圆的基本性质专题复习讲义
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圆的基本性质专题复习讲义
一、基础知识及考点剖析——夯实基础
圆的定义：同一平面内，一条定长的线段，绕着它的一个定(端)点，旋转360°，所形成的一条封闭曲线。
易错点：同一平面内、曲线（圆的方程）。 2个定：定长，定点。
圆中的一些基本定义
(1)圆心、半径、直径（重点讲直径的用途） (2)弧（半圆、优弧、劣弧）
①与扇形的区别 ②与弧AC的长度、与弧AC的度数的区别
(3)弦：圆上任意两点的连线段； (4)弦心距：圆心到弦的距离； (5)圆心角：顶点在圆心上的角为圆心角；
(6)圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交的角为圆周角；
同一平面内点与圆的关系
(1)点在圆内 点在圆内； (2)点在圆上 点在圆上； (3)点在圆外 点在圆外；
在同圆或等圆中的等量关系（5个量中知1推4）（有一个不能推）
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推4定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的4个结论，
即：①；②；③；④弧弧；⑤弧AB圆周角=弧ED圆周角
圆心角与圆周角的关系（3种位置关系的证明）：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
注意事项（易错题）：
①一定要在同圆或等圆中，②圆心角与圆周角与弧长与弦长的关系成倍数的时候（k=1时成立，k=？）
③圆心角与圆周角度数能不能≥180？能不能为钝角。（证明圆的内接四边形对角互补）
圆的对称性：圆是轴对称图形也是，中心对称图形。对称中心为圆心，对称轴为直径所在的直线。
易错点：误以为直径是圆的对称轴。
垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙中，∵∥ ∴弧弧
总结：
(1) 什么时候用垂径定理？一般有几条弦就用几次垂径定理。都要用到垂径定理的直角三角形模型。
(2)（易错）当有2条弦出现时要分情况讨论。(3) 垂径定理能得到什么东西？
①垂直 ②直径（还能得到中点。和圆周角是90°经常构造直径的辅助线）、半径 ③弦的中点（和圆心构成中位线）
圆的内接四边形对角互补（反过来就是4点共圆）
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙中，∵四边形是内接四边形，∴
圆中平行线所夹的2条弧相等
模型（标图）
①垂径定理 过桥问题和二次函数一样 ②圆的内接四边形（标图）
几种常见处理技巧：
(1)直径的处理方法：
①圆周角是90°，经常构造直径的辅助线；②直径（得到中点；构造中位线）；
③垂径定理；④圆中最长的弦（求最值）
(2)在圆中不是圆心角和圆周角的怎么处理？ (3)标角度时我们可以转换成标弧的度数；
(4)求弦长：（勾股定理+垂径定理）
扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
扇形：(1)弧长公式：； (2)扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
二、课堂重难点题型精讲——方法能力提升
下列说法：①经过P点的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为3cm，且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，以3cm为半径的圆有无数个，其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如果边长顺次为25、39、52和60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为（ ）。
A．62 B．63 C．64 D．65
已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB=12，CD=6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP=8，∠APD=600，则R等于（ ）。
A．10 B．2 C．12 D．14
如图△ABC的外接圆上，AB、BC、CA三弧的度数比为12：13：11．自BC上取一点D，过D分别作直线AC、直线AB的并行线，且交于E、F两点，则∠EDF的度数为（ ）
A． 55 B． 60 C． 65 D． 70
第4题图 第5题图 第6题图
如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）
A. 2015π B. 3019.5π C. 3018π D. 3024π
如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）
A．19 B．16 C．18 D．20
如图，过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A=63°，那么∠B的度数为（ ）
A．15° B．18° C．19° D．21°
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点在小量角器上对应的度数为，那么在大量角器上对应的度数为__________（只需写出～的角度）．
以半圆的一条弦（非直径）为对称轴将弧折叠后与直径交于点，若，且，则的长为
两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm2,则该半圆的半径为
在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为 ．
与⊙O交于A，B，C，D四点，AQ，CQ为圆的两条弦，弧BQ的度数为 弧QD的度数为求∠P+∠Q=
第12题图 第13题图 第14题图
如图，A、B、C、D四点在同一圆周上，且BC=CD=4，AE=6，线段BE和DE的长都是正整数，则BD的长等于 。
如图，在锐角三角形ABC中，∠A=300，以BC边为直径作圆，与AB、AC分别交于点D、E，连结DE，把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC，设它们的面积分别为S1、S2，则S1:S2= 。
如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N。(1)点N是线段BC的中点吗？为什么？(2)若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径．
A，B，M，N是⊙O上四点，由点M引弦MA和MB，它们分别与直线NB和NA垂直。求证：AA//BB
已知，ABC内接于圆，D是AB上一点，AD=AC，E是AC延长线上一点，AE=AB，连接DE交圆于F，延长ED交圆于G，求证：AF=AG
如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点P是弧AB的中点，连接PA，PB，PC．
(1)如图①，若∠BPC=60°．求证：AC= AP；(2)如图②，若sin∠BPC= ，求tan∠PAB的值．
阅读下面的情境对话，然后解答问题
(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
(2)在RtABC 中， ∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtABC是奇异三角形，求a：b：c；
(3)如图，AB是⊙O的直径，C是上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，CD在直径AB的两侧，若在
⊙O内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE．
①求证：ACE是奇异三角形；②当ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．
如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE。(1)判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若E是 弧AC的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积。
如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．
(1)若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长； (2)求证：BF=BD；
(3)设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．
如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G．
(1)求证：△PAC∽△PDF； (2)若AB=5，=，求PD的长；
(3)在点P运动过程中，设=x，tan∠AFD=y，求y与x之间的函数关系式．（不要求写出x的取值范围）
(2014年黑龙江哈尔滨)如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．
(1)求∠ACB的度数；(2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．
如图，城市A的正北方向50千米的B处，有一无线电信号发射塔．已知，该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100千米，AC是一条直达C城的公路，从A城发往C城的班车速度为60千米/小时．
(1)当班车从A城出发开往C城时，某人立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5小时的时候，接收信号最强．
此时，班车到发射塔的距离是多少千米？（离发射塔越近，信号越强）
(2)班车从A城到C城共行驶2小时，请你判断到C城后还能接收到信号吗？请说明理由．
如图△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于D，E为弧BD的中点，AM平分∠BAC，求证：AM⊥CE．
如图，△ABC的三个顶点在⊙0上，AD⊥BC，D为垂足，E是的中点，求证：∠OAE=∠EAD．（写出两种以上的证明方法）
（2014?湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）。(1)若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；(2)在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；(3)作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
三、课堂举一反三精炼——理解、消化、升华
下列说法正确的个数是（ ）
①直径是圆中最长的弦；②弧是半圆；③过圆心的直线是直径；④半圆不是弧；⑤长度相等的弧是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
下列说法：①优弧一定比劣弧长；②面积相等的两个圆是等圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的一个定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中不正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
下列说法中，正确的有（ ）
①圆有无数条对称轴；②三角形的角平分线是射线；③角的对称轴是角平分线；
④各内角相等的多边形一定是正多边形．
A．0 B．1 C．2 D．3
一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm,则圆的半径为
如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE＝56°，则α的度数是（ ）
A、52° B、60° C、72° D、76°
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则弧AC的长( )
A． B． C． D．
如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°,N是弧MB的中点,P是直径AB上的一动点，若MN=1，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
如图，将大小两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2恰好在大量角器的圆周上．设它们圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为75°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
如图，半圆的直径AB=10cm，弦AC=6cm，把AC沿直线AD对折恰好与AB重合，则AD的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．5cm D．8cm
第9题图 第10题图
如图，点O是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧AB和弧AC都经过圆心O，则阴影部分的面积是⊙O面积的_________
如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=AB．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=：2．当边AB或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是 ．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是 ．
在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，==，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是 cm．
如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 ．
如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE=CF；②线段EF的最小值为2；③当AD=2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在上，则AD=2；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是16．其中正确结论的序号是 ．
第15题图 第16题图 第17题图
如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC=α，则sinα的值为 ．
如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是
如图，已知是以点O为圆心，OA长为半径的弧，OA⊥OB，C是的中点，OC与AB相交于点D，过D作DE∥OB，联结OE，交AB于F，求∠EOB的度数．
如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC． (1)若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；(2)求证：CD⊥DF．
如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
(1)当∠E=∠F时，则∠ADC= °；(2)当∠A=55°，∠E=30°时，求∠F的度数；
(3)若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．(1)求证：△BGD∽△DMA;(2)求证：直线MN是⊙O的切线．
（2014?十堰）如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．
(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；
(3)如图2，连接OD交AC于点G，若=，求sin∠E的值．
在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．
(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．
已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r。
(1)如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝r2
(2)当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，(1)中的结论是否成立？请说明理由.
已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O1、O2，P是AB的中点。
(1)如图8，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在弧AC，弧BC，上分别取点E、F，使∠AO1E=∠BO2F则有结论 ①△PO1E≌△FO2P ②四边形P O1CO2是菱形.请给出结论②的证明；
(2)如图9，若(1)中△ABC是任意三角形，其它条件不变，则(1)中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；
(3)如图10，若PC是圆O1的切线，求证：AB2=BC2+3AC2
一、基础知识及考点剖析——夯实基础
圆的定义：同一平面内，一条定长的线段，绕着它的一个定(端)点，旋转360°，所形成的一条封闭曲线。
易错点：同一平面内、曲线（圆的方程）。 2个定：定长，定点。
圆中的一些基本定义
(1)圆心、半径、直径（重点讲直径的用途） (2)弧（半圆、优弧、劣弧）
①与扇形的区别 ②与弧AC的长度、与弧AC的度数的区别
(3)弦：圆上任意两点的连线段； (4)弦心距：圆心到弦的距离； (5)圆心角：顶点在圆心上的角为圆心角；
(6)圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交的角为圆周角；
同一平面内点与圆的关系
(1)点在圆内 点在圆内； (2)点在圆上 点在圆上； (3)点在圆外 点在圆外；
在同圆或等圆中的等量关系（5个量中知1推4）（有一个不能推）
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推4定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的4个结论，
即：①；②；③；④弧弧；⑤弧AB圆周角=弧ED圆周角
圆心角与圆周角的关系（3种位置关系的证明）：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
注意事项（易错题）：
①一定要在同圆或等圆中，②圆心角与圆周角与弧长与弦长的关系成倍数的时候（k=1时成立，k=？）
③圆心角与圆周角度数能不能≥180？能不能为钝角。（证明圆的内接四边形对角互补）
圆的对称性：圆是轴对称图形也是，中心对称图形。对称中心为圆心，对称轴为直径所在的直线。
易错点：误以为直径是圆的对称轴。
垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙中，∵∥ ∴弧弧
总结：
(1) 什么时候用垂径定理？一般有几条弦就用几次垂径定理。都要用到垂径定理的直角三角形模型。
(2)（易错）当有2条弦出现时要分情况讨论。(3) 垂径定理能得到什么东西？
①垂直 ②直径（还能得到中点。和圆周角是90°经常构造直径的辅助线）、半径 ③弦的中点（和圆心构成中位线）
圆的内接四边形对角互补（反过来就是4点共圆）
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙中，∵四边形是内接四边形，∴
圆中平行线所夹的2条弧相等
模型（标图）
①垂径定理 过桥问题和二次函数一样 ②圆的内接四边形（标图）
几种常见处理技巧：
(1)直径的处理方法：
①圆周角是90°，经常构造直径的辅助线；②直径（得到中点；构造中位线）；
③垂径定理；④圆中最长的弦（求最值）
(2)在圆中不是圆心角和圆周角的怎么处理？ (3)标角度时我们可以转换成标弧的度数；
(4)求弦长：（勾股定理+垂径定理）
扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
扇形：(1)弧长公式：； (2)扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
二、课堂重难点题型精讲——方法能力提升
下列说法：①经过P点的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为3cm，且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，以3cm为半径的圆有无数个，其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如果边长顺次为25、39、52和60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为（ ）。
A．62 B．63 C．64 D．65
已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB=12，CD=6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP=8，∠APD=600，则R等于（ ）。
A．10 B．2 C．12 D．14
如图△ABC的外接圆上，AB、BC、CA三弧的度数比为12：13：11．自BC上取一点D，过D分别作直线AC、直线AB的并行线，且交于E、F两点，则∠EDF的度数为（ ）
A． 55 B． 60 C． 65 D． 70
第4题图 第5题图 第6题图
如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）
A. 2015π B. 3019.5π C. 3018π D. 3024π
如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）
A．19 B．16 C．18 D．20
如图，过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A=63°，那么∠B的度数为（ ）
A．15° B．18° C．19° D．21°
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点在小量角器上对应的度数为，那么在大量角器上对应的度数为__________（只需写出～的角度）．
以半圆的一条弦（非直径）为对称轴将弧折叠后与直径交于点，若，且，则的长为
两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm2,则该半圆的半径为
在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为 ．
与⊙O交于A，B，C，D四点，AQ，CQ为圆的两条弦，弧BQ的度数为 弧QD的度数为求∠P+∠Q=
第12题图 第13题图 第14题图
如图，A、B、C、D四点在同一圆周上，且BC=CD=4，AE=6，线段BE和DE的长都是正整数，则BD的长等于 。
如图，在锐角三角形ABC中，∠A=300，以BC边为直径作圆，与AB、AC分别交于点D、E，连结DE，把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC，设它们的面积分别为S1、S2，则S1:S2= 。
如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N。(1)点N是线段BC的中点吗？为什么？(2)若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径．
A，B，M，N是⊙O上四点，由点M引弦MA和MB，它们分别与直线NB和NA垂直。求证：AA//BB
已知，ABC内接于圆，D是AB上一点，AD=AC，E是AC延长线上一点，AE=AB，连接DE交圆于F，延长ED交圆于G，求证：AF=AG
如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点P是弧AB的中点，连接PA，PB，PC．
(1)如图①，若∠BPC=60°．求证：AC= AP；(2)如图②，若sin∠BPC= ，求tan∠PAB的值．
阅读下面的情境对话，然后解答问题
(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
(2)在RtABC 中， ∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtABC是奇异三角形，求a：b：c；
(3)如图，AB是⊙O的直径，C是上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，CD在直径AB的两侧，若在
⊙O内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE．
①求证：ACE是奇异三角形；②当ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．
如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE。(1)判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若E是 弧AC的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积。
如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．
(1)若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长； (2)求证：BF=BD；
(3)设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．
如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G．
(1)求证：△PAC∽△PDF； (2)若AB=5，=，求PD的长；
(3)在点P运动过程中，设=x，tan∠AFD=y，求y与x之间的函数关系式．（不要求写出x的取值范围）
(2014年黑龙江哈尔滨)如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．
(1)求∠ACB的度数；(2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．
如图，城市A的正北方向50千米的B处，有一无线电信号发射塔．已知，该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100千米，AC是一条直达C城的公路，从A城发往C城的班车速度为60千米/小时．
(1)当班车从A城出发开往C城时，某人立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5小时的时候，接收信号最强．
此时，班车到发射塔的距离是多少千米？（离发射塔越近，信号越强）
(2)班车从A城到C城共行驶2小时，请你判断到C城后还能接收到信号吗？请说明理由．
如图△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于D，E为弧BD的中点，AM平分∠BAC，求证：AM⊥CE．
如图，△ABC的三个顶点在⊙0上，AD⊥BC，D为垂足，E是的中点，求证：∠OAE=∠EAD．（写出两种以上的证明方法）
（2014?湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）。(1)若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；(2)在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；(3)作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
三、课堂举一反三精炼——理解、消化、升华
下列说法正确的个数是（ ）
①直径是圆中最长的弦；②弧是半圆；③过圆心的直线是直径；④半圆不是弧；⑤长度相等的弧是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
下列说法：①优弧一定比劣弧长；②面积相等的两个圆是等圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的一个定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中不正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
下列说法中，正确的有（ ）
①圆有无数条对称轴；②三角形的角平分线是射线；③角的对称轴是角平分线；
④各内角相等的多边形一定是正多边形．
A．0 B．1 C．2 D．3
一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm,则圆的半径为
如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE＝56°，则α的度数是（ ）
A、52° B、60° C、72° D、76°
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则弧AC的长( )
A． B． C． D．
如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°,N是弧MB的中点,P是直径AB上的一动点，若MN=1，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
如图，将大小两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2恰好在大量角器的圆周上．设它们圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为75°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
如图，半圆的直径AB=10cm，弦AC=6cm，把AC沿直线AD对折恰好与AB重合，则AD的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．5cm D．8cm
第9题图 第10题图
如图，点O是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧AB和弧AC都经过圆心O，则阴影部分的面积是⊙O面积的_________
如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=AB．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=：2．当边AB或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是 ．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是 ．
在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，==，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是 cm．
如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 ．
如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE=CF；②线段EF的最小值为2；③当AD=2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在上，则AD=2；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是16．其中正确结论的序号是 ．
第15题图 第16题图 第17题图
如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC=α，则sinα的值为 ．
如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是
如图，已知是以点O为圆心，OA长为半径的弧，OA⊥OB，C是的中点，OC与AB相交于点D，过D作DE∥OB，联结OE，交AB于F，求∠EOB的度数．
如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC． (1)若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；(2)求证：CD⊥DF．
如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
(1)当∠E=∠F时，则∠ADC= °；(2)当∠A=55°，∠E=30°时，求∠F的度数；
(3)若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．(1)求证：△BGD∽△DMA;(2)求证：直线MN是⊙O的切线．
（2014?十堰）如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．
(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；
(3)如图2，连接OD交AC于点G，若=，求sin∠E的值．
在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．
(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．
已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r。
(1)如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝r2
(2)当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，(1)中的结论是否成立？请说明理由.
已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O1、O2，P是AB的中点。
(1)如图8，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在弧AC，弧BC，上分别取点E、F，使∠AO1E=∠BO2F则有结论 ①△PO1E≌△FO2P ②四边形P O1CO2是菱形.请给出结论②的证明；
(2)如图9，若(1)中△ABC是任意三角形，其它条件不变，则(1)中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；
(3)如图10，若PC是圆O1的切线，求证：AB2=BC2+3AC2
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