答题
15.解：（1）∵是PC的中点，∴
（2）
.
16. 解：（1）A（2，0，0），F（1，2，），
B（2，2，0），E（1，1，），C（0，2，0）.
∴ ， ……（4分）
∴ . ……（6分）
所以AF和BE所成的角为 . ……（7分）
（2）设平面BEC的一个法向量为
又
则：，.
∴， 令，则：,∴ . …………（10分）
∴ . ……………（12分）
设直线和平面所成角为，则：.
即 直线和平面所成角的正弦值为. ……………（14分）
17．解：（１）建立如图所示的空间直角坐标系，……1分
( http: / / www.21cnjy.com )
则A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,ｍ)，C(0,1,0), D(0,0,0), B1(1,1,1), D1(0,0,1).
所以 ……2分
又由的一个法向量. ……3分
设与所成的角为，
则 ……4分
依题意有：，解得. ……5分
故当时，直线. ……6分
（２）若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，……7分
则. ……8分
依题意，对任意的要使，只需对任意m恒成立 ……9分
，……11分
即Q为的中点时，满足题设的要求 ……12分
18．（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．
因为为的中点，所以．
又，因此．
因为平面，平面，所以．
而平面，平面且，
所以平面．又平面，
所以．
（2）解：
由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以
，
，
所以．
设平面的一法向量为，
则因此
取，则，
因为，，，所以平面，
故为平面的一法向量．
又，所以．
因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．
选修2-1 《第三章 空间向量与立体几何》单元测试题参考答案及部分解析
一、选择题
1．D 2．D 3．A 4．A 5．D 6．A 7．D 8．D 9．A 10．C
1.=c+(－a+b)=－a+b+c，故选A.
2．解：设以为基底，则
所以。选A．
3．解：设, 易知。即条件具有充分性。
又若时，，虽有，但条件显然不成立，所以条件不具有必然性。
4．解：=
=
==。选D．
5.
故选D.
10．解：当顶点P与底面正⊿ABC重心很接近时，矩形EFGH的面积较小；重合时矩形的面积为选C．
二、填空题
13． 2 14．60° 15．（1，1，1）或 16．
11．解：由, ,
有，,
解得,, ．
13解：设D(x, y, z), 则，（x-1, y, z）,
(-1, 0, 1), (-1,1, 0), (0, -1, 1)． 又DB⊥AC-x+z=0,
DC⊥AB-x+y=0, AD=BC
联立解得x=y=z=1或x=y=z=所以D点为（1，1，1）或。
14.以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系
设平面PAD的法向量是，
，∴，取得，
，∴到平面PAD的距离.
三、答题
15.解：（1）∵是PC的中点，∴
（2）
.
16. 解：（1）A（2，0，0），F（1，2，），
B（2，2，0），E（1，1，），C（0，2，0）.
∴ ， ……（4分）
∴ . ……（6分）
所以AF和BE所成的角为 . ……（7分）
（2）设平面BEC的一个法向量为
又
则：，.
∴， 令，则：,∴ . …………（10分）
∴ . ……………（12分）
设直线和平面所成角为，则：.
即 直线和平面所成角的正弦值为. ……………（14分）
17．解：（１）建立如图所示的空间直角坐标系，……1分
( http: / / www.21cnjy.com )
则A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,ｍ)，C(0,1,0), D(0,0,0), B1(1,1,1), D1(0,0,1).
所以 ……2分
又由的一个法向量. ……3分
设与所成的角为，
则 ……4分
依题意有：，解得. ……5分
故当时，直线. ……6分
（２）若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，……7分
则. ……8分
依题意，对任意的要使，只需对任意m恒成立 ……9分
，……11分
即Q为的中点时，满足题设的要求 ……12分
18．（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．
因为为的中点，所以．
又，因此．
因为平面，平面，所以．
而平面，平面且，
所以平面．又平面，
所以．
（2）解：
由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以
，
，
所以．
设平面的一法向量为，
则因此
取，则，
因为，，，所以平面，
故为平面的一法向量．
又，所以．
因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．
( http: / / www.21cnjy.com )
A
A1
B
C
D
B1
C1
D1
E
F
P
B
E
C
D
F
A
A
A1
B
C
D
B1
C1
D1
E
F
P
B
E
C
D
F
A
y
z
x
A
A1
B
C
D
B1
C1
D1
E
F
P
B
E
C
D
F
A
y
z
x
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