多项式的整除性 课件

课件10张PPT。多项式的整除性多项式整除 定义. 若对?(х)和g(х)有h(x)，即
?（х）=h（х）g（х）
则称g（х）整除?（х），即
g（х）∣?（х）
或说g（х）是?（х）的因式，
?（х）是g（х）的倍式。
结论：(1) a|?(х)，a∈F,a≠0。
(2) ?(х)|0。 定理7.2.2 设g(х)≠0。g(х)∣?(х)，当且仅当以g(х)除?(х)所得的余式为0。
证明：
若?(х)=q(х)g(х)+r(х)中r(х)=0，
即?(х)=q(х)g(х)，因而g(х)∣?(х)。
若g(х)∣?(х)，则有h(х)使
?(х)=h(х)g(х),即
?(х)=h(х)g(х)+0，次0<次g(х)。
由商和余式的唯一性知，h(х)即以g(х)除
?(х)所得之商，而0即以g(х)除?(х)所
得的余式。 整除性质1o 若?∣g，g∣h，则?∣h。
2o 若?∣g，则?∣gh。
3o 若?∣g，?∣h，则?∣g±h。
4o 若?整除g1，…，gn，则
?∣h1g1+…+hngn。
5o 若在一等式中，除某项外，其余各项都是?的倍式，则该项也是?的倍式。 整除性质6o 若?∣g，g∣?，则?与g只差一个非0常
数因子。
证明： 由?∣g，g=h1 f,
由g∣?，f= h2 g,
故， g= h1 h2 g， h1 h2 =1，所以
次h1 h2 =0，即次h1 +次h2 =0，
故次h1 =0，次h2 =0，即h1 ，h2是非0常数因子。
两个多项式，如果只差一个非0常数因子，则称它们是相通的。 整除性质定义.若d∣?1，…，d∣?n，则称d是
?1,…,?n的公因式。如果d是?1,…,?n的公因式，而且?1，…，?n的任意公因式整除d，则称d为?1，…，?n的最高公因。
7o 若d和d′都是?1，…，?n的最高公因，
则d′和d相通。
定理7.2.3 任意多项式?和g必有最高公因。
定理7.2.4 ?，g的最高公因d中可以表为?，g的倍式和，即表为：d=λ?+μg ,其中λ，μ都是多项式。 质式定义. 若?∣g，而?不是常数也不和g相通，则说?是g的一个真因式。
例 令g(x)=1+x3=(1+x)(1-x+x2）在R2上，1+x和1+x+x2都是g(x)的真因式；在R3上，1+x是其真因式。这个例子说明同一个多项式在不同的域上的分解式是不一样的。
定义. 设多项式p非常元素。P说是一个质式或不可约多项式，如果p没有真因式。
例 1+x+x2在上例中是不可约多项式。
定理7.2.5 若p是质式而p∣?1…?n，则p整除?1，…，?n之一。互质 定义. 若?1，…，?n除了非0常元素外没
有公因式，则说?1，…，?n是互质的。
?1，…，?n互质 iff
其最高公因为非0常元素 iff
其最高公因为1。 定理7.2.6 任一非常数多项式恰有一法表为质式的乘积。
“恰有一法”:把相通的质式看作一样
不考虑质因式的次序。
定理7.2.7 任意非常数多项式?可以唯一地表为下面的形式：
其中p1，p2…pk是互不相通的质式，
r1，r2，…，rk是正整数。 多项式的质式问题若F中有无穷多个元素，则F[х]中便有无穷多个不相通的质式----对应整数环中欧几里得关于质数无穷多的定理。
F[х]中有没有次数任意高的质式？
以下几节内，将对一些特殊的域F回答 这一问题。